UNIDAD 3: OSCILACIONES 3.1 Oscilaciones. Generalidades. Movim Movimie iento nto en estu estudi dio: o: movi movimi mient ento o perió periódi dico co,, es el movi movimi mien ento to de un cuer cuerpo po que que se repi repite te regularmente, el cuerpo regresa a una posición dada después de un intervalo fijo. Ejemplos: El péndulo de un reloj, trampolín, una cuerda vibrante de una guitarra, cuerpo unido a un resorte ideal, etc.
Caract Caracterí erísti stica ca del movimi movimient ento: o: Tiene Tienen n una formul formulaci ación ón matemá matemátic ticaa común común y se expres expresan an muy fácilmente a partir de funciones seno y coseno. Se estudiara solamente las ondas mecánicas y su descripción.
Posición de equilibrio
X=0
x Fr
Fr
Fext
x Fext
Donde: Fext = Fuerza externa. Fr = Fuerza restauradora (opera en una dirección que restablece el sistema a su posición p osición de equilibrio)
Algunas variables: A: Amplitud del movimiento (m, cm, etc.)
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1
T: Periodo (tiempo necesario para completar un ciclo) (segundos) f: Frecuencia (Numero de ciclos por unidad de tiempo) f =
1
T
[ H z ] o Hert Hertzz , 1 H z =1 ciclo / seg.
3.2 El Oscilador Armónico Simple Fx = -kx ax = -a vx = 0
F
Estirado
a) Fx = 0 ax = 0 vx = -v
Relajado
b)
F = Fuerza restauradora F x =− kx
v
Comprimido
Fx = +kx
k = Constante del resorte
ax = +a vx = 0
x = Desplazamiento F
c)
1
U x = kx
Fx = 0
2
2
Energía Potencial Elástica
ax = 0
Relajado
vx = v
v
d)
x = -A
x=0
x = +A
“Un cuerpo de masa m sujeto a un resorte ideal de constante k y que puede moverse libremente en una superficie horizontal sin fricción constituye un ejemplo de oscilador armónico simple” Aplicando la 2a ley de Newton
∑ F =ma x
x
F x = ma x 2
−kx = m
d x 2
dt
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2
2
d x 0 =m 2 kx (dividiendo por m) dt 2
0 m d x kx = m m dt 2 m 2
d x
0=
2
dt
kx m
2
d x kx 2 m dt
0 Ecuación de movimiento mov imiento del Oscilador Armónico Simple
Funciones seno y coseno
3.3 Movimiento Armónico Simple Resolver la Ecuación de movimiento de un Oscilador Armónico Simple.
2
d x 2
dt
2
kx =0 m
d x k =− x 2 m dt
Se requiere que x(t) sea función cuya 2a derivada sea negativa de la función con un factor constante k/m, las funciones seno y coseno poseen esta propiedad.
d cos wt =− wsen wt =− sen wt dt wt =−wsen dt 2
d d −wsenwt cos wt = 2 dt dt 2
d
2
dt
2
d
2
dt
cos wt =− =−w cos wt dt wt 2
=−w cos wt cos wt =−
La siguiente función coseno es una solución de la ecuación diferencial: ING.SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO
3
x t
A cos wt
Desplazamiento.
Donde: A, w y Φ son constantes A: Amplitud Amplitud (valor máximo de la posición de la partícula, ya sea en la dirección x positiva o negativa). w: Frecuencia angular (rad/s) (es una medida de lo rápidamente que ocurren las oscilaciones). t: Tiempo. Φ: Angulo de fase (Nos dice en que punto del ciclo el movimiento estaba en t = 0). Sustituyendo t = 0 y x = x0 , obtenemos: x 0 A cos
Características de Φ: a) Si Φ = 0, x0 = Acos 0 = A, y la partícula parte del desplazamiento positivo máximo. b) Si Φ = π, x0 = Acos π = -A, y la partícula parte del desplazamiento negativo máximo. c) Si Φ = π/2, x0 = Acos (π/2) = 0, y la partícula parte del origen.
