Trigonometría - Tema 1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MEDIDA EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Del gráfico mostrado, determine que ángulos están en posición normal. Y β
θ
A) VV B) VF C) FV D) FF E) faltan Datos 6.
X
α
A) solo α C) solo θ E) todas
B) solo β D) α y β 7.
2.
3.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones π I. Si θ ∈ IIIC ⇒ −θ − 2 9π II. ∀θ ∈ 4π; ⇒ θ ∈ IC 2 A) VV B) FF C) FV D) VF E) faltan datos Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. π I. ∀θ ∈ − ;0 ⇒ θ ∈ IVC 2 π π ⇒ θ ∈ IC ∨ IVC II. ∀θ ∈ − ; 2 2
Determine, cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas. I. tan ( 5 ) = a ∧ b < 0 b b ⇒ cos ( 5 ) = − 2 2 a +b
8.
En el grafico mostrado, calcula el valor de a2 + b2 ( senθ – cos θ ) Y
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. II. A) C) E)
5.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. |–cos100°| = –cos100° II. |tan4| = tan4 A) VV B) VF C) FV D) FF E) faltan Datos
II. cos2(3) = k;k ≠ 0 ⇒ cos(3) = –|k| III. sen(–5) > 0 A) Solo I B) solo II C) solo III D) II y III E) Todas son verdaderas
A) VV B) VF C) FF D) FV E) faltan datos 4.
cos
3π a = , ∀b ∈ R – {0} ∧ a = 0 2 b
θ
m csc π = , ∀m ∈ R ∧ n = 0 n VV B) VF FV D) FF faltan Datos
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. π I. tan cot > 0 6 II. sen 5 – sen 10 < 0
( )
UNI 2015-II
( )
UOII2T1T
X
(a; b) A) –a – b C) –a + b E) 0 9.
B) a – b D) a + b
a Si cos(5) = , calcula el valor de b tan(π + 5).
1
a
A)
2
b – a2 −a
B)
2
b – a2
C)
b2 – a2 a
D)
b2 – a2 −a
E) − a b 10. Si ABC es un triángulo equilátero de lado 4 y AC// eje X, calcula tanθ. Y
B
X
–5 A
θ C
A) −
3 8
C)
3 8
E)
3 3
B) −
2 3 3
D) 2 3 3
11. Si sec θ. tan θ < 0 .determina el signo de cada una de las expresiones M=
senθ.cos θ tan θ + cot θ
csc θ – cot θ co t θ – secθ A) + ∧ + B) – ∧ – C) – ∧ + D) + ∧ – E) no tiene signo N=
TRIGONOMETRÍA | TEMA 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MEDIDA
12. La expresión α – 1 + 2 – α es un número real y α es la medida de un ángulo cuadrantal en radianes. Calcula el valor de: cosα – senα – cotα A) –1 B) –2 C) –3 D) 0 E) 2 13. Calcula el menor de dos ángulos coterminales si la suma de ambas es 1320° y el mayor de ellos está comprendido entre 900° y 1200°. A) 240° B) 260° C) 300° D) 320° E) 340° 14. Del grafico mostrado calcula el valor de: senα + senβ + sen(α – β) Y β
X α
15. Si: cos2( 3) = k2 calcula el valor de: csc(3) + cot(3) A)
C)
E)
B) −
1+ k 1+ k
D) −
1– k
1+ k
θ–α J = 2sen ( α + θ ) + cos 2 A) –1 B) 0
1+ k 1– k
D) 1 C) − 2 2 2 E) 2 19. Si α y β son dos ángulos coterminales y pertenecen al IIIC, entonces al simplificar: senα – senβ tan α E= + , cos α.cos β tan β
1– k 1+ k
se obtiene: A) –2 B) –1 D) 1 E) 2
17. Si se cumple: |cos3(β)| – 27 sen3(β) = 0; β ∈ IIC. Calcule: 2 3 P= + sen ( β ) 2 cos ( β ) 3 10 10 A) B) 4 6
B) 0 D) 1
C)
10 4
E)
3 10 2
D)
3π senα – 1 + cos θ = tan 4 calcule:
1– k
16. Si: secθ = – 5 y tanθ > 0, halle: 2(tanθ + ctgθ). A) 3 B) – 4 C) 4 D) – 5 E) 5
(–8; –15) A) 30/17 C) –30/17 E) –1
1– k
18. Si 0º < α < 360º; 0º < θ < 360º;
C) 0
20. Se tiene un ángulo θ en posición normal que verifica las siguientes condiciones:
10 5
I. |cosθ| = –cosθ II. |tanθ| = tanθ III. |senθ| = 5 3 Halle: M = 5cscθ + 9cosθ A) –11 B) –10 C) –9 D) –8 E) 9
RESPUESTAS
UNI 2015-II
1.
B
5.
D
9.
D
13. C
17. E
2.
B
6.
A
10. C
14. C
18. C
3.
C
7.
E
11. D
15. A
19. D
4.
D
8.
A
12. A
16. E
20. C
2
TRIGONOMETRÍA | TEMA 1
Trigonometría - Tema 2
REDUCCIÓN DE PRIMER CUADRANTE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
2.
Si θ es la medida de un ángulo en posición normal y θr la medida de su ángulo de referencia determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si θ = – 7 → θr = π – 7 II. Si θ = 5 → θr = 5 – 2π III. Si θ = – 2 → θr = – 2 A) VVF B) VVV C) FVV D) VFF E) FVF Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Cos(–100°) = –Sen(10°) II. Tan( 13 ) = –Tan( 13 − π )
( )
6.
C)
Cos
7.
5.
Cos
8.
E) 2π
III. Cos(4) = –Cos(0,86) A) FFV
B) FFF
C) VFV
D) FVV
UNI 2015-II
π ( 883= )
12. Del gráfico mostrado. Si α = 120°. Calcula el valor de Tanθ
( 3θ34θ ) ; es :
2
A) − 2 2
B) − 1 2
C) 1 2
D)
3 2
Si k ∈ , calcula el valor de:
A) 0
B) 1
C) –1
D) 1/2
(
) (
88π 49π Sec − 3 4
A) − 6
E)
3
A) − 3 3
B) 3 3 5
C) − 3 3 5
D) 2 3 5
E) −
2 3 5
13. Del gráfico mostrado, calcula el valor de Secθ – Tanθ y
Tan −
0 3
6
(–20; y)
Calcula el valor de:
C)
α
θ
2 2
E) –1/2 9.
D) –1
E) – 2
Tanθ
π π Cos ( 6k + 1) + Sen (12k + 1) 3 6
C) π
B) − 3
7
C) 1
Entonces el valor de:
E)
Determine la relación incorrecta. I. Sen210° + Cos330° > 0 II. Tan ( –= 7 ) Tan ( π – 7 )
E) VVV
Si θ ∈ < 0; π > 2 Además: Tan
5π 6π 7π 8π + Cos + Cos = Cosθ Cos 13 13 13 13
D) 3π 2
D) Cosx
A)
( )
π 2
B) –Cosx
C) Senx
Sen ( A + 2B ) . Tan ( 2A + 3B ) Cos ( 2A + B ) Tan ( 4A + 3B )
E) No está definido
B) –2 D) 2
B)
A) –Senx
11. Si A y B son complementarios simplifica la expresión.
6
D) − 6
Calcule el valor de θ que verifica la igualdad.
A) 0
Sen ( 360° − x ) − Cos ( 270° − x ) − Sen ( 90° + x ) Tan (180° − x ) − Cot ( 90° + x ) + Cot ( 360° − x )
E) –1
B) − 6 2
3 Tan (120°) – 2Sec (225°)
4.
6 2
A)
Calcule el valor de : 2Sen(150°) – Cot(135°) A) –1 C) 1 E) 1/2
10. Simplificar la expresión.
Simplificar la expresión: Tan ( –120° ) − Tan(–240°) Sec ( −135° ) − Csc ( −315° )
III. Sen 15π = Sen 2π 13 13 A) VFF B) FFF C) VVV D) VFV E) FVF 3.
UOII2T2T
B)
)
θ
x
6
D) − 6 3
1
29°
3 7
A) 3 7
B) –
D) 7 3
E) –2
C) − 7 3
TRIGONOMETRÍA | TEMA 2
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
16. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Sen(kπ+θ) = (–1)x Senθ I I . Cos (2n + 1) π + φ = −Cosφ ; 2 n ∈Z
14. Del gráfico mostrado, calcula el valor de: Cosβ + Cosθ + Sen ( β + 2θ ) Cos B + 3θ 2
(
)
y θ
III. Tan(kπ + α) = Tanα ; k ∈ Z A) VVV B) FFF C) VVF D) FFV E) VFV
x
β
A) Senθ C) –1 E) 1
A) a = 1 b 4
15. Si: Cotθ = –Tan π ∧ − 13π < θ < −6π 2 22 Calcular: θ. B) − 71π 11
C) 72π 11
D) − 72 π 11
A)
3 3
B) − 3
C) –3 E)
D) −
3 3
3
19. Si: α + β = 3π ∧ β + θ = 2π 2 ¿A qué es igual? Tanθ Sen ( α + β + θ ) = + E Cotα Cosβ
17. Si: ( 2a − 3b ) ( 6π + 3a − 2b ) A) 0 Tan 0 + Cot = 8 4 B) 2 Hallar una relación entre "a" y "b". C) –2
B) –Senθ D) –Tanθ
A) 71π 11
Calcular el valor de: E = Secα + Tanα
C)
a 1 = b 3
E)
a 1 = b 6
B)
D) Tan2β – Tanβ E) Cot2β–Cotβ
a 1 = b 2
D) a = 1 b 5
247π 20. ¿A qué es igual Cos ? 7
18. Si: Sen(138° + θ). Tan ( 298° − θ ) = Senα 2Sen ( 42° − θ ) .Cot ( θ − 28° )
E) − 73π 11
∧ α ∈ II C.
