Optique Geo

Année Universitaire 2012/2013

Optique Dr Hin Hindd Me Mest stou ouri ri ENSA de Safi

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ENSA de Safi

H. Mestouri

1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière re

L’optique décrit l’étude des phénomènes lumineux. L’optique géométrique s’intéresse aux propriétés propaga gation tion de la lumière. de propa

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière re Historique de l’optique

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière re

L’optique décrit l’étude des phénomènes lumineux. L’optique géométrique s’intéresse aux propriétés propaga gation tion de la lumière. de propa

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière re Historique de l’optique

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière re La lumière lumière,, qu’est ce ce que c’est ? Elle Elle es estt cara caracctéri térisé séee par par la dua dualité lité onde onde/ /corpuscule corpuscule.. C’est une ond ondee éle électr ctrom oma agné gnétiq tique ue mise en évidence par less expé le expérie rienc nces es de diff diffra ract ctio ion. n. Elle présente aussi une na natu turre co corp rpus uscu cula lair iree mise en évidence par les expériences sur l’effet photoélectrique et les photons (prix Nobel de physique Einstein). Elle transporte rte une énergi énergiee quan quanti tifi fiab able le ( photons photons).

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière re Aspect ondulatoire : La lumière peut être M et représentée par une fonction d’onde en un point M et à t de la forme: l’instant t d 

t

s = s0 cos  2π 

−

x 



T est la période de l’onde et

λ

sa longueur d’onde.

T est une caractéristique intrinsèque de l’onde λ 6

dépend du milieu dans lequel l’onde se propage

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière re Caractéristiques des ondes périodiques : La période temporelle et la longueur d’onde sont reliées :

λn avec avec ω

=

2π f

=

=

v

2π

n

T

ou encore

v

n

=

λ n f

, ou ω est la pulsat pulsation ion en rad.s rad.s -1, est la fréq fréque uenc ncee en Hz ou s -1 , f est T la période en s,

et v n est la vitesse de propagation propagatio n de l'onde dans le milieu d'indice n.

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière re Fréquence ν (ou f ) = 1/T (Hertz, Hz), élér érit ité) é) en m. m.s s-1 v ou c (c c (cél Vit ites esse se de pr prop opag agat atio ion n v ou

Longue Lon gueur ur d'o d'onde nde λ = v T en m.

v = c = 3.108 m / s

Dans le vide, la vitesse est : ,

où n est n est l'indice de réfraction du milieu (remarque : n ≥1)

λ = v T = c

T n

=

λ 0 n

où λ0 est la longueur d'onde dans le vide

Indices de quelques milieux :

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière re Dispersion et absorption Dans un milieu matériel, l'indice n dépend n dépend de la longueur d'onde

Relation de Cauchy

n = A +

B 2

A et B sont des constantes

λ

Ceci explique les phénomènes de dispersion de la lumière parr un pr sme pa sme spec spec rosc roscop opes es ou pa parr un une e go gou u e ea eau u arc arc en ciel). Lorsqu'une onde lumineuse se propage dans un milieu matériel, son intensité décroît souvent très rapidement (sauf dans le cas de milieux transparents). C'est le phénomène d'absorption 9

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière re La lumière « visible » correspond à des ondes électromagnétiques dont la longueur d’onde est comprise entre 400 nm et 780 nm.

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Figure: Spectre des ondes électromagnétiques

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Visible → 400 nm à 700 nm 

Violet

: 400 à 450 nm



Bleu :

450 à 520 nm



Vert :

520 à 560 nm :

11



Orange

: 600 à 625 nm



Rouge

: 625 à 700 nm

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1 – Généralités sur la lumière Les sources de lumière: Naturelles: 

Le Soleil: l’ozone absorbe le rayonnement UV (<300nm). La vapeur d’eau dans l’atmosphère absorbe une partie du rayonnement IR. Une partie importante de la lumière est diffusée par les molécules d’air d’où la couleur bleu du ciel dans la journée et jaune et rouge le matin et le soir. Puissance : 1kW/m² 12

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1 – Généralités sur la lumière Artificielles:  Les sources incandescentes: principe du rayonnement du

corps noir. L’élévation de température de certains corps génèrent de la lumière. Les lampes à filaments (filament de tungstène dans un gaz rare (ampoule standard) ou un gaz de la famille des halo ènes les halo ènes . 

