Állge Á gebbra
1 Potenciación y ecuación exponencial POTENCIACIÓN
a
n
=P
Ejemplos: 0
4 2 )= 00 ⇒ ( −
0
(-3) = 1
no definido ¡Cuidado!
a : base: a ∈ n : exponente; P: potencia:
P
n
TEOREMAS
∈N
∈ R
1.
DEFINICIONES 2.
Si a ∈ ∧ n ∈ N +, definimos:
a
⋅a = a +
m
a)
1. Exponente natural
n
m
m
a
n
m
a)
"n"veces
3
m
m
n
⋅ m−5 ⋅ m6 = m4 b)
= a m−n ;
= an
a a ⋅ a ⋅ ... ⋅ ⋅a
a
6 3
b
4
⋅ b3 = b7
a ∈ − {0} m≥n 7
= m6−3 = m3
7 −( −3 ) 10 b b = = −3 b
b
b)
Ejemplos: a.
⋅ ⋅2= 2 2 2 ⋅ 2 ⋅ .. ...
3.
10
n
a
m
= 1024
10 veces
b.
(
(m ) 3
a)
x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x = x
m
;m
∈ N+
) =
m
a
2
in
= m6
(−)
b)
4
a
5
= a −20
¡Cuidado…! (− ) − ) − (a ≠ a ≠ a
m veces
3
2
3
2
2
3
2. Exponente negativo:
a
−6
≠
a
9
≠
a
−9
Si: a ∈ R – – {0}, definimos:
−n = a
() 1
n
a
=
1 a
n
a) b)
2
( ) =( ) 2
3
3
() 1 5
a
−3
=9
( ab )n = an ⋅ bn
Son aquellas donde la incógnita aparece únicamente en el exponente. Propiedades:
0
=1
Observación: 0
0
b
Ecuaciones exponenciales
Si: a ∈ − {0}, definimos: a
= an ; b ≠ 0
( 2m )3 = 23 ⋅ m3 = 8m3
a)
3. Exponente cero:
5.
4
= 53 = 125
n
()
Ejemplos: −2
n
4.
a b
no esta definido.
37
1.
a
2.
a
x
x
= a y a ≠ {–1; 01} ⇒
x
= y
⇒
x
=0
= bx a ≠ b
ÁLGEBRA
1
1 Potenciación y ecuación exponencial POTENCIACIÓN
a
n
=P
Ejemplos: 0
4 2 )= 00 ⇒ ( −
0
(-3) = 1
no definido ¡Cuidado!
a : base: a ∈ n : exponente; P: potencia:
P
n
TEOREMAS
∈N
∈ R
1.
DEFINICIONES 2.
Si a ∈ ∧ n ∈ N +, definimos:
a
⋅a = a +
m
a)
1. Exponente natural
n
m
m
a
n
m
a)
"n"veces
3
m
m
n
⋅ m−5 ⋅ m6 = m4 b)
= a m−n ;
= an
a a ⋅ a ⋅ ... ⋅ ⋅a
a
6 3
b
4
⋅ b3 = b7
a ∈ − {0} m≥n 7
= m6−3 = m3
7 −( −3 ) 10 b b = = −3 b
b
b)
Ejemplos: a.
⋅ ⋅2= 2 2 2 ⋅ 2 ⋅ .. ...
3.
10
n
a
m
= 1024
10 veces
b.
(
(m ) 3
a)
x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x = x
m
;m
∈ N+
) =
m
a
2
in
= m6
(−)
b)
4
a
5
= a −20
¡Cuidado…! (− ) − ) − (a ≠ a ≠ a
m veces
3
2
3
2
2
3
2. Exponente negativo:
a
−6
≠
a
9
≠
a
−9
Si: a ∈ R – – {0}, definimos:
−n = a
() 1
n
a
=
1 a
n
a) b)
2
( ) =( ) 2
3
3
() 1 5
a
−3
=9
( ab )n = an ⋅ bn
Son aquellas donde la incógnita aparece únicamente en el exponente. Propiedades:
0
=1
Observación: 0
0
b
Ecuaciones exponenciales
Si: a ∈ − {0}, definimos: a
= an ; b ≠ 0
( 2m )3 = 23 ⋅ m3 = 8m3
a)
3. Exponente cero:
5.
4
= 53 = 125
n
()
Ejemplos: −2
n
4.
a b
no esta definido.
37
1.
a
2.
a
x
x
= a y a ≠ {–1; 01} ⇒
x
= y
⇒
x
=0
= bx a ≠ b
ÁLGEBRA
1
POTENCIACIÓN Y ECUACIÓN EXPONENCIAL
er
3. año
T��������� �� ����� 7. Calcula “R” en:
1. Reduce: 7 m
A=
3 m
(x ) .(x ) x
Da como respuesta el valor de x2.
10m
1+ 2
8 2 +3 3+1
4 +1
= R + 30
x ≠0
(m+5) vece vecess
+ + 3x+2 + 3 x+3 A= x −1 + 3 x −2 + 3 x − 3 3
(2m (2m-1) -1) vece vecess
3
x
2
⋅ x 2 ⋅ x 2 ⋅... ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 3 ⋅ x 3 ⋅... ⋅ x 3 4 4 4 4 x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x
x 1
2x
Se factoriza, tanto como en el numerador y denominador, la base de menor exponente:
3. Reduce: 2
2
− 3 ⋅ a ( −3 ) ⋅ ( a − 3 ) ⋅ ( a − 3 ) 3 M = (a ) ⋅a 2
2x ×(22)x+1 × (23)x+2 = (24)x+3
Resolución:
(2m−1) veces
2
Como observamos las bases son potencias de 2.
8. Simplifica
2. Reduce:
Resolución:
−2 A
2
x
⋅ 22
=
M
−1
−3
0
( ) + ( ) +( ) +( ) 1
1
2
1
3
3
2
+
5
x 3
M
=
−1
−3
2
2
+
2
3
1
+
+
3
1 2 3
+
2
R
=
−2
−1
( ) +( ) +( ) 3
4
1
3
2
4x
0
+ 1
3
+
x 5
10. Calcula:
3
5
+
= 24
=
+
4x 12
2
= 16
−2
0
+5
x
⋅ 27x +4 ⋅ 8 x+1 = 243x +5
x 2 x 2y 2 + ⋅4 +
J=
x 2 y 2 8 − ⋅16 +
11. Resuelve:
Da como respuesta respuesta “x + 3”
14. Sabiendo que:
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 8 + 8 + 8 + ... + 98
4 4 4 ... 4
( x −4 )v ec eces
x
y
= 2 ∧ y x = 1 2
8 veces
6. Simplifica: 3
6
1
ÁLGEBRA
4
6
9
⋅12 ⋅15 ⋅ 5 11 13 4 10 ⋅ 3 ⋅ 5
+
12 12 x 5
∴ 6x + 8 = 4x + 12 2x = 4 x=2
= 5x −3 + 5x −4 + 5x −5 5 +5 +5
5. Calcula: 2
+
13. Luego de resolver:
() () () () +
1
+
x 4
+
6x 8
2
9. Simplifica:
Resolución: −2
⋅ 23
+
16 16 x 2
+
R
1
3x
x 1
4. Calcula: −2
+
Al tener producto de bases iguales se tiene:
(1 + 31 + 32 ) 3x+1 4 = x − 3 = 3 = 81 x −3 ( 2 1 ) 3 3 3 + 3 +1
=3
+
2 x 1
12. Luego de resolver: 2
x
⋅4
+ ⋅ 8x +2 = 16x +3
x 1
38
Determina el valor de:
(xy +
1 x
)
1−y
⋅ y x
2 Radicación y ecuación exponencial 3
RADICACIÓN EN
•
=b ⇒
n a
a
a∈ 0
b: raíz, b ∈
m
n
Además:
x
=x
m
n
n
=
x
Ejemplos: 3
=
9
•
3
•
•
9
n
2
2
n
= 16
•
=
¡Cuidado!
x
⋅
n
y
en
= 4 8⋅ 2 = 4
b
2
n a
=n
= 16
•
9 6 x3y3
16
x
48
=
= x2
x 24
y
p
=
z
n
x
=
⋅ n⋅m
m⋅n⋅p
y
⋅
n⋅m⋅p
z
x(am +b)+p +c
16
5
x
⋅
3
x
3
=
3
x
x
⋅
32
9
x
=
⋅ + =6
52 3
13
x
30
⋅⋅
523
( 3⋅2+1)⋅3+9 = x 30 = x x
Teorema:
;b ≠ 0
b
4 81
=4
5
Son aquellas donde la incógnita aparece tanto en la base como en el exponente.
=2
x
x
= aa ⇒
x
=a
= 27 ⇒ x x = 33 Resuelve: ∴ x = 3 1 Cuidado!! x x = 1 4 → x = Ejemplo:
Ejemplos: 4 81
=
24
ECUACIONES TRASCENDENTALES
= x3 y 2
Si n es par entonces a ≥ 0;b ≥ 0
•
x
•
3 x9 ⋅ 3 y 6
4
⋅4
x
48
p c xa m x b x
3
=
8
1
x
Ejemplos:
3 x9 ⋅ y 6
n a
2.
m
n
en
Ejemplos: •
x
−16 = ∃
si n es par entonces x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
3
Además:
x⋅y
=2
48
4
−8 = −2 puesto que (-2)8= -8
n
m⋅n⋅p
=
x
8
= 33 = 27
TEOREMAS 1.
=3
2
4. Radicales sucesivos
= 2 ya que
4 16
•
3
3 16
Ejemplos: •
m
=
2
m n p
3.
+
a: cantidad subradical;
3
= bn
n: índice; n ∈ N, n ≥ 2
16
x
x
4
=3 2
39
1 4
∨
x
=1
2
ÁLGEBRA
2
RADICACIÓN Y ECUACIÓN EXPONENCIAL
er
3. año
T��������� �� ����� Reemplazando el valor de “x” en el problema:
1. Calcula: 3
⇒
2
3
•
M
=
+ ( −8 )
42
5
3
+ = 2 x +4 ⇒
2x 1
5
+4 ⇒ 3x + 12 = 5x + 5 ⇒ x = 7
+ 125 3 3 8 5
x
+1
=
x
=
E
3+1
3
9⋅3
=
3
2
2
•
N
=3 5
•
P
=
⋅3
25
−
5
4
64
4
2
•
Q=
3
−
64
⋅
2
5. Resuelve:
+
= x +5
27
2
x
−5
−5 − 2 −1
−4
−4 + 1 −5
−2
3
⋅
x
5
3
3
J=
11
x
x
⋅
9 5
6
⋅
x
x
;x ≠ 0 M
⋅
17 11
=
⋅
x
8. Si:
17
x
x
3
x
4
⋅
x
4 3
x
−5 15 −3 7 3 x ⋅ x ⋅ x
=
x
3
5
27
;x ≠ 0
valor de:
E
=
9x
x +1
+
8
=
+
x 4
32
x
(3 ) ⋅ x 3
Tenemos que encontrar x para determinar lo que nos piden, para eso vemos que {27; 81} son potencias de 3, entonces:
3x
3x
=
27
5
( ) ( ) 3
3
3
4
3
=
27
15
3
⋅ x 3x = 22;
ÁLGEBRA
3
=
x+ 4
13. Resuelve:
⋅312 =
27
3
27
x
40
m
⋅ b m = (ab )m
⋅ x2x = 27
14. Reduce: x
x x
x=3
Re cordar : a
3
M=
5
2
⋅ x 3x = 4
∴x = 2
x 2
x
= 22
4 x
x
⇒ 3x = 2
Resolución: Como {8; 32} son potencias de 2, entonces:
27
( 3x )3x = 22
Resolución:
x 1
15
Resolución:
3
⋅ 81 , calcula el
x
x +y
7
3
4. Resuelve:
2
(x +2)veces
11. Si 3x = 5y , calcula E =
3
27 7
x +1
⋅ x +2
4 x
7. Reduce:
3. Reduce: x
x
3
12. Resuelve:
15
=
R
⋅ 324 , calcula
30veces
11 13
=9
2 ⋅ 2⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 =4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ 4
2. Resuelve: 14 13
2
6
3
10. Resuelve:
1024 −1
R=
2
16
el valor de:
6. Calcula: −4 −2 − 4−2−1 N = 25
13
= 7⋅2
81
3
5
=
3
9. Si:
x 3
243
+
5
8
3
4
3 .3
x
x
x +1
x
,x ≠ 0 2
3 Polinomios I 1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA
3. MONOMIO
Es una expresión matemática en la cual, para la variable o variables sólo se definen las operaciones aritméticas (adición, sustracción, multiplicación, división, potencia y raíz) un número finito de veces.
Ejemplos:
( )
• •
2
Ejemplos: •
Q(x) = 1 + x + x +x + …
Es una expresión algebraica que no admite las operaciones de adición y sustracción.
Ejemplos: •
−3
3x 3 y Q x; y = 5x y ; R x; y = 2xy
( )
P(x;y) = 3x 7y 5 – 2x3y 2- 8 es un polinomio
Ejemplo: 3 5
( )
R(x;y) = 2x 5y 4; Q x; y = 3xy 4
Es aquella expresión algebraica cuyos exponentes de sus variables son enteros no negativos (positi vos o cero)
3
2. TÉRMINO ALGEBRAICO
4. POLINOMIOS
3
R(x) = 6x-5 ;S x; y = 29x − 7 xy
Es un término algebraico, cuyos exponentes de sus variables son números naturales.
( )
•
3 R(x;y) = px y
2
+ 3x
2 5
+ 2xy 2
no es polinomio
A. Partes de un término algebraico
( )
P x; y
Zona de variables
=
•
8 5
5⋅p
x y
Q(x;y) = 2x
−3 y 4 − 3x 2y 5
no es polinomio
Coeficiente Parte literal
5. GRADOS DE UN POLINOMIO B. Términos semejantes
Los grados se clasifican en:
Son aquellos términos que tienen la misma parte lateral (las mismas variables afectados por los mismos exponentes)
A. Grado Relativo (G.R) Es el mayor exponente de la variable de referencia
Ejemplo: •
( )=
R x; y
( ) = 5x3y 5
2x 3y 5 ∧ Q x; y
Ejemplo: •
Por lo tanto R y Q son términos semejantes. 41
R(x;y) = 5x 3y 2 − px 4y
⇒ G.R(x) = 5
3
− 2x 5 y 2
∧ G.R.(y) = 3 ÁLGEBRA
3
er
3. año
POLINOMIOS I
B. Grado Absoluto (G.A.)
M = P(2) + P(0)
Se define como el grado de un polinomio.
M= 8 + 0
P(x; y;z) = 3x 5y 4z − 3x 2y 3z 2 + 3xy 6 G.A.(5+ 4+1) G.A.(2+ 3+ 2) G.A.(1+6) G.A.=7 G.A.=7 G.A.=10 ∴G.A(P) = 10
M = 10
7. CAMBIO DE VARIABLE Consiste en cambiar una variable por otra.
6. VALOR NUMÉRICO Es el resultado de cambiar la variable por una constante.
Ejemplo: Y Sea P(x) =2x -3, calcula P(3x - 5) Resolución: Pondremos “3x-5” donde vemos “x”
Ejemplo: Y Sea P(x) = 3x + 2; calcula M = P(2) + P(0) P(2) = 3(2) + 2 = 8
P (3x -5) = 2(3x -5) – 3
∴P(3x -5) = 6x -13
P(0) = 3(0) + 2 = 2
T��������� �� ����� 1. Si 5xa +3 ⋅ y 8 ∧ 3 x 8y b +2 son 5
términos semejantes, calcula “a +b”
2. Calcula el grado relativo y el grado absoluto en cada caso: P(x, y, z) = 3x 2y 5z 3 + px 4y 3z 6 +3x 7
Y
3 3
R(x; y) = 2x y
Y
10
3 6
+ 5x + 2 y
P(m) = 5(m +3) + 2
Resolución:
P(m) = 5m + 17
Recordar :
Ahora cambiamos la variable (m) por la variable que no piden que es (2x -1)
ΣCoeficientes=P(1) Término
=P(0)
Independiente
P(2x+1) = 5(2x-1) + 17 Por dato: T.I. = -15 en el polinomio
P(2x-1) = 10x +12
5. Si P(x +3) = 2x – 5, calcula P(x-5)
⇒ T.I. P(0) = (0-1)47 + (0+2)3 + 0-3 +a
3. Sea: P(x-1) = 2x – 3, calcula P(3) – P(-2)
4. Si: P(x-3) = 5x + 2, calcula P(2x-1) Resolución: Se cambia la variable (x-3) por (m) x
−3 = m
x
3
= m+3
ÁLGEBRA
6. Suma: 8x a + by16 ∧ bx8 y a −b
−15 = −1 + 23 − 3 + a −15 = 4 + a
7. Si el grado absoluto de R es 11,
∴ a = − 19
determine el valor de “n”. Ahora, la suma de coeficientes: R(x;y) = x 3n−1y n − 2x 2n −2y 2n + x n +3y 3n 47
3
8. Si: P(x) = (x-1) + (x +2) +x3+ a, y su término independiente es -15, calcula la suma de coeficientes de P(x) 42
ΣCoef = P(1) ΣCoef = (1 − 1)47 + (1 + 2) + 1 − 3 + a ΣCoef = 0 + 33 − 2 + a ΣCoef = 27 − 2 − 19 ∴ΣCoef = 6
er
POLINOMIOS I
9. Si: P(x) = (x-1) 42 + (x+1)4 + x + 2 + m, y su término independiente es 10, calcula la suma de coeficientes de P(x)
3. año
11. En el siguiente polinomio: a
b-1
P(x;y) = x y + x
a+1
b
y –x
n
a-
2
+ xa+3y b+1
n
Donde:
10. Sea F(x) un polinomio que cumple con F(x+1) =3F(x) -2F(x-1), además:
Resolución: Tenemos: F(x + 1)= 3F(x) – 2F(x – 1) Si: x = 5; reemplazamos ⇒ F(6) = 3F(5) – 2F(4) 4 = 3F(5) – 2(1) 4 + 2 = 3F(5) 2 = F(15)
n 3
°
=3 ∧
10
{
−n≥ 0
}∧ n ≤10
n = 0; 3; 6, 9; ...
≥7
∴ 7 ≤ n ≤ 10 ⇒
G.R(x) = 10, G.A. = (P)=113.
n
=9
Determina el G.R.(y)
13. Calcula el valor de “n” en el
F(4) = 1 ∧ F(6) =4. Calcula F(5)
−7 ≥ 0 ∧
siguiente polinomio.
12. Calcula el valor de “n” en el siguiente polinomio: P(x) = 2x
n −7
+
n 3x 3
P(x) = 7x
n −22
−
n 2x 5
+ 13x29−n
− 5x10–n
14. Si P(x) = ax 2 + bx + c Resolución:
Además:
Recordar que un polinomio tiene exponente enteros no negativos (positivo o cero)
43
P(0) = 3; P(-1) = 7; P(1) = 1 Calcula P(2)
ÁLGEBRA
3
4 Polinomios II POLINOMIOS ESPECIALES
4. Polinomios idénticos Dos polinomios en una variable y del mismo grado de la forma:
1. Polinomio ordenado Se dice ordenado respecto a alguna variable cuando su exponente solo aumenta o disminuye (creciente o decreciente).
