Oscilaciones INTRODUCCIÓN La vibración de la cuerda de una guitarra, de un cristal de cuarzo, de la membrana de un alto altopa parl rlan ante te,, del del son sonid ido o, el el movi movimi mien ento to de los los pist piston ones es de un motor, el vaivén de un péndu péndulo lo,, etc. etc. Son movim movimien iento tos s que se repiten una y otra vez y se denominan movimientos periódicos. Cuando el movimiento se realiza entre dos posic posicion iones es extrem extremas, as, siguie siguiendo ndo una misma trayectoria se denomina movimiento oscilatorio
Causas de la Oscilación La causa del movimiento oscilatorio oscilatorio es la fuerza restauradora que aparece cuando se saca el cuerpo de su posición de equilibrio Para que un cuerpo móvil alrededor de un punto fijo esté en equilibrio, es menester que la vertical que pasa por el centro de gravedad gravedad pase también por el punto de suspensión. Con esta condición, el equilibrio puede ser: estable, inestable o indiferente.
(2)Equilibrio inestable (3) Equilibrio estable
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El equilibrio es estable si el cuerpo, siendo apartado de su posición de equilibrio, vuelve al puesto que antes tenía, por efecto de la gravedad. En este cas caso el centro ntro de gr gra avedad dad está deb debajo ajo del punt punto o de susp suspen ensi sión ón.. (2). (2). Eje Ejemp mplo lo:: El pénd péndul ulo, o, la plom plomad ada, a, un una a camp campan ana a colgada. El equilibrio es inestable si el cuerpo, siendo apartado de su posición de equilibrio, se aleja por efecto de la gravedad. En este caso el centro de gravedad está más arriba del punto o eje de suspensión. (2). Ejemplo: Un bastón sobre su punta. El equi equili libr brio io es indi indife fere rent nte e si el cuer cuerpo po sien siendo do movi movido do,, qued queda a en equilibrio en cualquier posición. En este caso el centro de gravedad coincide con el punto de suspensión. Ejemplo: Una rueda en su eje.
Veamos en las figuras tres situaciones de equilibrio de sendas canicas sobre superficies lisas. En cada caso a la canica se le ha desplaza a ambos lados del punto equilibrio y se la ha soltado. Además se grafica la componente del peso en la dirección tangente a la pista.
Las canicas sobre pistas lisas con una posición central de equilibrio. A la fuerza sobre la canica que "aparece" cuando es sacada de su posición de equilibrio estable, se le llama fuerza recuperadora. Se le llama así porque tiende a llevar a la canica hacia la posición central de equilibrio. Esta fuerza es responsable de la oscilación de la canica.
Movimiento Periódico Es aquel que se repite a intervalos regulares, cada cierto tiempo fijo.
Movimiento Oscilatorio El movi movimi mien ento to de la part partíc ícul ula a es alternativo en un sentido y en otro, sobre una misma trayectoria alre lrededo dedorr de un punt punto o de equilibrio cambiando periódicamente periódicamente el sentido de su velocidad y acele celerració ción deb debido ido a una fue fuerza rza recupe recupera rador dora. a. En todo todo movim movimien iento to oscilant oscilante e debe haber: haber: posición de equilibrio y fuerza recuperadora.
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE ( MAS) Concepto Es un movimiento: rectilíneo, periódico y oscilante; que ocurre debido una fuerza recuperadora recuperadora sobre sobre la partíc partícula ula,, cuyo cuyo valor valor es direc directam tament ente e proporcional al desplazamiento, respecto de su posición de equilibrio. Se le llama armónico por que la posición, la velocidad y la aceleración se puede representar mediante ecuaciones ecuaciones seno y/o coseno.
x(t)
x=-A
x=0
x=A
Descripción Cinemática de un MAS Sea una partícula efectuando MAS en el eje X, como se muestra en la figura:
Elementos en un MAS: Elongación (x)
Es la coordenada x de la partícula respecto a la PE. x puede ser positiva o negativa; negativa; si está a la derecha, derecha, o izquierda de la PE; respectivamente. respectivamente.