Encontrando las constantes dx =−wAsen wt dt dx
2
2
dt
=−w 2 Acos wt
De la ecuación diferencial tenemos: dx
2
2
dt
=−
k x m
−w 2 Acos wt =− =−
k Acos wt m ING.SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO
4
2
w =
k , m
k m
w
El periodo es igual a: T
T =
T =
2 w 2
k m
2
k m
T = 2
,
m , T 2 k
m k
Entonces: f =
w
1
T
2
,
f =
f o
1
m 2 k
w
, f
1 2
k m
2 T
Relación existente entre el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una partícula oscilante.
x t
A cos wt
v t =
dx dt
v t =
d Acos wt dt
v
t
wAsen wt
Desplazamiento
Velocidad
a t =
dv dt
a t =
d −wAsen wt dt
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5
a
2
t
w Acos wt
Aceleración
Desplazamiento máximo (Amplitud máxima) = x max A Rapidez máxima (Amplitud de velocidad) =
v max wA o
v max
a max
k A m
Aceleración máxima (Amplitud de la aceleración) =
k A m
Características: Cuando el desplazamiento alcanza su máxima amplitud en ambas direcciones, x max =± A
v t =0
porque en ese instante cambia de dirección. Cuando el desplazamiento es cero, x max =0 ,
v t =v max y
a t =0, porque F r =0
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La rapidez crece para acercar a la partícula partícula a la posición posición de equilibrio equilibrio y luego disminuye disminuye conforme conforme se aleja del desplazamiento máximo-positivo.
Si conocemos la posición y la velocidad iniciales x0 y v0 del cuerpo oscilante, se puede determinar la amplitud A amplitud A y el angulo de fase Ф así : v0x es la velocidad en t = 0, sustituyendo v = v0x y t = 0 v 0x
v 0x x 0 v 0x x 0
wAsen
=
−w A sen sen Acos A cos
=−w tan v 0x
1
tan
wx 0
Angulo de fase en M.A.S.
Como encontramos la amplitud A? x o= A cos 2
2
2
x o= A cos * v 0x w
=
− w Asen w
2
v 0x w
2
= A2 sen 2 **
De la ecuación ** le sumamos la ecuación *, entonces: 2
v 0x w
2
= A2 sen 2 A2 cos 2 − x 2o 2
2 o
x
v 0x w
2
= A2 sen 2 cos 2
2
A
2 x 0
v 0x w
2
Amplitud en M.A.S.
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Ejemplo #1: El desplazamiento en función del tiempo de una masa de 1.50 kg. En un resorte esta dado −1
x t = 7.40 cm cos [ 4.16 s t −2.42 rad ] . Calcule: a) el tiempo que tarda una
por la ecuación
vibración completa, b) la constante de la fuerza del resorte, c) la rapidez máxima de la masa, d) la fuerza máxima que actúa sobre la masa, e) la posición, velocidad y aceleración de la masa en t = 1.00 seg.
Solución: a) T = ? T =
2
,
w
T =
2 4.16 rad / s
,
T
1.51 seg.
R/
b) k = ? 2
w =
k , m
k = mw
2
2
k = 1.50 kg 4.16 rad / s
,
,
k
25.9 N
m R/
c) vmax =? v max=
k A , m
v max=
25.9 N / m 1.50 kg.
0.0740 m , v max 0.307 m s R/
d) Fmax =? F max =−kx , F max =− =− 25.9 N / m 0.0740 m , F max =−1.92 N ,
F max
masa
1.92 N
R/
e) x(t) = ? −1
x t = 7.40 cm cos [ 4.16 s t −2.42 rad ] −1
x t =1 s= 7.40 cm cos [ 4.16 s 4.16 s 1 s − 2.42 rad ] x t
1s
1.25 cm R/
v(t) = ? v t =− wAsen wt − −1
−1
=− 4.16 s v t =1 s =− 4.16 s 7.40 cm sen [ 4.16 s 4.16 s 1 s − 2.42 rad ] v
t 1 s
30.34 cm s R/ ING.SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO
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a(t) = ? 2
− a t = w Acos wt − −1 2
a t =1 s= 4.16 s 4.16 s 740 cm cos [ 4.16 rad / s 1 s −2.42 rad ] a
t
1s
21.56 cm
2
s R/
3.4 Energía en el Movimiento Armónico Simple Energía mecánica total se conserva E = K U = cte En ausencia de fuerzas resistivas. 1 2 U = kx 2 1 2 U = k [ Acos wt ] 2 U
1 2
kA
2
1
K = m v
cos
2
wt
Energía potencial elástica.
2
2
1
2
K = m [−wAsen wt ] 2
1 2 2 2 K = m w A sen wt , pero 2 K
1 2 2 kA sen wt 2
2
w =
k , m
k = mw
2
, entonces:
Energía cinética.
E = K U 1 2 1 2 2 2 E = kA sen wt kA cos wt 2 2 1
cos wt E = kA sen wt 2
2
2
2
E
1 2
kA
2
constante.