P(x) = axn + bxm +cxp Q(x) = rx n + sxm + txp
Ejemplos: •
Son idénticos o iguales si y solo si:
P(x) = 3 + 2x2 + x3 + 6x7 Es creciente con respecto a x
•
Q(x;y) =
7
3 4
a
=r ; b=s ; c=t
17
2x + px y + 5xy
Es creciente con respecto a y
5. Polinomios idénticamente nulo
Es decreciente con respecto a x P(x) ≡ 0
2. Polinomio completo
Es aquel polinomio cuyos coeficientes son nulos.
Es aquel polinomio que tiene todo los exponentes de sus variables desde el mayor grado hasta el término independiente.
Sea P(x) = ax 3 + bx2 + cx +d Es idénticamente nulo, si y solo si:
Ejemplo:
a=b=c=d=0
P(x) = 5 + 2x – 3x + x 3 + 2x4
6. Polinomio Mónico
Tiene todos los exponentes y es de grado 4.
Se dice que un polinomio es Mónico cuando el coeficiente del término de mayor grado es 1.
3. Polinomio homogéneo
Un polinomio de dos o más términos y dos o más variables es homogéneo si cada término tiene el mismo grado absoluto. Ejemplo:
Ejemplos: Si P(x) = 3x 4 + (m -3)x 6 + 3x 2 -12; es Mónico, calcula “m”. Resolución:
7 2 6 3 3 5 4 P(x;y) = 3 x y − 2 x y + 2 x y G.A =9 G.A =9 G.A =9
Se busca el mayor grado que es 6, por lo tanto su coeficiente se iguala a 1.
Diremos que es homogéneo de grado 9 o grado
⇒ m–3=1 m=4
de homogeneidad es 9.
45
ÁLGEBRA
4
er
3. año
POLINOMIOS II
T��������� �� ����� 1. Indica V o F según corresponda Y
Y
Y
Y
2x2 + 3x + 5 ≡ (a+1)x2 +nx + x 2 + x + 5 entonces a =1 ∧ n = 3 ( ) Sea P(x)= 2x 2 + 3x2 + 2x + 3 + x4 es un polinomio completo. ( ) Sea R(x) = x+3x 2 + 2x3 + 2x + 3 +x 4 es un polinomio completo y ordenado en forma creciente ( ) Sea P(x) = 2x 4 + x3 + 3x2 -2x + x7 ( )
2. Si P(x) =2x a + 3x2 + x5 – 10x6 + xb + 7x 4 – 8x – 3 es un polinomio completo, calcula “a+b”. 3. Si P(x) = 3x P-2 + 5xm-1 + 2xn+2 – 7xr+6 es un polinomio completo y ordenado en forma creciente, calcula “m + n + p + r”.
6. Calcula la suma de coeficientes en el polinomio completo y ordenado en forma descendente:
P(x) = (m-2)xP-4+(n+2)xm+2 +
P(x) = (a + 3)x a+b -4 + bxb+c-7
pxn-3 ; x ≠ 0
+ (c +1)x a+c-4 , x ≠ 0 Resolución:
7. Calcula “a + b + c” en el siguiente polinomio:
2x2+ (2a+1)x2 + (b-2)x + c - 2
≡ 9x2 + 5x - 6 2
8. Calcula “a + b + c” si P(x)=2x – bx + 3 –ax 2 + 6x – c, es idénticamente nulo.
Agrupamos los términos semejantes para reducir el polinomio:
P(x) = x 2 ( 2 − a)
+ x ( −b + 6 ) + 3 − c
2−a = 0 2=a
↓
↓
x =0
−b+6 = 0 6=b
x =0
a+c–4=2 A+b=4 b+c=8 a+c=6 a+b=4 b+c=8 a+c=6 Suma de coeficientes: a+3+b+c+1
3−c = 0 3=c
∴a+ b + c = 11
Suma de coeficientes: a +b +c + 4 9+4
Resolución: Como P es Mónico, su coeficiente principal vale 1, este es el coeficiente que acompaña a la variable de mayor grado.
⇒3 – m = 1 ⇒m = 2 Luego: P(x) = 2x5 – 14x3 + x6 + 5
9. P(x) =3x2 + bx + 5 – ax 2 – 2x + c, es idénticamente nulo, calcula “a + b + c”. 10. Si: P(x;y) = 2x 2n+1 y n+2 + xny m+2n + xp + m es homogéneo de grado 24, halla “p”.
13. Calcula la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado en forma decreciente.
P(x) = (2a- 1)x a+b-2 + (2b + 3)
11. Si el polinomio:
= 2 – 14 + 1 + 5= -6 4
Suma de coeficientes: 13.
xb+c-3 + (2c + 5)x a+ c - 4 ; x ≠ 0
Suma de coeficientes
5
5. Si P(x) = mx + (m+1)x + (m -3)x9 – 1; es un polinomio Mónico, calcula la suma de coeficientes.
ÁLGEBRA
b+c–7=1
2a + 2b + 2c =18 ⇒ a +b + c = 9
P(x) = 2x2 − bx + 3 − ax2 + 6x −c
↓
4
A+b–4=0
Resolución:
x =0
4. Si P(x) = mx 5 – 7mx 3 + (3-m) x6 + 5 es un polinomio Mónico, calcula la suma de sus coeficientes.
12. Calcula la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado en forma creciente.
P(x) = 5x
k −2
+ 3x k −3 + ... + x m−10
Es completo y ordenado en forma creciente y tiene 18 términos, calcula “m + k”.
46
14. Indica el valor de “a + b” si el polinomio:
P(x) = (a 3 + 27)x2 + (b3 – 7)x + 5 es lineal y Mónico.
5 División algebraica de polinomios 1. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DIVISIÓN ENTERA
DE
Paso 3: Se multiplica el término hallado del cociente por cada uno de los términos del divisor, y este producto se resta del dividendo. Para esto los términos del producto se cambian de signo.
Dado los polinomios dividendo (D(x)), divisor (d(x)), cociente (q(x)) y residuo (R(x)), se cumple:
D(x) ≡ d(x) ⋅ q(x) + R(x)
2. PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN Grado D(x) ≥ Grado d(x)
Ejemplo: Dividir:
6x
5
Y
Y
Y
Y
+ 5x 4 + 38x2 − 22x + 6 2 2x − 3x + 1
Grado q(x) = Grado D(x) – Grado d(x)
Resolución: Vemos que están ordenados solo falta completar.
Grado R (x) < Grado d (x)
Máx: Grado R(x) = Grado d(x)–1
¡Cuidado!
−6x + 12 = −2x + 3x
3
x
3
4 x
3
Pero al dividir no nos genera un polinomio.
3. MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN NORMAL Paso 1: Se ordenan y se completan los polinomios dividendo y divisor (opcional completar), en forma descendente; y se escriben tal como vamos a dividir numéricamente. Paso 2: Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo el primer término del cociente.
47
q(x) = 3x 3 + 7x2 + 9x + 29 R(x) = 56x – 23
ÁLGEBRA
5
DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS
er
3. año
T��������� �� ����� 1. Calcula el grado del cociente y el grado máximo de residuo en cada caso: Y
Y
Y
2x
3x
4
+ 2x2 + x + 1 x +1
+ 2x5 + x + 5 3 2 2x + 3x + 1
6x
x
4
2
+ 3x + x + 2 2 2x + x + 2
3
5. Halla el cociente de dividir:
4
2. Sea un polinomio: P(x) = 2x
2
+ 3x + m se divide
entre x – 1, genera un residuo igual a 7. Calcula “m”. 3
3. Divide P(x) = x + 2x + 2 entre d(x) = x − 1
4. Calcula el resto de la división:
+ 2x 2 + 3x + 4 2 x + x +2
6. Al dividir P(x) = x 3 + 2x − 2 entre d(x) = x − 1 , se obtiene un cociente igual a: ax 2+bx+c. Calcula “(a+b+c)”. 7. Al dividir D(x) = 8x
4
− 6x 2 + 9x − 2
entre d(x) = 2x 2 + x − 2 se obtuvo como residuo a mx + 2. Calcula “m4”. 8. Al dividir mediante el método 3 2 clásico: 2x + 2x + Ax + B se 2
−1 obtuvo como resto 2x + 3, calcula “A + B”. Resolución: 2x
4
− 6x 4 + 14x3 − 30x2 + 16x − 9 3 3x + 2x − 6
11. Calcula “K” en la división 3 2 exacta: 20x − 7x + 29x + k 4x + 1 12. Si el polinomio P(x) = x
4
+ ax3 − bx2 + cx − 1
es divisible por (x − 1)(x + 1)(x − 2) el valor de “a + b + c” es: Resolución: Utilizamos la identidad fundamental de la división: D(x) ≡ q(x) ⋅ d(x) + R(x) 4
+ ax3 − bx 2 + cx − 1 = (x − 1)
1 − a − b − c −1 = (−1 − 1)( 1 + 1)(−1 − 2)d(x) + 0 − 0
∴a + b + c = 0
⇒ A + 1= 2 ∧B + 1= 3 ⇒A =1 ∧ B = 2 ∴A + B = 3 9. Al dividir mediante el método
ÁLGEBRA
5
Para x = –1:
5
12x
(x + 1)(x − 2)d(x) + 0
1) x + B + 1 ⇒ R(x) = (A + Por dato: R(x) = 2x + 3
∴ R(x) = 0
10. Calcula la suma de coeficientes del resto al dividir mediante el método clásico:
a
+ 6x 3 + 4x2 + x − 2 2 3x + x − 1 Resolución: Verificamos que tanto el dividendo como el divisor estén completos y ordenados en forma descendente. Luego hacemos: 9x
obtuvo como resto 4x + 2, calcula “A + B”.
clásico:
6x
3
48
+ 3x 2 + Ax + B se 2 3x − 2
13. Si el polinomio: 5 3 2 P(x) = x + mx + nx + 3x − 2 es divisible por (x − 1)(x + 1) , entonces el valor de “m . n” es: 14. El resto de la división de un polinomio P(x) entre x2 + 3x + 2 es 2x + 3 y entre x 2 + 2x − 3 es x – 2. Calcula el resto de la di visión de P(x) entre x2 − 1 .
6 Productos Notables I PRODUCTOS NOTABLES
Y
Son los resultados de ciertas multiplicaciones de polinomios de forma conocida. Estos resultados se pueden determinar directamente sin necesidad de efectuar la propiedad distributiva de la multiplicación. Ejemplo:
Y
x + 8x + 15 Y
2
2
+ (5m − 2n)2 = 2(25m2 + 4n2 )
2
(a + b)(a − b) = a − b
Ejemplos:
2
Ejemplos:
(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)⋅ (3y) + (3y)2 Y
= 4x2 + 12xy + 9y 2 2
(2m − 5n)
Y
2
= 4m − 20mn + 25n 2
(x + 3)
2
2
Y
= x2 + 6x + 9 2
2
(x + 3)(x − 3) = (x) − (3)
= x2 − 9
= (x)2 + 2(x)(3) + (3)2
(n − 5) = (n)
(3x + 2y)(3x − 2y) = (3x)2 − (2y)2 (3x + 2y)(3x − 2y) = 9x 2 − 4y 2
= (2m)2 − 2(2m)(5n) + (5n)2 2
Y
+ (5m − 2n)2 = 2((5m)2 + (2n)2 )
(3x + 2y)2 − (3x − 2y)2 = 4(3x)(2y)
(a ± b)2 = (a)2 ± 2(a)(b) + (b )
Y
2
(5m + 2n)
3. Diferencia de cuadrados
1. Trinomio cuadrado perfecto
Y
2
(3x + 2y)2 − (3x − 2y)2 = 24xy
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
Y
2
(5m + 2n)
Producto notable
2
(x + 3) – (x − 3) = 12x
2
(x + 3)(x + 5) =
2
(x + 3) –(x − 3) = 4(x)(3)
(2x 2 + 3y 3)(2x 2 − 3y 3) = (2x 2) − (3y 3)
2
= 4x 4 − 9y 6
− 2(n)(5) + (5)2
= n2 − 10n + 25
4. Multiplicación de dos binomios con un término en común (Regla de Steven)
2. Identidades de Legendre
(x + a)(x + b) = x 2 +(a + b)x + ab
2 2 2 2 (a + b) + (a − b) = 2(a + b )
(a + b)2 − (a − b)2 = 4(a)(b) 4
4
2
2
(a + b) − (a − b) = 8ab(a + b )
Ejemplos: Y
2
(x + 5)(x + 3) = x + (5 + 3)x + (5)(3)
= x2 + 8x + 15
Ejemplos: Y
2
(x + 5)
2
(x + 5)
+ (x − 5)2 = 2(x 2 + 52 ) 2
Y
(x − 7)(x + 3) = x
2
+ (x − 5) = 2(x + 25)
2
+ (−7 + 3)x + (−7)(3)
= x2 − 4x − 21 49
ÁLGEBRA
6
er
3. año
PRODUCTOS NOTABLES I
T��������� �� ����� 1. Indica V o F según corresponda. Y
(2x + 3y)2 = 4x2 + 9y 2 (
Y
2
2
(2m − n) = 4m − n
( Y
)
) 2
(4m + 3n)
(
2
= 4m2 + 24mn + 9n2
Luego: P
4
+2 1
=6
Calcula: “x + y”.
∴P = 6 12. Si (x 2 + y 2 ) ⋅ x −1 ⋅ y −1 = 2.
Calcula el valor de:
5. Efectúa: R =
)
=
11. Si x − y = 2 ∧ xy = 3.
( 5 + 2)( 5 − 2)
6. S i x + y)2 = 36 ∧ xy
2. Desarrolla:
Partimos del dato:
2 2
A = (5m + 3n )
⇒ (x 2 + y 2) ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 x y
7. Reduce:
(3x + 4y)2 − (3x − 4y)2 R = xy
3. Desarrolla: J=
(
(x + y)2
Resolución:
=8.
Calcula: “x2 + y 2”. 2
E=
( 6 + 2)( 6 − 2) + ( 7 − 1)( 7 + 1)
x 2 + xy + y2
13 − 5
2 2 ⇒ x +y − 2xy =0
2
)
⇒ x 2 + y 2 = 2xy
8. Si a + b = 7 ∧ ab = 3.
(x − y)2
0
Calcula “a2 + b2” 4. Efectúa:
P=
Resolución:
( 5 + 1)( 5 − 1) + ( 3 + 1)( 3 − 1) ( 2 + 1)( 2 − 1)
En el problema:
Partimos de (a + b) 2 2
(a + b)
Y
Y
( 5 + 1)( 5 − 1) = ( 5 )
2
( 3 + 1)( 3 − 1) = ( 3 )
2
− 12 = 5 − 1 = 4 − 12 = 3 − 1 = 2
(x + y)2
3
E=
Se tiene:
Como podemos observar tanto en el numerador como denominador se puede utilizar: 2 2 (a + b)(a − b) = a − b
x 2 + x ⋅ x + x2
E=
2 = a 2 + 2 ab +b
7
Resolución:
=0⇒ x–y =0 ⇒ x = y
x
2
+ x2 + x2 = 3 x2 ⇒ E = 3 2 (2x)
2
2
4x
2
4
2
7 = a + 2(3) + b 2
2
49 − 6 = a + b
13. Si (x
∴ a2 + b2 = 43
2
+ y 2) ⋅ x −1 ⋅ y −1 = 2.
Halla el valor de: R =
9. Si a + b = 3 ∧ a 2 + b2 = 7 .
3xy + 2x 2 (x + y)3
Calcula “ab”. 14. Halla el valor de:
Y
6
( 2 + 1)( 2 − 1) = ( 2 )
ÁLGEBRA
2
− 12 = 2 − 1 = 1
10. Si x +
1 x
2
= 5, calcula “ x +
1 x
50
2
”
8
2
V = 8 ⋅ (3
+ 1)(34 + 1)(38 + 1) + 1
7 Productos Notables II 1. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO 3
(a + b)
3
(a + b)
3
Y
Y
3
≡ a + b + 3ab(a + b)
3
≡ a 3 − b3 − 3ab(a − b)
3
2
2
(x + 2) = (x) + 3(x) (2) + 3(x)(2) + (2)
3
3
3
3
= a 3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
2
2
3
4. IDENTIDADES CONDICIONALES
2
3
Si
3
Si x + y = 3 ∧ xy = 4, hallar: x + y
Y
Resolución: Partimos de:
Y
3
3
Y
3
(x + y) = x + y + 3 xy (x + y)
(2x + 3y + z)2 = (2x)2 + (3y)2 + (z)2 + 2 (2x)(3y) + (2x)(z) + (3y)(z) (2x + 3y + z )2 = 4x2 + 9y2 + z2 + 2(6xy + 2 xz + 3yz)
= x − 9x + 27x − 27 Y
= a 2 + b2 + c 2 + 2(ab + bc + ac)
Ejemplo: Y
(x − 3) = (x) − 3(x) (3) + 3(x)(3) − (3) 3
3
2
(a + b + c)
= x 3 + 6x 2 + 12x + 8 Y
3
2 2 3 3 2m − 3n)(4m + 6mn + 9n ) = (2m) − (3n)
(a + b + c)
3
3
3. DESARROLLO DE TRINOMIO AL CUADRADO Y AL CUBO
Ejemplos: Y
2
(x + 3)(x − 3x + 9) = (x) + (3) = x + 27
= 8m3 − 27n3
≡ (a)3 − 3(a)2(b) + 3(a)(b)2 − (b)3
(a + b)
Ejemplos:
≡ (a)3 + 3(a)2(b) + 3(a)(b)2 + (b)3
3
(a − b)
a+b+ c=0
2
2
se verifican: 2
a + b + c = −2(ab + bc + ac) 2 2 2 2 (ab + bc + ac) = (ab) + (bc) + (ac) a
3
+ b3 + c3 = 3abc
3
4
3
33 = x 3 + y 3 + 3(4)(3)
Ejemplo: 3 3 3 x +y +z Si x + y + z = 0; calcula: E = 4xyz
∴x3 + y 3 = −9
Resolución: x 3 + y 3 + z3 = 3xyz
2. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
(a + b)(a
2
− ab + b2) = a 3 + b3
(a − b)(a
2
+ ab + b2) = a 3 − b 3
⇒E=
3xyz 4xyz
∴E = 3 4
51
ÁLGEBRA
7
er
3. año
PRODUCTOS NOTABLES II
T��������� �� ����� 1.
Desarrolla:
xyz = 4
Calcula: 3
3
3
(x − 3y)3
Y
(x + 2y)(x 2 − 2xy + 4y 2)
Y
2 2 (2m − n)(4m + 2mn + n )
6.
Si m + n = 4 ∧ mn = 2.
11.
Reduce:
A = (m + 2)(m − 2)(m
7.
2
− 2m + 4)(m2 + 2m + 4) +64
8.
Calcula el valor numérico de “xy”.
∴M = 2
3
3
2
3
3
3xyz
1
9xyz
+ ab + b ) = (a) − (b)
10
60 2
= 60 + 2(ab + bc + ac) 40 = 2(ab + bc + ac) ∴ ab + bc + ac = 20
10
= 1
3
3
= a2 + b2 + c 2 + 2(ab + bc + ac)
+ b +c) (a
13.