Les tubes à décharges: gaz sous pression subissant une décharge (les néons) 

Les Lasers ( light amplification by stimulated emission of radiation) : excitation cohérente d’un milieu (gaz, solide, liquide) H. Mestouri

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1 – Généralités sur la lumière Excepté les lasers, toutes ces sources sont polychromatiques. Les lasers sont monochromatiques. On appelle lumière monochromatique une lumière n’ayant qu’une seule couleur c’est-à-dire composée ’ ’ . Une lumière polychromatique est la somme d’onde de différentes longueur d’onde. La lumière blanche est une lumière polychromatique contenant toutes les longueurs d’onde du visible. 14

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2 – Notions de base de l’optique géométrique

Principes de l’optique géométrique Définitions: Un milieu est dit homogène si il a la même composition en tous ses points. Un milieu est dit isotrope si ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions. Principe : Dans un milieu homogène et isotrope la lumière se propage en ligne droite.

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2 – Notions de base de l’optique géométrique Principes de l’optique géométrique 





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Principe. 1. (Propagation rectiligne de la lumière) Dans un milieu homogène, transparent et isotrope, les rayons lumineux sont des lignes droites. Principe. 2. (Retour inverse de la lumière) La trajectoire suivie par la lumière ne dépend pas du sens de parcours Principe. 3. (Indépendance des rayons lumineux) Les rayons lumineux issus d’une même source ou de sources distinctes se propagent indépendamment les uns des autres (pas d’interaction entre eux). ENSA de Safi

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2 – Notions de base de l’optique géométrique Validité de l’optique géométrique L'optique géométrique est une théorie qui n'est valable qu'en première approximation lorsque les dimensions des systèmes optiques sont grandes par rapport à la longueur d'onde des rayonnements considérés . Dans le visible λ ≈ 0,5 µm << . Les phénomènes de réflexion, réfraction et dispersion entrent dans le cadre de cette théorie et pourront être décrits à l'aide de paramètres géométriques. A la surface de séparation de deux milieux, les rayons lumineux obéissent aux lois de Snell-Descartes. 17

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Vocabulaire et définition La trajectoire de la lumière constitue un rayon lumineux. Un ensemble peu étendu de rayon constitue un pinceau lumineux. lumineux. (NB: cas réel, pas de rayon isolé)

Faisceau divergent 18

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Faisceau convergent

Faisceau parallèle H. Mestouri


Vocabulaire et définitions Miroir Dioptre

: surface totalement réfléchissante. : surface séparant deux milieux d’indice différents

Rayons incident - réfléchi et réfracté (voir figure) orma e au m ro r ou au optre :

Plan d’incidence Point d’incidence Angle d’incidence Angle de réflexion Angle de réfraction 19

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: plan formé par l’incident et la normale au dioptre : point de contact entre l’incident et le dioptre : angle entre la normale et le rayon incident. : angle entre la normale et le rayon réfléchi. : angle entre la normale et le rayon réfracté H. Mestouri

2 – Notions de base de l’optique géométrique Chemin optique

 

Un rayon lumineux parcoure le segment AB d’un milieu homogène et isotrope d’indice n. On note AB la distance entre A et B. On appelle chemin optique entre A et B la quantité : L AB =(AB)= n.AB Vide : n=1, L AB = AB Milieux non homogène : chemin optique élémentaire, dL = n(M )dAB Principe de FERMAT : Le chemin optique est le chemin dont le temps de parcours est le plus court.

Principe de retour inverse de la lumière : Lorsque l'on inverse le sens de propagation de la lumière, un rayon lumineux suit le même chemin. 20

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Réflexion Brusque changement de direction de la lumière au niveau du dioptre sans le traverser.

Loi de la réflexion i = i’

Normale

i

21

i’

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Réfraction : Brusque changement de direction d’un rayon lumineux lorsqu’il traverse un dioptre. Normale

i

i’ 22

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2 – Notions de base de l’optique géométrique i1

i’1

n1 n1

n2 n2

i2

Lorsqu’un faisceau incident atteint le dioptre au point d’incidence, il peut apparaître un faisceau réfléchi et un faisceau réfracté. Le plan contenant le faisceau incident , le faisceau réfléchi et le faisceau réfracté est appelé plan d’incidence. Il contient la normale au dioptre au point d’incidence. 23

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Loi de SNELL-DESCARTES

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Réfraction limite er

1 cas : n1 < n2 le rayon réfracté existe toujours et son angle maximum est: i2m ax