A) Cos
2π 7
B) –Cos
C) Cos
8π 7
D) Cos
E) –Cos
9π 7
9π 7
8π 7
RESPUESTAS
UNI 2015-II
1.
D
5.
D
9.
A
13. D
17. A
2.
A
6.
B
10. C
14. E
18. B
3.
B
7.
D
11. D
15. B
19. C
4.
C
8.
B
12. B
16. E
20. D
2
TRIGONOMETRÍA | TEMA 2
TRIGONOMETRÍA TEMA 3
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2T3T
1. Indicar verdadero (V) o falso (F); según co-
5. Indicar verdadero (V) o falso (F); según co-
rresponda:
rresponda:
I. sen100° < sen140°
I. cos70° < sen70°
II. sen5 > sen6
II. cos5 > cos6
3 sen sen 2 B) VFV C) FFV E) FFF
3 cos cos 2
III. Si: 2
III. Si:
A) FVV
A) FFF
B) FVVV
C) VVV
D) VFV
D) VVV
E) VVF 2. Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda:
6. Indicar verdadero (V) o falso (F); según co-
I. |sen290°| < |sen340°|
rresponda:
II. sen160° + sen280° > 0
I. |cos200°| < |cos250°|
III. |sen6 – sen5| = sen6 – sen5
II. cos200° + cos80° < 0
A) VFF
B) FFV
III. |cos5 – cos6| = cos5 – cos6
D) FVF
E) VVV
C) FFF
3. Indicar el mayor valor: A) sen1
B) sen2
C) sen3
C) sen4
A) FFV
B) FFF
D) FVF
E) VFF
C) VFF
7. Indicar el mayor valor:
E) sen5
A) cos1
B) cos2
C) cos3
D) cos4
E) cos5 4. Indicar verdadero (V) o falso (F); según co8. Indicar verdadero (V) o falso (F); según co-
rresponda: Si: –
rresponda:
3 x1 x 2 – , entonces: 2
Si: –
I. senx1 < senx2 II. |senx1| > |senx2|
3 x1 x 2 – , entonces: 2
I. cosx1 < cosx2 II. |cosx1| > |cosx2|
III. sen|x1| < sen|x2| A) FVF
B) VFV
III. cos|x1| < cos|x2|
C) VVV
D) FVV
A) VFF
B) VVV
D) FFV
E) FFF
E) FFV
TEMA 3
1
C) FVF
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
9. Indicar verdadero (V) o falso (F), según co-
13. De la C.T. mostrada. Hallar la coordenada
rresponda:
del punto Q.
I. tan100° < tan140° II. tan5 > tan6
III. Si: tan tan 2 A) VVF
B) VFF
D) FVV
E) VVV
C) FFF
10. Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda:
A) Q(– cos ; – sen)
I. |tan280°| < |tan340°| B) Q(– cos ; sen)
II. tan20° + tan290° > 0 III. |tan5 + tan6| = –tan5 – tan6
C) Q(cos ; sen )
A) FFV
B) FVV
D) Q(cos ; – sen )
C) FFF
D) VVF
E) Q(– cos ; 2sen )
E) VVV 14. En la C.T. mostrada, calcular las coordena-
11. Indicar el mayor valor: A) tan1
B) tan2
C) tan3
D) tan4
das del punto "P".
E) tan5 12. Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda: Si: –
3 x1 x 2 – , entonces: 2
I. tanx1 < tanx2 II. |tanx1| > |tanx2|
A) (cos ; – sen)
III. tan|x1| < tan|x2|
B) (–sen ; cos )
A) VVV
B) FFF
C) (– cos ; – sen )
C) VVF
D) FFV
D) (–sen; – cos )
E) VFF
TEMA 3
E) (sen; cos )
2
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
15. Del gráfico mostrado, la expresión: atg bcs 1 equivale a:
A) cos ctg
B) – cos – ctg
C) tg – cos
D) ctg – cos
E)
tg cos
Y C.T
18. En la C.T. hallar las coordenadas del punto "P".
Y
X
(a; b) A
A' A) 1
B) –sen
D) – cos
E) cos
O
C) sen
P
16. En el gráfico, calcular PT; si PA = AT.
A) (cos ;sen)
Y C.T
X
B)
P
(–1; – ctg)
C) (–1; ctg)
A
D) (–1; – tg)
X
E)
(–1; – sen )
T A) tg
B) 2tg
C) 2ctg
D) 3tg
19. En el esquema mostrado, determine l valor de "OM" si se tiene que: sen 12 /13.
Y
E) 0
M
17. En el gráfico, calcular RQ.
R
Y B
A O
Q
X
C.T O
X
C.T
TEMA 3
A) 1/3
B) 5/6
C) 2/3
D) 3/5
E) 3/2
3
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
20. Determine el área de la región sombreada.
A) tg B)
ctg 2
C) ctg
TEMA 3
11. A
2. B
12. C
3. B
13. B
4. D
14. E
5. D
15. B
6. B
16. D
7. A
17. C
8. E
18. D
9. B
19. C
10. A
20. E
4
tg 2
E)
sec
CLAVES
1. C
D)
UNI 2015-II
Trigonometría - Tema 4
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
5.
I. Cot100° < Cot160° II. Cot5 > Cot6
3π < α < β < 2π ⇒ Cotα < Cotβ 2 A) VFF
B) FVF
C) FVV
D) FFF
6.
B) VFF
C) FVV
D) VVV
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: II. Sec200° + Sec8° < 0 III. |Sec5 – Sec6| = Sec6 – Sec5
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. |Cot290°| < |Cot340°| II. Cot340° + Cot180° < 0
A) VVV
B) VFF
C) VFV
D) FFF
E) VVF 7.
Indicar el mayor valor: A) Sec1
B) Sec2
III. |Cot5 – Cot6| = Cot6 – Cot5
C) Sec3
D) Sec4
A) FFF
B) FFV
E) Sec5
C) VFF
D) VVF
E) VVV
8.
Indicar el menor valor A) Cot1
B) Cot2
C) Cot3
D) Cot4
11. Indicar el mayor valor: A) Csc1 B) Csc2 C) Csc3 D) Csc4 E) Csc5 12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 3π < x1 < x 2 < −π Si: − 4 Entonces: I. Cscx1 < Cscx2 II. |Cscx1| < |Cscx2| III. Csc|x1| < Csc|x2| A) VFF B) VVF D) VVV E) FFF
Entonces:
A) FFV
B) FFF
C) FVF
D) VFF
9.
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: II. Csc5 > Csc6
II. |Cotx1| > |Cotx2| I. Cot|x1| < Cot|x2| A) VVV
B) FFV
C) VVF
D) FVF
5 o
X
E) VVV
I. Csc10° < Csc80°
I. Cotx1 < Cotx2
C) FFV
13. La circunferencia es trigonométrica, calcular el área de la región sombreada. Y
III. Sec|x1| < Sec|x2|
π Si: −π < x1 < x 2 < − 2
UNI 2015-II
10. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. |Csc290°| < |Csc350°| II. Csc100° + Csc340° > 0 III. |Csc5 – Csc6| = Csc5 – Csc6 A) FFV B) VFV C) VVF D) VVV E) VVF
II. |Secx1| > |Secx2|
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
E) FVV
Indicar verdadero (V) o falso(F) según corresponda: Si: − 3π < x1 < x 2 < −π 2 Entonces: I. Secx1 > Secx2
E) Cot5 4.
A) VVF
I. |Sec200°| < |Sec250°|
E) VFV
3.
3π > α > β > π ⇒ Secα > Secβ 2
E) FFF
III. Si:
2.