− ab + b ) = (a) + (b)
Si a + b + c = 8 ab + bc + ac = 15
9.
3
A = 27x + 8 − 27x + 8 10.
Calcula a2 + b2 + c2
Si m + n + p = 0 ∧ mnp = 5. Calcula m3 + n3 + p3
3
A = 27x + 8 − (27x − 8)
A = 16
+ b2 + c2 = 60
2
en el problema: M =
3
2
Partimos de:
Resolución:
3
3
Resolución
3 3 3 x +y +z = 9xyz
A = (3x + 2)(9x2 − 6x + 4) − (3x −2)(9x 2 + 6x + 4)
ÁLGEBRA
a
− xy + y ) − 4x y
Por dato: x + y + z = 0 se cumple: x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz
(a − b)(a
3
Si a + b + c = 10;
3 3
Resolución:
De:
7
22
Si x+y+z = 0, calcula el valor de:
Reduce:
2
3
(a − 3) + (b − 6) + (c − 2) a −3 c −2 b −6
Calcula: ab + bc + ac
Si x − y = 4 ∧ x3 − y3 = − 12.
(a + b)(a
A=
12.
Halla: K = (x + y) (x
2
Si a + b + c = 11, calcula el valor de:
3 3 Si x + y = 2 ; xy = 4 .
2 2
4.
x+y+z = 3
+ (3 5 − 3 3)(3 25 + 3 15 + 3 9)
Y
Calcula el valor numérico de: 3 3 m +n
3.
Calcula el valor de:
3
B = (3 7 + 2)(3 49 − 14 + 4)
3
(a + 2b)
Y
2.
5.
Si 3 x + 3 y + 3 z = 0
52
14.
Si x + y + z = 0, calcula:
x 3 + y3 + z3 x2 + y2 + z2 + M= xyz xy + xz + yz
8 Repaso 1.
2.
Resuelve: a) 2 c) 6 e) 10
32
= 4 x +3
x
5.
b) 4 d) 8
a)
e)
Reduce: x ⋅ x ⋅ x...x ⋅ x ⋅ x ⋅ x...x
⋅ x ⋅ x...x x (2n −2)veces
a) x4 c) x 2 e) x 10
6.
Calcula el exponente final de
4.
E
=
x
x
5
x
d) 2
E
= 3
a) x6 c) x 9 e) x 10
x
x
8
−4
⋅ ⋅
7
10
x
x
−4
⋅
11.
11
5
b) x8 d) x7
x
−4
Si a + b + c = 0, calcula:
Divide
x
3
3
+ b3 + c3 12abc
a) 1/3 c) 1/4 e) 4 12.
b) 1/5 d) 1/6
Si a b
− 3x2 + x − 7 . 2 x −1
Calcula
Calcula el cociente. a) x – 3 b) x c) –x – 3 d) x + 3 e) x + 2
53
a
2
es idénticamente nulo. alcula: “a + b + c”. a) -1 b) -2 c) -3 d) 1 e) 2 x
Si a – b = 5 ∧ ab = 2. Calcula “a 3 − b3 ” a) 151 b) 152 c) 154 d) 155 e) 160
E=
P(x) = ax + bx − 3x + 7x + c − 3
8.
Si a + b = 7 ∧ ab = 3. Calcula “ a2 + b2 ” a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) 43
Si
2
5
⋅
10.
Sea el polinomio
Reduce: 7
2
2
b) 4 d) 7
3
4
donde GR(x) = 8, calcula el grado absoluto de P(x). a) 19 b) 14 c) 13 d) 12 e) 15 7.
“x”: a) 2 c) 3 e) 5
9.
b
P(x, y) = 2x n y14 + 3xn +2 y5 + xn +3 y6
; x≠0
b) x6 d) x8
63
8
a
b) 2
2
c) 4
(n+3)veces (n+1)veces
3.
Si: ab = bb = 16. Calcule
a
+ b = 2. a
2
+ 3ab + b2 5ab
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
ÁLGEBRA
8
3.er año
ÁLGEBRA
B�����������
8
1.
Matemática – C iencias: Álgebra 3er año. Lima: Paz, 2009.
2.
Álgebra Suprior. Lima: San Marcos S.A.
3.
ROJAS PUÉMAPE, Alfonso: Matemática 3. Lima. C olección Skanner, 2013.
ÁLGEBRA
54
Álgebra
1 Factorización I FACTORIZACIÓN
En caso de no haber algún factor común, se agrupará convenientemente tratando de que aparezca algún factor común.
Es transformar un polinomio en el producto indicado de factores primos. En la multiplicación algebraica se tiene: (x + 3)(x2 – 3x + 9) ≡ x3 + 27 factores producto
El problema que nos planteamos ahora es el siguiente: dado el polinomio producto, debemos hallar los factores que lo originan. Si conseguimos los factores, se habrá factorizado el polinomio. Así: x3 + 27 ≡ (x + 3)(x2 – 3x + 9)
Ejemplos: Factoriza: 5x10y 5 – 10x7y 8 – 25x11y 9 = 5x7y 5(x3 – 2y 3 – 5x4y 4) Factoriza: (a + b + c)m2 + (a + b + c)n2 + (a + b + c)p2 = (a + b + c)(m2 + n2 + p2) Factoriza: a2x2 + b2y 2 + a2y 2 + b2x2
Factor primo Es aquel polinomio que no admite descomposición.
Ejemplos: x : Z Z x+1 : x–2 : Z
Agrupando en forma conveniente: a2(x2 + y 2) + b2(x2 + y 2)
1; x 1; x + 1 1; x – 2
Sacando el factor común: (x2 + y 2)(a2 + b2)
Conteo de factores primos
2. Criterio de las identidades
El número de factores primos de un polinomio (factorizado) se obtiene contando los factores primos que se encuentran como base de una potencia y que contienen la variable.
Consiste en aplicar los productos notables en forma inversa.
A. Trinomio cuadrado perfecto (x ± y) = x2 ± 2xy + y 2 ↓ ↓ x y 2(x)(y) = 2xy
Ejemplos: P(x) = 4(x – 2)2(x + 3)2(x + y)5 Z Tiene 3 factores primos Q(x) = 3x(x – 3) 2(x2 + 2)2(x2 + y)2 Z Tiene 4 factores primos: Y 2 lineales: x; x – 3 Y 2 cuadráticas: x2 + 2; x2 + y
x2 + 6xy + 9y 2 = (x + 3y)2 ↓ ↓ x 3y 2(x)(3y) = 6xy
Criterios para factorizar Existen diversos criterios para factorizar polinomios, entre ellos tenemos:
B. Diferencia de cuadrados
1. Factor común y agrupación Se aplica en polinomios donde todos sus términos tienen una o más variables y/o constantes comunes. 3.ER
AÑO
Factoriza:
(x + y)(x – y) = x 2 – y 2
25
ÁLGEBRA
1
FACTORIZACIÓN I
Factoriza: x4 – 1 Resolución: Dando la forma de diferencia de cuadrados: (x2)2 – (1)2 = (x2 + 1)(x2 – 1) Podemos seguir descomponiendo: x4 – 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x – 1)
P(x) = Ax2n + Bxn + C o P(x;y) = Ax2m + Bxmy n + Cy 2n {m, n} C N
Ejemplos: Factoriza:
C. Suma y diferencia de cubos (x + y)(x2 – xy + y 2) = x3 + y 3 (x – y)(x2 + xy + y 2) = x3 – y 3 Factoriza: 64a6 – b6 Por diferencia de cuadrados (8a3 + b3)(8a3 – b3) Ahora factorizamos por suma y diferencia de cubos: (2a + b)(4a2 – 2ab + b2)(2a – b)(4a2 + 2ab + b2)
P(x) = x2 + 8x + 15 x 5 ⇒ +5x x 3 ⇒ +3x 8x
Luego: Se toman los factores en forma horizontal. P(x) = (x + 5)(x + 3)
Factoriza: P(x) = 10x2 – 13x – 3, descomponiendo los extremos 10x2 – 13x – 3 5x 1 ⇒ 2x 2x –3 ⇒ –15x –13x
Luego: P(x) = (5x + 1)(2x – 3)
3. Criterio de aspa simple Se aplica para factorizar polinomios de la siguiente forma:
Trabajando en clase Integral
5. Factoriza: P(m, n) = 3m2 + n2 – mn – 3mn e indica el factor primo con mayor suma de coeficientes.
1. Determina el número de factores primos en el polinomio: Y P(x, y) = 51a3x5y 3(x – 3)4(2x + 3y)6 Y Q(x, z) = 13y 4x3(x + y) 4(x + z)4z7(y + 1)3
6. Factoriza: P(x) = 6x2 – x – 2 indica la suma de factores primos.
2. Factoriza: P(m, n) = 3mn – 6m2 + 12m
7. Factoriza: P(x) = x2 – 3x – 40 e indica el factor primo con mayor término independiente.
3. Factoriza: P(x, y) = 3x2y 3 + 6x3y 2 + 9x4y e indica la cantidad de factores primos.
UNMSM 8. Factoriza:
PUCP
P(x, y) = x 2 + xz + yz – y 2 señala la suma de factores primos. Resolución: P(x; y) = x2 + xz + yz – y 2
4. Factoriza: P(x, y) = 2x2 + y 2 – xy – 2xy e indica la suma de factores primos. Resolución: P(x; y) = 2x2 + y 2 – xy – 2xy
Agrupamos de dos en dos: P(x; y) = x2 – y 2 + z(x + y) P(x; y) = (x – y)(x + y) + z(x + y) P(x; y) = (x + y)(x – y + z) x+y + F.P = x–y+z Suma de F P. = 2x + z
Agrupamos de dos en dos: P(x; y) = 2x(x – y) – y(x – y) P(x; y) = (x – y)(2x – y) Sumamos: x – y + 2x – y 3x – 2y
1
ÁLGEBRA
26
3.ER
AÑO
FACTORIZACIÓN I
9. Factoriza: P(m, n) = m2 + mp – np – n2
M(x, y) = (x3 + y 3)(x3 – y 3) Obs. (x3 + y 3) = (x + y)(x 2 – xy + y 2) x3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2)
10. Factoriza: P(m, n) = 4m2 – n2 11. Factoriza: R(x, y) = x3 – 8y 3. Indica el factor primo con mayor suma de coeficientes.
⇒ M(x, y) = (x + y)(x 2 – xy + y 2)(x – y)(x2 + xy + y 2)
UNI 12. Factoriza:
13. Factoriza: P(x, y) = x 2 + 2xy + y 2 + xz + yz
M(x, y) = x – y 6
6
Resolución: M(x, y) = x6 – y 6 = (x3 + y 3)(x3 – y 3) ↓ ↓
14. Factoriza: F(x) = x4 – 5x2 + 4 e indica la cantidad de factores primos.
x3 y 3
3.ER
AÑO
27
ÁLGEBRA
1
2 Factorización II CRITERIO DEL ASPA DOBLE
Resolución: Descomponiendo los extremos: x4 + 7x 3 + 14x2 + 7x + 1 SDT: 14x2 x2 3x 1 ST: 2x2 4x x2 1 Falta: 12x2
Se empla para factorizar polinomios que tienen la siguiente forma general: Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F
∴ P(x) = (x2 + 3x + 1)(x2 + 4x + 1)
1. Se trazan dos aspas simples entre los términos Ax2 ∧ Cy 2; Cy 2 ∧ F. 2. Se traza un aspa grande entre los extremos Ax2 ∧ F. 3. Se verifican las aspas simples y el aspa grande. 4. Se toman los factores en forma horizontal.
Observación: SDT: se debe tener ST: se tiene
Ejemplo: Factoriza: P(x, y) = 6x2 + 13xy + 6y 2 + 7x + 8y + 2
CRITERIO DE LOS DIVISORES BINOMIOS Este método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y que admiten factores de primer grado.
Resolución: Aplicando las aspas simples: 6x2 + 13xy + 6y 2 + 7x + 8y + 2 3x 2y 2 2x 3y 1 Entonces, la forma factorizada es: (3x + 2y + 2)(2x + 3y + 1)
Ejemplo: Factorizar: P(x) = x3 – 7x + 6 Resolución: I. Los posibles ceros racionales son: ± {1; 2; 3; 6} Veamos: P(1) = 1 – 7 + 6 = 0 ⇒ (x – 1) es un factor
CRITERIO DE DOBLE ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomios de cuarto grado, de forma general. Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
II. El otro factor por la regla de Ruffini:
1. Se aplica un aspa simple en los extremos Ax 4 ∧ E. 2. El resultado se resta del término central Cx2. 3. Se expresa la diferencia en dos factores y se coloca debajo del término central. 4. Luego se aplica dos aspas simples y se toman horizontalmente.
x=1
P(x) = x4 + 7x3 + 14x2 + 7x + 1 ÁLGEBRA
1 ↓ 1
0 –7 6 1 1 –6 1 –6 0 q(x)
Recordar P(x) ≡ (x – 1)q(x) ⇒ P(x) ≡ (x – 1)(x2 + x – 6) x 3 x –2 ∴ P(x) = (x – 1)(x + 3)(x – 2)
Ejemplo: Factoriza:
2
[P(x) ÷ (x – 1)]
28
3.ER
AÑO
FACTORIZACIÓN II
Trabajando en clase Integral 1 1 ↓ 1
1. Factoriza: P(x, y) = 3x2 + 7xy + 2y 2 + 7y + 12x + 6 2. Factoriza: P(x, y) = –3x + 14x 2 – 2y – 2xy – 2
9. Factoriza:
UPCP
F(x) = 2x3 + 7x2 + 7x + 2
4. Factoriza: P(x) = x4 + 3x3 + 7x2 + 7x + 6
10. Factoriza: F(x, y) = 12x2 + 5xy – 17x + 7y – 2y 2 – 5
Resolución: P(x) = x4 + 3x3 + 7x2 + 7x + 6 x2 2x 3 = 3x2 x2 x 2 = 2x2 ST = 5x2 SDT = 7x2 ST = 5x2
11. Factoriza: P(x) = x4 + 9x3 + 23x2 + 21x + 6 UNI 12. Factoriza: P(x) = x5 – 3x3 + 2x2 – 4x – 8 Resolución: PSD = ±{1; 2; 4; 8} 1 0 –3 2 –4 –8 ↓ 2 2 4 2 8 8 1 2 1 4 4 0 ↓ –1 –1 –1 0 –4 1 1 0 4 0 ↓ –2 –2 2 –4 1 –1 2 0 ∴ P(x) = (x – 2)(x + 1)(x + 2)(x2 – x + 2)
= 2x2 P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 + x + 2)
5. Factoriza: P(x) = x4 + 5x3 + 13x2 + 17x + 12 6. Factoriza: P(x) = 6x4 + 5x3 + 3x2 – 3x + 2 7. Factoriza: P(x) = 2x4 – 13x – 3(x3 – x2 – 2) UNMSM
13. Factoriza: P(x) = 4x5 – 29x3 – 24x2 + 7x + 6
8. Factoriza: A = x3 – 3x2 – x + 3 Resolución: PSD = ±{1; 3} = ±{1; 3}
AÑO
–1 3 –2 –3 –3 0
A = (x 2 – 2x – 3)(x – 1) x –3 x +1 ⇒ A = (x – 3)(x + 1)(x – 1)
3. Factoriza: P(x, y) = 3x2 + 2y 2 – 2z2 + 5xy – 5xz – 3yz
3.ER
–3 1 –2
14. Factoriza: P(x) = (x2 + 2x)(x2 – x) + 7x + 3
29
ÁLGEBRA
2
3 Ecuación de segundo grado I FORMA GENERAL
Y
Presenta la siguiente forma: ax2 + bx + C = 0; a ≠ 0
Calculando el discriminante ( ∆) ∆ = 42 – 4(4)(1) ∆ = 16 – 16 → ∆ = 0
a, b y c son constantes; x → incógnita Además: Z ax2 ⇒ Z a ⇒ bx ⇒ Z Z b ⇒ c ⇒ Z
término cuadrático coeficiente cuadrático término lineal coeficiente lineal término independiente
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SE� GUNDO GRADO Por factorización Se aplica fundamentalmente el criterio de factorización por aspa simple, factor común y diferencia de cuadrados.
Ejemplos: 3x2 + 2x + 5 = 0 Z Se observa: a = 3; b = 2; c = 5 Término cuadrático: 3x2 Coeficiente cuadrático: 3 Término lineal: 2x Coeficiente lineal: 2 Término independiente: 5 Z
Z
a. Para ecuaciones incompletas Se llaman incompletas porque le falta uno de los términos. Presentan las siguientes formas: Y ax2 + bx = 0
Ten en cuenta que toda ecuación de segundo grado presenta dos raíces «x 1» y «x2», pero una o dos soluciones. Se define el discriminante (∆) de la ecuación de segundo grado.
Ejemplos: Resuelve: x 2 + 5x = 0 Por factor común: x(x + 5) = 0 0 0 Se iguala a cero cada factor: x=0 o x+5=0 x = 0 o x = –5 ∴ C S. = {0; –5}
●
∆ = b2 – 4ac
Ejemplos: Y Define el discriminante de la siguiente ecuación: 2x2 – x + 3 = 0; a = 2; b = –1; c = 3
Y
3
ax2 + c = 0
Y
Ejemplos: Resuelve: x 2 – 16 = 0 Por diferencia de cuadrados x2 – 42 = 0 (x + 4)(x – 4) = 0 0 0 Se iguala a cero cada factor: x+4=0 o x–4=0 x = –4 o x = 4 ∴ C S. = {–4; 4}
●
Calculando el discriminante (∆) ∆ = (–1)2 – 4(2)(3) ∆ = 1 – 24 → ∆ = –23 Define el discriminante: x2 – 2x – 5 = 0 a = 1; b = –2; c = –5 Calculando el discriminante: ∆ = (–2)2 – 4(1)(–5) ∆ = 4 + 20 → ∆ = 24 ÁLGEBRA
Define el discriminante: 4x2 + 4x + 1 = 0 a = 4; b = 4 y c = 1
30
3.ER
AÑO
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO I
b. Para ecuaciones completas
Se iguala a cero cada factor: x–3=0 o x–2=0 x=3 o x=2 ∴ C.S. = {2; 3}
Es cuando aparecen todos los términos. Presenta la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
Y
Ejemplos: Y Resuelve: x 2 – 5x + 6 = 0 Por el método de aspa simple: Los factores se forman en forma horizontal
x2 – 5x + 6 = 0 →x –3 → –3x –2 → –2x →x –5x
Resuelve: x2 + 3x – 18 = 0 Por el método de aspa simple: Los x2 + 3x – 18 = 0 factores +6 → +6x →x se forman →x –3 → –3x en forma +3x horizontal ⇒ (x + 6)(x – 3) = 0 0 0 Se iguala a cero cada factor: x+6=0 o x–3=0 x = –6 o x = 3 ∴ C S. = {–6; 3}
+
⇒ (x – 3)(x – 2) = 0 0 0
+
Trabajando en clase Integral
5. Resuelve: 5x2 – 45 = 0 indica la menor raíz.
1. Calcula el discriminante en cada ecuación: a) 2x2 – 3x – 2 = 0 b) 3x2 – x + 2 = 0 c) 2x2 + 8x + 8 = 0
6. Resuelve: 3x2 – 10x = 0 da como respuesta la menor raíz.
2. Calcula el discriminante de la siguiente ecuación: mx2 + (2m – 2)x + m = 0
7. Resuelve: (2x + 1)2 = x2 + 1
3. Resuelve: x2 – 81 = 0
UNMSM UPCP 8. Resuelve:
4. Resuelve:
x2 – 5x – 24 da como respuesta la suma de raíces. Resolución: x2 – 5x – 24 x –8 –8x x +3 +3x –5x
3x2 – 75 = 0 e indica la mayor raíz. Resolución: 25 2 (3x – 75 = 0) simplificamos x2 – 25 = 0 x2 – 52 = 0 Obs: (x + 5)(x – 5) = 0 a2 – b2 = (a + b)(a – b) =0 =0 x+5=0∨x–5=0 x = –5 ∨ x = 5 C.S = {–5; 5} Rpta.: Mayor raíz es 5.