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 n1    n2 

= arcsin 

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Réflexion totale : 2eme cas : n1

>

n2 (le milieu 2 est dit moins réfringent que le milieu 1)

i1L l'angle i2 n'existe que lorsque sin ( i2 ) < 1 donc pour i i< imax 1
 n2  , n  1

= arcsin 

lorsque ii1>
26

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Condition d’existence du rayon réfracté

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Milieux d’indice variable Exemple d’un milieu stratifié :

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29

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’ PAR UN SYSTEME OPTIQUE

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3 – FORMATION D’UNE IMAGE PAR UN SYSTEME OPTIQUE

Définitions: Système optique (S.O.): ensemble d’un certain nombre de milieux séparés par des dioptres (surfaces réfractantes) et des miroirs. C’est un dispositif assurant une correspondance entre un objet et son . Axe optique : axe de symétrie d’un système optique. S.O. Axe optique Objet 31

image

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Définitions: A’ est appelé image de l’objet A si toute la lumière issue de ou passant par A converge en A’. Caractère réel et virtuel: Objet réel

Objet virtuel S.O.

Image virtuelle

Image réelle

Une image réelle peut être vue sur un écran 32

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3 – FORMATION D’UNE IMAGE PAR UN SYSTEME OPTIQUE Objets et images

 Un point Objet est le lieu de rencontre des rayons qui pénètrent dans le système optique  Un point Image est le lieu de rencontre des rayons lumineux qui émergent du système

optique 33

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3 – FORMATION D’UNE IMAGE PAR UN SYSTEME OPTIQUE Objets et images

 Le point Objet est encore le lieu de rencontre des rayons lumineux qui pénètrent

dans le système optique  Le point Image est encore le lieu de rencontre des rayons lumineux qui émergent

du système optique 34

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Point objet et point image à l’infini On sait qu'une étoile peut être considérée comme un objet ponctuel à l'infini. Le système optique recevra dans ce cas un faisceau de lumière parallèle. Lorsque l'image se forme à l'infini, les rayons lumineux sont parallèles à la sortie du système optique.

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Foyers principaux objet – Plan focal objet On appelle foyer principal objet le point F de l’axe optique dont l’image est à l’infini sur l’axe. On appelle plan focal objet le plan perpendiculaire à l’axe en F.

.O

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Foyer principal image – Plan focal image On appelle foyer principal image le point F’ de l’axe optique ou se forme l’image d’un point objet à l’infini. On appelle plan focal image le plan perpendiculaire à l’axe en F’.

.O

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Limite de l’optique géométrique :

Stigmatisme: Un système est dit rigoureusement stigmatique si l’image d’un point A est un point A’; S.O. A

A’

approximativement stigmatique si l’image d’un point A est une petite tache centrée sur A’. Condition: rayons paraxiaux formant un angle faible avec l’axe optique S.O. 38

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A

A’

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Limite de l’optique géométrique:

Aplanétisme : Pour tout objet AB plan perpendiculaire à l’axe optique, son image A’B’ est plane et perpendiculaire à l’axe optique: A’ est l’image de A et B’ est l’image de B B

B’

S.O.

A

Grandissement :

A’

On définit le grandissement du système γ :

39

γ =

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Taille de l ' image Taille de l ' objet

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Convention d’algébrisation: +

+

Sens positif de propagation de la lumière

+

B A1

S.O.

A B1

AB > 0 ; A1B1 40

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<0

; AA1

>0

; A1 A < 0 H. Mestouri


Approximation de GAUSS : un système centré est utilisé dans l'approximation de Gauss lorsque les rayons qui le traversent forment un angle faible avec l'axe optique du système (rayons paraxiaux) et lorsque ceux-ci sont peu éloignés de l’axe optique (aplanétisme plus .

Relation de conjugaison : lie la position de l’image à la position de l’objet pour des systèmes optiques centrés dans l’approximation de Gauss.