Si:
UOII2T4
III. Si: 2π > α > β >
3π ⇒ Cscα > Cscβ 2
A) FFV
B) VVF
C) FVF
D) FFF
E) VVF
1
) ( 1 Cot 5 − Cot 3 ) 2( 1 Cot 5 + Cot 3 ) 2( 1 − ( Cot 5 + Cot 3 ) 2
A) 1 Cot 3 − Cot 5 2 B) C) D)
E) 1 Cot 5Cot 3 2
TRIGONOMETRÍA | TEMA 4
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II
14. La circunferencia es trigonométrica, calcular el área de la región triángular CPE. Y
C
X 5
A) –1
B) − 2
B) Csc 2 + Cot 2
C) − 3
D)
C) Csc 2 − Cot 2
E) − 3
2 2
D) Sec 2 + Tan 2
E
o
A) Sec 2 − Tan 2
P
19. La circunferencia es trigonométrica, calcular el perímetro del triángulo equilátero MPN en términos de θ y φ.
E) −Sec 2 − Tan 2 17. La circunferencia es trigonométrica. Calcular el área de la región triangular sombreada. Y
A) 1 ( Sec5 − Tan5 ) 2
Y M
P
B) 1 ( Tan5 − Sec5 ) 2
X
C) 1 ( Sen5 + Tan5 ) 2
N
D) − 1 ( Sen5 + Tan5 ) 2
X
E) 1 ( Tan5 − Sec5 ) 2
2+ π
15. La circunferencia es trigonométrica, calcular el área de la región triángular OPQ. Y Q
3 ( Senθ + Senφ )
C) 2 3 ( Senθ − Senφ )
) ( 1 Cot 5 + Cos 5 ) 2( 1 Cos 5 − Cot 5 ) 2( 1 − ( Cot 5 + Cos 5 ) 2 1 Csc 5 − Cot 5 ) 2(
E) 4 3 ( Senθ − Senφ )
D)
1 ( Sec5 + Tan5 ) A) 2
E)
C) 1 ( Sec5 – Tan5 ) 2
B)
B)
P
1 B) 2 ( Csc5 + Cot5 )
3 ( Senθ − Senφ )
D) 2 3 ( Senθ + Senφ )
X 5
A)
A) 1 Cot 5 − Cos 5 2
C)
o
20. La circunferencia es trigonométrica. MT = m. Hallar: E = Senθ – Tanθ en términos "m". Y
18. La circunferencia es trigonométrica. Si: S1 = S2. Hallar: E = Senθ + Cosθ.
o
Y
M
X
θ
D) 1 ( Tan5 – Sec5 ) 2
T
E) 1 ( Csc5 − Cot5 ) 2
o S 1
16. La circunferencia es trigonométrica. Calcular la longitud del segmento BP. Y P B o
X 2
UNI 2015-II
φ
θ
X
S2
m2 − 1
A) 1 – m2
B)
C) m2 – 1
D) − m2 − 1
1 − m2
E)
RESPUESTAS 1.
B
5.
A
9.
C
13. A
17. D
2.
D
6.
E
10. B
14. D
18. B
3.
D
7.
E
11. C
15. C
19. C
4.
E
8.
D
12. A
16. B
20. D
2
TRIGONOMETRÍA | TEMA 4
TRIGONOMETRÍA TEMA 5
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2T5T
1. Para qué valores de k la igualdad se verifica:
4. Si: cos
2k 1 sen 4
A) C) E)
3 ; 5 2 2
3; 5
B)
3; 5
D)
3 5 ; 2 2
calcule la suma de todos los valores enteros de a. B) 3
C) 4
D) 5
1;1
cos
A ) 1 ; 1 2 2 C)
1 ;1 2
E)
1 ; 1 2 2
5. Si: 60;150 halle los valores de: 2sen.
4k 1 3
1 B) ;1 2
D)
1;
1 2
3; 2
C)
3;
2 3
1; 3
C)
2; 3
E)
1; 2
B) D)
1; 3
1;1
6. Si: 0 sen 1 2
; . 2
3k 2 7
calcule los valores de k. A)
A)
halle los valores de en el intervalo
3. Si: IIIC y cos
TEMA 5
A) 2 E) –4
2. ¿Para qué valores de k la igualdad se verifica?
E)
3a 1 12
B)
3; 1
D)
3 ; 2 2 3
3; 2 3
1
A)
; 2
C)
5 ; 6
E)
5 7 ; 6 6
B)
3 ; 2 2
D) ; 5 2 6
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
7.
10. Si:
Si: 1 cos 0, halle los valores de en el intervalo ; 2 .
A)
; 2
B)
3 ; 2 2
C)
; 3 2
D)
; 2
E)
3 ; 2 2
sen
halle los valores de "x" si: ; 3 2 2
8. Si: cos 1 2
B) 3
C)
4
D) 5
E)
5 3
A)
3; 1
B)
1; 3
C)
4;1
D)
4;1
E)
3;1
11. Determine el intervalo de "k" si se cumple la siguiente igualdad:
calcule la suma de los valores de " ", si 0 2. A ) 2
2x 5 3
2 cos(x) 1 k 2 k 1 3 2 3
9. Si: 3 2 cos ; 2 2
A)
12; 6
B)
14; 6
C)
14; 6
D)
14;16
E)
12; 6
además: 0; , halle . 12. Calcule el máximo valor de: A)
C)
E)
TEMA 5
; 5 4 6
B)
2
D)
0;
M sen cos sen2
0;
donde , y son ángulos independientes.
; 2
; 3 3 4
A) 3
B) 4
C) 5
D) 2
E) 1
2
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
13. Calcule el mínimo valor de:
E 3senx cos y cos2 z pero: x, y, z independientes. A ) –6
B) –5
C) –4
D) –3
A)
1 2
B) 3 2
C)
7 2
D)
E)
3 2
E) –2
17. Halle la variación de la siguiente ex-
14. Calcule la suma del máximo y mínimo
presión:
valor de:
M 3sen 2 cos sen2 A ) –1 B) –2 C) –4
P cos sen 1 2sen cos
sabiendo que: ; 5 . 4
D) –3
E) –5 15. Determine el intervalo de: M
senx 3 senx 4
A ) 4 ; 2 5 3 B)
2 ; 4 3 5
C)
1 ; 4 3 5
B)
2; 0
C)
1; 2
D)
1; 0
E)
1; 2
2 cos x cos 2 x 3
y de como respuesta la suma de dichos valores.
16. Si: 5 2
determine el valor mínimo de M.
TEMA 5
0; 2
M
2; 5
M sen2 x 2senx
A)
18. Determine la variación de:
D) 2 ; 11 3 5 E)
5 2
3
A)
7 13
B)
37 15
C)
37 13
D)
13 87
E)
12 3
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
19. Determine la variación de:
20. Determine la variación de:
2
A 2 cos 2 4 cos 2
M
2; 4
B)
2; 6
A)
; 4
C)
2; 2
B)
; 4
D)
4; 6
C)
; 4
E)
2; 6
D)
0; 4
E)
; 2
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 5
A B C C A C C C A D
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
4
B A B E B E A C B C
CLAVES
A)
1 cos2 x cos x
UNI 2015-II
TRIGONOMETRÍA TEMA 6
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2T6T
1. Dado que:
4. Si se cumple:
Sen 55 Cos 77 1 2 2 k Calcula la expresión E en función de k: E
1 (Sen Cos)2 3 (Sen Cos)2
A)
k 1 k 1
B)
k 1 k 1
C)
1k 1k
D)
1k 1k
E)
Sec(x) aTan(x) Sen(x) aTan(x) Sec(x) a Sen(x) a Calcular: Sec2(x) + Csc2(x). A) 4 B) 2 2 C) 2 D) 8 E) 16 5. Halle la suma de los valores de a y b que satisfacen la siguiente iden-tidad:
Sec2 (k)Csc2 (k)
1 k2 1 k2
a2 b2 ab 2 Csc2(k) Sec (k) 20 8
a > 0; b > 0. A) 4 B) 5 D) 7 E) 8
2. Si Csc 6 Cot6 h entonces: H Csc 4 Cot 4 es igual a:
6. Elimine de:
h 1 3
A ) 1 – 2h
B)
C) h – 1
2h 1 D) 3
C) 6
Tan Cot x Sec Csc y
A) B) C) D) E)
E) 2h + 1 3. Si se cumple que aSenx bCosx a2 b2
x + 2x2 = y2 x2 + 2x = y2 x2 + 3x = 2y2 x2 + y2 = y 2x2 + x = 2y2
halle Tanx. A) D)
TEMA 6
a b
a2 b
B) E)
b a
C)
7.