3.ER
AÑO
Los factores se toman en forma horizontal. (x – 8)(x + 3) = 0 =0 =0 x – 8 = 0 ∨ x + 3 = 0 x = 8 ∨ x = –3 C.S = {–3; 8} Rpta.: suma de raíces = 5
31
ÁLGEBRA
3
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO I
9. Resuelve:
–11 = m2 – 6m + 9 – 4m – 4 0 = m2 – 10m + 16 m –8 m –2 (m – 8)(m – 2) = 0 =0 =0 m – 8 = 0 ∨ m – 2 = 0 m=8 ∨m=2 ∴ m = {2; 8}
x2 – 3x – 18 = 0
10. Resuelve: 6x2 – 5x – 6 = 0 indica el producto de raíces.
11. Resuelve: (x – 5)(x + 2) = 18 luego indica la mayor raíz.
13. Si el discriminante de x 2 + mx + m – 3 = 0 es igual a 12, calcula el valor de «m».
UNI 12. Si el discriminante de x 2 + (m – 3)x + m + 1 = 0 es igual a –11, calcula el valor de «m». Resolución: a = 1; b = m – 3; c = m + 1 ∆ = b2 – 4ac –11 = (m – 3)2 – 4(1)(m + 1)
3
ÁLGEBRA
14. Resuelve: 4x2 – 3x + 5 = 2 x2 – 2x + 13 da como respuesta la mayor raíz.
32
3.ER
AÑO
4 Ecuación de segundo grado II FORMA GENERAL
Presenta la siguiente forma: ax2 + bx + C = 0; a ≠ 0 Z
FÓRMULA GENERAL 2 a1,2 = –b ± b – 4ac 2a
Z
Ejemplos: Z
Resuelve: x2 – 4x – 3 = 0 a = 1; b = –4; c = –3
2 x1,2 = –(–4) ± (–4) – 4(1)(–3) 2(1)
Luego: ∆ = (–5)2 – 4(4)(1) ∆ = 25 – 16 ⇒ ∆ = 9 > 0 Como: ∆ > 0, entonces sus raíces son reales y diferentes. 9x2 + 6x + 1 = 0 Se observa: a = 9; b = 6 y c = 1 Luego: ∆ = (6)2 – 4(9)(1) ∆ = 36 – 36 ⇒ ∆ = 0 Entonces sus raíces son reales e iguales. x2 – x + 1 = 0 Se observa: a = 1; b = –1 y c = 1 Luego: ∆ = (–1)2 – 4(1)(1) ∆ = 1 – 4 ⇒ ∆ = –3 < 0 Como ∆ < 0 entonces sus raíces son complejas y conjugadas.
RECONSTRUCCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
x1,2 = 4 ± 28 = 4 ± 2 7 2 2
Dadas las raíces «x1» y «x2», la ecuación que posee estas raíces será:
x1,2 = 2 ± 7
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
x1 = 2 – 7 x2 = 2 + 7
Ejemplo: Forma la ecuación de segundo grado que tenga por raíces 3 y –2.
DISCRIMINANTE �∆� ∆ = b2 – 4ac
Resolución Sean las raíces:
Propiedades del discriminante
x1 = 3; x2 = –2
a) Si ∆ = 0 ⇒ sus raíces son reales e iguales. b) Si ∆ > 0 ⇒ sus raíces son reales y diferentes. c) Si ∆ < 0 ⇒ sus raíces son complejas y conjugadas.
Calculando: x1 + x2 = 3 + (–2) ⇒ x1 + x2 = 1 x1x2 = (3)(–2) ⇒ x1x2 = –6
Ejemplos: Analiza en cada caso la naturaleza de las raíces. Z 4x2 – 5x + 1 = 0 Se observa: a = 4; b = –5 y c = 1. 3.ER
AÑO
Luego, la ecuación pedida es: x2 – x – 6 = 0
33
ÁLGEBRA
4
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO II
Trabajando en clase ∆ = 0 a = (2m – 1); b = –(m + 1); c = 1 (–(m + 1))2 – 4(2m – 1)(1) = 0 m2 + 2m + 1 – 8m + 4 = 0 m 2 – 6m + 5 = 0 m –5 m –1 (m – 5)(m – 1) = 0 =0 =0 m–5=0 ∨ m–1=0 m=5 ∨ m=1 Mayor valor de m = 5
Integral 1. Dertermina qué tipo de raíces tiene cada ecuación: a) 2x2 – x – 3 = 0 b) 3x2 + 2x + 1 = 0 c) 2x2 – 4x + 2 = 0 2. Resuelve: x2 + x – 3 = 0
3. Resuelve: 2x2 – 5x = 0
9. La siguiente ecuación: x2 + (m – 1)x + 2 – m = 0 tiene conjunto solución unitario. Calcula la suma de valores de «m».
UPCP 4. Si una raíz de 4x2 + (k + 2)x + 2k + 1 = 0 es –1, calcula el valor de «k». Resolución: Como una raíz es el valor que toma la variable, en este caso «x» reemplazamos: 4(–1)2 + (k + 2)(–1) + 2k + 1 = 0 4 – k – 2 + 2k + 1 = 0 k+3=0 ∴k=–3
10. La ecuación x2 + (m – 2)x + m – 3 = 0 tiene raíz doble. Calcula el mayor valor de «m». 11. La ecuación (m – 1)x2 + (2m + 2)x + 2m – 1 = 0 tiene conjunto solución unitario. Calcula el menor valor de «m».
5. Si una raíz de 3x2 – (m – 1)x + 3m + 1 = 0 es 2, calcula el valor de «m».
UNI
6. Construye la ecuación de segundo grado cuyas raíces son –5 y 3.
12. Construye la ecuación cuadrática que tiene como raíces a 3 + 2 y 3 – 2 . Resolución: x2 – (suma de raíces)x + (producto raíces) = 0 x2 – (3 + 2 + 3 – 2 )x + (3 + 2 )(3 – 2 ) = 0 2 x2 – (6)x + (32 – 2 ) = 0 x2 – 6x + 7 = 0
7. Construye la ecuación de segundo grado cuyas raíces son 1 y – 1 . 3 2 UNMSM
13. Construye la ecuación cuadrática que tiene como raíces a 4 + 5 y 4 – 5 .
8. Determina el mayor valor de «m» en la ecuación: (2m – 1)x2 – (m – 1)x + 1 = 0 si tiene raíces iguales. Resolución: Como tiene raíces iguales, el discriminante es igual a cero.
4
ÁLGEBRA
14. Calcula el valor de «k» para que la ecuación: kx2 + x + 2 = x2 + 2kx tenga raíz de multiplicidad 2.
34
3.ER
AÑO
5 Ecuación de segundo grado III PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Resolución: Sabemos: Raíces simétricas ⇒ b = 0 Luego, reconociendo coeficientes: a = 3; b = –(2m – 8); c = 4 –(2m – 8) = 0 ⇒ 8 – 2m = 0 ⇒ m = 4
Sean ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 y sus raíces «x1» ∧ «x2», podemos hallar el producto y la suma de raíces sin resolver la ecuación. Suma = S = x1 + x2 = – b a Producto = P = x1.x2 = c a
Raíces recíprocas Llamamos así a las raíces cuyo producto es la unidad, es decir: x1.x2 ⇒ c = 1 a ⇒ c = a
DIFERENCIA DE RAÍCES Para hallar la diferencia de raíces es recomendable utilizar la propiedad de Legendre, así: (x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1x2
Por lo tanto, Raíces recíprocas ⇒ c = a
También existe una fórmula, que es la siguiente: x – x = ± ∆ a 1
Ejemplo: Calcula el vlaor de «m» si tiene raíces recíprocas: (5m – 1)x2 + 8x + 9 = 0
2
Ejemplo: Sea x2 + x – 3 = 0, entonces si su C S. = {x1, x2} x1 + x2 = – b = – 1 = –1 a 1 x1.x2 = c = – 3 = –3 a 1
Resolución: Sabemos: Raíces recíprocas ⇒ a = c Luego, reconociendo coeficientes: a = 5m – 1; b = 8; c = 9 5m – 1 = 9 ⇒ 5m = 10 ⇒ m = 2
2 x1 – x2 = ± ∆ = ± 1 – 4(1)(–3) = ± 13 a 1
Raíz nula
Raíces simétricas
Una raíz nula es aquella que vale cero; es decir, x = 0. Si reemplazamos x = 0 en ax2 + bx + c = 0, obtenemos que c = 0, luego:
Llamamos así a las raíces cuya suma es cero, es decir: x1 + x2 = 0 ⇒ – b = 0 a ⇒ b = 0
raíz nula ⇒ c = 0
Ejemplo: Calcula «n» en x2 + 2x + n – 5 = 0; si tiene una raíz nula. Raíz nula ⇒ c = 0 ⇒ n – 5= 0 ⇒ n=5
Por lo tanto, Raíces simétricas ⇒ b = 0
Ejemplo: Calcula el valor de «m» si tiene raíces simétricas: 3x2 – (2m – 8)x + 4 = 0 3.ER
AÑO
35
ÁLGEBRA
5
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO III
Trabajando en clase Integral
x1 + x2 = –(–2) = 2 5 5 x1x2 = 3 5
1. Sea x2 – 3x – 5 = 0, calcula la suma, el producto y la diferencia de sus raíces. 2. Calcula «m» para cada caso en la ecuación: (2m – 1)x2 + (m – 2)x – 3m + 8 = 0 I) Para que tenga raíces simétricas. II) Para que tenga raíces recíprocas. III) Para que tenga una raíz nula.
9. Si 2x2 – 5x – 1 = 0, cuyas raíces son x1 ∧ x2, calcula: A = x1–1 + x2–1
3. Sea 3x2 – 5x + 7 = 0 con raíces {x1; x2} calcula: E = x1 + x2 + x1x2
10. Si la ecuación: 2x2 – 10x + 8 = 0, donde «a» y «b» son raíces de la ecuación, calcula: M = 4a + 4b – 3ab
UPCP 4. Calcula el valor de «a» en la siguiente ecuación, si la suma de raíces es 3. 5x2 – (a + 3)x + 12 = 0 Resolución: a = 5; b = –(a + 3); c = 12 Suma raíces = – b a 3 = –(–(a + 3)) 5 15 = a + 3 ∴ 12 = a
11. Calcula «m» en la ecuación: mx2 + (m + 2)x + m – 1 = 0, si se cumple que: 1 + 1 = 1 x1 x2 2 donde {x1, x2} son raíces de la ecuación. UNI 12. Si una raíz es el inverso multiplicativo de la otra en (4k – 2)x2 + (1 – 7k)x + 3k = 0, calcula la suma de raíces. Resolución: Raíces Raíces Inverso multiplicativo = = inversas recíprocas de la otra
5. Calcula el valor de «a» en la siguiente ecuación, si el producto de raíces es 4. 3x2 – 5x + (m – 3) = 0 6. Si 3x2 + 5x + 8 = 0 de raíces {x1; x2}, calcula: E = (x1 + 1)(x2 + 1)
a=c 4k – 2 = 3k ∴ k = 2 ⇒ 6x2 – 13x + 6 = 0 ⇒ Suma de raíces = 13 6
7. Si la suma de raíces de (2m – 3)x2 + mx + 5 – m = 0 es –4, calcula el producto de raíces. UNMSM
13. Si una raíz es el inverso multiplicativo de la otra en: (3k + 1)x2 + (k – 3)x – k + 9 = 0 calcula la suma de raíces.
8. Si 5x2 – 2x + 3 = 0, cuyas raíces son x1 ∧ x2, calcula: A = 1 + 1 x1 x2 Resolución: 5x2 – 2x + 3 = 0 A = 1 + 1 = x1 + x2 x1x2 x1 x2
5
ÁLGEBRA
Reemplazando: 2 A = 5 = 2 3 3 5
14. Si las raíces de la siguiente ecuación: (2k + 3)x2 + (2k – 6)x + k = 0 tiene signos contrarios e igual valor absoluto, calcula el producto de raíces.
36
3.ER
AÑO
6 Números complejos UNIDAD IMAGINARIA
Propiedades:
Teoremas:
i4 =1; i8 = 1; i12 = 1 Esto implica que la unidad imaginaria elevada a un múltiplo de cuatro es igual a la unidad.
El número complejo (0; 1) es la unidad imaginaria; tiene la particular notación i = (0; i) i2 = –1 ; i = (0; 1)
a) i4k = 1
Según la notación de Gauss:
o
b) i4+k = ik
–1 = i
c) i4k + i4k+1 + i4k+2 + i4k+3 = 0
Ejemplos: –4 . –4 = 4(–1) . 4(–1) Z = 4 . –1 . 4 . –1 i i = 2i.2i =4i2 = –4 (–1)
Ejemplo Reduce: i87652 87
Resolución: i87652 87 i4+3 = i3 = –i
–8 = (8)(–1) = 8 . –1 = 2 2 i i –3 . –3 = 3 i. 3 i = 3i2 = –3
Z
Z
o
Potencias enteras de la unidad imaginaria • i1 = i
• i5 = i
• i9 = i
• i2 = –1
• i6 = –1
• i10 = –1
• i3 = –i
• i7 = –i
• i11 = –i
• i4 = 1
• i8 = 1
• i12 = 1
87 4 8 21 07 4 3
Además:
etc
1 + i = i 1–i
1 – i = –i 1+i
(1 + i)2 = 2i
(1 – i)2 = –2i
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Calcula: A = –5. –5 + –3. –12 B = –1. –16 – –8 –8
4. Reduce: i5678910123 Resolución: Se toma las dos últimas cifras para saber si es múltiplo de 4: i56789101 23 ⇒ i5678910123 = i4k+3 i3 = –i 23 4 20 5 3 → residuo
2. Calcula: A = i6 + i4 – i7 + i8 3. Calcula: R = i26 + i37 – i44 3.ER
AÑO
37
ÁLGEBRA
6
NÚMEROS COMPLEJOS
5. Reduce:
9. Resuelve: i
57186
6. Reduce: i
22
22
M= 1+i 1–i
10. Halla el valor de: R=i
7. Reduce:
2321 409 M = i + i 2i400 + i235
R= 1–i 1+i
Resolución: Se sabe:
UNI 12. Calcula:
5
R = i + i2 + i3 + i4 + ... + i103 Resolución: Vemos que se forman 25 grupos de 4 y sobran tres: R = i + i2 + i3 + i4 + ... + i28 + i99 + i100 + i101 + i102 + i103 R = i101 + i102 + i103 R = i + i2 + i3
1 – i = –i 1+i
R = i + (–1) + –i ∴ R = –1
R = (–i)5
13. Calcula:
o
4+1
M = 1 + i + i2 + i3 + ... + i106
R = (–1)5 . i
14. Calcula: M = i2! + i3! + i4! + i5! + ... + i40!
R = –1.i1 ∴ R = –i
ÁLGEBRA
5
M = i–234 + i–425
En el problema: 5 R= 1–i 1+i
6
56
11. Reduce:
UNMSM 8. Reduce:
5
6
38
3.ER
AÑO
7 Desigualdades e intervalos DEFINICIÓN
Intervalos semiabieros o semicerrados a) 1 ≤ x < 7
Una desigualdad expresa que una cantidad real o una expresión es mayor o menor que otra. A continuación se indica el significado de los signos de desigualdad. 1. a > b significa que «a» es mayor que «b» (o bien, que «a – b» es un número positivo). 2. a < b significa que «a» es menor que «b» (o bien, que «a – b» es un número negativo). 3. a ≥ b significa que «a es mayor o igual a b». 4. a ≤ b significa que «a es menor o igual a b». 5. 0 < a < 2 significa que «a es mayor que cero, menor que 2». 6. –2 ≤ x < 2 significa que «x es mayor o igual que –2, pero menor que 2».
–∞
1 x∈[1; 7[
–∞ –5 x∈]–5; 2]
Operaciones con intervalos intersección y unión Sean A = 〈–10; 7]; B = [2; 13〉 Hallamos A ∩ B y A ∪ B B A
Intervalos abiertos –5 < x < 11
–∞ –10 2 A ∩ B = [2; 7] A ∪ B = 〈–10; 13〉
–5 11 +∞ x∈〈–5; 11〉 = ]–5; 11[
+∞
6
+∞
A –∞ –15 –3 A – B = 〈–15; –3] B – A = 〈2; 6〉
–13 ≤ x ≤ –1
2
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
–13 –1 +∞ x∈[–13; –1]
1. El sentido de una desigualdad no cambia si se suma o se resta un número real a sus dos miembros. Ejemplo: a < b ∧ c ∈ R , entonces a+c
Menor valor entero = –13 Mayor valor entero = –1 AÑO
13
B
Intervalos cerrados
3.ER
7
Diferencia: Sean 〈–15; 2], B = 〈–3; 6〉 Hallamos A – B y B – A
Menor valor entero = –4 Mayor valor entero = 10
–∞
o
2 +∞ x∈〈–5; 2]
b) –5 < x ≤ 2
Las desigualdades a > b y c > d son del mismo sentido. Las desigualdades a > b y e < f son de sentido contrario.