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LES MIROIRS

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4 – LES MIROIRS Les miroirs sphériques : sont constitués d’une surface sphérique sur laquelle un dépôt métallique a été appliqué de manière à réfléchir totalement la lumière. Deux types de miroirs sphériques : miroir concave et convexe, C et S désignent respectivement le centre et le sommet des miroirs. SC<0 pour le miroir concave et SC>0 pour le miroir convexe, avec CS le rayon du miroir. concave convexe SC

<

c

43

SC

0 s

s

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>

0

c

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4 – LES MIROIRS

c

s

Remarque :  Un rayon passant par le centre C n’est pas dévié  Les points S et C constituent des points où le

stigmatisme est exact (ou rigoureux), on les appelle points de Weierstrass. 44

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4 – LES MIROIRS

Image d’un objet ponctuel : 

45

Soit un point A sur l’axe optique d’un miroir et A’ son image à travers celui-ci :

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4 – LES MIROIRS

Image d’un objet ponctuel : 



46

On montre que deux points conjugués (A,A’) situés sur l’axe optique vérifient - dans l’approximation de Gauss - la relation de conjugaison dite formule de

Origine au centre :

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4 – LES MIROIRS

Foyer principal du miroir sphérique : �� ∞ �

�� ≅ ��

�� ≅ �

�� ∞ � ∞

∞

�

� �

47

��

�

�

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4 – LES MIROIRS Plan focal : 



Le plan focal objet c’est un plan perpendiculaire à l’axe principal on F. Le plan focal image c’est un plan perpendiculaire à l’axe principal on F’. ’

�

Foyer secondaire : Tout les points du plan focal sauf F.

�

�

��



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4 – LES MIROIRS Image d’un objet et grandissement : 

49

Soit B un point objet situé sur le plan perpendiculaire à l’axe optique et passant par A et soit B’ son image :

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4 – LES MIROIRS Grandissement linéaire (transversal) : Le grandissement linéaire est défini par : 

En utilisant les triangles ABC et A’B’C on établit la relation :



Montrer que :

Remarque : 



50

On dit que l’image est droite ssi γ > 0 On dit que l’image est renversée ssi γ < 0 ENSA de Safi

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4 – LES MIROIRS Grandissement linéaire (transversal) :

Relation de Newton : 

En utilisant les triangles ABF et SJF on établit la relation :



De même à partir des triangles A’B’F et SIF on établit la relation :



Par ailleurs

51

et

.

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4 – LES MIROIRS Grandissement linéaire (transversal) : Relation de Newton : En multipliant membre à membre Eq.(1) et Eq. (2), on dérive la relation de conjugaison dite formule de Newton : 



52

On dérive immédiatement des Eq. (1) et Eq. (2) la relation pour le grandissement vertical :

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4 – LES MIROIRS Relation de Lagrange – Helmholtz : 

Soit les trajets optiques de la Figure ci-dessous. Soit α l’angle entre le rayon incident et l’axe optique et α ’ entre le rayon émergent et l’axe optique.



On a dans l’approximation de Gauss :



Par ailleurs le grandissement vertical avec origine au sommet s’écrit :



On en déduit alors aisément l’invariant de Lagrange – Helmholtz ENSA de Safi

53

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4 – LES MIROIRS Les miroirs plans

: sont des surfaces planes réfléchissantes. Pour obtenir un miroir plan à partir d’un miroir sphérique, il faut tendre son rayon vers l’infini. Relation de conjugaison : . 

54

Pour un M.P on a �� ∞ �

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4 – LES MIROIRS Exemple d’un miroir plan : Soit A un objet réel ponctuel : 



55

Les rayons incidents provenant de A sont réfléchis au niveau du miroir en suivant la loi de la réflexion de Descartes. Quel que soit le rayon incident issu de A, le rayon réfléchi semble ’, ’ ’ intersection du prolongement des rayons réfléchis). Le miroir plan est donc rigoureusement stigmatique.

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LES DIOPTRES

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5 – LES DIOPTRES Les dioptres plans Un dioptre plan est constitué de deux milieux transparents, homogènes, d’indices différents, séparés par une surface plane.

n1

Image d'un objet ponctuel :

>

n2

HI = HA' ⋅ tg (i2 )

HI = HA⋅ tg (i1 )

HA ⋅ tg (i1 ) = HA' ⋅ tg (i2 )

⇒ HA' = HA ⋅

tg (i1 ) tg (i2 )

cos(i1 )

=

⋅

sin(i2 ) cos(i1 )

1− (

2

1 − sin (i2 ) 1 − sin 2 (i1 )

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sin(i1 ) cos(i2 )

n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 )

Utilisons :

cos(i2 )

= HA ⋅

=

HA' = HA

n1 n2

) 2 sin 2 (i1 )