a b
Al reducir: (1 Cosx)(1 Cosx Senx) Cosx(1 Cosx Senx) se obtiene: F
b2 a2
1
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
A ) Senx C) Tanx E) Secx
10. Simplificar:
B) Cosx D) Cotx
8. Al simplificar: x 0,
V | Sec2xCsc2x | 4 | Tanx Cotx |
Se obtiene: A ) Senx C) 0 E) 3Tanx
B) Tanx D) 2Tanx
Secx 1 Tgx
2
A ) Cosx
B) –1
C) Senx
D) 1
E) Tgx
11. Si x , 3 , reducir: 2
9. Si: Cot(x) b a
2/3
M Senx Cosx 1
encuentre el valor de la siguiente expresión: E
a b bSenx aCosx
2 Tgx Ctgx
A ) 2Senx
B) 2Cosx
C) Senx
D) –2Senx
E) 0 12. Si Cos(nx) = nCosx; halle:
siendo x un arco del primer cuadrante. a1/3 b1/3 A ) 1/3 1/3 b a
B)
1 Cosx 1 Cosx
E
E 1
Sen2x 2
2
1 Cos4(nx) 2Cos2(nx) Cos2(nx)
n Cos x
A ) –n2 C) n2
a b b a
B) 1/n2 D) 2n2
E) 1 1/2
C)
a2 b2 2 2 b a
a2/3 b2/3 D) 2/3 2/3 b a
13. Halle k en: Tg2 k Tg2, si: Cos 2 Cos2 2Sen2Cos 2
3/2
A ) 1/2 D) 3
1/3
E)
TEMA 6
B) 1 E) 4
C) 2
14. Simplifique A:
a3 b3 3 3 b a
A 1
2
2 2Cosx Senx Cosx 1
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
A ) Tgx + Secx B) Ctgx + Cscx
A) 1 C) 3 E) 3Ctgx
C) Tgx + Cosx D) Senx + Cosx E) 1
B) 2 D) 3Tgx
19. Si Secx – Tgx = a, calcule: M = Cscx + Ctgx
15. Si Tg2x + Ctg2x = 3, halle:
A)
1a 1a
B)
1 1a
C)
1a 1a
D)
a 12
E)
1 2a 1a
Tg5x + Ctg5x + Tg7x + Ctg7x A)
17
B) 18 5
5
C)
19
D) 20 5
5
E)
20. Dadas las condiciones:
21 5
Senx Tgx Secx 3 1.....(1)
16. Si Senx Cosx 0, 4, halle la suma de todos los posibles valores que asume Tgx. A ) 1/2 B) 2 C) 5/2
Cosx Ctgx Cscx 6 1....(2)
Calcule Ctgx. A) 1
D) 3
E) 7/2
B)
C)
3
E)
5
2
D) 2
termine:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
E Sen Cos SecCsc
A) 5 C) 3
B) 4 D) 2
E) 1 18. Reducir: M
TEMA 6
Tg2x Ctg2x 2 Tg2x Ctg2x 1 Tgx Ctgx 2 Tgx Ctgx 1
3
A D C A C B C C D D
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
B B C A B C D C C B
CLAVES
17. Si Ctg 1 Csc y 0, / 2 , de-
UNI 2015-II
TRIGONOMETRÍA TEMA 7
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si: Sec
UOII2T7T
5. Reducir:
5 ; IIC 4
E
Calcular: H cos(45 )
2 10
A)
B)
2 10
C)
A) 1
2 5
D) D)
2 5
E)
sen(60 x) sen(60 x) cos(60 x) cos(60 x) B) 2
3
E)
3
C) 3
3
2 /3 6. Reducir:
2. Reducir:
cos(x 60) E
sen2 A 1 tg3 cos 3 cos
3 senx 2
cos x
A) 1
B) 2
D) 1/6
E) 1/4
C) 1/2
A) sec 2
B) csc 2
C) sec 2
D) cos 2
E)
b) 2 ; además: tgb 1 3. Si: tg(a 5 3 B) 7/17
D) 17/13
E) 13/17
csc 2 3
7. Si I cuadrante, determinar:
. Calcular: E tg a A) 5/13
2
E cos( ) cos( ) sen2 C) 13/5
A) cos
B) sen
C) tg
D) ctg
E) 1 4. Si: tg
12 ; IC 5
sec
8. Si: A + B + C = 90°.
5 ; IIC 4
Además: tg2A + tg2B = 3tg 2C Calcular: E tg2A tg2B
Calcular: 65 cos( ) . A) –52
B) –53
D) –55
E) –56
TEMA 7
C) –54
1
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
9. Simplificar: 2
14. Si: ctg
2
H sen(a b) sen(a b) sen b cos a 1 A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
9 ; calcular x del gráfico. 22
C) 3
10. Calcular: H tg10 tg35 tg37 ctg80 ctg55
A) 1/4
B) 3/4
D) 9/4
E) 7/4
C) 5/4
30. 11. En un triángulo ABC; B
A) 2
B) 4
D) 8
E) 10
C) 6
Calcular:
3 ctgC) V ( 3 ctgA)( A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
15. Si se cumple que: cos( ) cos( ) cos
C) 3
Calcular el valor de la expresión:
ctg ctg G ctg ctg
12. Si AOB es un sector circular. Calcular: E
cos( ) sen cos( ) sen
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
16. Si: BM = 2AQ = 2PC. Además ABCD es un cuadrado. Calcular: E ctg
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
13. Reducir:
V
sen2a cos2 b 2sena cos b sen(b a) sen2 (a b)
A) tg(a – b)
B) tg2(a – b)
C) ctg(a – b)
D) ctg2(a – b)
E) 1
TEMA 7
2 7
B)
3 7
D) 6
E)
7 4
A)
2
C)
4 7
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
17. Si: A + B + C = 180º, además:
19. Reducir:
2ctgA 0 ctgB ctgC Calcular: E
A) 1
1 D) 4
E
tgC 1 tgB
sen27 sen29 sen34 cos29 cos34 cos27 cos34 cos27 cos29
ctgC ctgB B)
1 2
E)
1 5
1 C) 3
A) 1
B) 2
D) 3/2
E) 4
C) 3
20. Si ABCD es un cuadrado. Calcular: E 10 tg( )
18. Reducir:
A) 1
D)
1 3
tg20[tg20 2tg50] tg20 tg25(1 tg20) B) 2
E)
C)
1 2
1 4
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 7
B C B E D A A D B E
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
3
D A D D E B A A A B
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
CLAVES
A
UNI 2015-II
TRIGONOMETRÍA TEMA 8
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2T8T
5 Cos x 1. Si: Sen x . 5
Calcular: E = Csc2x A ) – 5/4 B) – 3/4 D) – 3/2 E) – 5
C) Ctg3
D) Tg
E) Tg
C) 1/4
6. Si: Cos 1 ; 2; 5 6 2
1 8
Calcular: M Sen 2
Calcular: E = Sen2 4x + 1 A ) 5/3 B) 5/4 C) 7/4 D) 9/4 E) 11/4
15 A) 6
1 2
5 6
C)
Calcular el valor de: 10 Ctg 2. A ) 15/2 B) 13/2 C) 9/2 D) 7/2 E) 5/2
B)
D)
15 6 5 8
7 E) 8
4. Reducir: A
B) Ctg2
2
3 3 2. Si: Sen x Cos x Sen x Cos x
3. Si: Ctg
A ) Ctg
7.
Cos 2 Sen 4 (1 Cos 2)(1 Cos 4)
Si: Tg 5 ; 180º ;270º 12 Hallar: Cos / 2 .
A ) Tg 2
B) 2 Tg
C) CTg
D) 2 CTg
A)
E) Tg
13 16
13 C) 16
5. Calcular Ctg.
26 B) 26 9 D) 16
B
E)
2 M
26 18
N A
TEMA 8
8. Si: Ctg 3; ; 3 2
C
1
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
3 ; IC 6 Calcular: A = Cos 3
Calcular: H 3 Tg 2
11. Si: Sen
A ) 10
B) 3
C) 3
D) 2 10
E)
Hallar E = 13 Sen 13
D) 5 13
2
B) 2 13
C) 3 13
B)
33 9
C)
33 6
D)
2 13 6
E)
3 33 13
12. Si: Tg 2; 180º;270º
E) 6 13
Calcular: M = Ctg3 A ) 11/2 B) 9/2 D) 19/5 E) 1/2
10. Calcular aproximadamente: Sen 20
13. Si: Sen Cos
10 2
A)
33 8
10 3
9. Si: Cos 2 119 ; ; 3 . 169 2
A)
A)
C) 5/2
5 . 3
Calcular A = Sen6 A ) 716/1598 B) 416/729 C) 616/729 D) 516/729 E) 716/729
4 4 10 2 5 10 2
B) 4 4 10 2 5
C)
4 10 2 5 8
14. Reducir: M Sen 3 Sen Sen A ) 2Cos B) 2Cos2 C) 2 Sen D) 2 Sen 2 E) 1
D)
4 10 2 5 8
15. Reducir: G2
E)
TEMA 8
A ) Ctg2x C) 2Tg3x E) 2Ctg3x
6 10 2 5 16
2
2x 1 Ctgx 22 Cos Cos 2x 1
B) 2Ctgx D) 2Tgx
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
16. Simplificar: H = Sec20ºSec40º Sec80º A) 2 B) 3 C) 5 D) 8 E) 10
B)
D) 2 2
E) 3 2
2
C)
3
19. Simplificar:
17. Reducir: h
A) 1
Sen3xCtgx 2 Cos x G 2 Cos 6x Sen 3x Sen 3x
4Tgx(1 Tg2x)2
2 Sec 4 x Sec 6 x A ) Sen4x B) Cos4x C) 2Sen4x D) Tg4x E) 2Cos4x
A ) Sen3x C) 2Sen3x E) Sen9x
1
B) Sen6x D) 2Cos3x
20. Calcular: 18. Si se cumple:
G
A) 1 D) 4
2Cos 2 2 2 2 2 32
C) 3
2
1. A 2. B 3. A 4. E 5. C 6. A 7. B 8. A 9. C 10. B
TEMA 8
B) 2 E) 5
11. B 12. A 13. E 14. B 15. E 16. D 17. A 18. B 19. C 20. A
3
CLAVES
Calcular: E = 2Sen
Tg20º Tg50º Tg70º Csc 40º Ctg20º
UNI 2015-II
TRIGONOMETRÍA TEMA 9
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2T9T
A ) 1/4 C) 1/2
1. Calcular la medida del ángulo .
E) Sen140º
2Sen70º + Cos140º
A) 1 C) Secx E) 0
B) 37º D) 53º
B) Cscx D) Csc2x
. 17 Calcular:
6. Si: x
2. Reducir:
H
3 4
5. Simplificar: 8Cos2x Cos 4x Cos6x Cos 8x 1 H Sen15x
A ) 30º C) 45º E) 60º
B) –1/4 D) –1/2
(Sen3 Sen )(Cos 4 Cos 2) (Cos Cos 3)(Sen 4 Sen2)
A ) Tg
B) Tg2
C) Ctg
D) Ctg2
H (Cos 6x Cos 2x)(Cos 9x Cos 7x)
A ) 1/2 C) 1/4 E) 4
E) 1
7.