–∞
o
7 +∞ x∈[1; 7〉
39
ÁLGEBRA
7
DESIGUALDADES E INTERVALOS
Ejemplos numéricos: Entonces: Y –5 + 3 < –1 + 3 –2 < 2 (no cambia) Y –5 – 3 < –1 – 3 –8 < –4 (no cambia)
2. El sentido de una desigualdad no cambia si se multiplica o se divide por un mismo número positivo sus dos miembros. Si a < b ∧ c > 0, entonces: a.c < b.c a/c < b/c
a/c > b/c Ejemplos numéricos: Y 18 < 24 ∧ c = –6 < 0 Entonces: 18(–6) > 24(–6) –108 > –144 (cambia) 18 > 24 Y –6 –6 –3 > –4 (cambia)
4. Si 0 < a < b ⇒ 1 > 1 a b Si y solo si «a» y «b» tengan el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos). Ejemplos numéricos: Y Si 5 < 10, entonces: 1 > 1 (cambia) 5 10 Y Si –4 < –2, entonces: – 1 > – 1 (cambia) 4 2 5. Al elevar al cuadrado, debemos tener en cuenta: Y Si a < x < b con a; b > 0 Entonces: a2 < x2 < b2 (no cambia) Y Si a < x < b con a, b < 0 Entonces: b2 < x2 < a2 (cambia) Y Si a < x < b con a < 0 ∧ b > 0 Entonces: 0 ≤ x2 < max. de {a 2, b2}
Ejemplos numéricos: Si –10 < 15; c = 5 > 0 Entonces: Y –10(5) < 15(5) –50 < 75(no cambia) 10 < 15 Y – 5 5 –2 < 3 (no cambia)
3. El sentido de una desigualdad cambia cuando se multiplica o se divide por un mismo número negativo sus miembros. Si a < b ∧ c < 0, Entonces: a.c > b.c
Trabajando en clase 5. Si x ∈ [–2; 7〉, a qué intervalo pertenece: B = 3x + 2
Integral 1. Si x ∈ 〈 –2; 5], indica la cantidad de valores enteros que puede tomar «x».
6. Si x∈ 〈–6; –3〉, a qué intervalo pertenece: P = –3x + 5
2. Si A ∈ 〈–5; 10] y B ∈ 〈–3; 15] determina: A ∪ B; A ∩ B; A – B
7. Si A = [–8; –3〉 y B = [–5; 10 〉, determina la suma de valores enteros de A ∩ B.
3. Si M ∈ [–8; 12] y N = [–3; 2〉 determina: M ∪ N; M ∩ B; M – N UPCP 4. Si x ∈ 〈–3; 5] a qué intervalo pertenece: A = 2x + 1. Resolución: Si –3 < x ≤ 5 por (2) –6 < 2x ≤ 10 sumamos 1 –5 < 2x + 1 ≤ 11 Entonces 2x + 1 pertenece al intervalo 〈–5; 11]
7
ÁLGEBRA
UNMSM 8. Si x ∈〈2; 5], a qué intervalo pertenece: M = x2 + 1 Resolución: Si 2 < x ≤ 5 elevamos al cuadrado 4 < x2 ≤ 25 sumamos 1 5 < x2 + 1 ≤ 26 Entonces x2 + 1 pertenece al intervalo 〈5; 26]
40
3.ER
AÑO
DESIGUALDADES E INTERVALOS
9. Si x ∈ 〈–5; 3], a qué intervalo pertenece: Q = –3x2 + 3
9 < x + 5 ≤ 15 1 < 1 ≤ 1 15 x + 5 9 12 < 12 ≤ 12 15 x + 5 9 Entonces: 12 ∈ 3 ; 4 x+5 5 3 13. Si x ∈ 〈–5; –2], a qué intervalo pertenece: R= 3 x–1
10. Si x ∈ 〈–8; –3], a qué intervalo pertenece: R = 2x2 + 10 11. Si x ∈ 〈–2; 4], a qué intervalo pertenece: F = 3x2 – 5 UNI 12. Si x ∈ 〈4; 10], a qué intervalo pertenece: P = 12 x+5 Resolución: Si: 4 < x ≤ 10
3.ER
AÑO
14. Si x ∈ 〈6; 12], a qué intervalo pertenece: F = 2x – 4 3
41
ÁLGEBRA
7
8 Repaso Trabajando en clase 1. Resuelve:
7. Factoriza: P(x, y) = 6x2 – xy – y 2 + y + 8x + 2 e indica un factor primo. a) x + y + 1 c) 2x – y + 1 e) 3x + y + 2 b) 2x + y + 3 d) 3x + y + 1
2x + 3x – 2 = 0 c) {1; 2} e) –2 ; 1 2 d) 2 ; –2 7 2
a) {–1; –2} b) {–2; 1}
2. Factoriza:
8. Reduce:
P(x; y) = x 2 – y 2 a) (x – y)(x – y) d) x – y b) (x + y)(x – y) e) 2x + y + 1 c) x + y
a) 2i + 2 b) 2i + 1
3. Reduce: a) i b) 1
9. Resuelve:
M = i425 + i236 + i6 c) –i e) –1 d) –2i
4. Si A = 〈–3; 8] B = 〈2; 12〉 calcula A – B a) 〈–3; 2〉 c) [–3; 2〉 b) 〈–3; –2] d) 〈–3; 2]
4
M = 1 + i + 2i 1–i c) 2i e) 2 d) 1 x2 – 9 = 0 c) {±9} d) {± 3 }
a) {±3} b) {±2}
e) {±1}
10. Si P(x, y) = 13a 7x8y 7(x + 1)4(y – 3)6, indica la cantidad de factores primos. a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4
e) [–3; 2]
5. Si x ∈ 〈2; 5], a qué intervalo pertenece: –2x + 2. a) 〈2; 8〉 d) 〈2; 8] b) 〈–8; –2〉 e) [–8; –2〉 c) [–8; 2〉
11. Factoriza:
6. Si x ∈ 〈–3; 4], a qué intervalo pertenece x 2 + 1: a) [2; 6〉 d) 〈10; 17] b) 〈1; 17〉 e) [1; 17] c) 〈0; 12〉
12. Efectúa:
P(x) = x2 – 7x + 10 a) (x – 5)(x – 2) c) (x + 7)(x + 3) e) (x – 7)(x – 3) b) (x + 9)(x + 1) d) (x + 2)(x + 5)
a) 13 b) 14
M = –4 –9 + –100 –1 c) 16 e) –16 d) –15
Bibliografía 1. VALDIVIEZO, Alberto: Matemáticas y Ciencias. LIMA, 2009
8
ÁLGEBRA
42
3.ER
AÑO
Álgebra
1 Inecuación de primer grado DEFINICIÓN
Resolución: Por la propiedad transitiva: Z 3
Una inecuación de primer grado con una variable o incógnita, es toda desigualdad relativa que se establece entre dos expresiones matemáticas y se verifica para ciertos conjuntos de valores reales asignados a su variable. Formas: ax + b > 0 ax + b < 0
ax + b ≥ 0
–∞ ax + b ≤ 0
1 5 ∴ C S. = 〈1; 5〉
+∞
Importante Cuando hay más de una inecuación, el conjunto solución se halla intersectando las soluciones de cada una de las inecuaciones.
La manera de resolver una inecuación de primer grado, es similar a la usada para resolver una ecuación de primer grado; es decir, se despeja la variable de los coeficientes y así se determina el conjunto solución. La diferencia está cuando el coeficiente de la incognita es negativo.
Siempre mantener la variable o incógnita «positiva».
PROPIEDAD TRANSITIVA
2x < 3x + 3 pasa restando –3 < x ⇒ x > –3 ∴C S.: 〈–3; +∞〉
Si a < b < c, entonces: a < b ∧ b < c ↑ Intersección Ejemplos: Resolver 3 < x + 2 < 7.
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Resuelve: 4x – 5 > 3(x + 4) 4. Resuelve: 2. Resuelve: 3x – 2 < 4 5
Resolución Y Calculamos el MCM de los denominadores: 3–5 3 1 – 5 5 Entonces, MCM = 3 × 5 = 15 1–1
3. Resuelve: 5x – 2 < 7 2 3 Indica el mayor valor entero que cumple con la inecuación:
3.ER
AÑO
2 + x ≤ 7x – 8 3 5
29
ÁLGEBRA
1
INECUACIÓN DE PRIMER GRADO Y
Y
Y
Y
Y
Se multiplica cada término de la desigualdad por dicho MCM:
15 2 + x ≤ 7 x – 8 15 3 5 30 + 5x ≤ 21x – 120 Se transpone términos agrupando en un miembro la incognita y en el otro las cantidades conocidas (constantes): 30 + 5x ≤ 21x – 120
Y
Resolvemos cada inecuación: –2x + 5 < – 1 – 4x ∧ –1 – 4x ≤ –6x – 15 4x – 2x < –1 – 5 ∧ –4x + 6x ≤ –15 + 1 2x < –6 ∧ 2x ≤ –14 x < –3 ∧ x ≤ –7
Y
Graficamos:
pasa pasa restando sumando 30 + 120 ≤ 21x – 5x 150 ≤ 16x Multiplicamos por 1 : 2
–∞
1 (150 ≤ 16x) 2 75 ≤ 8x Despejando la variable: 75 ≤ x 8 Graficamos: –∞
75 8
–3
+∞
9. Resuelve: –3x – 5 ≤ 3 – 4x < –9 Indica la cantidad de valores enteros que toma «x».
10. Resuelve:
x + 2 ≤ –2x + 5 < –4x + 17 Indica el máximo valor entero que puede tomar «x».
+∞
11. Resuelve:
∴C S.: x ∈ 75; + ∞ o también: 8 C S.: x∈R /x ≥ 75 8 5. Resuelve: 5x – 6≥ 7 – x 3 2 6. Resuelve: x + 3 – x – 4 > x – 1 – x + 2 4 5 2 3 Indica el mayor valor entero de «x».
x + 3 ≤ 2 x–2 x–2
UNI 12. Resuelve el siguiente sistema: 4x – 3 < 3x – 2 ≤ 2x – 7 3 – x ≤ 2x + 14 < 3x + 23 Resolución: 4x – 3 < 3x – 2 ≤ 2x – 7 ..... 1 3 – x ≤ 2x + 14 < 3x + 23 ..... 2
7. Resuelve: (x + 2)2 – (x – 2)2 < (x – 3)2 – (x + 2)(x + 3)
Y
UNMSM 8. –2x + 5 < –1 – 4x ≤ –6x – 15 Resolución: Y Aplicamos la propiedad transitiva: a < b < c → a < b ∧ b < c
ÁLGEBRA
–7
Seleccionamos la intersección: ∴ C S.: 〈–∞; –7] También: C.S = ]–∞; –7]
x
1
–2x + 5 < –1 – 4x ≤ –6x – 15 Entonces: –2x + 5 < –1 – 4x ∧ –1 – 4x ≤ –6x – 15
Resolviendo la inecuación 1 4x – 3 < 3x – 2 ≤ 2x – 7 4x – 3 < 3x – 2 ∧ 3x – 2 ≤ 2x – 7 x<1 ∧ x ≤ –5 –∞
–5
1
+∞
C S.1 = 〈–∞; –5]
30
3.ER
AÑO
INECUACIÓN DE PRIMER GRADO Y
Resolviendo la inecuación 2 3 – x ≤ 14 + 2x < 3x + 23 3 – x ≤ 14 + 2x ∧ 14 + 2x < 3x + 23 3 – 14 ≤ 2x + x ∧ 14 – 23 < 3x – 2x –11 ≤ 3x ∧ –9 < x 11 – ≤x ∧ –9 < x 3
–∞
Y
3.ER
AÑO
–9
– 11 3
C Sf .: 〈–∞; –5] ∩ – 11; + ∞ 3 –∞
–5
– 11 3 ¡No hay intersección! ∴C S.f = ∅
+∞
13. Resuelve el siguiente sistema: 2x – 1 < 3x – 2 ≤ 4x + 8 1 – x ≤ 3 + 2x ≤ 3x – 12
+∞
C S.2: – 11 ; + ∞ 3 Conjunto solución final: (C S.f ) C S.f : C S.1 ∩ C S.2
14. Resuelve el siguiente sistema: 2x – 5 < x + 3 ≤ 3x – 7 x + 1 < 2x + 3 < 4x + 5
31
ÁLGEBRA
1
2 Inecuación de segundo grado DEFINICIÓN
Se le denomina también inecuación cuadrática.
P(x) = ax2 + bx + c > < 0; a ≠ 0
Luego, factorizamos: x2 – x – 6 ≥ 0 x –3 x 2 (x – 3)(x + 2) ≥ 0 Puntos críticos x – 3 = 0 → x = 3 x + 2 = 0 → x = –2
Donde: {a; b; c} ⊂ R La solución de la inecuación depende del primer coeficiente y del discriminante:
∆ = b2 – 4ac
Primer caso
Si ∆ > 0; (a > 0), el polinomio ax2 + bx + c, es factorizable en el campo real. Para resolver utilizaremos el método de los puntos críticos.
–∞
– –2
+ +∞
3
∴ C S.: 〈–∞; –2] ∪ [3; +∞〉 2. Resuelve:
Procedimiento: 1. Se factoriza el polinomio. 2. Se hallan los dos puntos críticos, luego se ordenan en la recta real en forma creciente. 3. Es indispensable que el primer coeficiente de cada factor lineal sea positivo, por ello, se colocan entre los puntos críticos los signos (+) y (–) alternadamente de derecha a izquierda, comenzando por el signo (+). 4. Si tenemos: P(x) = ax2 + bx + c < 0 ó P(x) = ax2 + bx + c ≤ 0, el conjunto solución estará formado por los inter valos donde aparezca el signo (–)
–x2 + 2x + 8 > 0
En forma análoga: Si P(x) = ax2 + bx + c > 0 ó P(x) = ax2 + bx + c ≥ 0, el conjunto solución estará formado por el intervalo donde aparece el signo (+).
ÁLGEBRA
Graficando:
+
a(x – x1)(x – x2) > 0 a(x – x1)(x – x2) < 0
2
c = –6
Como: ∆ = (–1)2 – 4(1)(–6) ∆ = 25 > 0
Forma general:
Ejemplos: 1. Resuelve:
Resolución: a=1 b = –1
Resolución: Cambiando el signo: x2 – 2x – 8 < 0 Como a = 1 b = –2 c = –8 ∆ = (–2)2 – 4(1)(–8) → ∆ = 36 factorizamos: x2 – 2x – 8 < 0 x –4 x 2 (x – 4)(x + 2) < 0 Puntos críticos: x – 4 = 0 → x = 4 x + 2 = 0 → x = –2 Graficando:
+ –∞
– –2
+ 4
+∞
∴ C S.: 〈–2; 4〉
x2 – x – 6 ≥ 0
32
3.ER
AÑO
INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Segundo Caso
Tercer caso:
Si ∆ = 0; (a > 0) el polinomio ax 2 + bx + c se transforma a un trinomio cuadrado perfecto de la forma: (mx + n)2 > < 0 Ejemplo: 1. Resuelve: x2 – 10x + 25 > <0
Si ∆ < 0; (a > 0), el polinomio ax2 + bx + c se transforma en cuadrado más un cuarto número real positivo, de la forma: (mx + n)2 + k > < 0; k < 0 Ejemplo: 1. Resuelve: x2 + 2x + 6 > 0
Resolución: Calculando el discriminante ∆ = (–102) – 4(1)(25) = 0 ⇒ x2 – 10 + 25 ≥ 0 trinomio cuadrado perfecto (x – 5)2 ≥ 0
Resolución: Calculando el discriminante: ∆ = (2)2 – 4(1)(6) ∆ = –20 < 0 ⇒ x2 + 2x + 1 + 5 > 0 (x + 1)2 + 5 > 0 Resolviendo cada una de las desigualdades: a) (x + 1)2 + 5 > 0 Se verifica: ∀ x ∈ R ∴ C.S. = R = 〈–∞; +∞〉
Resolviendo cada una de las desigualdades: a) (x – 5)2 ≥ 0 Se verifica: ∀ x ∈ R ∴ C.S. = R 2 b) (x – 5) > 0 Se verifica: ∀ x ∈ R ; a excepción de x–5=0 x=5 ∴ C.S. = R – {5} c) (x – 5)2 < 0 Se observa una inecuación, la cual no verifica para ningún valor de x ∈ R . ∴ C.S. = ∅ 2 d) (x – 5) ≤ 0 La inecuación solo se cumple si x = 5 ∴ C.S. = {5}
b) (x + 1)2 + 5 ≥ 0 Se verifica: ∀ x ∈ R ∴ C.S. = R = 〈–∞; +∞〉 c) (x + 1)2 + 5 < 0 Nunca se verifica, pues el primer miembro siempre es mayor que cero: ∴ C S.: ∅ d) (x + 1)2 + 5 ≤ 0 Nunca se verifica: ∴ C S.: ∅
Trabajando en clase Integral
Resolución: Y Verificamos que: a = 1; b = –7; c = –18, el discriminante: ∆ = (–7)2 – 4(1)(–18) ∆ = 49 + 72 ∆ = 121 Observamos que: a > 0 ∧ ∆ > 0, entonces utilizaremos el método de los puntos críticos. Y Factorizamos: x 2 – 7x – 18 x –9 x 2 → (x – 9)(x + 2) ≤ 0 ... x Y Hallando los puntos críticos: x – 9 = 0 → x = 9 x + 2 = 0 → x = –2
1. Resuelve: 5x2 – 45 ≥ 0 2. Resuelve: 3x2 – 27 < 0 Indica la suma de todos los valores enteros que toma «x».
3. Resuelve: 5x2 + 3x > 0 PUCP 4. Resuelve:
3.ER
AÑO
x2 – 7x – 18 ≤ 0
33
ÁLGEBRA
2
INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y
9. Resuelve: x 2 – 4x + 8 ≥ 0
Graficamos:
+
–
+
10. Resuelve: x 2 – 9x + 25 < 0
–∞ +∞ –2 9 ∴ C S. = [–2; 9] Nota: Seleccionamos la parte negativa del gráfico por el signo de la desigualdad; es « ≤» en la expresión x .
11. Resuelve la siguientes inecuaciones: a) x2 – 4x + 4 > 0 b) x2 – 4x + 4 ≥ 0 c) x2 – 4x + 4 < 0 d) x2 – 4x + 4 ≤ 0
5. Resuelve: x 2 – 11x + 10 > 0 UNI 6. Resuelve: 6x – x ≤ 6. Indica el mayor valor entero que toma «x». 2
12. Si el conjunto solución de la inecuación: x2 + mx + n ≤ 0 es [–5; 3] Calcula «m.n» Resolución: Y Como el C S. = [–5; 3], esto implica que –5 y 3 son puntos críticos de x2 + mx + n ≤ 0. Y Luego, –5 y 3 son raíces de x 2 + mx + n = 0, aplicamos: x1 + x2 = – m 1 –5 + 3 = –m ⇒ m = 2 x1 . x2 = – n 1 (–5)(3) = n ⇒ n = –15 Y Nos piden: m.n = (2)(–15) ∴ mn = –30.