1 − sin 2 (i1 ) n2 n1

1− (

n1 n2

) 2 sin 2 (i1 ) H. Mestouri 2

1 − sin (i1 )

5 – LES DIOPTRES HA' = HA

n2 n1

1− (

n1 n2

) 2 sin 2 (i1 )

1 − sin 2 (i1 )

HA’ dépend de l’angle d’incidence i1. L’image d’un point n’est pas unique. le dioptre plan n’est pas un système optique stigmatique

Si

i1

≈

0

c’est-à -dire pour des observateurs ne recevant que des rayons voisins de la normale au plan du dioptre : incidence faible (rayons paraxiaux). Ces conditions constituent un des termes de l’approximation de Gauss. En conclusion, le dioptre plan est approximativement stigmatique, seulement dans des conditions particulières.

Formules du dioptre plan dans l’approximation stigmatique 58

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n1 HA

=

n2 HA' H. Mestouri

5 – LES DIOPTRES Les dioptres sphériques : 





Un dioptre sphérique est constitué par deux milieux transparents homogènes et isotropes d’indices n1 et n2 différents, séparés par une surface sphérique de rayon de courbure R. Centre C ; sommet S, l’axe principal du dioptre passant par les points C et S. Il y a quatre cas de figure possibles selon l’orientation de l’axe principal et les valeurs respectives des indices n1 et n2 SC

<

0

SC

CONCAVE

0

n1 > n2 ou n1 < n2

n1 > n2 ou n1 < n2 59

>

Si n1 > n2 : le dioptre est Convergent Si n1
CONVEXE H. Mestouri

5 – LES DIOPTRES Image d'un point ponctuel 

60

Soit un point A de l'axe principal. Pour construire l'image A' de A, prenons un rayon issu de A, frappant le dioptre en I. Dans l'exemple donné, n1 < n2 : un dioptre divergent.

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5 – LES DIOPTRES 

61

Dans le cas présenté ci-dessus, n1 > n2 : un dioptre convergent. L'image A' de A, toujours virtuelle, est repoussée vers l'avant.

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5 – LES DIOPTRES Calcul de la position de l’image :

Dans un tringle quelconque on a la relation des sinus suivante :

62

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5 – LES DIOPTRES Calcul de la position de l’image : 

63

Soit un dioptre sphérique de centre C, de rayon de courbure R, de sommet S et séparant un milieu d’indice n 1 d’un milieu d’indice n2 ou n1> n2 :

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5 – LES DIOPTRES Calcul de la position de l’image : Dans le triangle (CIA1) :

Dans le triangle (CIA2) :



de plus n1sin i1 = n2sin i2 d'où : (1) 64

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5 – LES DIOPTRES Calcul de la position de l’image : 

Dans les conditions de Gauss, c'est à dire pour des angles incidents très faible, I est proche de S, on peut écrire : et



D’après l’ Eq. (1) on obtient, la relation d’invariance pour un dioptre sphérique :

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65

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5 – LES DIOPTRES Calcul de la position de l’image : Relation de conjugaison Avec origine au sommet : 



66

Avec origine au centre :

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5 – LES DIOPTRES Foyer principal – Plan focal d’un dioptre sphérique : Foyer image : A1 (∞ )

A2 ≅ F’ :

Foyer objet : A1 ≅ F

A2( ∞ ) : ∞

∞

�

�

��

�

Plan focal image

�

�

Plan focal objet

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67

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5 – LES DIOPTRES Foyer principal – Plan focal d’un dioptre sphérique :

Relation de conjugaison Avec origine au foyers : 

(Relation de Newton)

et

,

avec f et f’ respectivement les distance focal objet et image du dioptre sphérique

68

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5 – LES DIOPTRES Construction de l'image d'un objet : Soit AB un objet perpendiculaire à l’axe principal du dioptre sphérique :

69

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5 – LES DIOPTRES Grandissement linéaire (transversal) : Le grandissement linéaire est défini par : 

Avec origine au centre :

Considérons les triangles CAB et CA’B’ qui sont semblables :



70

Avec origine au sommet :

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5 – LES DIOPTRES Grandissement linéaire (transversal) : 

Avec origine au foyers : (1) et

(2)

On a (1)=(2)  (Relation de Newton)

71

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5 – LES DIOPTRES Vergence : La vergence est défini par le rapport suivant :

L’unité associée à la vergence est appelée dioptrie (δ) et correspond à des m-1. Remarque : Un dioptre sphérique est dit convergent si Φ >0. Un dioptre sphérique est dit divergent si Φ <0.  