B) 1 D) 2
Calcular el valor de E si:
E Sen 5º Csc 15º Sen 20º Sen 30º
3. Calcular:
Sen 40º
2
2
2
H Cos 35º Cos 25º Cos 85º A) 1 B) 2 C) 2/3 D) 3/4 E) 3/2
A ) 1/2 D) 2
TEMA 9
C) 1/4
8. Calcular el valor de: E Cos3 20º Cos3 100º Cos3 140º A ) 3/8 B) 3/4 C) 5/8 D) 11/9 E) 11/8
4. Simplificar: H
B) 1 E) 1/6
2 Cos 20º Cos 40º 4 Cos 50º
1
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
9. Reducir:
14. Si Cos x
2 4 6 H Cos Cos Cos 7 7 7 A) 1 B) 0 C) 1/2 D) –1/2 E) –1
1 . 3
Calcular H 9 Sen x Sen 3x 2 2 A ) 1/3 C) 1/4 E) 8
B) 2/3 D) 5
10. Reducir: 15. Calcular el valor de:
H Tg20º 8Cos 40º 4 3Sen20º 1
A) 1
B) 2
C) 3
D)
G 8 Sen10º Cos10º Cos2 20 Sen20º A ) 1/4 B) 1/2
3
E) 2 3 11. Reducir: Sen19x Sen9x Sen6x Sen4x N Sen15x Sen13x A) 0 C) – 1 E) – 2
E)
2 /2
H
B) 1 D) 2
Sen32º Sen10º Sen62º Sen20º Sen52º
B) 1/2
C) 1/4
D) 1/3
Ctg5º Tg5º 8 Cos 20º 4
B) 1/2
C) 2
D)
3
2
E Tg10º 3 Cos 10º 2 Sen10º Sen 20º
A ) 1/2 C) 1 E) 2
13. Reducir:
B) 1/3 D) 1/4
18. Calcular:
Sen5x E 2 Cos 2x 2 Cos 4x Sen x
TEMA 9
3 /2
17. Reducir:
3 /2
A) 1 C) 2 E) –2
D)
A) 1
E)
A) 1
E)
3 /4
16. Reducir:
12. Reducir: H
C)
E 3Ctg20º 4Cos20º A) 1 C) 1/2 E) 1/4
B) –1 D) 0
2
B) 2 D) 1/3
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
2 3 Cos Cos 7 7 7
20. Halle el menor valor de si se cumple que:
B Sen Sen 2 Sen 3 7 7 7
Sen(6) Sen(2) Sen(9) Sen(3);
0; . 2 A ) 10º B) 15º D) 45º E) 60º
Calcular: E 8 B 2 A A) 1 B) 2 C) 1/8 D) 7/8 E) 9/8
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 9
A C A E E B D D C A
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
3
B B A D D A A A A B
C) 30º
CLAVES
19. Si A Cos
UNI 2015-II
TRIGONOMETRÍA TEMA 10
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2T10T
1. Si f es una función definida por
A ) 2; 2
B)
2; 2
f(x) = 7Senx – 2Cosx, x, C)
entonces su rango es:
B) 53; 53
4. Sea la función f definida por: f(x) = Secx + Cscx. Si x ; 3 , 2 entonces el rango de f es:
C) 35; 53 D) 1;1
A) E) 2 53; 53
Sen2x , x k / k , haSenx lle su rango. f(x)
C)
E)
3; 3
1 1 ; 2 2
; 2
B) 1;1
2. Para la función f, definida por
1;1
D) 1; 2
E) 1; 2
A ) 35; 53
A)
0 ; 2
B)
2;2
D)
C)
; 4 2
D)
; 2 2
E)
; 4 2
5. Sea la función f definida por:
3 3 ; 2 2
f(x) = Cscx –
2, donde x 3 ; 5 . 4 4
Si el rango de la función es de la forma: ; A B ; , calcule: A + B.
3. Sea f la función definida por: , 4 entonces al hallar el rango de la función f
A ) 12 3
B) 10 2
C) 8 2
D) –2 2
se obtiene:
E) –6 3
f(x) = Senx + Cosx, con x 0;
TEMA 10
1
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
6. Halle el rango de la función definida por:
9. Si f(x) Tanx Tanx , es la regla de Tanx Tanx correspondencia de f, halle su rango.
f(x) Senx Cscx Cscx Senx
A ) {–2; 2}
7.
C)
2;2
E)
1;1
B)
A)
2; 2
E)
f(x) 2
entonces Df es:
C)
3 5 7 ; ; 4 4 4 4
D)
3 5 7 3 ; ; ; 4 4 4 4 2 2
E)
0;
0;1
B) 0; 1
C)
0; 1
D) {1}
C)
2; 2
D)
2; 2
2; 2
2 x f(x) Cos 2 x 1 3
Halle Domf Ranf .
,
A ) 0;1
1 B) ;1 2
C)
1 D) ;1 2
0;1
E) 0;1
E) {0}
TEMA 10
2;2
11. Sea la función definida por:
8. Para la función f, definida por: 1 Cosx Senx 1 halle su rango.
B)
E) 2; 2 1
3 5 ; 4 4 4
Cscx Ctgx
Cosx Senx Tanx Cotx
A ) 2; 2 1;1
3 5 7 3 B) ; ; ; 4 4 4 4 2 2
A)
0;
10. Determine el rango de la función f definida por:
3 5 7 A) ; ; 4 4 4 4
f(x)
; 0
D) 0;
C) 0
D) 1;0
Sea la función f tal que: 1 f(x) , si Secx Cscx D f 0;2
B)
;
2
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
12. Sea f una función definida por:
C) 0; 1 3
1 Cos 2x 5 Cos 2x ; 2 6 3
D) 0;2
E) 1;2
x . Halle fmax + fmin
A)
1 2
B)
1 4
D)
1 8
E)
3 8
C)
15. Halle el rango de la función f definida por:
3 4
f(x)
Sen(3x) Cos(3x) Senx Senx Cosx
A ) 1;3 13. Si f es una función definida por: 7 2Cosx 3 4 f(x) ; x ; ; 4 4 3
B)
1;3
C)
1;3 2
halle el rango de la función
D) 2; 4
5 9 A) ; 4 4
E)
B) 7 2 ; 3 4 2
16. Halle el rango de la función f definida por:
3 C) 3; 2
f(x)
A)
5 3 D) ; 4 2
C)
14. Sea la función f, definida por: 2x x , f(x) 2Cosx 2 3 x 1
4 ; 4
B)
4; 4
D)
4; 4 2; 2
E)
4; 4
17. Sea la función f definida por: Sen(3x) Senx 1 , Senx Cosx halle el rango de la función.
determine su rango de f.
TEMA 10
Sen(3x) Cos(3x) Senx Cosx
B) 4;4
E) 5 ; 7 2 4 4
A ) 1;1
2; 4
f(x)
0;1
3
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
20. Determine el rango de la función f definida por:
A) B)
2; 2
f(x) Cos x 2 vers
C) 2; 2
2 4x 2
A ) 1;1
D) 2; 2 1
B)
1;0
E) 2; 2 1
C)
0;3
2 2 D) ; 2 2
18. Sean las funciones f y g definidas por: f(x) Ex Secx y g(x) Sen x2 1.
E) 2 ;3 2
Halle Dg R f . A ) 1;1 B)
1;1
C)
; 1
D) 1; E) 2 ; 19. Si f es una función definida por
Cosx Tan x Tgx , vers(2x) 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
halle el dominio de dicha función n .
A ) n 2
B) n C) 2n
n 4
D) (4n 1) E)
TEMA 10
4
4
B B D D D A D D C B
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
D B D E C D C D E C
CLAVES
f(x)
UNI 2015-II
TRIGONOMETRÍA TEMA 11
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2T11T
1. Sea la función f definida por:
A)
2
f(x) Ctg 4x.
Entonces el periodo de f es: A) B) 8 4 C) D) 2
, 2 2; B) , 2 2; 2 2
C) , 1;
D) , 2; 2
E) , 2; 4
E) 2 5. Sea la función f definida por: 2. Determine el periodo de la función f definida por: Cos x f(x) Sen x
De las siguientes proposiciones se puede afirmar:
1 Tg2x 1 Ctg2 x B) 3 2 D) 2
A ) 2 C) E)
f(x) Sen(x)2.
