Matemáticas V
Unidad I Ecuaciones diferenciales de primer orden.
1.8 Ecuación de Bernoulli
*Problemario*
Imagen. Ejercicio 1
1
1
Shepley L. Ross, Introducción a las ecuaciones diferenciales, Pág 52
Ejercicio 1
Resolver la ecuación:
Aquí: n=2. Entonces
y
Sustituyendo
Dividiendo entre
Que ya es una ecuación lineal en la variable u, con solución
Como
entonces:
Imagen. Ejercicio 2
2
2
Shepley L. Ross, Introducción a las ecuaciones diferenciales, Pág 52
Ejercicio 2
Resolver la ecuación:
Sea
Sea v(x) la solución de
es decir,
La ecuación dada se transforma en:
Sustituyendo en
Como
después de haber dividido la ecuación:
Imagen. Ejercicio 3
3
3
Isabel Carmona Jover, Ecuaciones Diferenciales , Pág. 151
Ejercicio 3 Resolver
Sea
Entonces
Sustituyendo
∫ , , ∫
, , ( )
Imagen. Ejercicio 4
4
4
Isabel Carmona Jover, Ecuaciones Diferenciales , Pág. 151
Ejercicio 4
Esta es una ecuación diferencial de Bernoulli, donde n=3. Primero se multiplica la ecuación por
, de esta manera se expresa en la l a forma equivalente.
Si se hace
después
la ecuación diferencial anterior
se transforma en la ecuación lineal
Se ve que un factor de integración para esta ecuación es
Al multiplicar (1) por
∫ ∫ , obtenemos
Al integrar, se encuentra
Donde c es una constante arbitraria. Sin embargo
En consecuencia, se obtienen las soluciones en la forma
Imagen. Ejercicio 5
5
5
Frank Ayres Jr. Teoria y problemas de e cuaciones diferenciales. diferenciales. Pág. 37
Ejercicio 5
Resolver
o bien
La transformación
Reduce la ecuación a
=x o
Factor integrante es
∫
Entonces,
O sea
,
Imagen. Ejercicio 6
6
6
Frank Ayres Jr. Teoria y problemas de ecuaciones diferenciales. diferenciales. Pág. 37
Ejercicio 6 Resolver
o bien
La transformación
Reduce la ecuación a
Empleando el factor integrante
∫ se tiene
O sea,
Imagen. Ejercicio 7
7
7
Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicación de modelado, Pág. 66
Ejercicio 7 Resolver:
Primero reformulamos la ecuación como sigue:
Dividiéndola entre x. A continuación sustituimos, sustituimos, con n = 2,
regla de la cadena
En la ecuación dada, y simplificamos. El resultado es
El factor integrante para esta ecuación lineal en, por ejemplo (0, ∞), es
∫ ,-
Integramos
y obtenemos
Como
, entonces
y, en consecuencia, una solución de la ecuación es
Imagen. Ejercicio 8
8
8
Rolando castillo caballero. “Ecuaciones Diferenciales”. Pág. 46
Ejercicio 8 Resolver la ecuación
Esta es una ecuación de Bernoulli con n= 2; por tanto, el cambio de variable aplicable es , sustituyendo obtenemos la ecuación lineal
∫ ∫ [ ] ,
Que resolviéndola obtenemos:
Ahora bien, la solución buscada es: y (x), y no , por tanto, es necesario utilizar la ecuación que definió el cambio de variable , para encontrar
Imagen. Ejercicio 9
9
9
Diferenciales”. Pág. 47 Rolando castillo caballero. “Ecuaciones Diferenciales”.
Ejercicio 9 Esta es una ecuación de Bernoulli con n= 2. Por tanto, el cambio de variable aplicable es
, o lo que es igual
. Por tanto, para sustituir en la ecuación
diferencial es necesario efectuar:
Con lo que al sustituir en la ecuación
se obtiene:
Esta ultima ecuación al rearreglarla queda como
La cual es lineal, pudiendo resolverse. Esto es con
∫ ∫ ⁄ [ [ ]
y con
Imagen. Ejercicio 10
10
10
R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, frontera, pág. 80
Ejercicio 10 Resolver
⁄ ⁄ ⁄
Esta es una ecuación de Bernoulli con transformar (I) en una ecuación lineal, primero dividimos entre
A continuación hacemos la sustitución ecuación transformada es
para obtener
. Como
La ecuación (II) es lineal, de modo que podemos resolverla en términos de esto, vemos que.
Al sustituir
para
la
. Al hacer
se tiene la solución.
En la última ecuación no se incluye la solución y = 0 perdida en el proceso de . división de (II) entre
Imagen. Ejercicio 11
11
11
R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, frontera, pág. 81
Ejercicio 11 Resolver
Es un ejemplo de una ecuación de Bernoulli.
Muestre que la sustitución
reduce la ecuación ecuación (a) a la ecuación: ecuación:
Despeje en la ecuación (b). Luego haga la sustitución la ecuación (a).
para obtener la solución de
Imagen. Ejercicio 12, 13, 14
12
12
Frank Ayres Jr. Jr . Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales. diferenciales. Pág.37
Ejercicio 12 Resolver
o bien
La transformación
Reduce la ecuación a
Para la que
es un factor integrante. Entonces, integrado por partes,
O sea
Ejercicio 13 Resolver
o bien
La transformación
Reduce la ecuación a
Para la que
es un factor integrante, entonces,
O sea
Ejercicio 14 Resolver
*+ o bien
La transformación
Reduce la ecuación a
Para la que
∫
es un factor integrante. Entonces,
O sea
Imagen. Ejercicio 15
Resolver la ecuación: a) Aquí: n=2. Entonces
Sustituyendo
Dividiendo entre
Que ya es una ecuación lineal en la variable , con solución:
Como
b) Sea Sea
entonces:
la solución de
La ecuación dada se transforma en: Sustituyendo
, después de haber dividido la ecuación:
Como
. /
, es decir,
Bibliografía
R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur Art hur David Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, frontera, 3a. ed. Pearson Educación, México, 2001
Rolando Castillo Caballero. Rodrigo Gonzales Rojas. Ecuaciones diferenciales, curso de inducción. inducción. 1a. Ed. Editorial trillas, México, 1991
Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado . 6ª. Ed. International Thomson Editores. México, 1997
diferenciales Frank Ayres, jr. Ph.D. Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales
MACGRAW-HILL
Shepley L. Ross. Introducción a las ecuaciones diferenciales, 3ª, Ed. Nueva Editorial Interamericana Interamericana Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales, 4ª, Ed. Editorial Pearson Addison Wesley. México, 1992