Por ultimo, podemos usar el principio de conservación de la energía para obtener la velocidad para una posición arbitraria al expresar la energía total en alguna alguna posición arbitraria: E = K U ING.SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO
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1 1 2 2 E = mv kx 2 2 1 2 1 1 2 2 kA = mv kx 2 2 2 2
2
kA =mv kx 2
kA − kx v = m 2
v
2
despejando la velocidad tenemos:
2
k 2 2 A x m
o
v
w
A
2
2
x
si x = 0 , vmax.
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3.5 Aplicaciones del Movimiento Armónico Simple. 3.5.1 El Péndulo Simple El péndulo simple es otro sistema sistema mecánico mecánico que exhibe movimiento movimiento periódico. periódico. Esta formado por una pesa semejante a una partícula de masa m susp suspen endi dida da por una una cuer cuerda da liger ligeraa de longi longitu tud d L e inextensible. Queremos determinar el periodo (T) (T) del movimiento.
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La fuerza restauradora es: F R
mgsen
F R , sino que F R sen Pero que ocurre para ángulos pequeños: sen G ⇔ R son casi iguales para 5o sen 5o≡ 5o 5 / 57.3 0.0871 ≡0.0872
para 3o o
o
sen 3 ≡ 3 3 /57.3 0.0523≡ 0.0523
Entonces: F R =−mg
, x =longitud dearco
, x = L para ángulos pequeños se da un movimiento lineal.
x F R =−mg L
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F R =−
mg x Criterio igual al M.A.S. L
Pero F R =−kx;k =
mg L
El periodo de un oscilador armónico es:
=
T = 2
m entonces: k
T 2
m m g / L
T
L Periodo de un péndulo simple g
2
No depende de la masa de la partícula.
3.5.2 El Péndulo Físico Definición: “Todo cuerpo rígido montado de modo que oscile en un plano vertical alrededor de un eje que cruza por él es un péndulo físico”
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z =Torca restaurado restauradora ra del desplazam desplazamient iento o angular angular es: mgdsen
z
Para desplazamientos angulares pequeños: sen ≡ mgd
z
La ecuación de movimiento es:
∑ = I
entonces:
−mgd = = I 2
−mgd = = I 2
d 2
dt
=−
d 2 dt
mgd I
Si comparamos esto con la ecuación ecua ción del M.A.S, vemos que el papel de (k/m) en el sistema masa-resorte lo desempeña aquí la cantidad (mgd/I). Por lo tanto, la frecuencia angular está dada por:
k mgd = m I 2
m gd pero: k = I ING.SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO
15
2
m gd w m= I 2
mgd tambien: I
w
T =
2 w
El periodo de este cuerpo rígido es: ,
I mgd
2
T
El momento de Inercia es: 2
T mgd
I
4
2
Si el sólido rígido tiene forma definida, hay que buscar en tablas cual es el valor del momento de inercia. El péndulo físico incluye el péndulo simple como un caso especial. Si colocamos el pivote lejos del objeto, usando una cuerda sin peso de longitud L, tendríamos: I =mL 2 y d = L entonces:
T = 2
I , mgd
2
mL , T = 2 m gL
T = 2
L Periodo de un péndulo simple. g
Si la masa de un péndulo físico estuviera concentrada en la distancia correctamente escogida L, el péndulo simple resultante tendría el mismo periodo que el péndulo físico original.
=
T = 2
L P.S. g
T 2
I P.F. mgd
T =T
=
2
L I =2 g mgd
L g
2
I mgd
2
L I = g mgd
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I Punto llamado Centro de oscilación del péndulo físico y depende de la ubicación del pivote. md
L
3.5.3 El Oscilador Torsional Torsional o Péndulo Torsional Torsional
Al girar el disco (horario o anti horario), el alambre ejercerá una torca restauradora sobre el disco y tenderá a devolverlo a la linea de referencia a su posición de equilibrio. En pequeñas torsiones se observa que la torca restauradora es proporcional al desplazamiento angu lar. lar.
k
z
Ecuación que describe el M.A.S.
Donde: k: Constante Torsional Torsional (depende de las propiedades del alambre). θ: Desplazamiento angular.
Aplicando la 2a ley de Newton para el movimiento rotacional.
∑ = I z
z = I
z
d 2 2
dt
−k = I
2
dt
2
dt
2
d
d 2
=− m
k Relativa a la ecuación M.A.S. I
cos wt
Desplazamiento angular ang ular..