I. El periodo de f(x) es II. f(x) es no negativo III. f(x) f( x ) ... A ) Solo III es verdadero B) Solo II es falso C) Solo I es falso D) Son verdaderas E) Son falsas
4
3. Determinar el periodo: f(x) Sen
3x Cos 6x 2
A ) /4
B) /2
C) /8
D) 2 /3
6. Calcule el periodo de: f(x)
E) /6
Sen(Sen(x)) Sen(Cos(x)) Cos(Cos(x)) Cos(Sen(x))
A ) No es periódica B) 2
4. Sea la función f definida por: f(x) Ctg x Tg(x) .
C)
Halle el mínimo valor de T > 0, en donde se cumple f(x) f(x T). Asimis-
D)
mo determine el rango de f.
E) 2
TEMA 11
2
1
3 2
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
7.
Sea f la función definida por: f(x) 2
1 Sec2 (x) Csc2 (x)
A ) 2 C)
D)
E)
C)
1 2
k m
2 k m
B)
m D) k
m k
m E) 2 k
10. Determine el periodo mínimo de la función f, definida por:
2 3
6
f(x) 3 Cos x 2 Sen x 2 3
A ) 16 C) 10 E) 6
8. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El valor máximo de: y Sen4 (x) Cos 4 (x)es
1 4
y
Sen(3x) 1 es T Sen(x) 2
f(x) Sen(x) Cos x
III. El dominio de la función f definida por y Cos(x) 1 es k ,k . A ) VVF D) FFF
B) FFV E) VFF
B) 12 D) 8
11. Sean T1; T2 y T3 los periodos mínimos respectivos de las funciones f, g y h definidas por:
II. El periodo mínimo de:
g(x) Ver(x) Cov(x) h(x) ex Sec(x)
C) FVV
T T T Calcule: 3 1 2 3 2
9. La frecuencia de oscilación de un objeto suspendido de un resorte depende de la rigidez k de éste y la masa m del objeto. La rigidez se llama constante del resorte. Si el resorte se comprime a una distancia "a" y luego se le deja oscilar, su desplazamiento se re-
A)
B)
3 2
C) 2
D)
5 2
E) 3 12. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes para la función f definida por:
presenta mediante f(t) aCos k t , m entonces el periodo de f es:
TEMA 11
2
1 Sec(2x)
determine la constante T, T > 0 tal que f(x + T) = f(x).
5 B) 4
A)
f(x) Sen 2 (2x) Sen 2 (x) Csc (x)
2
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
I. El periodo mínimo de f es
2 . 3
15. Sea la función f definida por:
f(x) Tg
II. El rango de la función es 1;1 III. La función f es creciente en el intervalo
sea la función g definida por
; 2 . 2 3
A ) FVV C) VFV E) FFF
Si T1 es el periodo mínimo de f y T2 es el periodo mínimo de g. Calcule T1 – T2 A)
13. Determine el periodo mínimo de la función f, definida por:
g(x) Sec 3 x Csc 3 x . 4 4
B) VV V D) FFV
2 2 y Cos x Cos x Cos x 3 3 4 A) 3
23 x Ctg 32 x y
12
C) 4
E)
3 4 3 C) 2 D) No es periódica
B)
B)
6
D)
3
5 12
16. Determine el periodo mínimo de la función f definida por: f(x) vers(x) Cov(2x)
E) No tiene periodo mínimo 14. Sean las funciones f y g definidas por:
A) 4
B) 2
C)
D) /2
E) /4
a x 1 4 2 2 Cos (a 1)x 1 3
f(x) 5 Sen g(x)
17. Calcule el valor de k si el periodo mínimo de la función f es
a 0, tiene igual periodo mínimo, calcule periodo mínimo de:
f(x) 4 Sen4
kkx 1 3 .
h(x) 5Sen x 2 Cos x a3 a4
A)
3 7
B) 1
A ) 20 C) 40 E) 120
TEMA 11
B) 30 D) 60
C) 2 E)
3
4 , donde 3
D) 3
37 ; 3 UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
18. Determine algún periodo de la función f definida por:
f(2x 1) Sen(1x) Cos 2
A) 6
B) 8
C) 12
D) 4
20. Acerca de la función: f(x)
x , x 3
Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: I. Dom f R k ;k 2 II. Ran f 0;2
E) 2 19. Halle el periodo mínimo de la función f, definida por: f(x)
3 Sen 2x Sen 4x 2 Sen 2x Sen x Cos 3x
III. Su periodo es T = /2 IV. Es una función impar
2 Tgx Tg2x 1
A ) Solo I
1 Tg2x
B) Solo II
A) 8
B) 4
C) Solo III y IV
C) 2
D)
E) Todas menos II
D) Solo I y III
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 11
4
B A D D E C C D E B
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
A B E D A B D C B D
CLAVES
E) 2
UNI 2015-II
TRIGONOMETRÍA TEMA 12
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2T12T
1. Dada la función y = A Sen(Bx), calcular (A – B) sabiendo que su periodo es 3 y su amplitud es 5.
A ) [1;5]
B) [3; 3] C)
1; 5
D) [5; 3] E) [2; 2]
(A < 0 y B > 0). A ) –17/3 B) –16/3 C) –13/3 D) 13/3 E) 11/3
5. Graficar: f(x) sen x senx y A) 0
2. De la figura adjunta, calcular A/B.
2 3
x
y
B) 0
2
3
x
y
A) 3 C) 3 E) 9
B) 6 D) 6
C) 0
D)
x
3 0 y
E)
0
2
2
x
x
E) 14 6. Si un proyectil se dispara con velocidad V0 a un ángulo , entonces la altura máxima que alcanza en pies se modela mediante la función:
4. Calcular el rango de F(x), sabiendo que su periodo es 12. F(0) = 3; F() 4 y F(x) = A + B sen(Kx).
TEMA 12
2 3
y
3. Determinar el número de puntos de intersección de las gráficas de las funciones: x f(x) sen4x g(x) cos 12 Sabiendo que x 0; 3 . 2 A) 6 B) 8 C) 10 D) 12
1
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
V 2 sen2 () M() 0 64
VI. f(x) es constante en x
Suponga que V0 = 400 pies/s, calcule el ángulo para el cual el proyectil alcanza la mayor altura.
5 ; 15 . 6
¿Cuántas son verdaderas o falsas? A ) Hay 3 verdaderas y 3 falsas. B) Hay 2 verdaderas y 4 falsas. C) Hay 1 verdadera y 5 falsas. D) Hay 5 verdaderas y 1 falsa. E) Hay 4 verdaderas y 2 falsas.
Mmáx 6 D) 2
4 2 E) 3
A)
7.
B)
C)
9. Si A y B son los puntos de intersección de los gráficos de las funciones f y g definidas por: f(x) = sen(x) y f(x) = cos(x) en el intervalo [0; 2]. Calcule (en u2) el área de la región triangular OAB, siendo O el origen de coordenadas.
3
Sea la función f definida como:
f(x) 2sen x 1 cos 3x sen x 2 4 4 4 4
Determine en que intervalo de x, la fun-
A)
5 2 8
B)
5 2 4
D)
3 2 10
ción es creciente, si x 0; 2 . A)
0; 3
B)
3 ; 3 4
C)
3 2 8
C)
; 2 3 3
D)
2 4 ; 3 3
E)
2 4
E)
4 ; 2 3
10. Sea f la función por la regla de correspondencia: f(x) sen(cos(x)), x [0; 2]
8. Sea la función f definida por:
si la gráfica de f se intercepta con eje x en los puntos x1 y x2, entonces el valor de x2 – x1 es: 3 A) B) C) 0 2 2 D) E) 2
f(x) cos(x) cos(x) De las siguientes proposiciones: I. f(x) no es creciente en x 1; 2 . II. f(x) es constante en x 3; 4 . III. f(x) es no decreciente en x 4;5 . IV. f(x) es creciente en x
2; 3 .
11. Sea la función g definida como: g(x) = tg(x) + 2sen(x)
V. f(x) es decreciente en x ; 3 . 4 4
TEMA 12
2
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
si x 0; 2 .
y
Calcule la suma de los puntos de intersección de la gráfica de g con el eje de las abscisas. A) B) C) 3 2 D) 2
B) 1
E) 3
x
2
0 y
12. En la figura se muestra el gráfico de las
C) 1
funciones f y g. Calcule: f(x0 ) g(x0 )
x
g(x) = tg(x) y
y
–
1
2
0 -1
2 x0
D) 1 x
x
y
E) 0
14. Dada la función f definida por:
f(x) sen(2x) 3 cos(2x)
E) 2cos(36°)
tal que su amplitud es A, su periodo T y su desplazamiento de fase es , luego el
13. Grafique la función f definida por:
f(x) sen(x) sec x cos(x) csc x 2 2
valor de v
x 0; y
A) 1
TEMA 12
x
f(x) = cos(x)
A ) sen(18°) B) cos(36°) 1 cos(36) C) 2 D) 2sen(18°)
0
AT es:
A) 2
B) 4
C) 6 E) 10
D) 8
15. Sea la función f definida por: x
f(x)
3
sen(sen(x)) cos(cos(x))
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
Indicar el gráfico correcto de f. y
A) 2 3
B) 3 3
C) 4 3
D) 5 3
E) 6 3 x
A)
17. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes para la función f definida por:
y
f(x) = [sen2 (2x) – sen2 (x)] csc(x) 2 I. El periodo mínimo de f es . 3 II. El rango de la función es [–1; 1].
