1
Movimiento Amortiguado (Péndulo de Torsión) Torsión)
Ing. Proaño Diego Estudiante: Departamento de Ciencias Exactas Exactas Física, Universidad de las Fuerzas Armadas Armadas ESPE Extensión Latacunga, Latacunga, Latacunga, Ecuador Ecuador
E-mail:
[email protected]; (Recibido el el 25 de Junio; aceptado el 25 de Junio) Abstract
Keywords:
Resumen
El movimiento amortiguado se caracteriza por retornar a la posición de equilibrio de la partícula después de un intervalo de tiempo esto sucede debido a que act!a sobre este cuerpo una "uerza de rozamiento que como #a conocemos se opone al movimiento$
Palabras claves:
2
1. OBJETIVO. %onocer e identi"icar las características del movimiento amortiguado en "unción de péndulo de torsión$
"ricción es proporcional a la velocidad de la masa m en cada instante$
1.1 OBJETIVO EPE!"#I!O $. #%&D'(E&T'!I)& TE)*I!'. Es necesario tener claro los par&metros del 'ovimiento rmónico imple #a que es la base para el estudio del movimiento amortiguado; la principal variación e*istente es la presencia de la "uerza de rozamiento # una consecuente constante de amortiguamiento$
$.1 !O&!EPTO B+I!O (OVI(IE&TO '(O*TI%'DO.
DE,
e presentan conceptos estudiados con anterioridad como la "recuencia "recuencia angular periodo adem&s de las ecuaciones de la posición velocidad # aceleración para cada un sistema de péndulo de torsión$ +n movimiento amortiguado es aquel en el cual el péndulo o sistema al cabo de un tiempo de,a de oscilar debido a que la energía mec&nica se disipa por la "uerza de rozamiento$ i el amortiguamiento es peque-o el sistema oscila con una amplitud que decrece lentamente con el tiempo
#igura 1. El movimiento amortiguado en "unción del tiempo$ #uente: Enrique %asta-os (216) P&D%,O DE TO*I)& El péndulo de 7orsión consiste en un cuerpo suspendido mediante un alambre "i,o a un soporte$ Este cuerpo es capaz de rotar alrededor del alambre el cual e,erce un momento recuperador que tiende a llevar al sistema nuevamente al equilibrio dando lugar de esta "orma a un movimiento oscilatorio$ 02 El péndulo de 7orsión es una de las aplicaciones del movimiento amortiguado en los sistemas reales est&n presentes "uerzas disipativas como la "ricción las cuales retardan el movimiento del sistema$ 3or lo tanto la energía mec&nica del sistema se va perdiendo con"orme transcurre el tiempo$
(OVI(IE&TO '(O*TI%'DO i el amortiguamiento es ma#or que cierto valor crítico el sistema no oscila sino que regresa a la posición de equilibrio$ .a rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud del amortiguamiento pudiéndose dar dos casos distintos/ el sobre amortiguamiento # el movimiento críticamente amortiguado$ 01 %uando el amortiguamiento no supera este valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado seme,ante al movimiento armónico simple pero con una amplitud que disminu#e e*ponencialmente con el tiempo$ 3ara ilustrar este tipo de movimiento consideremos una masa m unida al e*tremo de un muelle el&stico de constante 4 # a un amortiguador cu#a "uerza de
#igura $. nalisis 8eometrico del 3endulo de 7orsión$ #uente: 'arcillo Josep9 (215)
3
$.$ '&+,II ('TE(+TI!O DE, P&D%,O DE TO*I)& '(O*TI%'DO. ∑τ = I ´θ
(1) (2)
−τ 1−τ 2= I ´θ
PE*IODO El periodo es el tiempo en que el cuerpo tarda en dar una oscilación completa$ Entre dos puntos # ? es/
T =
¿
2 π
(5)
w ' @ la "recuencia a su vez es/
− Κθ− fr R= I ´θ
(6)
ω f = = $./ E!%'!IO&E DE, (OVI(IE&TO T 2 π 1
− Κθ−bv − I ´θ= 0
3osición '
θ= θ e Ecuación Dierencial del p!ndulo de "orsión amortiguado 2
2 I
(A)
'
.sen w . t +
Belocidad −bR .t
θ´ = A e 2 I
()
+ I d θ2 + bR dθ + Κθ=0 dt dt
− bR .t
celeración θ´ = A e
:onde Κ es la constante torsora$
−bR 2 I
.t
(
−bR 2 I
.sen ( w .t + ϕ 0 ) + w '
'
()
(( )
2
bR bR ' . sen ( w . t + ϕ 0 )− 2 I I
#*E!%E&!I' '&%,'* O VE,O!ID'D '&%,'* DE O!I,'!I)&.