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m= Amplitud maxima angular. w = Frecuenia angular. w≠
d dt
El periodo de oscilación es: T
I k
2
Ejemplo #1: Una esfera solida de 95.2 kg con 14.8 cm de radio esta suspendida de un alambre vertical conectado al techo de un cuarto. Se requiere un par de 0.192 N.m para hacer girar la esfera por un angulo de 0.850 rad. Determine el periodo de oscilación cuando se suelta a la esfera de esta posición. R/ 12.1 seg. Datos: m = 95.2 kg. R = 14.8 cm
z = 0.192 N.m θ = 0.850 rad. T=?
El periodo es: T = 2
I k
Encontrando la constante k:
= Mgd k = Mgd
= k k =
0.192 N.m 0.192 N.m 0.226 N.m , k = , k = 0.226 N.m 0.850 rad
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Encontrando el momento de inercia del solido rígido por tabla: 2 2 I = MR (Esfera solida) 5 2 2 I = 95.2 kg 0.148 m , I =0.834 kg.m2 5 Entonces el periodo sera: T = 2 T = 2 T
I k
0.834 kg.m
2
0.226 N.m
12.1 seg.
3.6 Oscilaciones Amortiguadas Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta este punto, han sido para sistemas ideales, es deci decirr, sist sistem emas as que que osci oscila lan n indef indefin inid idam amen ente te bajo bajo la acci acción ón de solo solo una una fuer fuerza za , una fuer fuerza za restauradora lineal. En muchos sistemas reales, fuerzas no conservativas, por ejemplo la fricción, retardan el movimiento. En consecuencia la energía mecánica del sistema disminuye en tiempo y existe una reducción en la amplitud. Esta perdida de la amplitud recibe el nombre de amortiguamiento y al movimiento se le llama Movimiento llama Movimiento Armónico Amortiguado. Amortiguado. El amortiguamiento se debe a la fricción, resistencia del aire y fuerzas externas.
Cuando el movimiento movimiento de un oscilador oscilador se reduce por la acción de una fuerza externa, externa, se indica que el oscilador y su movimiento están amortiguados.
Cuerpo unido a un resorte y sumergido en un liquido viscoso. En este proceso, aparecerá una fuerza retardadora (amortiguadora) F A v F A
bv
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Donde: F A = Fuerza amortiguadora b =Coefic Coeficien iente te de amortig amortiguami uamient ento o y depende depende de las caract caracteri eristi sticas cas del liqui liquido. do.
[
N ] o [ kg / s ] m / s
F R =−kx Aplicando la 2a ley de Newton
∑ F = ma
x
F R F A= ma x
− kx −bv =ma x ma x bv kx =0 2
m
d x 2
dt
b
dx kx = 0 Al resolver esta ecuación diferencial: dt
bt
x t
Ae
2m
cos
'
w t
Posición de la partícula respecto al tiempo
Donde la frecuencia angular del oscilador amortiguado es: w
k m
'
b
2
2m
Si b = 0, no hay amortiguamiento. Si b es pequeña pero no cero w ' ≡ w
Ahora la energía mecánica total es: E t
1 2 kA e 2
bt m
Tanto la amplitud (A) como la energía mecánica (E) decrecen en forma exponencial con el tiempo.
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20
3.7 Oscilaciones Forzadas Hemos visto que la energía mecánica de un oscilador amortiguado decrece en el tiempo como resultado de la fuerza resistiva. Es posible compensar esta disminución de energía si se aplica una fuerza externa que realice trabajo positivo sobre el sistema. Un ejemplo común de un oscilador forzado es un oscilador amortiguado movido por una fuerza externa que varíe periódicamente.
F t
F o senw f t
Donde: wf = frecuencia angular de la fuerza de excitación (es variable) mientras que la la frecuencia natural w es fija.(por los valores de k y m) Fo = una constante.
Aplicando la 2a ley de Newton
∑ F = ma
x
dx d 2 x −kx =m 2 F o sen w f t −b dt dt Después de un cierto tiempo cuando la energía transferida por ciclo por la fuerza externa sea igual a la cantidad de energía mecánica transformada a energía interna por ciclo se alcanzara una situación estable en la que las oscilaciones continuaran co ntinuaran con amplitud constante.
x t
Acos w f t
Donde
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F o m
A 2
w f w
2 2
bw f
2
m
Para Para un amorti amortiguam guamient iento o pequeño pequeño,, la amplit amplitud ud es grande grande cuando cuando la frecue frecuencia ncia de la fuerza fuerza de excitación es cercana a la frecuencia natural de oscilación ( w f ≡ w ). El considerable aumento en amplitud cerca de la frecuencia natural se denomina resonancia.
Destrucción del puente Tacoma debido a la resonancia.
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