´ ´ UNIVERSIDAD AUT ONOMA DE YUCATAN FACULTAD DE INGENIER´IA
´ tica Opti Op ca F´ısic ıs ica a Tarea Primer Parcial.
Alumnos: Bol´ on on Ruiz C´ esar esar Jibran Jibra n Medina Carrillo Benjamin P´ erez ere z Dawn Eduard Edu ardo o P´erez er ez Hern He rn´ andez a ´ndez Mireyly Mirey ly Estefan Estef an´ ´ıa Poot Contreras Rodrigo de Jes´ us us Ram Ra m´ırez ır ez Fuente Fuent e Albe Al bert rto o Jos´ Jo s´e
Profesor: Dr. Ignacio P´ erez erez Quintana
Fecha de Entrega: 04-Marzo-2015
Tema: “Problemas de Polarizaci´ on con Ley de Malus”
•1.− Un haz de luz polarizado de longitud de onda de 589.3 nm, incide perpendicularmente sobre un cristal de calcita, cuyo eje est´a contenido en el plano de incidencia y es paralelo a la superficie. Los ´ındices de refracci´ on de la calcita para los rayos ordinarios y extraordinarios son respectivamente, no = 1,658 y n e = 1,486. a.Calcule el espesor m´ınimo de la l´ amina de calcita para que los rayos ordinarios y extraordinarios emerjan con una diferencia de fase de 60 b.Calcule el espesor m´ınimo de la l´ amina de cuarzo que satisface las condiciones exigidas en el inciso anterior, s´ı los ´ındices de este son, n o = 1,544 y n e = 1,553. Esquema del Problema
´ SOLUCION a)El problema nos proporciona los siguientes datos: λ = 589,3X 10−9 m no = 1,658 ne = 1,486 La diferencia de fase es: δ = 60 = π3 Por lo tanto de: 2π ∆ϕ = d ne no λ Obtenemos que el espesor es:
| − |
d =
ϕλ = 0,571X 10−6 m 2π ne no
| − |
b)Para este inciso se tiene que: λ = 589,3X 10−9 m no = 1,544 ne = 1,553 δ = 60 = π3 De manera que el espesor es: d =
ϕλ = 1,09X 10−5 m 2π ne no
| − |
•2.−Considerando la dificultad en la confecci´on de l´aminas (2tan+1)delgadas, es m´as racional emplear l´ aminas que den una diferencia de recorrido igual a 1
m a
λ
. Calcule tal l´ amina de
cuarzo para la longitud de onda de λ = 589,3nm(no = 1,54467,ne = 1,55336), de tal manera que su espesor sea aproximadamente un mil´ımetro. ¿C´ omo funcionar´ a esta l´ amina en el caso de la radiaci´ on violeta ? λ = 400nm (no = 1,5667,ne = 1,55716). ´ SOLUCION a)Para la primera parte del problema se nos proporcionan los siguientes datos: λ Orden = (2m+1) 4 λ = 589,3nm no = 1,54467 ne = 1,55336 d = 1X 10−3 m Por lo tanto tenemos que: (2m + 1)λ = d ne 4 De lo anterior despejamos m, obteniendo que: ∆ϕ =
m =
| −n | o
4d ne no 2λ
| − | − 1 = 28,99 ≈ 29 2
b)En el caso de la radiaci´ on ultravioleta tenemos que: λ = 400nm no = 1,54467 ne = 1,55336 Con los datos anteriores calculamos la diferencia de fase, la cu´al es: ∆ϕ =
2π d ne λ
| − n | = 142,69 ≈ 142◦41 o
El a´ngulo m´ a s cercano a lo obtenido es el de 180◦ por lo que la lamina funciona como de media onda.