Amplitud (A) Es el máximo desplazamiento desde PE que alcanza la partícula. Ocurre a ambos lados (extremos)del trayecto, donde la velocidad de la partícula es v =0.
=0
v
v
v máx.
-X
=0 + X
0 -A
+A
P .E Z o n a d e m o v im ie n t o
Ciclo u oscilación completa En la figura es el recorrido: (-A) (O)(+A)(O)(-A); o cualquier otro camino completo.
Recorrido de una partícula en cuartos de periodo
Periodo (T) Es el tiempo en que se realiza un recorrido completo (un ciclo). Observe en la misma figura, que: (-A) (O) (+A) (O) (-A) T/4 T/4 T/4 T/4
Frecuencia de oscilaciones ( ν ) Es el número de oscilaciones completas en la unidad de tiempo. en ν=(# ciclos u oscilaciones o vueltas)/ ∆t -1 Hertz=[Hz]=[s ] Propiedad:
ν=1/T
Frecuencia angular (ω) Es la 2π veces la frecuencia:
ω=2πν=2π
/T
[rad/s]
Ecuaciones cinemáticas de una partícula en MAS sobre el eje X : Posición (x) Se mide desde el centro (0), que corresponde a la posición de equilibrio (PE). Alcanza sus máximos (amplitud) en los extremos de la trayectoria. trayectoria. Donde A y –A es la amplitud máxima X(t) = A Sen (wt + Φ)
o
X(t) = A Cos (wt + Φ)
Donde: (ωt + φ) : Es el argumento de la función armónica (en radianes) y φ : Fase inicial, es un ángulo que nos indica el punto (x o) donde se empieza a medir el tiempo (t o = 0).
Velocidad (v) Puede ir a la derecha(), o a la izquierda(). Es cero en los extremos, y máxima en el centro, de la trayectoria; respectivamente. v(t) = wA Cos (wt + Φ)
o
X(t) = -wA Sen (wt + Φ)
Aceleración (a) Siempre señala hacia la PE Su magnitud es proporcional a la posición del móvil. a(t) = -w2A Sen (wt + Φ)
o
a(t) = -w2A Cos (wt + Φ)
Gráficas: posición, velocidad velocidad y aceleración; aceleración; vs. el tiempo de un MAS para el caso de fase inicial cero: φ =0.
Observaciones: Las ecuaciones deben ser aplicadas conjunto, para resolver un problema de MAS. Nunca deben mezclarse ambos conjuntos de ecuaciones para un mismo problema. Los argumentos en las ecuaciones cinemáticas, se pueden llevar de seno a coseno y viceversa, aplicando: sen(ωt+φ)=cos( ωt+φ-π /2) ó
Cos(ωt+φ)=-sen( ωt+φ-π /2)
Ejemplo Una partícula realiza MAS con 0,15 m de amplitud y 2 Hz de frecuencia. Calcule: a) Los valores valores máximos de la aceleración y la velocidad, b) La aceleración aceleración y la velocidad velocidad cuando el desplazamiento desplazamiento es de 0,10m, y c) El tie tiempo par para que la masa se desplac place e desde la pos posició ición n de equilibrio(PE) hasta un punto a 0,12m de este.