7. Resuelve: (3x + 2)2 < (2x + 3)2 Indica la cantidad de valores enteros que toma «x».
UNMSM 8. Resuelve: x 2 + 2x + 7 > 0. Resolución: Se observa: a = 1; b = 2; c = 7 Luego: ∆ = (2)2 – 4(1)(7) ∆ = –24 Entonces: ∆ < 0 Para este caso, no se puede factorizar en los racionales, por lo cual: x2 + 2x + 1 + 6 > 0 trinomio cuadrado perfecto
13. Si el conjunto solución de la inecuación: x2 + ax + b ≤ 0 es [–2; 3], ¿cuál es el valor de «ab»?
(x2 + 1)2 + 6 > 0
14. Resuelve:
siempre es positivo Todo ello implica que «x» toma cualquier valor real. ∴ C.S. = R también: C S. = 〈–∞; +∞〉
2
ÁLGEBRA
x2 – 2x + 1 ≤ 0 Da como respuesta la cantidad de números enteros que puede tomar «x»
34
3.ER
AÑO
3 Relaciones CONCEPTOS PREVIOS 1. Par ordenado
5. Propiedades del producto cartesiano 1. El producto cartesiano no es conmutativo; es decir:
Es el conjunto formado por dos elementos dispuestos en un determinado orden. Se denota:
A × B ≠ B × A ; (A ≠ B)
a: primera componente (abscisa)
2. El número de elementos del producto cartesiano A × B es igual al producto del número de elementos del conjunto A por el número de elementos del conjunto B; es decir: n(A × B) = n(A).n(B)
(a;b), donde b: segunda componente (ordenada) Se lee: par ordenado «a» punto y coma «b»
2. Propiedades del par ordenado 1. Si:
(a;b) = (c;d) ⇔ a = c ∧ b = d
2. Si: (a;b) ≠ (c;d) ⇒ a ≠ c ∨ b ≠ d
Ejemplo: Determina «xy» si: (x + 2; 7) = (6; y – 2) Resolución: Por igualdad de pares ordenados: x + 2 = 6 ∧ 7 = y – 2 ⇒ x = 4 ∧ y = 9 ∴ xy = 36
⇒ n(A × B) = n(B × A)
6. Relaciones Dados los conjuntos no vacíos A y B, llamaremos relación o relación binaria de A en B, a todo subconjunto R del producto cartesiano A × B; es decir:
3. Representación gráfica de un par ordenado Par ordenado: (–5;4)
y Eje de ordenadas
R es relación de A en B ⇒ R ⊂ A × B
(6;2) x Eje de abscisas (–1;–4)
4. Producto cartesiano Dados los conjuntos no vacíos, A y B, definimos el producto cartesiano de A por B, denotado por A × B, al conjunto de pares ordenados cuya primera componente le pertenece al conjunto A y la segunda componente le pertenece al conjunto B; esto es: A × B = {(a; b)/a ∈ A ∧ ∈ B}
3.ER
AÑO
Nota: n(A): número de elementos del conjunto A. Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1; 2}, B = {3; 4; 5} Cuyos productos cartesianos: A × B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)} y B × A = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2)} Entonces: n(A × B) = n(A).n(B) = 2.3 = 6 n(B × A) = n(B).n(A) = 3.2 = 6
35
Ejemplo: Sean A = {3; 5} y B = {4; 6}, encuentra la relación R: A → B definida por: R = {(x; y) ∈ A × B/x < y} regla de Correspondencia Resolución: Primero calculamos el producto cartesiano A × B: A × B = {(3; 4), (3; 6), (5; 4), (5; 6)} De este conjunto tomamos los pares (x; y), que cumplan con x < y. (3; 4), (3; 6), (5; 6) La relación pedida es: R = {(3; 4), (3; 6), (5; 6)} ÁLGEBRA
3
RELACIONES
7. Dominio y rango de una relación Y Dominio de R (conjunto de partida)
Determina el dominio y el rango de la relación R: A → B definida por: R = {(x, y) ∈ A × B / y = x + 3}
Es el conjunto que tiene por elementos a todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación; esto es: DR = {x/(x; y) ∈ R} Y
Regla de correspondencia
Resolución: Primero calculamos el producto cartesiano A × B. A × B = {(–2; 1), (–2; 3), (0; 1), (0; 3), (2; 1), (2; 3)} De este conjunto tomamos los pares (x, y), que cumplan con y = x + 3. La relación pedida es R = {(–2; 1), (0; 3)} Finalmente, el dominio es DR = {–2; 0} El rango es R R = {1; 3}
Y
Formando los pares ordenados ¡Observa las flechas! ∴B×A={(–1;2),(–1;5),(3;2),(3;5),(–7;2),(–7;5)}
Rango de R (conjunto de llegada) Es el conjunto que tiene por elementos a todas la segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación; esto es: R R = {y/(x; y) ∈ R}
Ejemplo: Dado A = {–2; 0; 2} y B = {1; 3}
Trabajando en clase Integral 1. Si (x – 4; –5) = (–5; y – 8), calcula: «y x» 2. Si (2a – b; 8) = (6; 5a + b), calcula: «ab»
5. Si A = {–5; 2} y B = {–1; 0; 4}, calcula: A × B ∧ B × A
3. Según la figura, calcula «a + b»
6. Si: M = {x ∈ N/2 < x < 5} y N = {x ∈ z/–1 ≤ x < 1}, calcula: M × N
(–6; 8) (–3; b)
(7; 4)
7. Según la figura, calcula: «a + b – c + d + e – f» (6; 4)
f (a; b)
(a; –9)
1 c e
–5
PUCP
d
4. Si A = {2; 5} y B = {–1; 3; –7}, calcula: A × B ∧ B × A Resolución: Y
Por dato: A = {2; 5}, B = {–1; 3; –7}
Y
Formando los pares ordenados; ¡observa las flechas! ∴ A × B = {(2;–1),(2;3),(2;–7),(5;–1),(5;3),(5;–7)}
Y
3
UNMSM 8. Si A = {–5; –3; 3} y B = {–1; 1; 2}, calcula el dominio de la relación: R = {(x,y)∈A×B/xy>0} Resolución: Y Hallamos el producto cartesiano: A × B = {(–5;–1),(–5;1),(–5;2), (–3;–1),(–3;1), (–3;2),(3;–1),(3;1),(3;2)}
Por dato: B = {–1; 3; –7}, A = {2; 5}
ÁLGEBRA
(2; –4)
36
3.ER
AÑO
RELACIONES Y
Seleccionamos los pares ordenados que cumplen la condición: (–5; –1) porque: (–5)(–1) = 5 ∧ 5 > 0 (–3; –1) porque: (–3)(–1) = 3 ∧ 3 > 0 (3; 1) porque: (3)(1) = 3 ∧ 3 > 0 (3; 2) porque: (3)(2) = 6 ∧ 6 > 0 Entonces: R = {(–5; –1), (–3; –1), (3; 1), (3; 2)} ∴ DomR = {–5; –3; 3}
Y
En el conjunto B, cada elemento es el valor numérico que adquiere la expresión « x + 1 ». 2 Cuando «x» toma valores enteros mayores que –3, pero menores que 1. Así: x = –2 ⇒ –2 + 1 = – 1 2 2 –1 + 1 x = –1 ⇒ = 0 2 x = 0 ⇒ 0 + 1 = 1 2 2 Entonces, tenemos: B = – 1 ; 0; 1 2 2
Y
Calculamos A × B, teniendo en cuenta lógicamente a los conjuntos A y B. A × B = 0; – 1 , (0; 0), 0; 1 , 1; – 1 ; (1; 0) 2 2 2 1; 1 , 2; – 1 ; (2; 0); 2; 1 2 2 2
9. Si A = {3; 4; 5; 6} y B = {6; 7; 8}, calcula el rango de la relación: R = {(x; y) ∈ A × B/x + 2 = y} Además, indica n(R). 10. Si A = {2; 6; 8}, B = {3; 5; 7}, calcula el dominio de la relación R = {(x; y) ∈ A × B/x < y}, e indica n(R). 11. Si A = {–4; 5; 6} y B = {–8; 2}, calcula M.N e indica si M es la suma de todos los elementos del rango y M es la suma de todos los elementos del dominio: R = {(x; y) ∈ A × B/x + y = –2}
13. Si H = {x2 + 1/–2 ≤ x ≤ 0; x ∈ z} J = x + 3 /1 ≤ x ≤ 4; x ∈ N 2 calcula: H × J
UNI 12. Calcula el conjunto A × B. Si: A = {x ∈ z/–1 < x ≤ 2} B = x + 1 /–3 < x < 1; x ∈ z 2 Resolución: Y Calculamos el conjuntos A, por extensión: A = {0; 1; 2}
3.ER
AÑO
14. Si: F = {3; 4; 5; 6; 9} G = {10; 12; 25; 27} Calcula: R = {(x;y) ∈ F × G/x es divisor de y}
37
ÁLGEBRA
3
4 Funciones I DEFINICIÓN
C. Valores numéricos de una función Dada la siguiente función: F = {(–3; 4), (5; 8), (–2; –1), (10; –3)} Calcula F(–3); F(5); F(–2) ∧ F(10)
Una función F es un conjunto de pares ordenados, donde no existen dos pares ordenados diferentes con la misma primera componente. Es decir: Si (a, b) ∧ (a, c) ∈ F ⇒ b = c
Ejemplos: Z F = {(3; 4), (6; 7), (8; 1)} Z G = {(5; 2), (3; 6), (7; 5), (5; 2)} H = {(3; 1), (2; 1), (3; 4), (1; 6)} Z
F(–3) = 4 F(5) = 8 F(–2) = –1 F(10) = –7 Nos damos cuenta de que dichos valores encontrados son las segundas componentes de la función.
Analizando: F es función porque todas sus primeras compoZ nentes son diferentes. G es función porque se observa que el par ordeZ nado (5; 2) se repite; es decir: G = {(5; 2), (3; 6), (7; 5)} Todas las primeras componentes son diferentes. Z H no es función porque (3; 1) ≠ (3; 4); son pares diferentes que tienen la misma primera componente.
D. Representación gráfica de la función Dados 2 conjuntos A y B diferentes del vacío, se dice que la función F es una aplicación si DF = A ∧ R F ⊆ B; esto se denota de la siguiente manera: F = A → B; se lee «función de A en B» F
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN A. Dominio
Es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la función. Notación: DOMF o DF Ejemplo: Y Dada la función: G = {(–3; 1), (5; 7), (2; 4), (–5; –1)} Su dominio será: DomG = DG = {–3; 5; 2; –5}
B. Rango
Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la función. Notación: RANF = R F Ejemplo: Dada la función: H = {(1; 7), (–3; 2), (5; 7), (6; –10)} Su rango será: RanH = R H = {7; 2; –10}
4
ÁLGEBRA
Resolución: Se observa: F(–3) F(5) F(–2) F(10) ↓ ↓ ↓ ↓ F = {(–3; 4), (5; 8), (–2; –1), (10; –7)}
A
B
2
7
3
8
4
6
Dominio de F
Rango de F
Observa que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del rango. Además: F(2) = 7; F(3) = 8; F(4) = 6 F = {(2; 7), (3; 8), (4; 6)} Dom F = {2; 3; 4} RanF = {7; 8; 6}
Nota: Ten presente que en una función sí se pueden repetir las segundas componentes.
38
3.ER
AÑO
FUNCIONES I
Trabajando en clase Integral
Calcula: A = F(–8) – F(1) F 3 2
1. Calcula «x + y» si F = {(–2; 8), (3; y), (–2; 2x), (3; –1)} es función.
7. Dada la función: f(x) = 3x – 1, calcula el valor de P= + – . F A B –5 4
2. En la siguiente función: F = {( 2 ; 3), (9; 5), (p; 3), (0; –3), (– 2 ; 1), (–p; 5)} a) Calcula la suma de elementos del dominio. b) Calcula la suma de elementos del rango. 3. Si G = {(–8; 4), ( 5 ; –2), (–1; 10)}, calcula: G( 5 ) + G(–8) – G(–1)
2
PUCP
UNMSM
4. Dada la función: H = {(2; 7a – 1), (4; 3b – 5), (2; 13), (4; 10)} calcula: a2 – b2.
8. Se define la función: f(x) = 2x – 3; x ≥ 3 x + 1; x < 3 Calcula: f(4) + f(–1)
Resolución Por dato, H es función: (2; 7a – 1) = (2; 13) ⇒ 7a – 1 = 13 7a = 14 →a=2 También: (4; 3b – 5) = (4; 10) ⇒ 3b – 5 = 10 3b = 15 →b=5 2 2 Nos piden: a – b Reemplazando: (2)2 – (5)2 operando: 4 – 25 ∴ a2 – b2 = –21
Resolución Y Calculando: f(4)
Y
4 ≥ 3 ⇒ f(4) = 2(4) – 3 = 8 – 3 f(4) = 5 Calculando f(–1) –1 < 3 ⇒ f(–1) = –1 + 1 = 0 f(–1) = 0 Nos piden: f(4) + f(–1) Reemplazando: 5 + 0 ∴ f(4) + f(–1) = 0
5. Dada la función: I = 1 ; 3a – 7 , (–0,8; 9b – 5), 1 ; 2 , (–0,8; 13) 2 2 Calcula « 1 ab» 2
9. Se define la función: f(x) = 5x – 3; x > 1 2x + 3; x ≤ 1 Calcula: f(2) + f(0)
6. Según el gráfico:
10. Si (2; 6) pertenece a la función: f(x) = x + b. 3 calcula b .
F A 1 –8 3 2
3.ER
AÑO
B
11. Dada la función: f(x) = 3x + a; x < 2 2x + b; x ≥ 2 además: f(6) = 9 ∧ f(1) = 3 Determina el valor de ba.
–2 1 4
39
ÁLGEBRA
4
FUNCIONES I
UNI
Si m = –5 F = {(3; 25), (–5; 6), (5; –2)} ⇒ F es función Ahora: DomF = {3; –5; 5} Nos piden: 3 + –5 + 5
12. Dada la función: F = {(3; 25), (m; 6), (5; –2), (3; m2)} Calcula la suma de elementos del dominio de F.
∴ Σ elementos del DomF = 3
Resolución: Y Como F es función, entonces: (3; 25) = (3; m2) ⇒ 25 = m2 ±5 = m tenemos 2 posibles valores para «m». Si m = 5, entonces: F = {(3; 25), (5; 6), (5; –2)}
13. Calcula el producto de los elementos del dominio de la función: F = {(1; 4), (a; 3), (2; 5), (1; a2)} 14. Dada la función: F = {(5; 6), (–2; 3a), (a 3 – 3; b), (–2; a + 4)} Calcula: a + 2b.
(5; 6) ≠ (5; –2) ⇒ No es función
4
ÁLGEBRA
40
3.ER
AÑO
5 Funciones II +5 ≤ x < 7 «multiplicamos por 2» +10 ≤ 2x < 14 «restamos 4» 6 ≤ 2x – 4 < 10 «dividimos entre 3» 2 ≤ 2x – 4 < 10 3 3
Cálculo de rangos teniendo como datos los dominios: Dada la función F: [5; 7〉 → R , con regla de correspondencia: F(x) = 2x – 4 . 3 Ahora calculamos el rango de esta función; para esto debemos recordar todas las propiedades de desigualdades aprendidas anteriormente. Dominio: DomF = [5; 7〉, entonces construimos el rango:
2 ≤ y < 10 3 y ∈ 2; 10 3
∴ RanF = 2; 10 3
Trabajando en clase Integral
Resolución: Y Dominio = DomF = [–5; 3 〉, entonces x ∈ [–5; 3〉 ⇒ –5 ≤ x < 3 Y Construimos el rango (–5 ≤ x < 3) – 5
1. Dada la función F: [–3; 3] → R , con regla de correspondencia: F(x) = 2 x – 4
3
3
Calcula el rango de F.
«Multiplicamos por – 5 »; debes tener cuidado,
2. Dada la función F: 〈–3; 5]→ R , con regla de correspondencia: F(x) = 3x – 2 Calcula el rango de F.
3
porque estas multiplicando por un número negativo –5 < – 5 x ≤ 25 + 2 «sumamos 2»
3
3
–3 < 2 – 5 x ≤ 31
3. Dada la función F: 〈–4; 7]→ R , con regla de correspondencia: F(x) = 7x – 3
3
3
–3 < F(x) ≤ 31 ⇒ RanF = –3; 31
5
3
Calcula el rango de F.
Y
3
Observando el rango: Menor valor entero: –2 Mayor valor entero: 10 ∴ la suma de dichos valores: 8 ●
PUCP
●
4. Dada la función F: [–5; 3〉 → R , con regla de correspondencia: F(x) = 2 – 5 x
5. Dada la función F: 〈3; 8]→ R , con regla de correspondencia: F(x) = 7 – 5 x
3
3
Calcula la suma del menor y el mayor valor entero del rango.
3.ER
AÑO
Calcula la suma del menor y el mayor valor entero del rango.
41
ÁLGEBRA
5
FUNCIONES II
6. Dada la función F: 〈–2; 4〉 → R , con regla de correspondencia: F(x) = 12
10. Dada la función F: 〈–1; 3] → R , con regla de correspondencia F(x) = (x – 5) 2 + 4. Calcula la suma del mayor y menor valor entero del rango.
Calcula la cantidad de números enteros del rango.
11. Dada la función F: 〈–1; 6] → R , con regla de correspondencia F(x) = (x – 5) 2 + 5. Si el rango de F es [a; b〉, calcula «ab».
x+7
7. Dada la función F: 〈2; 5] → R , con regla de correspondencia: F(x) = 7 .
UNI
3–x
12. Calcula el rango de la función: F(x) = x2 – 8x + 15 si x ∈ [6; 9〉.
Calcula el rango.
UNMSM
Resolución: Y Completamos cuadrados: F(x) = x2 – 8x + 15 F(x) = (x – 4)2 – 1 Como x ∈ [6; 9〉 ⇒ 6 ≤ x < 9
8. Dada la función F: 〈8; 10] → R con regla de correspondencia F(x) = (x – 2)2 – 4. Calcula la suma del mayor y menor valor entero del rango. Resolución: Y Dominio = DomR = 〈8; 10], entonces x ∈ 〈8; 10] ⇒ 8 < x ≤ 10 Y Construimos el rango: (8 < x ≤ 10) – 2 «Restamos 2» (6 < x – 2 ≤ 8) «Elevamos al cuadrado» (36 < (x – 2)2 ≤ 64) – 4 «Restamos 4» 32 < (x – 2)2 – 4 ≤ 60 Y
Y
32 < F(x) ≤ 60 ⇒ Ranf = 〈32; 60] Observamos el rango: Menor valor entero = 33 Mayor valor entero = 60 ∴ Suma de valores = 93
13. Si x ∈ [2; 5〉, calcula el rango de la función: F(x) = x2 – 6x + 3.
● ●
14. Si: x ∈ 〈–8; 4〉, calcula el rango de la función: F(x) = x2 + 4x – 2 Da como respuesta el producto del mayor y el menor valor entero de dicho rango.
9. Dada la función: [–7; 2〉 → R , con regla de correspondencia F(x) = (x + 8)2 – 10. Calcula la suma del mayor y menor valor entero del rango.
5
ÁLGEBRA
Construimos el rango: (6 ≤ x < 9) – 4 «restamos 4» (2 ≤ x – 4 < 5) «elevamos al cuadrado» (4 ≤ (x – 4)2 < 25) – 1 «restamos 1» 3 ≤ (x – 4)2 – 1 < 24 3 ≤ f(x) < 24 ∴ RanF = [3; 24〉
42
3.ER
AÑO
6 Función lineal I Función lineal
¡Consideraciones importantes! Dada la función f(x) = mx + b ∨ y = mx + b
Es aquella función determinada por la siguiente regla de correspondencia: f(x) = mx + b m ∈ R ; m ≠ 0 Dominio: x ∈ R Rango: y ∈ R
1. Si (2; 4) ∈ f, entonces x = 2 ∧ y = 4; el siguiente paso es reemplazar estos valores en la función, así: 4 = 2m + b 2. Si f(2) = 4 ⇒ 2m + b = 4 (se reemplaza).