(C)
Resolviendo la ecuación ) se tiene que/
x =
−bR ± √ (−bL )2−4 (− I ) ( K ) 2 I
El &ngulo de des"ase depende de la posición de partida del cuerpo$
bR √ ( bL ) + 4 IK x = ± 2 I 2 I 2
3.
bR λ = 2 I
√ ( )
K bR w ' = − 2 I I
2
(D)
:<=:E/
λ / Es la constante de amortiguamiento razón de amortiguamiento$ w ' / Es la "recuencia angular medida en rad>s
MATERIALES Y EQUIPO:
(aterial !ilindro 2ueco
!aracter0sticas 3ermite visualizar el movimiento
Disco circular lotante Varilla con masas desli3antes
3ermite visualizar el movimiento 3ermite visualizar el movimiento
raico
4
#le45metro
!ontador
3ermite la medición de longitud 3ermite el conteo de oscilaciones
Base
:a el apo#o a el sistema armado
Varilla
3ermite el ensamble del sistema 3erite conectar varillas
Pin3a de 6ngulo recto !ables
7rasmiten la corriente eléctrica$
#oto celda
%apta el movimiento de la partícula
Base i7aci5n
de
'antiene "irme el sistema armado
E7e torsi5n
de
E,erce el movimiento repetitivo
Balan3a
3ermite medir la masa de un ob,eto
Tabla I. (ateriales 8 E9uio 'utores: Integrantes del ruo 4.
PROE!IMIE"TO:
#igura /. 3rocedimeinto de rmado #uente: .aboratorio de Física (216) Procedimiento de 'rmado 1$ %olocamos la base de "i,ación en una de las mesas$ 2$ +bicamos el e,e de torsión a la base de "i,ación$ $ eguidamente "i,amos los cuerpos sobre el e,e de torsión$
D$ e-alamos a los cuerpos un e,e re"erencial con a#uda de la cinta ad9esiva # cartón para que emita la se-al al contador$ 5$ rmamos el 4it de "i,ación de la "otocelda (base varilla pinza de &ngulo recto "otocelda)$ 6$ %onectamos los cables del contador a la "otocelda (amarillo G se-al azul G tierra # ro,o G alimentación de 5v$)
Procedimiento de uso 1$ 7omar la medida de masa # las dimensiones de los cuerpos a estudiar$ 2$ %onectamos el contador a una "uente de energía$ $ eguidamente activar el contador # traba,ar en el modo para medir el periodo de oscilación del cuerpo$ D$ 8eneramos la amplitud inicial a los cuerpos (CH o 1CH) 5$ incronizar la activación del cronometro # soltar los cuerpos$ 6$ 7omar los datos de periodo # tiempo "inal # posición "inal (amplitud "inal)$ A$ Repetir el proceso para cada uno de los cuerpos$
Procedimiento de desarmado 1$ pagar el contador 2$ :esconectar los aparatos del sistema$ $ acar las varillas de la nuez D$ 8uardar los materiales e instrumentos del laboratorio de Física en su ca,a respectiva$ #.
TA$ULAIO" !E !ATOS:
Ensa8o 1 DI!O #,OT'&TE
5
3ar&metro
(asa
'
ímbol o m
*adio
.
r
,ongitud del 0vot 'mlitud inicial Periodo
.
l
in dimensión 7
A 0
π / 2
ra
7
3,2
s
7,3
ra
'mlitud inal tiemo inal = de oscilacio nes
:imensión
in dimensión 7
Balo r
+ni $ K 0,4
m
0,1
C
Ɵ"
m
tf
30
s
n
10
m
Tabla II. Datos Ensa8o 1 'utores: Integrantes del ruo 3ar&metro 3ar&metro (asa (asa
*adio ,ongitud Interno (asa *adio Desli3ante 1 E4terno (asa 'ltura Desli3ante $ 'mlitud ,ongitud inicial de (asa Desli3ante 1 Periodo ,ongitud de (asa 'mlitud Desli3ante $ inal *adio de (asa Tiemo Desli3ante 1 inal *adio de =(asa de oscilaciones Desli3ante $ 'mlitud inicial Periodo 'mlitud inal Timo inal = de osc.
:im$ :im$ ' ' . .