72

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LES SYSTEMES CENTRES

73

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés 







74

Un système centré est une succession de dioptres ou de miroirs plans ou sphériques ayant même axe optique. Nous supposerons qu’ils sont utilisés dans les conditions de ’ . , chacun des composants est stigmatique et aplanétique. Si le système ne contient que des dioptres il sera dit dioptrique. S'il contient un ou plusieurs miroirs le système centré sera dit catadioptrique. ENSA de Safi

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Relation de Lagrange – Helmholtz : 

Soit les trajets optiques de la Figure ci-dessous. Soit α l’angle entre le rayon incident et l’axe optique et α ’ entre le rayon émergent et l’axe optique.



On a dans l’approximation de Gauss :



Par ailleurs le grandissement vertical avec origine au sommet s’écrit :



75

On en déduit alors aisément l’invariant de Lagrange – Helmholtz ENSA de Safi

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Relation de Lagrange – Helmholtz : 

76

Au niveau de chaque composant (S1, S2 S3) la relation de Lagrange Helmholtz est vérifiée, d’où :

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Relation de Lagrange – Helmholtz :

La relation de Lagrange Helmholtz pour le système centré s’écrit donc :

A’B’ étant l’image finale donnée par la succession de composants. Cette relation est le point de départ des démonstrations à venir.

77

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Foyers et plans focaux du système centré : 

78

Les foyers peuvent être réels ou virtuels selon leurs positions par rapport au système centré.

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Foyers et plans focaux du système centré :

79

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Points principaux, plans principaux :

80

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Points principaux, plans principaux : 





81

Plan principal objet (PPO) : Lieu géométrique des points d’intersection des rayons incidents passant par F avec les rayons émergents correspondants parallèles à l’axe. Le point d’intersection du PPO avec l’axe est le point rinci al ob et H. Plan principal image (PPI) : Lieu géométrique des points d’intersection des rayons incidents parallèles à l’axe avec les rayons émergents correspondants (passant par F’). Le point d’intersection du PPI avec l’axe est le point principal image H’. Propriétés des plans principaux : Les plans principaux sont conjugués l’un de l’autre et le grandissement entre ces 2 plans est égal à 1. ENSA de Safi

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Conséquence sur la construction géométrique d’un rayon lumineux : 

82

On cherche la direction du rayon lumineux émergent I’R correspondant à un rayon incident quelconque SI.

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Conséquence sur la construction géométrique d’un rayon lumineux : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 83

On trace un rayon incident FJ parallèle à SI. On prolonge FJ jusqu’au PPO. Le rayon émergent correspondant CC’J’ est parallèle à l’axe. On rolon e SI us u’au PPO oint B . Entre le PPO et le PPI, dans le sens PPO vers PPI, on trace un rayon BB’ parallèle à l’axe (grandissement unité). Le rayon émergent B’I’ coupe le rayon C’J’ en R dans le PFI du système centré. On peut aussi considérer le rayon SK parallèle à l’axe et coupant le rayon SI dans le PFO Les rayons émergents K’F’ et I’R sont parallèles. ENSA de Safi

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Conséquence sur la construction géométrique d’un rayon lumineux : Remarques importantes : 



84

Les rayons SI, FJ, I’R, J’R sont des rayons réels qui existent . ’’ ’’ rayons de construction qui n’ont aucune existence physique. Les rayons physiques JJ’ et II’ ne sont pas connus par cette construction. Les foyers F et F’ peuvent être réels ou virtuels, les plans principaux peuvent être placés dans un ordre quelconque. ENSA de Safi

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Distances focales, convergence : 

Distance focale objet :



Vergence :  

85

( en m-1 ou dioptries).

Si Φ >0 système convergent. Si Φ <0 système divergent ENSA de Safi

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Distances focales, convergence : Relation entre f, f ’, n, n’ : 



86

Soient M un point du plan focal objet, MH et FQ deux rayons incidents parallèles. Ils émergent du système en se croisant en un point K du plan focal ima e. Soit u (resp. u’) l’angle entre l’axe optique et le rayon MH (resp. H’K).

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Propriétés générales des systèmes centrés Distances focales, convergence :

Appliquons la relation de Lagrange Helmholtz en considérant l’objet HQ et H’Q’ son image. 