x
B)
y
C)
x
III. La función f es creciente en el intervalo ; 2 . 2 3 A ) FVV B) VV V C) VFV D) FFV E) FFF
x
18. Indique la regla de correspondencia, si la gráfica de la función es: y
y
D)
y
E)
x
0
2
3 2
2
x
A ) f(x) = cos(2x)
16. Del gráfico, halle el periodo mínimo del cosenoide, si el área del cuadrado es 3 u2.
B) f(x) = –cos(2x) C) f(x) = sen(x) sen(x) cos(x) cos(x) D) f(x) = sen(x) sen(x) cos(x) cos(x) E) f(x) = cos(x) cos(x) sen(x) sen(x) 19. Determine la regla de correspondencia del gráfico mostrada:
TEMA 12
4
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
20. En la figura se muestra la gráfica de la función definida por: f(x) = Acos(Bx + C) + D Calcule A+ B + C + D. y
;5 8
2x 3 A ) f(x) 2 cos 1 4 3
;1 8
B) f(x) 2sen 2x 3 1 4 3 2x 3 1 C) f(x) 2sen 3 4
A ) –1 D) 3
D) f(x) 2 cos x 1 3 4
B) 1 E) 4
x
C) 2
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 12
A A A A A B D D C E
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
5
C D D C C E A D A D
CLAVES
x E) f(x) 2sen 1 3 4
UNI 2015-II
TRIGONOMETRÍA TEMA 13
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si: F(x) Arc sen 3x 4 5
UOII2T13T
C) – 6 ; 6
G(x) Arc csc 2x 3
E) 3 ; 2
Calcular: Dom(F) Dom(G) 1 A ) ;1 2;3 3
4. Si: f(x + 2) = 2 Arc sec (6x + 5) y
B) 1; 1 3 ;3 3 2
A) R 5 ; 7 3 3 8 B) R ; 10 3 3 7 ;3 C) R 3 D) R 4 ; 9 3 3
D) 1 ;2 3; 4 3 E) 2 ;1 3; 4 3
y 2 G(x) 2Arc sen(2x) 4 Calcular: Ran(F) Ran(G)
2. Si: F(x) 3Arc cos x
5 ; 5 B) 4 2
5 C) ; 2 2
5 D) ; 2 4
G(x) F x 1 , 2 3 determinar el dominio de G.
C) 2 ;1 2; 3 3
5 ; 3 A ) 4 4
D) – 3 ; 3
E) R 1;1
5. Sea f(x) mArc sen x cuya gráfica es: n
3 E) ; 2 4
3. Hallar el rango de la función:
F(x) Arc cos(sen4x cos 4 x) A ) 0; 6
TEMA 13
Calcular: m n A) 2 B) –2 D) –4 E) 0
B) 0; 3
1
C) 4
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
6. En la gráfica la ecuación de la curva es: y 4 Arc cos x 3 Calcular el área de la región sombreada.
D)
E) N.A. 8. Graficar y Arc cos(x) A ) 3u2 D) 8u2 7.
B) 4 u2 E) 12u2
C) 6u2
Graficar: y 2Arc sen(2x) A)
A)
B)
B)
C) C)
TEMA 13
2
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
4 A ) ;2 3 C)
1 3 ; 2 2
E)
4 1; 3
D)
2 B) ; 2 3 D)
1 4 ; 3 3
11. Determine el dominio de la función f, definida por: 1 f(x) arc sen 2 x 1 E)
A) B) 0; C)
9. Dada la función f definida por:
;0
D) 1;1
x 1 x f(x) sen1 ; x x 1
E)
; 2 2; 0
determine el rango de f. A ) – ; 2 2
B) – ; 2 2
– ; 2 2
– ; 2 2
C) E)
–
D)
12. Determine el dominio de la función f, definida por: f(x) arc sen x 1 – arc sen x 1 3 3 1 4 A) ; 3 3
; – 0 2 2
C)
10. Sea la función f definida como:
4 1 f(x) arc sen x 2
D)
1 2 ; 3 3
1 4 E) 3 ; 3
13. Determine el rango de la función f definida por:
Si x – 1 ; 1 , determine el rango de 2 4 f.
TEMA 13
1 2 ; 3 3
1 2 B) ; 3 3
3
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
f(x) arc sen cos ; x 2; 3 x 3
A ) 3 ; 3
B) 3 ; 2
2 C) 0; 3
D) ; 6 2
C)
0;1
1 D) 0; 2
E) 1 ; 1 3 2 16. Determine el rango de la función f definida por:
E) 2 ; 3
f(x) 4arcsen(8x 3) 6 arccos(6x 4)
92 13 C) 2 17 E) 2 A)
14. Del gráfico calcule el área de la región sombreada (en u2).
2
112 15 D) 2 B)
17. Sea f la función definida por: f(x) 2arc sen(x) arc cos(x)
entonces determine el rango de f. A ) ;
B)
2;
D)
–2;0
A)
25 6
B)
13 12
C)
;2
31 6
– ; 0
D)
25 12
E)
C) E)
25 4
18. Determine el dominio de la función f definida por: f(x)
15. Determine el dominio de la función f definida por: f(x) arc sen(4x 3) arc cos(1 2x) 2x 1
A ) 1 ;1 2
TEMA 13
B) – 1 ;1 2
6 arc cos(4x) x 3 x 2 2x
A ) 2;1
1 B) 2; 2
1 C) 1; 4
1 D) ; 0 4
1 1 E) ; 4 4
4
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
19. Determine el dominio de la función f definida por: f(x) 2 arccos(x x ) 3
C)
–;1
E)
–;2
f(x)
1 B) –1; 2
D)
A ) 8;2
–; 1 2
20. Determine el dominio de la función definida por:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 13
x x arc sen 4 arcsen 4 4
A E B B B E A A D B
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
5
E B B D A D B D D D
B)
4 2;3
C)
3 2;1
D)
2 2;0 0;2
E)
2 2;2
CLAVES
1 1 A ) – ; 2 2
arc cos x 4 3
UNI 2015-II
TRIGONOMETRÍA TEMA 14
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2T14T
A) 0 D) 3
1. Calcular:
Arc Sen ( 3 / 2) ArcCos( 3 / 2) A) / 2
B) 5 / 12
C) / 3
D) 7 / 12
2 tg arc sen 3 arc tg 1 3 5 3
A) 1 C) 1,5 E) 3
2. Calcular: 2 3 sen 2arc sen( 3 / 2)
B) 2 D) –2
7.
3. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°). Calcular: M arc tg
b a c arc tg a b c
A)
B) / 5
C) / 3
D) / 6
Hallar: arc tg1 + arc tg2 + arc tg3 A) / 2 B) / 4 C) 3 / 4 D) E) 2 / 3
1 12 3 cos arc cos 13 4 2 A) 0 C) 2 E) 4
4. Calcular: sen[(arc sen(0,8) – arc sen(0,6)] A ) 7/24 B) 7/25 C) 7/23 D) 24/25 E) 24/7
B) 1 D) 3
9. Indique la proposición verdadera o falsa: I.
cos arc sec 5 2 2 5
II. csc arc sec 7 2 2 7
5. Si: arc tgx arc tgy arc tgz
TEMA 14
B) 2 D) 2,5
8. Calcular el valor de:
E) / 4
Reducir:
C) 2
6. Hallar:
E) / 4
A) 1 C) 3 E) –3
B) 1 E) 0,5
x y z xyz xyz
III. arc tg (2 3)
1
5 12
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
A ) VFV D) FVV
B) VV V E) FFV
C) VFF
14. Reducir la expresión: 4ar ctg(1) 6 arc cos (0) 8 arc tg(1) 18 arc ctg ( 3)
10. Indicar, ¿cuántas relaciones son falsas?
arc sen
I.