0,0 0,6
' .
e1 ri
' . in . dimensió n 7.
m1 9 Ɵ I1 7 2
21 D 5 21 1
Ensa8o / V'*I,,' !O& ('' DE,I<'&TE Tabla IV. Datos Ensa8o / 'utor: Integrantes del ruo !+,!%,O Ensa%o &. !ISO 'LOTA"TE Inercia de( !isco
I = I 0+ md I =1 / 2 mr
2
2
+md 2 2
2
I =1 / 2 ( 0,42 )( 0,15 ) +( 0,42 )( 0,09)
ímb Bal$ +ni$ ímb$ Bal$ +ni$ $ 0,3 m Kg m 0,61 Kg r
Ensa8o $ !I,I&D*O ;%E!O Tabla III. Datos Ensa8o $ 'utor: Integrantes del ruo
−3
Frecuencia angular
m m
w=
2 π =1,96 rad / s 3,2
w=
2 π =1,96 rad / s 3,2
Kg m Kg m
π 0,0
rad m
1,0 0,0
sm
2
I =8,127 x 10 Kgm
Calculo de la constante de amortiguamiento − λt
in dimensió . n 7 .
in dimensió n 7 in dimensió n 7
Ɵ"
π /
r1
0,01
tf r2 n
20
I
Ɵ
0,01 19
π
rad m
rad
ln 0,388=ln e
−b( 0,15)( 30 )/ 2 ( 8,127 x 10 −3 )
−3
b =3,411 x 10 Nm
7,5
s
π / 3
rad
tf
20
s
n
2,8
Ɵ"
7 π = e − λt 36 π 2
s m
>2 7
Ɵ =Ɵ 0 e
Constante "orsora
6
2
❑
2
K =[ w −( bR / I ) ] I
Frecuencia
1
f = =0,925 !" T
K = 0,312 Nm Frecuencia
Ensa%o 3. +ARILLA O" MASA !ESLI,A"TE
f =
1
I =0,018341 Kgm
=0,325 !"
2
T
Frecuencia angular
w=
Ensa%o ). ILI"!RO *UEO
R 1 (¿ ¿ 2 + R 22) I =1 / 2 # ¿
2 π
8348 rad
T
s
=
Frecuencia
1
f = = 0,372 !" T 0,045
(¿ ¿ 2 + 0,052 ) I =1 / 2 ( 0,353 )¿
bR = $ %$ 176 2 I
−4
2
I =7,987 x 10 Kgm
Constante "orsora
K = Iw
w=
2 π
T
=5,81 rad / s
−− ( ) Ɵ= Ɵ ' e bR
2 I
−− ( ( π / 4 = π e
2
K =( 0,01834 )( 0,902 ) K = 0,015
t
b 0,05 −4
2 7,987 x 10
−3
2
)
)
20
2
b =2,195 x 10 Kg / s Constante "orsora
√
2
K bR ω f = −( ) 2 I I
ωf =0,9022 rad / s
T'B,' DE V'*I'B,E *E%,T'DO 2
2
❑
K =[ w −( bR / 2 I ) ] I
Ensa%o & !isco '(o-an-e
K = 0,27 Nm
3ar&metr :imen o sión
ímb olo
Balor
+nida des
7
'$$ Inercia
2
'.
Ir
$12A 1G
&gm
Ecuaci5n de la Velocidad
π v = . e−0.03 t 0.03 (en 1.96
Ecuaci5n de la aceleraci5n
π a = . e−0.03 t 0,0009 (en ( 1.