Le relation entre f, f’, n, n’ est : f' f



87

=-

n' n

Cas particulier : si les milieux extrêmes sont identiques, f’ = -f et le rayon HM est parallèle au rayon H’K. ENSA de Safi

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Image d’un objet plan perpendiculaire à l’axe On suppose que les positions de H, H’, F, F’ sont connues.

88

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Image d’un objet plan perpendiculaire à l’axe 

Formules du grandissement :



Formules de conjugaison avec origines au foyers F et F’ : L’égalité des relations (a) et (b)donne la relation de Newton :

89

F' A' FA = f f'

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Image d’un objet plan perpendiculaire à l’axe 

Formules de conjugaison avec origines aux plans principaux H et H’:

n' H' A'

−

n HA

=

n' H' F'

=

L’origine des proximités est prise l’une sur H et l’autre sur H’. La convergence Φ est en dioptries ou m-1. 90

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Association de deux systèmes centrés dioptriques Soit S1 (F1, F1’,H1, H1’ ) e t S2 (F2, F2’,H2, H2’) deux systèmes centrés. Cherchons les points cardinaux F, F’,H, et H’ du systèmes centrés équivalent. 









91

Les deux systèmes centrés dioptriques de vergences Φ1 = N et Φ 2 = n' f'1 f'2 avec f' = H' F' et f' 2 = H' 2 F' 2 . Il sont séparés de e = H' 1 H 2 ou de ∆ = F'1 F2 (intervalle optique). On souhaite transformer ces deux systèmes en un seul ayant pour milieux extrêmes les milieux d’indices n et n’. La figure ci-dessus montre la détermination graphique de la position du foyer image F’ et du plan principal image à l’aide d’un rayon incident parallèle à l’axe. ENSA de Safi

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Association de deux systèmes centrés dioptriques

92

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5 – LES SYSTEMES CENTRES Association de deux systèmes centrés dioptriques 

La distance focale image H' F' = -



f'1 f' 2

Φ=

⇒

∆

f' = H' F'

n' H' F'

=-

n' ∆ f'1 f'2

Autre expression en fonction de e : Φ=

n' H' F'

= Φ1 + Φ 2

-

e N

Φ1 Φ 2

Formule de Gullstrand 93

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Remarques importantes :

1°) Cette relation donne la vergence (et la distance focale image) du système centré équivalent aux deux systèmes centrés. Elle ne donne pas la position du foyer image F’ ni celle de H’. Pour avoir F’ il faut rocéder de la manière suivante : ∞

1° système centré

n' ⇒

H' 2 F'

F’1 =


N H 2 F'1

+

F’

n' H' 2 F'2

On connaît H 2 F'1 et H'2 F'2 , on a ainsi accès à la position de F’ par rapport à H’2. A l’aide de la formule de Gullstrand, on peut alors trouver la position de H’ sur l’axe optique. 94

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Remarques importantes :

2°) Pour avoir HF , on applique la relation générale H' F' = - n' (a). n HF Pour avoir accès à la position de F, on procède comme précédemment : F


⇒

N H'1 F2

F2 =


n H1F

+

∞

N H'1 F'1

On connaît H'1 F'1 et H'1 F2 , on a ainsi accès à la position de F par rapport à H1. Puis à l’aide de la relation (a), on a la position de H sur l’axe optique. 95

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Remarques importantes : 3°) Pour trouver F par construction, il faut partir d’un rayon émergent parallèle à l’axe et faire la construction géométrique du rayon incident correspondant qui coupe l’axe en F. L’intersection des rayons incident et émergent correspondants donne le PPO.

96

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LES LENTILLES MINCES

97

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6 – LES LENTILLES MINCES Définition 

98

Une lentille sphérique est l’association de deux dioptres sphériques coaxiaux (centres C1,C2, sommets S1, S2) délimitant une portion de matériau d’indice de réfraction n.

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6 – LES LENTILLES MINCES Définition 



Ce système n’est pas rigoureusement stigmatique et donc la recherche de l’image d’un objet demanderait l’application des lois de Snell-Descartes pour tous les rayons incidents venant de l’objet. Par la suite on fera les deux approximations suivantes : 



99

on se placera dans les conditions de Gauss afin de considérer les lentilles comme stigmatiques et aplanétiques. on supposera les lentilles minces, c’est à dire que si la distance |S1S2| est faible devant les rayons des dioptres, alors S1S2 =O. O est appelé centre optique de la lentille. ENSA de Safi

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6 – LES LENTILLES MINCES Propriétés 

Rayon passant par O Le centre optique O est un point de l’axe principale tel que tout rayon incident passant par ce point lui correspond un rayon incident et un rayon émergent qui sont parallèles.

