I.3. Fonctions
convexes
Solution : 1◦ ) Soit A, B ∈
P n(R) et α ∈ [0, 1]. On a : ∀x ∈ Rn, (αA + (1 − α)B)x, x = αAx,x + (1 − α)Bx,x 0, ce qui implique αA + (1 − α)B ∈ P n (R). De même, il est immédiat de constater que αA ∈ P n (R) lorsque A ∈ P n (R) et α > 0. Donc P n (R) est bien un cône convexe de S n (R). Soit {Ak } une suite d’éléments de P n (R) convergeant vers A. Outre le fait – clair – que A ∈ S n (R), l’inégalité Ak x, x 0 pour tout x ∈ Rn, induit par passage à la limite sur k : Ax,x 0 pour tout x ∈ Rn. Par conséquent A ∈ P n (R). Et P n (R) est bien fermé dans S n (R). ◦ Soit A ∈ P n (R) et λn > 0 la plus petite valeur propre de A. Rappelons à cet égard l’inégalité suivante (que l’on reverra dans l’Exercice 3.4) : Ax,x λn x 2 pour tout x ∈ Rn. Soit à présent M ∈ S n(R). Puisque M :=
n
=
M, M
il suffit de prendre M
1/2
µ2i
(µ1 . . . µn , valeurs propres de M ),
i=1
λn pour
être sûr d’avoir
(A + M )x, x (λn + µn) x 2 0 pour tout x ∈ Rn, soit A + M ∈ P n (R). Donc A est bien à l’intérieur de P n (R). Réciproquement, soit A à l’intérieur de P n (R). Il existe alors ε > 0 assez petit tel que A − εI n ∈ P n (R). En conséquence, l’inégalité (A − εI n)x, x 0 pour tout x ∈ Rn induit
◦
Ax,x ε x 2
pour tout x ∈ Rn,
soit A ∈ P n (R). ◦ Le résultat de cette 1re question explique la notation P n (R) utilisée pour l’ensemble des matrices symétriques définies positives. La frontière de P n (R) est donc constituée des matrices semi-définies positives qui sont singulières ; parmi celles-là figurent les matrices de rang 1, c’est-à-dire du type xx avec x = 0. 2◦ ) Soit B ∈ S n (R) dans le cône polaire de P n (R). Puisque B, A 0 pour tout A ∈ P n (R), en particulier B, xx = Bx,x 0 pour tout x ∈ n R ; donc B est semi-définie négative. 21
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OPTIMISATION ET ANALYSE ANAL YSE CONVEXE
Exercices et problèmes corrigés, avec rappels de cours
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty Collection dirigée par Daniel Guin
17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France
Illustration de couverture : un corps conve convexe xe d’épaisseur presque constante constante et son ombre om bre ; reproduit avec avec la graci gracieuse euse permiss p ermission ion de Christo Christoff Weber (univ (université ersité de Zurich).
Imprimé en France
ISBN : 978-2-7598-0373-6
Tous dro droits its de tra traduc ductio tion, n, d’a d’adap dapta tatio tion n et de rep reprodu roducti ction on par tou touss proc procédé édéss rés réserv ervés és pour tou touss pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefa con trefaçon. çon. Seule Seuless son sontt auto autorisées risées,, d’une part, les reprod reproductio uctions ns strict strictemen ementt réserv réservées ées à l’usag l’usagee priv privéé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le car caract actère ère scie scient ntifiq ifique ue ou d’in d’infor format mation ion de l’œu l’œuvre vre dan danss laq laquel uelle le elle elless son sontt inc incorpo orporée réess (a (art. rt. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
c 2009, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A
TABLE DES MATIÈRES
Introduction
v
Abréviations et notations I
II
Révisi Révi sion on de ba base sess : cal calcu cull diffé différe ren nti tiel el,, alg algèb èbre re li liné néai aire re et bilinéaire
1
I.1 I.2 I.3
1 2 3 41
Condit Cond itio ions ns de min inim imal alit itéé du pr prem emie ierr or ordr dree . . . . . . . . . . . 41 Cond Co ndit itio ions ns de min inim imaali lité té du se seco cond nd or ordr dree . . . . . . . . . . . . 42
Minimisa Mini misation tion ave avec c contrai contraint ntes. es. Conditi Conditions ons de minim minimalit alité é
III.1 III.2 III.3 III.4 IV
Algèbre linéaire et bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Minimi Min imisat sation ion sans sans con contr train ainte tes. s. Condi Conditi tions ons de mini minima malit lité é
II.1 II.2 III
ix
Condit Cond itio ions ns de min inim imal alit itéé du pr prem emie ierr or ordr dree Cône Cô ne ta tang ngen ent, t, cô cône ne no norm rmal al à un en ense sem mbl blee . Prise en compte de la convexité . . . . . . Cond Co ndit itio ions ns de min inim imaali lité té du se seco cond nd or ordr dree .