{ {
2
2
!onstante de Torsi5n #recuencia 'ngular #recuencia
2 G
'. 7
K
2
in :imen sión 7G1
$1 2 1$C6
Nm rad /
Tabla V. Ensa8o 1 'utor: Integrantes del ruo
$12 !er 5 ($12A1G)d2 θ > d t2 K
Ecuaci5n Dierencial
f
$12 θ
Ecuaci5n de la Posici5n Ecuaci5n de la Velocidad Ecuaci5n de la aceleraci5n '$mor tiguado Inercia
π π x = (en ( 1,96. t + ) 2
2
π π v = ( 1,96 ) cos ( 1,96. t + ) 2
a=
2
− π ( 3.84 ) sin (1,96. t + 2
2
#recuencia Ecuaci5n Dierencial
'.2
Ir
$12A 1G
&gm
'.27G
K
2
'.7G2
b
in :imen sión 7G1
$1 2 $D11 1G
Nm
1$C6
rad /
&g / s
$12 !er 5 ($12A1G)d2 θ > d t2 L f
Ensa8o $ !I,I&D*O ;%E!O Par6me Dime 0m Valor tro nsi5n bolo (.'. Nnercia '.2 AC1A I 51GD
$12 θ M
x=
π 2
−0, ) 3 t
.e
(en ( 1,96. t +
%nid ades &gm 2
%onstante de 7orsión Frecuencia ngular
2 G
K
$2A
Nm
in :imen sión 7G1
51
rad /
f
$C25C
!er
'. 7 2
Ecuación :i"erencial
(AC1A51GD)d2 θ > d t2 K $2A θ
Ecuación de la 3osición Ecuación de la Belocidad Ecuación de la aceleración (.'mo rtiguad o Nnercia
x = π(en ( 5,818. t + π ) v =5,818 π+)s ( 5,818. t + π )
a =−π ( 33.84 ) sin ( 5,818. t +
'.2
Ir
AC1A 51GD
&gm 2
511651 GD d θ > dt L
Ecuaci5n de la Posici5n
A/u0 1an (as 2ricas de su si5u(aci6n de disco (o-an-e7
Frecuencia
2
!onstante de Torsi5n !oeiciente de 'mortiguam iento #recuencia 'ngular
2
(
π 2
%onstante de 7orsión %oe"iciente de mortiguam iento
'.27G
K
$2A
Nm
b
21C5 1G
&g /
2
'.7G2
8
Frecuencia ngular Frecuencia Ecuación :i"erencial
in :imen sión 7G1
51
rad /
f
$C25
!er
GD
2
(AC1A51 )d
Ecuación de la aceleración (.'mor tiguado Nnercia
$2A θ M −0, ) 69 t Ecuación de x = π .e (en ( 5,818. t + la 3osición −0.069t Ecuación de { (en ( 5,8 v =−π 0,069 e la Belocidad −0.069t Ecuación de a =π . e { 0,004761 (en ( la aceleración Tabla VI. Datos Ensa8o $ 'utor: Integrantes del ruo
!O&
%onstante de 7orsión %oe"iciente de mortiguami ento Frecuencia ngular Frecuencia Ecuación :i"erencial
0mb olo
Valo r
%nida des
'.2
I
1 5D
&gm
Frecuencia Ecuación :i"erencial
'.27G2
K
in :imen sión 7G1
f
1 A 2
Nm
Ecuación de la 3osición Ecuación de la Belocidad
'. 7
K
'.7G2
b
in :imen sión 7G1
1 5 1 A6
Nm
C 22
rad /
f
$A 2
!ert
A 2
!ert
−2 t
x = A . e
(en ( w . t + * ) 0,
bR 0.90 I v=
Ecuación de la aceleración
((
0,0207 ) sen (¿)− 0.2596 c
Tabla VII. Ensa8o / 'utor: Integrantes del ruo
(N)d2 θ > d t2 K D (b)d
A/u0 1an (as 2ricas de su si5u(aci6n de +ari((a con 5asas des(i9an-es7
x = π / 36 (en ( 0,83. t + π / 2) v =0,0724 (en ( 0,83. t + π / 2
&g / s
(N)d2 θ > d t2 K D (b)d θ > dt
(
rad /
θ > dt G 4 θ M Ecuación de la 3osición Ecuación de la Belocidad
2 G2
( 0,0201) sen (¿)−
Dimen si5n
&gm
G 4 θ M
(''
2
%onstante de 7orsión Frecuencia ngular
1 D
Ir
2
A/u0 1an (as 2ricas de su si5u(aci6n de ci(indro 8ueco7
Par6met ro (.'. Nnercia
'.2
θ > d t2 K
1CA1GD d θ > dt G
Ensa8o / V'*I,,' DE,I<'&TE
a =0,0608 (en ( 0,83. t + π / 2
!O&!,%IO&E $
9
06 '<% 7$ (21)$ Física para ciencia # tecnología volumen 1 (6ta ed$)$ 'é*ico/ Reverté$
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8+O'=
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(211)$
#ovimiento
0A
amortiguado$
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E
(216)$
#ovimiento
amortiguado$
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05
'R%N..< J (215)$ %scilaciones$ 9ttp/>>documents$tips>documents>oscilacio nesGcrina$9tml 0%onsulta/ 2D de =oviembre de 216$ +REQ F (21D)$ P!ndulo de "orsión$ 9ttp/>>es$slides9are$net>"ernandourenaA5>u crG"s1Goscialaciones 0%onsulta/ 2D de =oviembre de 216$
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