On voit sur cette figure que si on fait maintenant l’approximation des lentilles minces en faisant tendre S1 et S2 vers O, alors on arrive à une propriété très importante des lentilles minces : Un rayon incident arrivant en O, centre optique d’une lentille mince, n’est pas dévié. 100

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Lentilles convergentes, divergentes – Schématisation

Suivant l’orientation des dioptres sphériques, les lentilles sont soit convergentes soit divergentes.

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101


Lentilles convergentes, divergentes – Schématisation

On schématise les lentilles minces de la façon suivante :

Lentille convergente

102

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Lentille divergente

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6 – LES LENTILLES MINCES Propriétés Foyers 

Foyer objet d’une lentille convergente.

Foyer image d’une lentille convergente 103

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Foyer objet d’une lentille divergente

104

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Foyer image d’une lentille divergente.

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Les plans focaux objet et image sont les plans perpendiculaires à l’axe optique et contenant respectivement F et F’. Remarquons que :   

Le foyer objet et le foyer image d’une lentille convergente sont réels. Le foyer objet et le foyer image d’une lentille divergente sont virtuels. D’après le principe du retour inverse de la lumière, les foyers objet et image sont symétriques par rapport au centre optique :

OF = - OF' ENSA de Safi

105

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Distances focales, vergence

On appelle :   

Distance focale objet la grandeur notée f et définie par f = OF Distance focale image la grandeur notée f’ et définie par f ' = OF' ergence a gran eur not e et n e par =

On a les propriétés suivantes : f = −f’ Pour une lentille convergente : f < 0, f ’ > 0 et Φ > 0 Pour une lentille divergente : f > 0, f ’ < 0 et Φ < 0 Une lentille est donc complètement caractérisée par l’une des grandeurs précédentes   

106

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6 – LES LENTILLES MINCES Recherche d’images, d’objets Rayons particuliers

Il y a trois rayons particuliers que l’on peut utiliser lors des différents tracés :

 

107

n rayon para e ’axe op que : ressor en passan par F’. Un rayon passant par F : il ressort parallèle à l’axe. Un rayon passant par O : il n’est pas dévié.

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6 – LES LENTILLES MINCES Recherche d’images, d’objets Recherche de l’image d’un objet 

108

Image réelle d’un objet réel AB par une lentille convergente.

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6 – LES LENTILLES MINCES Recherche d’images, d’objets Recherche de l’image d’un objet 

109

Image réelle d’un objet virtuel AB par une lentille divergente.

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6 – LES LENTILLES MINCES Relations de conjugaison et de grandissement Soit AB un objet perpendiculaire à l’axe principal du dioptre sphérique :

110

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6 – LES LENTILLES MINCES Relations de conjugaison et de grandissement Avec origine au centre : 

L’application du théorème de Thalès aux triangles (OAB) et (OA’B’) donne :



On a donc une formule de grandissement avec origine au centre :



Relation de conjugaison :

111

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6 – LES LENTILLES MINCES Relations de conjugaison et de grandissement Avec origine aux foyers: 





L’application du théorème de Thalès dans les triangles (F AB) et (FOI ) donne : (1) pp iquons e t or me e a s ans es triang es et : (2) Les équations (1) et (2) donnent deux relations de grandissement avec origine aux foyers :

En outre, de ces deux mêmes équations on tire la relation de conjugaison de Newton : H. Mestouri 112 

6 – LES LENTILLES MINCES Relations de conjugaison et de grandissement Grandissement angulaire – Formule de Lagrange-Helmholtz 



113

Soit A’ l’image par une lentille d’un objet A ponctuel sur l’axe optique. Soit un rayon quelconque venant de A et frappant la lentille en un point I ; le rayon émergent correspondant l’axe optique en A’ par définition. Soient ’ , ’ , ’

Le grandissement angulaire est défini par : G = α/α’ ENSA de Safi

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6 – LES LENTILLES MINCES Lentilles accolées Soit deux lentilles minces L1 et L2 de distances focales f1 ’ et f2’ respectivement et dont les centres O1 et O2 peuvent être considérés comme confondus en un point unique O (on parle de lentilles minces accolées).

114

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Optique Geo

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