. . . .
Mini-maximisa Mini-max imisation tion.. Dual Dualisat isation ion de probl problème èmess de minimisation convexe
IV.1 IV.2 IV.3
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
63
. . . .
. . . .
. . . .
63 65 66 66 127
Poin ointsts-sell selles es (ou (ou cols cols)) ; probl problème èmess de min mini-m i-maxi aximis misati ation on . . . . 127 Pointss-se sellles de lagra ranngiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1288 Prem Pr emie iers rs pa pass da dans ns la th théo éori riee de de la du dual alit itéé . . . . . . . . . . . . 12 1299
Optimisation et analyse convexe
V
Polyèdr Poly èdres es conv convexe exess fermé fermés. s. Opti Optimis misat ation ion à donnée donnéess affines affines (Programmation linéaire)
V.1 V.2 V.3
VI
165
Polyèdres convexes fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 165 Optimi Opt imisat sation ion à don donnée néess affine affiness (Pr (Progr ogramm ammati ation on liné linéair aire) e) . . . 168 V.2.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 V.2.2 Ré Résu sult ltat atss fo fond ndam amen enta taux ux d’ d’ex exis iste tenc ncee . . . . . . . . . . 170 170 La du dual alit itéé en pr proogr gram amm mati tioon li liné néai aire re . . . . . . . . . . . . . . 171 171 V.3.1 For orm mul ulat atio ions ns de pr prob oblè lème mess du duau auxx . . . . . . . . . . . . 17 1711 V.3.2 Relati Relations ons entre entre les valeurs valeurs optimales optimales et les solutions solutions de programmes linéaires en dualité . . . . . . . . . . . 172 V.3.3 Carac Caractérisat térisation ion simultané simultanéee des solutions solutions du problème problème primal et du problème dual . . . . . . . . . . . . . . . 173
Ensemble Ensem bless et foncti fonctions ons conv convex exes. es. Projectio Projection n sur un con conv vexe fermé 217
VI.1
VI.2 VI.3
Ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1.1 Ens Ensem emble bless conv convexe exess associé associéss à un con conve vexe xe donné donné VI.1.2 En Enve velop loppe pe conv convexe exe,, env envelo eloppe ppe conv convexe exe ferm fermée ée . . VI.1.3 Hy Hyper perpl plan an d’ d’ap appu pui, i, fo fonc ncti tion on d’ d’ap appu puii . . . . . . . VI.1.4 Thé Théorè orèmes mes de sépa séparat ration ion par un hyperp hyperplan lan affin affinee Pro rojjection sur un convexe fermé . . . . . . . . . . . . . . Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
VII Initiatio Initiation n au calcul sous-différe sous-différent ntiel iel et de transformées transformées de Legendre-Fenchel
VII.1 La tr tran ansf sfor orma mati tion on de Le Lege gend ndre re-F -Fen encche hell . . . . VII.1.1 Dé Définitions . . . . . . . . . . . . . . . VII.1.2 Que Quelq lque uess pro propr prié iété téss et et règ règle less de de cal calcu cull VII.2 Le souss-ddifférentiel d’une fonction . . . . . . . VII.2.1 Dé Définitions . . . . . . . . . . . . . . . VII.2.2 Que Quelq lque uess pro propr prié iété téss et et règ règle less de de cal calcu cull VII.3 La co connvex exifi ifica cati tioon d’u d’une ne fo fonc ncti tion on . . . . . . . .
iv
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
22117 217 218 2199 21 219 220 220 220 22 271
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
271 271 27 2722 27 273 273 273 27 2744 27 2755 27
Sources
323
Références générales
325
Notice historique
327
Index
331