•4.− Una l´amina retardadora de calcita se coloca entre dos polarizadores lineales paralelos. Determine el espesor m´ınimo de la l´ amina y su orientaci´ on necesaria si no debe salir luz de longitud de onda λ=589.3nm del dispositivo, cuando sobre este incide un haz no polarizado. no=1.6584, ne=1.4864. Esquema del Problema
Arreglo del Sistema 2
´ SOLUCION Conocemos que: λ = 589,3nm no = 1,6584 ne = 1,4864 Para que la luz no salga del u´ltimo polarizador, tiene que incidir en este con su frente de onda perpendicular a su eje de transmisi´on. Para que esto ocurra el frente de la onda debe girar 90◦ , y para que esto ocurra la lamina retardadora deber´a funcionar como una lamina de media onda y su eje ´optico deber´ a estar a un a´ngulo de 45◦ . Entonces: ∆φ = π α = 45 Para calcular el grosor de la lamina se hace lo siguiente: 2π d ne λo
∆φ = d =
| −n | o
∆φλo (π)(589,3 nm) = 2π ne no 2π 1,6584 1,4864
| − |
|
d = 1,7µm
−
|
•5.− Los ´ındices de refracci´on para el eje r´apido y lento del cuarzo para la longitud de 546nm son respectivamente 1.5462 y 1.5553. a. ¿Cu´ al ser´ a la fracci´ on de la longitud de onda que el rayo extraordinario se atrasa con respecto al rayo ordinario, por cada longitud de onda que viaja dentro del cuarzo? b. ¿Cu´ al es el espesor de orden cero de una l´amina de un cuarto de onda? c. ¿Si una placa de cuarzo de orden m´ ultiple de 0.735nm de espesor funciona como una l´ amina de un cuarto de onda, cu´al es su orden? d. Dos placas de cuarzo est´an en contacto o´ptico de tal manera que ellas producen retardos opuestos. Haga un esquema de la orientaci´ o n del eje ´optico en cada una de las dos placas. ¿Cu´ al deber´a ser su diferencia de espesor, as´ı que de conjunto se comporten como una l´ amina de cuarto de onda de orden cero? a.La fracci´ on de longitud de onda de atraso se calcula de la siguiente manera ∆n = 1,5553
|
− 1,5462| = 0,0091
b.El espesor de la l´ amina estar´ıa dado por: d =
∆φλ0 (π/2)(546 nm) = = 15000 nm 2π ne no 2π 1,5462 1,5553
| − |
|
−
|
c.Sabemos que se debe cumplir que: (,735 mm 1,5462
|
− 1,5553|) = (4m + 1) 5464nm 3
Depejando el orden m, obtenemos que: m = 12 d.Sabemos que: ∆φ =
π 2
Entonces: π 2πd no = 2 λ
| −n |
d = 1,5
e
× 10−5m
•6.− Un haz de luz polarizada linealmente var´ıa a circularmente polarizada al atravesar una l´amina de cristal de espesor 0.003cm. Calcule la diferencia en los ´ındices de refracci´ on para los dos rayos en el cristal asumiendo que este sea el m´ınimo espesor, cuando este fen´ omeno de produce con radiaci´ on luminosa de 600nm. Describa el montaje mostrando el eje o´ptico del cristal y explique que ocurre. Esquema del Problema
Arreglo del Sistema ´ SOLUCION Sabemos que: d = ,003 cm λ0 = 600 nm Sabemos que la luz est´a cambiando de polarizaci´ on, pasando de una polarizaci´ on lineal a una circular. Para que esto pase, la lamina debe de funcionar como un retardador de un cuarto de onda para la longitud de onda dada. Entonces: π 2 Entonces la diferencia de los ´ındices de refracci´ on de la l´ amina estar´ a dada por: ∆φ =
|n − n | = (600 nm)(π/2)(1/2π(,003 cm)) = ,005 e
o
4
•7.− Una onda arm´onica plana incide normalmente sobre una de las caras de un prisma tal como ´ındica la figura. El prisma est´ a hecho de un medio anis´ otropo uni´ axico con el eje o´ptico perpendicular al plano de la figura. Calcular el ´ındice de refracci´ on n del medio que rodea el prisma para que la onda ordinaria experimente reflexi´on total en la cara AB mientras la extraordinaria no. Esquema del Problema