Solución.-
Fig. 8.6 a) xMAX=A=0,15m, Como ν=2Hz ⇒ ω=2πν=4πrad/s , luego vMAX=ωA=4π x 0,15=0,6π m/s, y aMAX=ω2A=2,4π2 m/s2. b) A partir partir de la ecuac ecuación ión (8.5): (8.5): a=-ω2x, ⇒ x(0,1) =-16π2 x 0,1=-1,6π2 m/s2 También, de la ecuación (4): x 2+(v/ω)2=A2 , obtenemos: v=ω√(A2-x2) ⇒ v(x=0,1)=0,45π m/s c) Podemos Podemos iniciar iniciar el conte conteo o (t=0) (t=0) en x=0. Es decir: decir: x=Asen x=Asenωt ⇒ x(t=?)=0,12=0,15sen4πt, de lo cual: t=0,074 s
DINAMICA EN EL MAS En relac relació ión n a las las fuer fuerza zas s sobr sobre e un una a part partíc ícul ula a en MAS, MAS, se cumpl cumple e la recuperadora sobr siguiente siguiente caracter característic ística: a: “La fuerza recuperadora sobre e el móvi móvill es posici ción ón de prop pr opor orci cion onal al a su desplazamiento re resp spe ecto cto de la posi
equilibrio”
SISTEMA MASA RESORTE HORIZONTAL Sea un resorte de longitud natural Lo y constante elástica k, con un extremo extremo sujeto sujeto a la pared y el otro extrem extremo o que sujeta sujeta a un bloque bloque de masa m, todo sobre un piso horizontal sin fricción, como se muestra en la figura
k
N F
m x
0 PE
x
Si aplica aplicamos mos una fuerza fuerza deform deformado adora ra horizo horizonta ntall al resort resorte, e, jaland jalando o al bloque bloque hasta hasta que alcance alcance una elonga elongació ción n máxima máxima A y lo soltam soltamos, os, el bloque quedará bajo la acción de la fuerza elástica del resorte. Cuando el resorte esta estirado jala al bloque hacia el centro. Cuando el resorte esta comprimido empuja al bloque señalando también hacia el centro. Es decir esta fuerza elástica viene a ser la fuerza recuperadora. La fuerza elástica actuando como fuerza recuperadora; es además la fuerza resultante: Fuerza recuperadora :
F(x) = -kx
⇒ F elástica =-kx= Fresultante = m.a=m(-ω2x)=-mω2x Eliminando x, resulta que:
ω=
k / m
=2πν
[rad/s]
Es decir decir la frecuencia frecuencia angular angular del sistema sistema masa-re masa-resorte sorte depende depende de la constante elástica y de la masa oscilante, y no depende de la amplitud de oscilación.
Ejemplo Para el el caso de la figura figura mostrada, mostrada, el bloque sujeto sujeto al resorte esta esta quieto y el choq choque ue será será tota totalm lmen ente te inel inelás ásti tico co,, dete determ rmin inar ar la ecua ecuaci ción ón característica característica del movimiento oscilante. v=6m/s
v=0
k=600N/m
µ=0 m1=1kg
m2=2kg
Solución Al juntarse los bloques la posición de equilibrio no cambia, por lo cual esta velocidad -justo después del choque-es la máxima velocidad del nuevo sistema masa-resorte. Apliquemos la conservación de la cantidad de movimiento lineal para calcular esta velocidad del conjunto de bloques justo después del choque totalmente inelástico: m1v=(m1+m2)vMAX ⇒ vMAX=2 m/s Hallemos la amplitud A, reemplazando x=0, v=2m/s y ω=√k/m = √600/3 = 10√2; en A2=x2+(v/ ω)2 : Tendremos: A=√10 /10 m Por lo cual: x= √10 /10 sen(2√10 t)
SISTEMA MASA RESORTE VERTICAL En este caso un resorte de longitud natural Lo y constante elástica k se colo coloca ca en form forma a ve vert rtic ical al,, con con un extrem extremo o suje sujeto to al tech techo o y el otro otro extrem extremo o inicia inicialme lmente nte libre. libre. Luego Luego del del extrem extremo o inferi inferior or del resort resorte e se sostiene un bloque de masa m, el que deformará la longitud del resorte en forma proporcional al peso suspendido, como se muestra en la figura a continuación:
A -kδ
δ P
0
-k(δ+y)
y
mg y
mg
Sist Sistem ema a masa masa-r -res esor orte te ve vert rtic ical al.. Defo Deform rmac ació ión n del del reso resort rte, e, en posi posici ción ón estática; y en situación dinámica. En el equilibrio el peso del bloque se compensa con la fuerza elástica estática,. Condición estática:
mg-k δ = 0
, luego :
mg = kδ
Cuando el bloque oscile en forma vertical, lo hará en forma simétrica alrededor del nivel donde el bloque se encontraba en reposo (posición de equilibrio). Condición dinámica: entonces, Despejando:
mg-k(δ+y) = mg-kδ-ky= may , y como mg=kδ -ky = may ay = -(k/m)y = -ω2y
La ecuación ecuación representa la dinámica del movimiento movimiento vertical vertical de un bloque bloque de masa m sujeta a un resorte vertical de constante elástica k. Según lo cual este sistema masa-resorte vertical oscila en MAS alrededor de su PE con una frecuencia similar al sistema bloque-resorte, horizontal. Es decir con frecuencia angular:
ω=
k / m
=2πν
[rad/s]
Problema Una partícula que cuelga de un resorte sometido solo a la acción del peso y la fuerza del resorte, está en reposo, ver figura. De pronto se le imprime una velocidad v=1m/s hacia arriba. Si la amplitud de la oscilación que real realiz izar ará á es de 0,2m 0,2m,, hall hallar ar su posi posici ción ón ve vert rtic ical al δ (medid (medida a desde desde la posición de equilibrio) en t=0,224s Solución:
El nivel inicial del bloque en reposo es la posición de equilibrio, lugar donde ocurre la máxima rapidez: vMAX = ω A. Reemplazando: Reemplazando: v = 1m/s y A= 0,2 m ⇒ ω = 5 rad/s Asumimos la ecuación de movimiento para la coordenada vertical δ = A senωt.
(sen1,12 =0,9). ⇒ δ(t=0.224)=0,2sen(5x0,224) =0,2xsen(1,12)=0,2x0,9=0,18 m ⇒
PENDULO SIMPLE Consta una masa puntual suspendida del extremo inferior de una cuerda de long longit itud ud L, inex inexte tens nsib ible le.. La masa oscila alrededor del punto superior de la cuerda. En la figu figura ra la masa masa ha sido sido desplazada una amplitud angular θA y se le se le ha solta ltado. do. En la part parte e infe inferrior ior derecha se muestra la componente del peso en dirección tangente a la tra traye yect ctor oria ia,, la cual cual tien tiende de a
llevar a la masa pendular hacia la posición de equilibrio. La oscilación del péndulo será MAS solo para desplazamientos angulares pequeños: θ<π /12 rad = 15º ⇒ senθ = θ y como x = Lθ: Frecuperacion =-mgsen θ=-mgθ=FT=maT=m(-ω2x)= -mω2Lθ Frecuencia angular del péndulo simple: ω=√ L/g = 2πν=2π /T
Ecuaciones Cinemáticas del Péndulo Simple como un MAS Escogiendo θ=0 en la PE, con θ>0 haci hacia a la dere derec cha, ha, tene tenemo mos s las las ecua ecuaci cion ones es de movi movimi mien ento to angu angula lare res s, que que se toma toman n a part partir ir de la descripción cinemática Gral. del MAS. Es decir: Posición angular( ) :
θ(t)= θAsen(ωt+φ)
ó
θA(t)= θAcos(ωt+φ)
[rad]
Velocidad angular( ):
Ω(t)=ωθAcos(ωt+φ)
ó
Ω(t)=-ωθAsen(ωt+φ) [rad/s]
Aceleración angular( ):
α(t)=-ω2θAsen(ωt+φ)
ó
α(t)=-ω2θAcos(ωt+φ) [rad/s2]
Ejemplo Un péndulo simple cuya masa oscilante es1 kg tiene una velocidad angular en función del tiempo, dada por: Ω = π cos(20t) rad/s. Halle aproximadamente la tensión de la cuerda cuando la masa pasa por el punto mas bajo de su trayectoria. (π2 = 10, g = 10 m/s2).