Trabajando en clase Integral
5. Si (–2; 4) y (4; –2) pertenecen a f(x) = mx + b, calcula «mb»
1. Si (–1; 5) pertenece a f(x) = 2x + b, calcula «b».
6. Si (2; 4) y (1; 3) pertenecen a f(x) = mx + b, calcula «q» si (3; q) ∈ «f».
2. Si (3; 2) pertenece a f(x) = 5x – b, calcula f(4). 3. Si (2; 7) pertenece a f(x) = 3x + b, escribe verdadero o falso según corresponda. (–1; 2) ∈ f ............. ( ) (0; 4) ∈ f ............. ( ) (4; 13) ∈ f ............. ( ) (–1; –2) ∈ f ............. ( )
7. Si f(x) = mx + b, además f(2) = –5; f(1) = 1, calcula: f(6). UNMSM 8. Dada la función F(x) = ax + b, calcula «b – a». Según la siguiente tabla: x 1 –2 y –5 4
PUCP 4. Si (2; 7) y (3; 9) pertenece a f(x) = mx + b, calcula «mb». Resolución Y Por dato: (3; 9) ∈ f → 9 = 3m + b ... 1 – (2; 7) ∈ f → 7 = 2m + b ... 2 ⇒ 2=m Y
Resolución F(x) = ax + b ⇒ y = ax + b Y Según los datos de la tabla: (1; –5) ⇒ –5 = a + b – «restamos» (–2; 4) ⇒ 4 = –2a + b –9 = 3a ⇒ a = –3 Y
Reemplazamos el valor de 2 = m en la ecuación 1 y 2 ; escogemos la ecuación 2 , entonces tenemos: 7 = 2m + b 7 = 2(2) + b ⇒ 3=b
9. Dada la función G, si G(x) = ax + b, calcula «a – b», según la tabla siguiente: x 1 2 y –3 7
Nos piden: «mb» = 23 ∴ mb = 8 3.ER
AÑO
Reemplazamos a = –3 ⇒ –5 = –3 + b ⇒ b = –2 Nos piden: b – a = –2 –(–3) ∴ b – a = 1
43
ÁLGEBRA
6
FUNCIÓN LINEAL I
10. Dada la siguiente función: f(x) = mx + b, si f(3) = 4 y f(3) = 2f(1), calcula f(10)
Y
11. Dada la función: f(x) = 5x – 2b, además f(1) = 7 ∧ f(m) = 8 Calcula «bm» Y
UNI 12. Calcula «n» en la siguiente función: F(x) = 2x – 3m; x > 3 x + 2n; x ≤ 3 F(m) = 11; m < 3 ∧ F(n) = 7; n > 3
Por dato Y f(m) = 11; m < 3 ⇒ reemplazando en II m + 2n = 11 ... a Y f(n) = 7; n > 3 ⇒ reemplazando en I 2n – 3m = 7, ... b
ÁLGEBRA
Reemplazando el valor de «m» en a m + 2n = 11 1 + 2n = 11 2n = 10 ⇒ n =5 Nos piden: nm = 51 ∴ nm = 5
13. Dada la función: F(x) = 3x – 2m; x > 5 x + 3n; x ≤ 5 además: F(m) = 15; F(n) = 6. Si se sabe que m < 5 ∧ n > 5, calcula «mn»
Resolución: Y Sabemos lo siguiente: F(x) = 2x – 3m; x > 3 ... I x + 2n; x ≤ 3 ... II
6
Con a y b formamos un sistema de ecuaciones: m + 2n = 11 – «Restamos» –3m + 2n = 7 4m = 4 ⇒ m =1
14. Calcula F(0) + F(1) en siguiente función: F(x) = 3x – 5a; x < 7 2x + 3b; x ≥ 7 Si F(3) = 4 ∧ F(8) = 7
44
3.ER
AÑO
7 Función lineal II 1. Función lineal
y
f(x) = mx + b m, b ∈ R ; m ≠ 0 y
y b
45°
x
b x
x m>0 Dominio: DF = R Rango: R F = R m: Tgq: pendiente de la recta b: intercepto con el eje «y»
f(x) = x
Dominio: DF = R Rango: R F = R
m<0
3. Función constante Y
2. Función identidad f(x) = x m = 1; b = 0 ¡Tener en cuenta! Y Siempre pasa por el origen de coordenadas (0; 0) Y Es la bisectriz del I y III cuadrante Y La pendiente es m = Tg45° = 1
f(x) = b m = 0 Es una recta paralela al eje «x». y f(x) = b b x Dominio: x ∈ R Rango: R F = {b}
Trabajando en clase Integral
Resolución Y Operando la ecuación para llegar a la forma: f(x) = mx + b 2(x – 5) + 3(y + 4) = 0 2x – 10 + 3y + 12 = 0 3y = –2x – 2 y = –2x – 2 3 3 Y Tabulamos: x y 0 –2/3 ⇒ 0; – 2 3 –1 0 ⇒ (–1; 0)
1. Gráfica: f(x) = x + 8. Indica la pendiente. 2. Gráfica: f(x) = 5x – 2. Indica el intercepto con el eje «y». 3. Calcula la pendiente y el intercepto de la recta: 5y – 7x + 2 = 0 PUCP 4. Gráfica: 2(x – 5) + 3(y + 4) = 0
3.ER
AÑO
45
ÁLGEBRA
7
FUNCIÓN LINEAL II Y
Graficando:
9. Calcula el área de la región formada por la gráfica de f(x) = 7x – 1 y los ejes coordenados.
y
–1 0
10. Calcula la intersección de las siguientes funciones: f(x) = –3x + 8 y g(x) = –1.
x
–2 3
11. Calcula la intersección de las rectas: f(x) = 2x – 3 y g(x) = x – 7 UNI
5. Grafica: 3(y – 5) + 5(x + 2) = 0
6. Grafica: a) f(x) = 9
b)
12. Calcula el área de la región formada por f(x) = 2x – 9; g(x) = 2 y el eje de ordenadas.
y = –5
Resolución: Y Graficamos: f(x) = 2x – 9 x y 0 –9 9/2 0
7. Según la gráfica, calcula «ab» f(x) = x (8; b) (a; –3)
11 2
2
UNMSM 11
–9 Y
2
Y
Graficando:
y
Y
5 2 5 0S 5 –5 También:
5 .5 S= 2 2 S = 25 4
7
ÁLGEBRA
2
9 11 2 2
0
8. Calcula el área de la región formada por la gráfica de la función f(x) = 2x – 5, y los ejes coordenados. Resolución: Y f(x) = 2x – 5 ⇒ y = 2x – 5 Tabulamos: x y 0 –5 ⇒ (0; –5) 5/2 0 ⇒ 5 ; 0
Punto de intersección 11 ; 2
x
2
Determinamos el punto de intersección: f(x) = g(x) → 2x = 11 2x = 11 ⇒ x = 11 ∧ y = 2 ⇒ 11 ; 2
2 Área = 1 . 11 .11 2 2 ∴ área = 121 m2 4
2
13. Calcula el áera de la región formada por f(x) = 7x – 2; g(x) = 7 y el eje de ordenadas.
Área:
14. Calcula el área de la región formada por
S = 1 . 5 .5 = 25
f(x) = 3 x + 6; g(x) = – 7 x + 1
22 4 ∴ área: 25 m2 4
2
2
y el eje de abscisas.
46
3.ER
AÑO
8 Repaso 1. Resuelve:
8. Señala el gráfico de f(x) = x + 8. y a) d)
2 – 3x ≤ 1 5 Indica el mínimo valor entero de «x». a) 0 c) 1 e) –2 b) –1 d) 2
2. Resuelve: a) [3; +∞〉 b) 〈4; +∞〉
2 – x ≤ x – 3 3 2 c) [5; +∞〉 d) [6; +∞〉
8
8 8 x
c)
y
x
–8
–8 8 8 x
9. Grafica: f(x) = 4 x 3 y a)
d) 4/3
b)
–3
x
4 3
–3
6. Si (–3; 3) y (–1; 5) pertenecen a la función: f(x) = mx + b, calcula «a» si (1; a) ∈ «f». a) –11 c) 7 e) 8 b) –12 d) 10
e)
y
4/3 x
0
7. Dada la función H, de modo que H(x) = ax + b. Calcula «a – b» según la siguiente tabla: x 1 2 y –3 7
AÑO
x
y
e)
e) [7; +∞〉
5. Si (1; 3) y (2; 5) pertenecen a f(x) = mx + b, calcula «mb». a) 1 c) 3 e) 6 b) 2 d) 4
3.ER
y
b)
4. Si (2; 3) pertenece a la función: f(x) = 5x + b. Calcula f(–3). a) –20 c) –23 e) –24 b) –22 d) –21
c) –23 d) –24
4
x
3. Resuelve: (x – 1)2 – (x – 2)(x + 3) < 2(2x – 7) Indica el mínimo valor entero de «x». a) 2 c) 4 e) 6 b) 3 d) 5
a) 23 b) 20
y 8
c)
y 4/3 3
x
e) –10
47
ÁLGEBRA
8
REPASO
10. Calcula la pendiente de la función: 2x + 5y – 7 = 0 a) – 5 d) 5 2 2 b) – 2 e) – 7 5 2 c) 2 5
12. Calcula la intersección de las rectas: f(x) = x – 7 y g(x) = 6x + 8 a) (–3; –10) c) (–3; 10) e) (2; 10) b) (3; 10 d) (3; –10)
Claves 1. 2. 3. 4.
11. Calcula el área de la región formada por la gráfica de la función f(x) = x + 8 y los ejes coordenados. a) 64 u2 d) 8 u2 b) 16 u2 e) 20 u2 c) 32 u2
c d c b
5. 6. 7. 8.
b c a e
9. 10. 11. 12.
b b c a
Bibliografía 1. Álgebra Superior. Lima: SAN MARCOS, 2008 2. Matemática – Ciencias: Álgebra, 3er año. Lima: PAZ, 2010
8
ÁLGEBRA
48
3.ER
AÑO
Álgebra
1 Función cuadrática La función F: R →R /y = f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0 a, b, c ∈ R recibe el nombre de función cuadrática.
V = (h, k)
Su gráfica es una curva llamada parábola.
h = – 4 = –2 2(1) k = (–2)2 + 4(–2) + 1 → k = –3
B. Completando cuadrados
y f(x) = ax2 + bx + c
x vértice = (h, k) La parábola se abre hacia arriba cuando a > 0. En este caso, la función tiene un mínimo valor que es igual a «k». Su rango es Ranf = [k; +∞〉 vértice = (h, k) f(x) = ax2 + bx + c
Se debe tener en cuenta la forma y = a(x – h)2 + k, donde V = (h, k) Ejemplo: Determina el vértice de: f(x) = x2 + 4x + 1 f(x) = x2 + 4x + 1 = (x + 2)2 – 3 Comparando: y = a(x – h)2 – 3 ↓ y = 1(x + 2)2 + k a=1 –h = +2 k = –3 h = –2 Luego, V = (–2; –3).
Cálculo del rango de una función cuadrática teniendo como dato el dominio
y
Calcula el rango de f(x) = x 2 + 4x + 1 si x ∈ 〈2; 5] x
Resolución: Completamos cuadrados: f(x) = x2 + 4x + 1 = (x + 2)2 – 3 Debemos construir f(x) = (x + 2) 2 – 3 a partir de x ∈ 〈2; 5] ⇒ (2 < x ≤ 5) sumo 2 (4 < x + 2 ≤ 7) elevo al cuadrado (16 < (x + 2)2 ≤ 49) resto 3 13 < (x + 2)2 – 3 ≤ 46 13 < f(x) ≤ 46 Luego, f(x) ∈ 〈13; 46] Ranf = 〈13; 46]
La parábola se abre hacia abajo cuando a < 0. En este caso, la función tiene un máximo valor que es igual a «k». Su rango es RanF = 〈–∞; k]
Formas de calcular el vértice f(x) = ax2 + bx + c
A. Por fórmula
Puntos de intersección con los ejes coordenados
V = (h, k) Donde h = – b 2a «k» se halla reemplazando x = h en «f» ⇒ k = a(h)2 + b(h) + c
Ejemplo: Determina el vértice de f(x) = x2 + 4x + 1.
3.ER
AÑO
Z
Z
31
Intersección con el eje de abscisas (eje «x») Para determinar los puntos de intersección con el eje «x», se iguala «y» a cero (y = 0 ∨ f(x) = 0) y se calculan los valores de «x». Intersección con el eje de ordenadas (eje «y») Para determinar los puntos de intersección con el eje «y», se iguala «x» a cero (x = 0) y se calcula el valor de «y». ÁLGEBRA
1
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Trabajando en clase –4 < x + 3 ≤ 5 elevamos al cuadrado 2 2 2 0 ≤ (x + 3) ≤ Max.(5 ; 4 ) 0 ≤ (x + 3)2 ≤ 25 –6 ≤ (x + 3)2 – 6 ≤ 19 –6 ≤ f(x) ≤ 19 f(x) ∈ [–6; 19] Ranf = [–6; 19]
Integral 1. Calcula el vértice de: f(x) = x2 + 6x + 10 2. Calcula la suma de componentes del vértice de la función: f(x) = x2 – 8x + 17 3. Calcula el vértice de: f(x) = x2 + 5x + 1
9. Calcula el rango de f(x) = x2 + 10x + 13 si x∈〈–4; 3〉
PUCP
10. Calcula el rango de f(x) = x2 + 10x + 7 si x∈〈–7; –1] 4. Calcula el rango de: f(x) = x 2 – 6x + 16
11. Calcula el rango de f(x) = x2 – 6x + 2 si x∈[0; 2〉
Resolución Calculo primero el vértice: h = –(–6) = 6 ⇒ h = 3 2(1) 2 Luego: k = f(3) = 32 – 6(3) + 16 k = 9 – 18 + 16 k=7 como a = 1 > 0 ⇒ Ranf = [k; +∞〉 Ranf = [7; +∞〉
UNI 12. Calcula los puntos de intersección de la parábola f(x) = x2 + 3x – 10 con los ejes de coordenadas. Resolución: Sea: f(x) = x2 + 3x – 10 Intersección con el eje «x» y = 0 x2 + 3x – 10 = 0 x +5 x –2 x = –5 ∨ x = 2 si y = 0 ⇒ x = –5 ⇒ primer punto: (–5; 0) si y = 0 ⇒ x = 2 ⇒ segundo punto: (2; 0)
5. Calcula el rango de f(x) = x 2 + 10x + 26 6. Calcula el rango de: f(x) = –x 2 – 4x + 21 7. Calcula el rango de: f(x) = (x – 2) 2 + 5 si x ∈ 〈3; 6]
Intersección con el eje «y» x = 0 y = 02 + 3(0) – 10 y = 0 + 0 – 10 y = –10 Si x = 0 ⇒ y = –10 ⇒ tercer punto: (0; –10)
UNMSM 8. Calcula el rango de f(x) = x 2 + 6x + 3 si x∈〈–7; 2] Resolución: Paara calcula el rango de f(x) = x2 + 6x + 3, teniendo como dato x∈〈–7; 2], completamos cuadrados. f(x) = x2 + 6x + 3 ⇒ f(x) = (x + 3)2 – 6 como x∈〈–7; 2] construimos «f(x)» –7 < x ≤ 2 sumamos 3
1
ÁLGEBRA
13. Calcula los puntos de intersección de la parábola: f(x) = x2 – 7x + 12 con los ejes de coordenadas. 14. Calcula los puntos de intersección con los ejes de coordenadas y la gráfica de f(x) = x 2 – 2x – 8.
32
3.ER
AÑO
2 Función raíz cuadrada Sea la función raíz cuadrada: f(x) = a x – h + k
y v=(h; k)
k h
x
Veamos: f(x) = x – 1 + 2 Sabemos: x – 1 ≥ 0, sumamos 2 x – 1 + 2 ≥ 2 f(x) y ≥ 2 –∞
v = (h; k): «vértice» Dominio de «f»
Z
f(x) =
Ranf: [2; +∞〉 Graficas: f(x) = mx – h + k
x – h + k
y
y
La cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero: x – h ≥ 0 ⇒ x ≥ h
k
k h
–∞
h Domf: [h; +∞〉
Luego tenemos: x–h ;≥0
x
h
x
+∞ y
Rango de «f» f(x) = a x – h + k Sabemos que la raíz cuadrada es mayor o igual a cero.
Z
+∞
2
y
k
k h
x
h
x
≥ 0
Intersección con los ejes
1. a x – h ≥ 0 ∀a ≥ 0 2. a x – h < 0 ∀a < 0
Z Z
Intersección con el eje «x» ⇒ «y = 0». Intersección con el eje «y» ⇒ «x = 0».
Trabajando en clase Integral
3. Calcula el vértice de: g(x) = x – 2 – 5
1. Calcula el vértice de: f(x) = 2 x – 8 + 4
PUCP
2. Calcula el vértice de: f(x) = x + 3 + 6
3.ER
AÑO
4. Calcula el dominio y el rango de: f(x) = x – 2 + 7
33
ÁLGEBRA
2
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Resolución: Y
Y
f(x) = x – 2 + 7 Dominio: x – 2 ≥ 0 → x ≥ 2 –∞
Y
(–2 3x – 1 ≤ 0) sumamos 1
+∞
2
–2 3x – 1 + 1 ≤ 1 f(x) ≤ 1 ⇒ y ≤ 1
Domf: [2; +∞〉 Rango: Sabemos: ( x – 2 ≥ 0) + 7 x – 2 + 7 ≥ 7
–∞
f(x) ≥ 7 ⇒ y ≥ 7 –∞
10. Calcula el dominio y el rango de: f(x) = 5 x + 8 – 2
Ranf: [7; +∞〉
5. Calcula el dominio y el rango de: g(x) = x – 1 + 9
11. Calcula el dominio de: f(x) = x2 – 5x + 6 + 1
6. Calcula el dominio y el rango de: f(x) = x + 3 – 5
UNI
7. Calcula el dominio y el rango de: f(x) = x
12. Calcular el punto de intersección de la función: f(x) = x – 1 – 1 con el eje «x». Resolución: Para calcular el punto de intersección con el eje «x» ⇒ y = 0. y = x – 1 – 1 0 = x – 1 – 1 1 = x – 1 , elevando al cuadrado 1=x–1 2=x Luego el punto será (2; 0)
UNMSM 8. Calcula el dominio y el rango de: f(x) = –2 3x – 1 + 1 Resolución: Sabemos: f(x) = –2 3x – 1 + 1 Y
Dominio: 3x – 1 ≥ 0 → x ≥ 1
13. Calcular el punto de intersección de la función: g(x) = x + 4 + 3 con el eje «y».
3
–∞
2
ÁLGEBRA
+∞
1
Ranf: 〈–∞; 1]
9. Calcula el dominio y el rango de: f(x) = –3 x + 2 + 2
+∞
2
Rango: Sabemos: ( 3x – 1 ≥ 0) multiplicamos por (–2)
1/3
+∞
Domf: [1/3; +∞〉
14. Graficar: f(x) = x + 9 – 2
34
3.ER
AÑO
3 Función valor absoluto Caso 2
Sea la función valor absoluto en su forma general:
y
y = f(x) = a|x – h| + k (h; k)
Vértice: v = (h, k) Dominio de f: Domf: R Rango de f y gráfico
Z Z Z
h
k x f(x)=a|x – h| + k
Caso 1: y Z
f(x)=a|x – h| + k k
Z
(h; k) h
Intersección con los ejes coordenados
x
La gráfica se abra hacia arriba cuando: a > 0 Ran f: [k; +∞〉
Z Z
La gráfica se abre hacia abajo cuando: a < 0 Ranf: 〈–∞; k]
Z
Intersección con el eje de abscisas «x». Para determinar el punto de intersección con el eje «x», se iguala «y = 0».