Arreglo del Sistema ´ SOLUCION De acuerdo a la figura, podemos observar que el angulo de incidencia es igual a 60 grados con respecto al eje optico, esto facilmente puede ser demostrado con geometr´ıa, las cuentas quedan as´: n1 sin(60) = n2 sin(90) n2 = n 1 sin(60) n2 = 1,4376 y usando el segundo incide de refracci´on: n2 = 1,2903
•8.− Suponga que un polarizador lineal gira a una velocidad angular ω entre dos polarizadores cruzados entre s´ı. Demuestre que la irradiancia luminosa emergente es igual a I (t) = 8 (1 − cos(4ωt) donde I 0 es la irradiancia emergente del primer polarizador. I 0
Esquema del Problema
Arreglo del Sistema 5
´ SOLUCION Debemos tomar en cuenta que I 1 = I 0 cos2 (θ) y debido a que el tercer polarizador es de 90 grados con respecto al primero y no se sabe el angulo del segundo, tenemos que: I 2 = I 0 cos2 (θ)cos2 ( π2 θ) lo cual es quivalente a I 2 = I 0 cos2 (θ)sin2 (θ). Si empleamos la identidad trigonometrica del angulo doble, podemos transformar la anterior ecuaci´ on y obtener:
−
I 2 = I 0
I 0 4
1 1 (1 + cos(2θ)) (1 2 2
− cos(2θ))
− − − − −
I 0 = 1 4 =
I 0 cos (2θ) = 4 2
1
1 2
cos(4θ) 2
I 0 (1 8 I 0 I 2 (ωt) = (1 8 I 2 (θ) =
1
=
1 (1 + cos(4θ)) 2
I 0 4
1 2
cos(4θ) 2
− cos(4θ)) − cos(4ωt))
•9.− Tenemos un sistema formado por dos polarizadores cruzados entre los cuales hemos co-
locado una l´ amina plana birrefringente con el eje o´ptico paralelo a sus caras y formando un ´angulo α con la direcci´on de transmisi´ on del primer polarizador. Consideremos el caso cuando sobre el sistema incide desde la izquierda dos ondas planas de longitudes de onda λ1 y λ2 . Incidencia nor- mal. ¿Qu´e valores tendr´ an α y el espesor de la l´ amina para que el sistema deje pasar u ´nicamente λ1 con transmisi´ on m´ axima, eliminando completamente el otro haz? Esquema del Problema
Arreglo del Problema ´ SOLUCION Si observamos que al dispositivo le inciden dos longitudes de onda normales al polarizador 1, observaremos que ambas pasar´an a trav´ ez del primer polarizador, la lamina tendr´ a que actuar como una placa de media onda para una lambda y como una placa de onda completa para otra lambda, de este modo, si la lamina fuese fijada a un angulo de 45 grados, una lambda saldr´ıa del dispositivo con maxima intensidad mientras que la otra lambda con un retraso de 6
onda completa ser´ıa absorbida por el ultimo polarizador. Con respecto al grosor de la placa, tendr´ıa que satisfacer la siguiente ecuacion: d =
λ0
|n − n | o
e
•10.− Un haz de luz est´a formado por una mezla de luz linealmente polarizada de irradiancia I p y luz no polarizada de irradiancia I np . Indique como puede obtenerse I p y I np a partir de la medici´ on de la irradiancia que atraviesa un polarizador que puede orientarse como convenga. Esquema del Problema Sabemos que la irradiancia m´ axima es: I max =
I np + I p 2
(Figura 1 - Planteamiento del problema) ´ SOLUCION 1. La diferencia de fase δφ del polarizador ser´ıa π2 entonces I p se cancela por estar perpendicular al eje o´ptico, se medir´ıa I min = I 2 y con esto ya polarizar I 2 . np
np
2. La diferencia de fase δφ del polarizador seria 0◦ , entonces se mide I max que es la suma de I 2 + I p . np
•11.− ¿A qu´e es igual el a´ngulo formado por los ejes de transmisi´on de un polarizador y
un analizador si la irradiancia de la luz natural despu´ es de pasar por el polarizador y el analizador se hace cuatro veces menor? Desprecie la absorci´on de la luz. Esquema del Problema
7
(Figura 2 - Planteamiento del problema) ´ SOLUCION El ejercicio nos dice que la irradiancia de la luz natural al pasar se hace cuatro veces menor, por lo que la radiancia al salir del analizador es: I =
