OPTIMASI NUMERIK Mencar Mencarii Nilai Nilai Minimu Minimum m Fungsi Fungsi Satu Satu Variabe ariabell
Cara Mencari Nilai Minimum Fungsi Satu Variabel •
Uji turunan pertama dan kedua
•
Bracketing methods •
•
•
Golden Ratio Search Fibonacci Search
Derivative Methods •
•
Quadratic Approximation Cubic Approximation
Definisi 1 •
Fungsi dikatakan memiliki nilai minimum lokal di titik = jika ada interval yang berisi sehingga () ≤ () untuk semua ∈
•
Fungsi dikatakan memiliki nilai maksimum lokal di titik = jika ada interval yang berisi sehingga () ≥ () untuk semua ∈
Definisi 2 •
Misalkan () terdefinisi pada interval , maka berlaku: i.
Jika < dan ( ) < untuk semua , ∈ , maka disebut naik pada interval
ii.
Jika < dan ( ) > untuk semua , ∈ , maka disebut turun pada interval
Teorema 1 Misalkan () kontinu di interval = , dan terturunkan di interval (,) i.
Jika > 0 untuk setiap ∈ , maka () naik pada interval
ii.
Jika < 0 untuk setiap ∈ , maka () turun pada interval
Teorema 2 Misalkan () terdefinisi pada interval = [, ] dan mempunyai nilai ekstrim lokal di titik
∈ , . Jika () terturunkan di titik = , maka = 0
Teorema 3 (Uji Turunan Pertama) Misalkan () kontinu pada interval = [, ] dan terdefinisi untuk setiap
∈ , , kecuali mungkin di titik = i.
Jika < 0 pada (,) dan > 0 pada , maka adalah nilai minimum local
ii.
Jika > 0 pada (,) dan < 0 pada , maka adalah nilai maksimum lokal
Teorema 4 (Uji Turunan Kedua) Misalkan kontinu pada interval , . Misalkan juga ′ dan “ terdefinisi di interval (,). Jika ∈ , adalah titik kritis dimana
= 0 maka berlaku: i.
Jika "() > 0, maka merupakan titik minimum lokal dari
ii.
Jika "() < 0, maka merupakan titik maksimum lokal dari
Contoh: Gunakan uji turunan pertama untuk mencari nilai ekstrim fungsi
= + − + 1 dan gunakan uji turunan kedua untuk menentukan apakah nilai ekstrim tersebut merupakan nilai minimum atau maksimum lokal?
Jawab: = + − + 1 Syarat mencari titik ektrim (gunakan uji turunan pertama):
′ =0 3 + 2 − 1 = 0 3 − 1 + 1 = 0
= dan = −1 Menentukan ekstrim maksimum atau minimum (gunakan uji turunan kedua): Kasus 1 =
" = 6 + 2
+2 = 4 >0 = 0 dan " Karena Kasus 2 = −1
"
=6
> 0 maka
=
+
−
+ 1=
merupakan nilai ekstrim minimum lokal 7
" = 6 + 2 " −1 = 6 −1 + 2 = −4 < 0 Karena −1 = 0 dan " −1 < 0 maka −1 = −1 + −1 − −1 + 1 = 2 merupakan nilai ekstrim maksimum lokal