Solución: Veamos el DCL en la posición mas baja de del movimiento oscilante:
En esta posición inferior ocurre la máxima velocidad angular Ω de la masa pendular. Ω = π cos(20t)max = π Del DCL:
F-mg = macp =m Ω2R.
donde ω=√g/L ⇒
202=10/L es decir: L = 1/40 m
Reemplazando en la fuerza de tensión: F = mg-+m Ω2R. F=10+=(1)( π2)(1/40)= 10,25 N
⇒
ENERGIA MECANICA DE UN OSCILADOR ARMONICO Probaremos que, una vez iniciado el movimiento de un oscilador armónico su energía mecánica será la misma en todo instante y en cada punto de su trayect trayectori oria a oscil oscilant ante. e. Para Para lo cual cual consi consider deremo emos s al sistem sistema a masamasaresorte horizontal, mostrándolo en un cierto instante, según la Fig. 8.8 a continuación:
Energías de un sistema masa-resorte, como la energía de MAS El sistema tiene energías: potencial elástica, y cinética (no hay gravitatoria): E= Epe + Ek 2 = (1/2)kx + (1/2)mv2 =(1/2)[kA2sen2(ωt+φ) + m(k/m)A 2 cos2 (ωt+φ)] =(1/2)kA 2 [sen2 +cos2 =1] Por lo tanto:
E = (1/2)kx2 + (1/2)mv2 =Cte.=(1/2)kA2 =(1/2)mvM2
Veamos a continuación la dependencia de las energías vs el tiempo y vs la posición; respectivamente:
Gráficas de las energías del oscilador armónico vs el tiempo, y la posición;
Ejemplo Una masa de 0,1kg se encuentra realizando un MAS en el eje x, de ecuación x(t)=0,4cos(10t). En una cierta posición(a la derecha de x=0) e instante, es detenido mediante un proyectil de masa 0,01kg y vp=-20√3 i m/s, m/s, qued quedan ando do incr incrus usta tado do en ella ella.. Dete Determ rmin inar ar la en ener ergí gía a del del nu nuev evo o sistema masa-resorte.
Solución .Hallemos la constante del resorte, que no cambiará cuando se incruste el proyectil: ω2 = k/m ⇒ k = ω2m = 102x0,1 = 10 N/m En el punto donde ocurre la colisión totalmente inelástica corresponde a la nueva amplitud del sistema sistema (bloque y bala)-(resorte bala)-(resorte)) ya que la bala bala se detiene instantáneamente junto con el bloque. PE
v1
m1
v2
m2
Hallemos esta nueva amplitud aplicando la conservación de la cantidad de movimiento: m1v1 +m2v2 = 0 De x(t)= 0,4 cos(10t)
⇒
v1(t) = -4sen(10t)
Reemplazando en la conservación de la cantidad de movimiento: 0,1x[-4sen(10t)] 0,1x[-4sen(10t)] = 0,01x[-20√ 3 ]
⇒
10t = π /3
De lo cual, cual, la nueva nueva amplitud será: será: A = x(10t=π /3) = 0,4cos( π /3) = 0,2 Por lo tanto, la nueva energía: E mec = (1/2)kA2 = (1/2)x10x0,22 = 0,2 J
PROBLEMAS PROPUESTOS DE MAS MAS: Cinemática 1.-Una partícula se mueve en un tramo de 20 cm del eje X haciendo MAS, con una frecuencia de 120 ciclos/min. ciclos/min. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa mejor mejor la posición x(en m) del móvil, si en t=0 s, x=0 m? A) x=0,2sen(4πt), B) x=0,1cos(4 π t) C) x=0,1cos(2π t-π /2) D) x=0,1cos(4 π t-π /2)
2.-Un oscilador armónico simple demora π /4 s en alcanzar su amplitud, tiem tiempo po me medi dido do a part partir ir de la posi posici ción ón de equi equili libr brio io.. Si la máxi máxima ma 2 aceleración del oscilador es 0,5 m/s , calcular su máxima rapidez(en rapidez(en m/s). A) 1/10 B) 1/8 C) 1/6 D) 1/4 E) 1/2
MAS: Sistema masa-resorte horizontal:
y
3.-La figura muestra un móvil en M.C.U. de radio 1m y velocidad angular 5π rad/s. Halle aproximadamente las componentes x, v x y ax , del móvil en el instante mostrado, las cuales son las correspo correspondie ndientes ntes cantidade cantidades: s: posición posición,, velocida velocidad d y aceleración de un móvil en MAS a lo largo del eje x, con una amplitud igual al radio de la trayectoria circular. Rpta.: -0,6 m; -4π m/s; 15π2 m/s2.