I 0 2 cos θ 2
pero tomando en cuenta que al pasar se hace cuatro veces menor, entonces, la irradiancia es: I =
I 0 4
Igualando las dos expresiones, obtenemos: I =
I 0 I 0 = cos 2 θ 4 2
donde despejamos el a´ngulo θ, el cual queremos hallar, por lo tanto, obtenemos: θ = arc cos
1 2
Por lo que el a´ngulo formado por los ejes de transmisi´ on del polarizador y el analizador es: θ =
π = 45◦ 4
•12.− Un haz de luz no polarizado incide sobre un sistema de cuatro l´aminas polarizado-
ras que est´an alineadas de tal manera que la direcci´ on caracter´ıstica de cada una ha girado ◦ 30 con respecto a la anterior en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Qu´e fracci´ on de la luz incidente es transmitida por todo el sistema?. Esquema del Problema
(Figura 3 - Planteamiento del problema)
8
´ SOLUCION En este caso el ´angulo cr´ıtico es: θc = δφ = 30? Sabiendo que la luz transmitida por la cuarta l´ amina polarizadora es: I 0 =
I 0 6 I 0 cos θ = cos 6 (30) 2 2
donde la fracci´on transmitida de luz por todo el sistema es: 1 6 27 cos (30) = = 0,21 2 128
•13.− Pasa luz natural a trav´es de un polarizador y un analizador, colocados de tal forma
que el ´angulo entre sus ejes de transmisi´ on es α. El 8 % de la luz que incide sobre el polarizador y el analizador es absorbida o reflejada. Resulta que la irradiancia del rayo que sale del analizador es igual al 9 % de la irradiancia de la luz natural que incide sobre el polarizador. Halle el ´angulo α. ESQUEMA DEL PROBLEMA
Arreglo del Sistema Problema 13 ´ SOLUCION: Se supone que en primera instancia, la luz natural, la cual es aquella onda electromagn´etica que tiene vibrando a todos y a cada uno de sus componentes electricos y magn´eticos, en todos y cada uno de los posibles lugares en el espacio, incide por el primer polarizador, cabe recalcar, que cada componente de la luz natural se puede dividir en dos componentes (el paralelo al eje de transmisi´ on del polarizador y el perpendicular al mismo), entonces por acci´ on del Dicroismo propio del polarizador, solo pasar´ a a trav´ es del mismo la componente paralela al eje de transmisi´on, obteniendose de este modo que la luz se ha polarizado de manera plano paralela; al igual cabe recalcar que antes de pasar por el polarizador la irradiancia de la luz era de I 0 y como en promedio solo pasan a trav´ es del polarizador los componentes paralelos al mismo, entonces al pasar por el primer polarizador ocurre que la irradiancia disminuye a I 2 , ahora resulta que el analizador tiene un a´ngulo α con respecto al anterior polarizador, para lo cual, se aplica la Ley de Malus. Por efectos del problema, el 8 % de la irradiancia, ya se tomar´ a como si ya se fuese absorbido o perdido por reflexi´ on antes de que la luz incida ya sea al polarizador o al analizador, entonces tenemos: I 0 > Irradiancia antes de incidir en el primer polarizador 0
−−
9
0,92I 0 > Irradiancia al atravezar el primer polarizador 2 2 (0,92) I 0 cos2 (α) > Irradiancia que se obtiene al final del 2
−−
sistema Igualando la ultima irradiancia al 9 % de la luz natural que incide en el primer polarizador se obtiene:
−−
(0,92)2 I 0 2
cos2 (α) = 0,09I 0
− − > α = arc cos
2(0,09) = 62,35◦ 2 (0,92)
•14.− Una placa delgada de calcita est´a cortada con su eje o´ptico paralelo al plano de la
placa. ¿Cu´ al es el espesor m´ınimo que se requiere para producir una diferencia de camino de un cuarto de longitud de onda para el sodio 589nm? ¿Qu´ e color se transmitir´ a por una ◦ placa de zirconio, de espesor 0.0182mm, cuando se coloca en una orientaci´ on de 45 entre los polarizadores cruzados? Esquema
