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Contabilidad
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PAJ05
1. Se dispone de de una tela metálica metálica de 100 metros metros de longitud para
vallar una región como la de la figura. ¿Cuáles son los valores de x e y que hacen que el área encerrada sea máxima? (2,5 puntos) Solución:
Se trata de un problema de optimización. Objetivo: que el área de la figura sea máxima. La figura está formada por un triángulo equilátero de lado x y por un rectángulo r ectángulo de lados x e y. x·
Área del triángulo: AT =
3 2 2
x
3 4
x
2
. Véase la figura. fi gura. 2
3 x La altura del triángulo es: h x x 2 2 2
Área del rectángulo: A R = = xy Área total:
3 4
x 2 xy
Condición: perímetro de la figura = 100 m
100 = 3x + 2y
3
50 x 2
Sustituyendo en la expresión anterior, se tiene: ( x)
3 4
x 2 50 x
3 2
x2
Esta función alcanza el máximo en las soluciones de A´(x) = 0 que hacen negativa a A´´(x). ´( x)
Como ´´( x)
3 6 2 3 6
El valor de y será:
2
x 50 0
100 6 3
100(6 3) 33
0 , para ese valor hallado se tendrá el máximo buscado.