Z
Intersección con el eje de ordenadas «y» Para determinar el punto de intersección con el eje «y», se iguala «x = 0».
Trabajando en clase Integral
Resolución: Y Calculando el dominio de f Sabemos que |x + 1| ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒ Domf: R
1. Calcula el vértice de: f(x) = |x – 3| + 1 2. Calcula el producto de los componentes del vértice de la función: f(x) = |x + 4| – 5
Y
3. Calcula el vértice de: f(x) = |2x – 1| – 1
5. Calcula el dominio y el rango de: g(x) = |x + 2| + 9
PUCP 4. Calcula el dominio y el rango de: f(x) = |x + 1| + 2
3.ER
AÑO
Calculando el rango de f. Sabemos que |x + 1| ≥ 0, sumamos 2 |x + 1| + 2 ≥ 2 f(x) tenemos: y ≥ 2 ⇒ Ranf: [2; +∞〉
6. Calcula el dominio y el rango de: f(x) = |x – 7|
35
ÁLGEBRA
3
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
7. Calcula el dominio y el rango de: f(x) = |x| + 5
UNI 12. Grafica la siguiente función f(x) = |x + 1| – 7, e indica el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados. Resolución: Sea f(x) = |x + 1| – 7 Y vértice: v = (h; k) ⇒ v = (–1; –7)
UNMSM 8. Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de: f(x) = |x – 1| – 3
Y
Resolución: Y Intersección con el eje «x» ⇒ y = 0 y = |x – 1| – 3 0 =|x – 1| – 3 3 = |x – 1| x–1=3 x=4 ⇒ (4; 0) Y
x+1=7 x=6 ⇒ (6; 0)
x – 1 = –3 x = –2 (–2; 0)
Intersección con el eje «y» ⇒ x = 0 y = |x – 1| – 3 y = |0 – 1| – 3 y=1–3 y = –2 ⇒ (0; –2)
9. Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de: g(x) = |x + 2| – 1
Punto de corte con el eje «y» ⇒ x = 0 y = |x + 1| – 7 y = |0 + 1| – 7 y=1–7 y = –6 ⇒ (0; –6)
Y
Gráfica:
y
–1
6
x
–6 –7
13. Gráfica la siguiente función g(x) = |x + 2| – 3, e indica el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados.
11. Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de: H(x) = |x + 3| + 2
ÁLGEBRA
x + 1 = –7 x = –8 (–8; 0)
Y
–8
10. Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de: f(x) = –|x + 1| + 8
3
Punto de corte con el eje x ⇒ y = 0 y = |x + 1| – 7 0 =|x + 1| – 7 7 = |x + 1|
14. Calcula el área de la región formada por la función f(x) = –|x + 1| + 2 y el eje de las abscisas.
36
3.ER
AÑO
4 Logaritmos I DEFINICIÓN
Ejemplos: Y 2Log2 7 = 7 5 Y 6Log6 5 = 5 Y 3Log3 (x + 1) = 5 ⇒ x + 1 = 5 ⇒ x = 4
Dado un número real b > 0, b ≠ 1; el logaritmo de un número N > 0 en la base «b» es el exponente «x», al que debe elevarse, «b» de manera que se cumpla. bx = N
2. Cologaritmo
Notación: LogbN = x
Z
1
cologNb = Log N = –LogNb
Se lee «x» es el logaritmo del número «N» en base «b».
b
∀N∈R +; b∈R + – {1}
LogbN= x ⇔ bx = N
Ejemplos: Y colog27 = –Log27 = –3 3 3
donde: N∈R +, b∈R + – {1}, x∈R
Y
colog256 = –Log256 = –4 4 4
Ejemplos:
Y
colog72 = –Log72
Y
Log636 = 2 porque 62 = 36
Y
Log381 = 2 porque 34 = 81
3. Antilogaritmo AntilogNb = bN
Log644= 1 porque 641/3 = 4 3 «El logaritmo solo se aplica a números positivos». Y
1. Identidad fundamental del logaritmo bLogb N = N; ∀N∈R + ∧ b∈R + – {1}
∀N∈R , b∈R + – {1} Ejemplos: Y Antilog2 3 = 23 = 8 Y
Antilog6 2 = 62 = 36
Y
Antilog3 5 = 35 = 243
Trabajando en clase Integral
3. Calcula «x». Logx64 = 2
1. Calcula:
PUCP
1 = Log2 64 + Log3 81 – Log5125
2. Calcula «x».
4. Calcula «x» Log2(x + 7) = 4
3.ER
AÑO
7Log7 (3x + 1) = 13
37
ÁLGEBRA
4
LOGARITMOS I
10. Calcula:
Resolución: Tenemos: 7Log7 (3x + 1) = 13 Por identidad fundamental 3x + 1 = 13 3x = 12 x=4
E = Log2Log3Log2 512
11. Calcula «x». Log4Log3Log2(x–5) = 0
5. Calcula «x»
UNI
5Log5 (3x – 7) = 8
12. Calcula: S = Colog36Log2Antilog4 3
6. Calcula:
Resolución: S = Colog36Log2Antilog4 3
P = 4Log4 3 + 2Log2 5 – 13Log13 2
7. Calcula G = 13
3Log135
–6
Y
+ 5
2Log6 7
4Log5 2
⇒ S = Colog36Log264
UNMSM
Y
Logx (2x + 24) = 2
Log636 = x ⇒ 36x = 6 62x = 6 6x = 1 x= 1 2 Luego, tenemos: Log 36 6 = 1 2 ∴S = – 1 2 13. Calcula: R = Colog512Log16Antilog4 4 Y
Resolución: Logx (2x+24)= 2 x2 = 2x + 24 x 2 – 2x – 24 = 0 x –6 = 0 → x = 6 x +4 = 0 → x = –4 Descartamos x = –4, porque «x» es la base del logaritmo y no puede ser negativo. ∴x = 6 → C.S. = {6}
9. Resuelve:
14. Calcula: P = Antilog3Antilog4 Antilog23
Logx (3x + 40) = 2
ÁLGEBRA
Log264 = 6
⇒ S = Colog36 6 = –Log636 6
8. Resuelve:
4
Antilog43 = 43 = 64
2
38
3.ER
AÑO
5 Logaritmo II PROPIEDADES FUNDAMENTALES bLogb x = x
De la fórmula del cambio de base se puede deducir que:
Logbby = y
Logba =
PROPIEDADES
REGLA DE LA CADENA
1. Logbb = 1, Logb1 = 0
Logdc.Logcb.Logba = Logda
2. Logb(M.N) = LogbM + LogbN 3. Logb M = LogbM – LogbN
SISTEMA DE LOGARITMOS
N
Es el conjunto de valores de un logaritmo calculados en una determinada base. Los sistemas más utilizados son:
4. Log bMn = nLogbM n 5. Log b M = 1 LogbM
n
1. Logaritmo decimal
6. Logbn M = 1 LogbM
Es aquel logaritmo cuya base es 10, su notación está dada por:
n
7. Logn b M = nLogbM
Log10x = Log x
8. Logb b = m n n
m
2. Logaritmo neperiano
n
9. Logn b M = Logbn Mn = LogbM
También llamado logaritmo natural o hiperbólico, es aquel cuya base es el llamado número de Neper «e» cuyo valor es 2,718281..., cuya notación es:
CAMBIO DE BASE Logbx =
1 Logab
Logax Logab
Logex = Ln x = Lx
Trabajando en clase Integral
PUCP 5
8
1. Al calcular el logaritmo de 78. 7 en la base 75. 7 , se obtiene:
4. Calcula: P = log 75 – 2log 5 + log 32
16
2. Para a > 1, si: Loga5 = m, Loga7 = n. Hallar: S = Loga(175a).
Resolución: Transformando la expresión a logaritmo de un producto y un cociente, tendremos:
1 1 1 + + 1 + Log3(10e) 1 + Ln30 1 + Log(3e)
AÑO
243
Indique 10P.
3. Calcular:
3.ER
9
39
ÁLGEBRA
5
LOGARITMO II
9. Calcular:
2 P = Log75 + Log 32 – Log 5 = Log75 . Log 32 – Log25
9 243 = Log 81.75.32 = Log2 25.16.243 16
16
243
81
3
5. Reducir: G = Log2 8 + Log4 81 + Log4 16 + Log16 25
2
5
3
10. Sabiendo que: a 2 + b2 = 7ab. Reducir: Logca + Logcb Logc 1 (a + b) 3
Entonces 10P = 2.
3
5
Log5 4 2 + Log2.5 2 2 + Log6 4 4 2
11. Si a y b son las raíces de la ecuación: x2 – 6x + 2 = 0. Hallar:
162
6. A partir de: 10Log(Logba) = 12. Expresar el valor de:
Log42 9a + Log42 49b
7
Logb ab Loga a b
3
UNI
Log 3 4
7. Calcular: 3Log4 5
12. Calcular: 4
M = Log4(Log 2 (Log1/2(Log2 2 )))
UNMSM 8. Hallar el valor: 3 M = Log816 + Log343 7 49 + Log3(27. 3 ) Resolución:
Resolución: Reducimos de adentro hacia afuera: M = Log4(Log 2 (Log1/2(Log221/4)))
Log816 = Log23 24 = 4 Log22 = 4
3
3
M = Log4 Log 2 Log1/2 1
4
Log343 7 49 = Log73.71/272 = Log77/272 = 2 = 4
7 2
2
7
M = Log4(Log 2 (2)) = Log4(Log 2 ( 2 )) M = Log4(2) = Log4(4 1/2 ) = 1
Log327 3 = Log33 .3 = Log33 = 10 3 3
3
1/3
10/3
2
Finalmente se pide:
9
13. Calcular: M = log 16(log4 2 (log1/3(log3 3 )))
M = 4 + 4 + 10 = 110
3
7
3
14. Reducir:
21
∴ m = 110 21
5
ÁLGEBRA
3
3 M = 25Log53 + 81Log 32 + 2 Log 464
40
3.ER
AÑO
6 Logaritmos III ECUACIONES ECU ACIONES LOGARITMICAS LOGAR ITMICAS
Observación:
Son aquellas ecuaciones en el cual la incógnita está afectada por el operador logarítmico. Para resolver este tipo de ecuaciones se debe seguir las siguientes recomendaciones:
Z
Los logartimos más usuales son: Z Z Z
Analizar la existencia de las expresiones logarítmicas; es decir, ver que el número a quien se le aplica el logaritmo y la base cumplan las condiciones planteadas en la definición. Es decir Logbx ⇒ x > 0 ∧ b > 0 ∧ b ≠ 1.
Z
COLOGARITMO Cologbx = –Logbx
ANTILOGARITMO
Si no se plantea la recomendación anterior, entonces los valores obtenidos para la incógnita se deben verificar en la ecuación original.
Z
Log 2 = 0.301 Log 3 = 0.477 Log e = 0.434 Ln1 0 = 2.303
AntiLogbx = bx
Trabajando en clase Integral
Aplicando propiedad de proporciones: 2x = a2m + 1 → x = a2m + 1 2 a2m – 1 a2m – 1 5. Siendo: x > 1, resolver:
1. Calcular «x» en: Log(5x) = a; Log(x – 1) = b y además: a – b = 1. 2. Resolver: Logx = Log x
Log m + 1 x + 1 = 2 m–1
3. Si «a» es solución de la ecuación: Logx + 4(5 – x) = Logx + 4(x2 – 1) Hallar: aa + 1.
x–1
Calcule S = m(2x – m).
6. Al resolver la ecuación: Log x(x3 + 5x – 6) = 3, se obtiene como solución x 0, halle: Log5(x0 – 1).
PUCP
7. Dada la ecuación: xLogx – 100 = 0, indique el producto de sus soluciones. x
4. Siendo: x > 1, resolver Log a x + 1 = m. x–1
UNMSM Resolución:
8. Resuelva: Logx + 5(4 – x) = Logx + 5(x2 + 2x)
Por definición del logaritmo: x + 1 = am. x–1 Elevando al cuadrado miembro a miembro: miembro: x + 1 = a2m x–1
3.ER
AÑO
Resolución: Por la definición del logaritmo: x + 5 > 0 ∧ x + 5 ≠ 1 ∧ 4 – x > 0 ∧ x2 + 2x > 0
41
ÁLGEBRA
6
LOGARITMOS LOGARI TMOS III
UNI
Luego tenemos: 4 – x = x2 + 2x ⇒ (x + 4)(x – 1) = 0 x = –4 ∨ x = 1
12. Resolver:
Se observa que x = 1 es el único valor que verifica las condiciones iniciales: ∴x=1
Resolución:
CoLogx + Log x = 1 2
Mediante propiedades, tenemos: –Logx + 1Logx = 1 ⇒ –Logx = –Logx = 1(1 – Logx) 2 2 2 1 2 2 –Logx = (1 – Logx) ⇒ Log x + 2Logx + 1 = 0 4 (Logx + 1)2 = 0 ⇒ Logx = –1 ⇒ x = 10–1 = 0,1
9. Resuelva: Log2x(9 – 2x) = Log2x(2x – 5) + Log2x(2x – 3) 10. Resolver: Log22 (x – 1)2 – Log0,5(x – 1) = 5
13. Resolver:
11. El logaritmo de N en base b ase 5, es el mismo que el logaritmo de M en base 5 . Si: M + N = 3. Hallar: M . 4 N
14. Resolver: x + Log(1 + 2x) = xLog5 + Log72
6
ÁLGEBRA
Logx4 + coLog(10x) = 0
42
3.ER
AÑO
7 Número combinatorio FACTORIAL
Propiedades
Se define el factorial de un número entero y positivo a la multiplicación de números consecutivos, comenzando desde la unidad hasta el número dado.
Z
Valores usuales Cn0 = Cnn = 1 ; Cn1 = n
+ n! = 1.2.3.........n , n ∈Z 1 ,n=0
Z
Degradación de un número combinatorio Cnr = n Crn––11 r
Propiedades
n! = n.(n – 1) ! ; n ≥ 1 a! = b! ⇔ a = b; a, b∈Z+ – {1} a! =1 ⇔ a = 0 ∨ a = 1
Z Z Z
Z
Número combinatorio complementario Cnr = Cnn – r
NÚMERO COMBINATORIO Se denota:
Z
índice superior Cnr → → índice inferior
Suma de número combinatorios Crn+ 1 + Cnr = Cnr ++11
Se define: Cnr =
n! r!.(n – r)!
Z
Donde: n, r ∈ Zr0 ; n ≥ r.
Igualdad de números combinatorios n = x ∧ r = y Cnr + Cy x = ∨ n=x ∧ r+y=n
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Calcular el valor de: B = 11! + 12! + 13! 11! + 12! 2. Calcula el valor de: 127! A = 21! + 20! 22! 126! + 125!
4. Hallar x en: 12(x – 5)! = (x – 4)! Resolución: Degradado el factorial: 12(x – 5)! = (x – 4).(x – 5)! Simplificando: Simplificando: 12 = x – 4 ∴ x = 16
3. Calcular el valor:
5. Resolver:
S = 17! – 16! + 16! – 15! + 15! – 14! + ... 15! 14! 13!
3.ER
AÑO
m! = 380 (m – 2)!
43
ÁLGEBRA
7
NÚMERO COMBINATORIO
6. Resolver:
UNI x! + (x – 1)! = 0,2(x + 1)!
12. Reducir la expresión: 30 12 C17 7 .C20 .C3 M = 17 29 11 C10 .C19 .C2
7. Hallar «x» en: x! + (x + 1)! + (x + 2)! = 1 2000 (x + 3)! – (x + 2)! UNMSM 8. Resolver:
x–1 9
C
x–2 8
= 2C
Resolución: Degradando: x – 1 Cx8 –2 = 2CCx8 – 2 9
–1 12 C12 12 C11 C12 3 = 3–1 = 2 3 3 Reemplazando: 30 C29 12 C11 C17 10 . 19 . 2 20 3 M= 29 11 C17 10 .C19 .C2 ∴ M = 6
Simplificando: x – 1 = 2 9 ∴ x = 19
9. Resolver:
13. Reducir la expresión:
3Cx15–5 = 8Cx16– 4
20 19 C18 7 .C5 .C6 N = 21 17 20 C8 .C6 .C15
10. Hallar el valor de (x – y): Cx13+ 2 + Cx12+ 2 =C42 y
14. Hallar el valor de «x»: Cx4 + 6 + Cxx ++ 61 + 1 = Cx6 + 8
11. Calcular k en: 1 + Cnn + 1 =Cnk –+ 25 + n
7
ÁLGEBRA
Resolución: Por el combinatorio complementario: 17 17 C17 7 = C17 – 7 = C10 Degrandado: –1 30 C30 30 C29 C30 20 = 20 – 1 = 19 20 20
44
3.ER
AÑO
8 Repaso 1. Reduce:
6. Halle «x» en Log(x – 1)(x + 5) = 2. a) 2 d) 8 b) 4 e) 10 c) 6
P = Log 75 + 2.Log2 + Log 4 + Log4 16 3 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Calcule el valor de: H = 9! + 10! + 11! + 9! 9! + 10! 7! + 8! a) 22 d) 19 b) 23 e) 9 c) 25
2. Calcule: 3 3 T = Log2 2 – Log5 5 + Log16 4 2 25 8 a) 3 d) 5
4
8. Sabiendo que: (x – 3)! = 18! y! – 2 = 22 Halle el valor de «x + y». a) 18 d) b) 28 e) c) 32
8
b) – 6
e) 6
5
5
c) 4
3
a) 4 b) 6 c) 12
R = n! + (n + 1)! + (n + 2)! n! + (n + 1)! a) n d) n + 2 b) n – 1 e) 2n c) n + 3
Log 12Log78 8
d) 8 e) 7
10. Resolver la ecuación: n C2n 3 = 44.C2 a) 15 d) 18 b) 16 e) 19 c) 17
4. Calcule «x» en: 4.Logx – Log729 = 3.Log x
3
a) 27 b) 243 c) 9
d) 3 e) 81
11. Al simplificar: 21 C21 8 + C13 N= 18 19 20 C18 5 + C12 + C12 + C8 Se obtiene: a) –1/2 d) 2 b) 1/2 e) 4 c) 1/4
5. El valor de «x» en la ecuación Log x – Log3 = 1 ; 2 es: a) 9 10 d) 60 b) 90 e) 30 c) 3 10 3.ER
AÑO
36 25
9. Simplifique:
3. Indique el valor de: N=7
......(1) ......(2)
45
ÁLGEBRA
8