Arreglo del Sistema del Problema ´ SOLUCION: C´ omo el mismo problema te dice que se necesita que se comporte la placa de calcita como si fuera una l´amina de 14 de onda, se tiene entonces que para este tipo de laminas la diferencia de fase se comporta como π2 , al ser la placa de calcita, se supone que los indices de refracci?n ya son conocidos, al igual por ley general, se debe recordar que cuando un haz de luz incide sobre un material birrefrigente siempre debe estar como luz plano polarizada, por lo tanto para encontrar el espesor tenemos:
φ = 2πd|nλ − n | e
o
aplicando a´lgebra se obtiene: π
d =
φλ = ( 2 )(589nm) = 8,56x10−7m 2|n − n | 2|1,486 − 1,658| e
o
C´ omo la longitud de onda no cambia, se puede apreciar que la lamina de Zirconio transmitira un color verde
•15.− En realidad un polaroide no es un polarizador ideal, por tanto no toda la energ´ıa de las 10
vibraciones del campo el´ectrico paralelos a la direcci´ on de transmisi´ on se trasmiten. Tampoco las vibraciones perpendiculares a ´este son absorbidas totalmente. Partiendo de esta realidad asumamos que una fracci´ on de energ´ıa Γ es transmitida en el primer caso y una fracci´ o n Σ lo es en el segundo. a. Generalice la Ley de Malus calculando la irradiancia transmitida por un par de tales polarizadores con un ´angulo Θ entre sus direcciones de transmisi´ on. Suponga inicialmente que la luz incidente es no polarizada de irradiancia I 0 . Muestre que en caso ideal se obtiene la Ley de Malus. b. En el caso cuando Γ = 0,95 y Σ = 0,05 para un polaroide dado. Compare la irradiancia obtenida con respecto al polarizador ideal cuando la luz no polarizada pasa a trav´es del sistema analizador-polarizador que tiene a´ngulos de 0◦ , 30◦ , 60◦ y 90◦ , entre sus direcciones de transmis´ on. Esquema del Primer Inciso
Arreglo del Sistema ´ 1ER INCISO SOLUCION Toda la explicaci´ on proviene en que cada componente dela luz natural puede dividirse en dos componentes m´ as, el paralelo al eje de transmisi´ on y el perpendicular al mismo por lo tanto si asumimos que el primer eje de transmisi´on del 1er polarizador tiene un ´angulo de desfase entonces la generalizaci´ on de la Ley de Malus seri´a: I T = I 0 [Γ cos2 (θ) + Σ sin2 (θ)] -En el caso ideal entonces tendriamos que Σ = 0 y Γ = 1, por lo tanto la Ley de Malus quedari´a: I T = I 0 Γcos2 (θ)
Esquema del Segundo Inciso
Arreglo del Sistema 11
´ 2DO INCISO SOLUCION Para resolver este inciso, solo es aplicar la Ley de Malus por cada polarizador, teniendo en cuenta que el ´angulo a tomar siempre ser´ a de 30◦ por ser la diferencia de ´angulos entre un polarizador y el otro: Real
•
I T R = I 0 [(0,95) cos2 (30) + (0,05) sin2 (30)]3 = 0,3810I 0
•Ideal I 0 [cos6 (30)] = 0,2109I 0 2 Por lo tanto I T R > I T por el hecho de que no se toma en cuenta la perdida de irradiancia por la componente perpendicular al eje de transmisı’on. I T =
•16.− Una placa de media longitud de onda est´a colocada entre dos polarizadores cruzados de tal manera que el ´angulo entre la direcci´ on transmisi´ on y el eje r´apido es de θ ¿C´omo variar´ıa la irradiancia de la luz emergente como funci´on de θ ? Esquema del Problema
Arreglo del Sistema La luz natural atraviesa el primer polarizador (P1) y sale luz plano polarizada, la l´ amina de media onda gira el a´ngulo de propagaci´ o n de la onda en un orden de 2θ por lo tanto, al llegar al siguiente polarizador la irradiancia var´ıa respecto a la ley de Malus. I 0 cos2 (90 2θ) 2 I 0 I = sen2 (2θ) 2
I =
−