A ) 1/3 C) 1 E) 6
1 1 arc cos 8 8 2
II. arc sen (2) arc csc (2) 2 III. arc tg (3) arc ctg (3) 2 IV. arc cos ( x) arc cos x A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Todas son verdaderas
11. Evaluar: A) 1 C) 0 E) / 2
15. Calcular: 7 arc csc 3 12 10 arc tg 31
A ) 1/2 C) –1/2 E) –1
arc cos 1 arc cos 0 B) –2 D) 2 /
sen–1 (sen(4)) + cos–1 (cos(5)) + tg– 1 (tg(7))
1 csc 2 (arc ctg3) 6 ctg arc sen 5
6
1 2 E) 12
C)
TEMA 14
A) 3
B) 2
C) 1
D) 1
E) 2
B) –3 D) –1
17. Calcule el valor de: arc sec[csc(3)] + 2 arc ctg [tg(1)]
13. Hallar "x", arc cos 8 arc sen x . 3
A)
B) 2 D) –2
16. Simplifique:
12. Calcule:
A ) –4 C) –2 E) 0
B) 2/3 D) 6/5
B) D)
8 9
3 2 2
A) 1 2
B)
C) 5 1 2
D) 5 1 2
E) 3 2
1 3
18. Simplique: sen (ctg–1[cos(tg–1(x))])
2
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
C) E)
x2 1 2
x 2 x 1 x 1
B)
2
x 2
A)
2
D)
x 1 x2
B)
18 19
C) 19
10 10 E) 19 9 20. Halle: sec2 [arc tg(x)] + sen2 [arc cos(x)] A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
x2 2
2 19. Calcule x 1 de la siguiente igualdad: 2 x 2
TEMA 14
1 19
D)
x 1
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
tg1 1 tg1 1 tg1 1 ctg1 1 7 8 18 x
x2 1
A A E B A A C D A B
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
3
C C D E A B C B B C
CLAVES
A)
UNI 2015-II
TRIGONOMETRÍA TEMA 15
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2T15T
1. Resolver: sen4x cos x senx cos 4x
A ) 10° D) 8°
B) 5° E) 18°
6. Sume las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: sen3x = 1. A ) 90° B) 45° C) 100° D) 120° E) 180°
1 2
C) 6°
2. Resolver:
A ) 10° D) 60°
7.
sen2x 3 senx B) 15° C) 30° E) 45°
A ) 18° C) 32° E) 72°
1 4 cos x B) 15° D) 60°
senx
8. Sume las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: sen5x – senx = sen2x A ) 80° B) 90° C) 100° D) 120° E) 110°
4. Resolver:
A ) 15° C) 60° E) 20°
sen3x senx 1 cos x B) 30° D) 45°
9. Sume las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: cos3x = cos7x
5. Resolver:
cos 4x cos 2x 3 cos x A ) 5° B) 10° C) 15° D) 20° E) 30°
TEMA 15
3 2 B) 24° D) 36°
cos 5x
3. Resolver:
A ) 10° C) 30° E) 45
Sume las dos primeras soluciones positivas de la ecuación:
1
A)
5
B)
2 5
C)
3 10
D)
2
E)
7 10
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
10. Resolver: sen4 x cos 4 x
A ) 30° C) 15° E) 45°
1 2
B) 60° D) 75°
2
B)
3 10
C)
4 5
D)
5
E)
8 5
15. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación:
11. Resolver:
arcsen x sen(x) ? 2
tan x tan2x tan x tan2x tan3x 1
A ) 10° C) 15° E) 30°
A)
B) 5° D) 45°
A) 1 C) 3 E) 5
B) 2 D) 4
12. Resolver: 16. Resolver:
sec2x + csc2x + 4sec2 2x = 16 A)
2
B)
4
C)
8
D)
16
E)
32
3tg2 (x) 5
C) k 3 E) 2k 4 A ) 2k 6
13. Resolver: senx sen3x sen5x 3 cos x cos 3x cos 5x 3
A ) 5° C) 15° E) 25°
7 cos(x)
2k 3 D) k 6 B)
17. Resolver:
B) 10° D) 20°
sen(4x) sen(2x) sen(3x), k
k3 2k 3 k B) 2k 2 3 C) k 2k 3 A)
14. Resolver: 2 4x 2 arc sen cos(x)
Dar como respuesta la suma de todas las soluciones.
TEMA 15
2
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
19. Resolver la ecuación:
E) k 2k 2 6 D) k 2k 4
sen4 (x) cos2(x) 7 cos2(x)sen2(x) 8
k
k2 12 k C) 2 4 E) k 2 18 A)
18. Determine una solución general de la ecuación: [2cos(2x) + 1] cos(2x) + 2cos(3x)cos(x) = 1
k5 k B) 3 C) (2k 1) 6
k 6 D) k 12 B)
A)
D) 2k E)
(4k 1) 3
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 15
A C B A B E E E E E
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
3
E C B A A B A C A D
CLAVES
20. Halle la menor solución positiva de la ecuación trigonométrica: cos(2x) + cos(x) + 1 = cos2(x) A) B) 3 6 C) D) 4 2 2 E) 3
UNI 2015-II
TRIGONOMETRÍA TEMA 16
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2T16T
1. Resolver la inecuación:
4. Resolver:
Sen x Cos x; 0 x 2
5 A) ; 4 4
C)
0; 4
E)
3 0; 2
5 D) ; 2 4
7 A) ; 4 4
5 B) 3 ; 3
5 C) ; 6 6
D)
E) 5. Resolver:
2. Resolver:
8Sen4 x – 10Sen2 x + 3 0 0 x 2
2 Sen x Cos x – 3 Sen x 0
Dar como respuesta el menor valor
¿Cuál de los valores que se indican es una solución? 3 A) B) 7 2
entero y positivo de x. x R A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 3. Resolver: n Z Cos 2x – Cos
Sen 5 – 2x Cos + x ; x 0;2 2 2
5 B) 8 ; 8
8 7 Cos 3 2
2 A ) k + ;k + 3 3
C)
16 13
E)
22 13
D)
10 7
6. Resuelve: Sen5x > Sen3x. Si: 0 < x < . No es un intervalo solución.
B) k + 3 ;k + 2
2 ;k + C) k – 3
A)
0; 8
B)
; 5 2 8
2 D) k + 3 ;k + 3
C)
3 ; 5 8 8
D)
5 ; 7 8 8
E) k + ;k + 3
E)
7 ; 8
TEMA 16
1
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
7.
Resolver:
10. Resolver:
Cos2 2x Cos2 x 1
12 Sen2 x + 5 Sen x Cos x +
(n Z)
2 Sen x – 5 Cos x – 14 0 A ) (2k + 1) 2 B) (4k + 1)
5 A ) n + 3 ;n + 3 B) n – 3 ;n + 3
C) (4k + 1)
C) n – 6 ;n + 6
2
D) k
5 D) n + ;n + 6 6
E) R
3 E) n + ;n + 2 4
11. Resuelva la inecuación Sen x – Cos x 10 2 / 4 x / 2
3x Sen 4
7 ; 2 20
A)
–
3 9 B) ; 4 4
B)
7 ; 20 2
3 ; 3 3 5 C) – D) ; 4 4 4 4
C)
– ; – 7 ; 2 20 20 2
5 E) ; 4 4
D)
–
7 7 ; 20 20
E)
–
; 4 4
8. Resolver: Sen 3 A) ; 4 4
9. ¿Para qué valores de x 0; 2Senx+Sen2x<2+2Cosx+2Cos 2x? A)
0,
C)
, 2
E)
0, 2
TEMA 16
12. Halle todos los valores de x que verifi-
2
B)
0,
D)
0, –
can Arc Tg x 0
2
A)
– ; –1
B)
1, +
C)
–1,1
D)
– 3; 3
E)
2
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
13. Si x 0;2 ; entonces al resolver 11 , se 2Senx > 3 + Sen24º – Cos 30 obtiene una solución de la forma a;b . Hallar a + b. A) 4
B)
C) 3 4
D) k +
– ;k Z;k Z 4 4
E) k +
+ – ; ;k Z 4 4 2
16. Resolver:
2
Cos x +Cos3x –1 Cos2x si x
D)
5 E) 4
A)
; 2
B)
2 ; 2 3
C)
2 ; 3
D)
; 3 2
E)
3 ; 2 4
14. Resolver la inecuación:
3 Cos 15 + x Cos 5 – 3x 2 2
x – 3 ; 3 2 2
A ) 0; C)
– ;
E)
B)
–
3 ; – 2
D)
–
3 3 ; 2 2
17. Resolver: Cos(Ax + B) 0; A 0(k Z)
4k 1 2B 4k 3 – 2B ; A) 2A 2A B) 2A + ;2kA + 3 2 2
– 3 ; 2
(4k 1) 2B (4k 1 2B C) ; 2A 2A
15. Si ; 3 , reso lver x en la 2 4 inecuación:
(2k + 1) B (2k + 1 – B ; D) A A
Sen + Cos(2x – ) 1 Cos – Sen(2x ) A ) k + + – 0;k Z 2 4 B) k + + ;k Z 4 4
C) k +
TEMA 16
; 2
K B (K + 1) – B ; E) A A
18. Resuelve la inecuación:
Sen x + 3 Cos x – 1 0,0 x 2 3Sen x + 4 Cos x + 6
+ – ; 0;k Z 4 4
3
UNI 2015-II
TRIG ON OM ET RÍ A
A)
; 11 6 6
B)
; 3 3 2
C)
5 ; 2 6
D)
11 ; 2 6
E)
3 ;2 2
20. ¿Para qué valores de x, 0 < x < 2 , se cumple: 3 Sen 2x + 4 Cos 2x 10 0? Sen x – Cos x
3 5 ; 7 A) ; 4 4 4 4
19. Si x –2; 0 , se pide resuelva la si-
B)
3 5 7 ; ; 4 4 4 4
C)
– ; 3 – 5 ; 7 4 4 4 4
D)
; 3 5 ; 7 4 4 4 4
E)
; 5 ; 3 4 3 4 2
guiente inecuación trigonomé-trica: Tgx Tg x
3 ; – ; 0 2 2
A)
–
B)
– 3 ; 2
C)
–
D)
– ;0 2
E)
–
3 ; – 2
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 16
4
A C A D E D D B A C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
C E D A C B A D A B
CLAVES
5 ; – – ; 0 4 4
UNI 2015-II