127
x
Fig. 8.17
4.-Un bloque (m = 1 kg) unido al extremo de un resorte (k = 25 π2 N/m) puede oscilar alrededor de la posición de equilibrio, sobre la superficie horizontal. Se estira el resorte y se observa que luego de 1/15 s el bloque pasa por primera vez por la posición x = 0,20 m. Hallar la amplitud (en m) de la oscilación. A) 0,25 B) 0,30 C) 0,35 D) 0,40 E) 0,45
MAS: Sistema masa-resorte vertical: 5.-Un resorte (k = 20 N/m) cuelga verticalmente del techo. En el extremo libre se ata un cuerpo de masa 0,5 kg. Luego se estira lentamente el resorte en 0,2 m y se suelta. Hallar la energía cinética (en mJ) en el momento en que la aceleración del sistema es cero. A)20 B)25 C)30 D)35 E)40
6.-Se tiene un resorte de constante k = 100 N/m suspendido en posición vertical. Se coloca una masa de 1 kg en el extremo libre del resorte y luego se suelta. ¿Cuál es la rapidez (en m/s) de la masa cuando pasa por su posición de equilibrio? A)0,5 B)1,0 C)1,5 D)2,0 E)2,5
MAS: Péndulo Simple: L
7.-Sea T el periodo de un péndulo, el gráfico muestra L(longitud del péndulo) vs T’=T/2 π, en un planeta X. Halle la longitud del péndulo y la magnitud de la aceler aceleraci ación ón de la gr grav aveda edad d en dicho dicho planet planeta, a, cuando T’=2 s. Rpta .-20 m; 5 m/s2
L
5 1
2
T’
8.-Una bolita se encuentra en el fondo de un recipiente cuya forma es la de una superficie semiesférica lisa de radio R = 22,05 m. Si se desplaza la bolita ligeramente de su posición de equilibrio y luego se le suelta, halle el tiem tiempo po (en (en s) s) que que demo demora ra la la boli bolita ta en en retor retorna narr a su posi posici ción ón de de 2 equilibrio. (g = 9,8 ms ) A)0,4 B)1,4 C)2,4 D)3,4 E)4,4
MAS: Energía del Oscilador Armónico 9 .-En el instante mostrado la masa m=2 kg, unida unid a al resor resorte te,, se está está movi movien endo do a la izq izquie uierd rda a con un una a rapid apidez ez de 0,5 0,5 m/s m/s. Determine la energía (en J) del oscilador, si su amplitud es A = 10 cm.
0
-√3/20
x
A)0,2
B)0,4
C)0,6
D)0,8
E)1,0
10.-Una partícula descansa en el punto B y otra, C D B atada a un resorte, es soltada desde el punto C. Si D es el punto de equilibrio del sistema masaresorte, halle: a) Las energías potencial elástica y cinética del 0,2m 0,1m sistema masa-resorte, masa-resorte, justo después del choque elástico entre ambos bloques b) ¿En qué porce porcenta ntaje je varía varía la en energ ergía ía del del oscil oscilado adorr armón armónico ico:: desde desde antes, hasta después del choque elástico?