Tema: “Problemas de Reflexi´ on y Brewster”
•1.− El a´ngulo l´ımite de reflexi´on total de una sustancia determinada es 45◦ ¿Cu´al ser´a el a´ngulo de polarizaci´ on total para esta sustancia? Esquema del Problema
12
Arreglo del Sistema ´ SOLUCION Sabemos que: θR = 45◦
n1 = 1
Entonces tenemos: n1 sen θ1 = n2 sen θ2 n2 = n1
sen θ1 sen θ2
n2 = (1)
n2 =
tan θB =
n2 1
√ 2
sen(45) sen(90)
2
θB = tan−|
√ 2/2 1
θB = 35,26◦
•2.− Calcule entre que l´ımites est´an los a´ngulos de polarizaci´on total para la luz blanca incidente sobre el cuarzo fundido. Asuma los l´ımites de longitudes de onda para la luz visible entre los (400 − 700)nm y tome el ´ındice de refracci´ on n = 1,467, para la onda de 400nm y n = 1,454 para la de 700nm. ´ SOLUCION Para 400nm n2 tan θ = n1
−|
θ = tan
n2 n1
θ = tan
−|
θ = tan
−|
θ = 55,719◦
1,467 1
Para 700nm n2 tan θ = n1
−|
θ = tan
n2 n1
θ = 55,48◦ 55,48◦ < θB < 55,719◦ 13
1,454 1
•3.− Un rayo de luz pasa a trav´es de una sustancia l´ıquida que se encuentra dentro de un
recipiente cuyas paredes tienen un ´ındice de refracci´ on de n = 1,5, reflej´andose desde el fondo del mismo. El rayo reflejado est´a totalmente polarizado cuando el a´ngulo de incidencia es de 42◦ 32 . Halle el ´ındice de refracci´ on del l´ıquido. Halle el a´ngulo bajo el cual debe incidir el rayo de luz sobre el fondo del recipiente para que exista reflexi´on total interna en la interfase l´ıquido vidrio. Esquema del Problema
Arreglo del Sistema ´ SOLUCION Dentro del recipiente el haz de luz tiene un ´angulo de: θB = 42◦ 32 = 42,6166 Para obtener el ´ındice de refracci´ on del l´ıquido tenemos que: n tan θB = n Despejando de lo anterior obtenemos que: 2 1
n2 =
n1 = 1,6302 tan θB
Con lo anterior se obtiene el ´ındice de refracci´ on del liquido, para obtener el a´ngulo bajo el cu´al debe de incidir el rayo sobre el fondo para obtener reflexi´on total interna debemos de tener en cuenta que: nr = n2 ni = 1,5 ni sin 90◦ = n r sin θr Por lo tanto el ´angulo es: ni θr = arcsin = 66,94◦ nr
•6.− Sobre la cara lateral de un prisma de vidrio transparente de ´ındice de refracci´on n = 1,5 ,
para la longitud de onda del sodio, 589.4 nm, incide un haz de luz, bajo el a´ngulo de Brewster, cuyo vector campo el´ectrico descansa en el plano de incidencia. ¿Cu´ al debe ser el ´anngulo de refracci´ on A del prisma, para que la luz lo atraviese sin experimentar p´erdidas en la reflexi´ on? En el caso de que el mismo prisma fuese iluminado con luz de la linea roja del cadmio 652.3 nm o de la linea violeta de 404.7 nm del mercurio, ¿Qu´e suceder´ıa? Analice cada una de estas u ´ ltimas situaciones cualitativamente. ´ SOLUCION Sabemos que una luz con longitud de onda de 589.3 nm incide con el ´angulo de Brewster, y suponiendo que la luz viene del aire, entonces: tan(θB ) =
n2 1,5 = n1 1
θB = 56,30◦ 14
Al variar las longitud de onda del rayo incidente, los ´angulos de relfexi´ on y refracci´o n no se veran afectados pues estos no dependen de la longitud de onda.
•9.− ¿Cu´al es el ´ındice de refracci´on de un vidrio si al reflejarse en ´el la luz, cuando el a´ngulo de refracci´on es de 30◦ , el rayo reflejado resulta totalmente polarizado? Esquema del Problema
Arreglo del Sistema ´ SOLUCION Utilizando la Ley de Brewster, ya que cabe resaltar que el θi en este caso es igual ´angulo de Brewster (θB )por lo tanto por cuestiones de simetr´ıa: θτ = 90
−θ −−>θ r
r
= 90
−θ
τ
Por lo tanto la Ley de Snell queda: ni sin θi = n2 sin θr ni sin θi = n 2 sin(90
−θ ) τ
ni sin 60 = n2 cos(60)
tan θB =
n2 n1
Suponiendo que n 1 = 1: tan(60) = n2
− − > n2 =
15
√
3