22/03/2012
Ecuaciones Diferenciales Ley de Torricelli En esta práctica encontraremos el tiempo en el que tarda en vaciarse un paraboloide que contiene agua en su interior, dicha paraboloide tiene un agujero en su parte inferior, del cual determinaremos su radio, aparte de encontrar la ecuación que describe la altura de un tiempo t para el paraboloide descrito.
Instituto Tecnológico Superior De Uruapan
Alumnos:
Antonio de Jesús Cuevas Martínez Gabriel Alejandro Sandoval duran Christian Cervantes Zamora Gerardo Arreola Quevedo Carlos Galván Carranza
Introducción: A lo largo de esta practica estaremos analizando la importancia de las ecuaciones diferenciales aplicadas, en este caso en particular analizaremos la problemática que describe el tiempo que tarda en vaciarse y cual es la profundidad en un tiempo t de un tanque de agua x^2= (by )” con radio máximo de forma definida por un paraboloide descrita por la ecuación “ x^2= de “2ft” y una altura de “4ft” , sabiendo que el tanque está lleno en un tiempo “t=(0)” t=(0)” y después de transcurrir una hora hora reduce la profundidad a “1ft”. “1ft”. Para el desarrollo de esta práctica vamos a utilizar la ley de Torricelli que es la correspondiente para describir el vaciado de un tanque.
1 a n i g á P
INDICE. PAGINAS OBJETIVO ________________________________________________________________________________3
MARCO TEORICO________________________________________________________________________ 4-6
DESARROLLO TEORICO_________________________________________________________________ 7-13
BITACORA_______________________________________________________________________________ 14-15
DESARROLLO EXPERIMENTAL________________________________________________________16-17
TABLA DE VALORES______________________________________________________________________ 18
CONCLUSIONES_________________________________________________________________________ 19-20
2 a n i g á P
OBJETIVO. El objetivo de esta práctica es resolver un problema descrito mediante la aplicación de formulas y los conocimientos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Para la resolución del problema debemos de adaptar o mejor dicho crear una ecuación que describa la situación que se presenta incluyendo las variables que hacen que la situación sea distinta a como es, para después poder integrarlas con valores en la frontera, dicho de otra forma es evaluando con sus límites correspondientes.
3 a n i g á P
MARCO TEÓRICO. Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que se denomina foco.
La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.
{{cita
web
|url=http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)|título=Parábola (matemática) Propiedades geométricas |fecha acceso=19 de MARZO de 2012}}
Presión atmosférica sobre los líquidos:
El frasco de Mariotte
El frasco está lleno de líquido hasta una altura h y cerrado mediante un tapón. El tubo atraviesa la pared superior del frasco y tiene su extremo inferior A sumergido en el líquido contenido. El líquido sale del frasco por un orificio B practicado en la pared lateral del recipiente, de modo que la altura entre el extremo inferior del tubo A y el orificio de salida B es H. De acuerdo con la ley de Torricelli, ahora, la velocidad de salida es función de la distancia entre la altura de la superficie libre del líquido y la posición del orificio de salida, distancia que va disminuyendo.
{{Cita
web
|url=http://www.dfists.ua.es/experiencias_de_fisica/index15.html|título= Presión
atmosférica sobre los líquidos: El frasco de Mariotte |fecha acceso=19 de MARZO de 2012}}
4 a n i g á P
Ley de Torricelli:
Vaciado de un depósito
Entre las contribuciones científicas de Torricelli se halla la comprobación de que el flujo de un líquido por un orificio es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido medida respecto a la posición del orificio de salida.
{{Cita
web
|url=http://www.dfists.ua.es/experiencias_de_fisica/index06.html|título= Ley
de
Torricelli Vaciado de un depósito |fecha acceso=19 de MARZO de 2012}}
FORMULAS:
{{Cita
web
|url=http://www.ing.uc.edu.ve/matematica/MA3B06/contenidos/contenido_ma3b06_tema3_5.p
df |título= APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES |fecha acceso=19 de MARZO de 2012}}
5 a n i g á P
TABLAS.
{{Cita
web
|url=http://www.ing.uc.edu.ve/matematica/MA3B06/contenidos/contenido_ma3b06_tema3_5.p
df |título= APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES |fecha acceso=19 de MARZO de 2012}}
6 a n i g á P
Desarrollo teórico. 1. A(y)dy =
esta es la formula de Torricelli.
Teniendo en cuenta la ecuación del Paraboloide “y=x 2” ecuación encontrada sustituyendo los valores de radio y altura que nos de el problema en la ecuación primaria “x2=by”.
2. Sustituyendo “ay=πby” en ecuación (1).
3. Evaluamos ecuación (2) con la primera condición “t (0)=y=4”.
7 a n i g á P
4. Evaluamos la segunda condición en la ecuación (2) sustituyendo “C”.
5. Sustituimos resultados (3) y (4) en ecuación (2).
8 a n i g á P
6. Como “t” lo expresamos en segundos y nos pide “t” en horas “t=3600t”
Ecuación definida para la parábola.
1.
Ecuación diferencial para el radio de tanques.
2.
El área de las secciones transversales (variables) cambio de variables sustituyendo “x=r”, “y=h” en la ecuación definida para la parábola.
3.
Despejando “r” de “h=r2” sustituyendo ecuación (3) en ecuación (2).
4.
Sustituyendo “A(h)”, “C” y “g” en ecuación (1)
9 a n i g á P
5. Separación de Variables.
6. Integramos teniendo en cuenta que el tiempo varia de “t=0 seg” y “t=360 seg” y la altura varia entre “h=4ft” y “h=1ft”.
7. Sustituyendo los valores de las integraciones en la ecuación (6)
Sustituyendo el valor del área del orificio de salida en ecuación (5).
0 1 a n i g á P
8. Resuelve el problema de valor en la frontera
Integrando ecuación (7) con limites de “t=0” y “t=t r” ; y la altura con limites “h=4ft” y “h=0ft”.
3)
¿Obtuviste los mismos tiempos que sugiere el problema?
Los tiempos que obtuvimos con las pruebas realizadas de manera práctica fueron muy parecidas a las que nos dan nuestras operaciones, pero hubo un pequeño error de aproximación. Pero con esto llegamos a la conclusión de que los datos que obtuvimos son relativamente certeros. 4)
¿Qué influencia tiene el valor de “b” en resultados experimentales?
El valor de “b” tiene mucha influencia en una parábola ya que es lo que define el grado de abertura de las puntas de dicha parábola, lo que trae como consecuencia que se vea más cerrado o más abierto el diámetro en la parábola y a su vez hace variar de manera muy drástica el volumen que tendrá nuestro paraboloide. Como se muestra en la siguiente imagen:
1 1 a n i g á P
5) Si no obtuviste los resultados que sugiere el problema ¿Qué se puede variar en el tanque para obtener dichos resultados?
Lo más importante para que los datos sean lo más aproximados a los que deben de salir según las operaciones y comprobación analítica, es tener las medidas exactas en lo que se refiere al diámetro máximo que tendrá nuestro paraboloide y la altura máxima. Y de ser posible realizar los cálculos para obtener otras medidas intermedias de diámetro y altura comprendidos desde el origen altura=0 hasta la altura máxima. También cabe mencionar que podemos cambiar el material empleado por uno menos poroso (plásticos, metales) o mejorar el ya existente (yeso) por medio de algún tipo de recubrimiento (pintura, esmaltes), esto con el fin de evitar pérdidas en el contenido del tanque, con esto obtenemos también resultados más precisos.
6)
¿Cómo se afectan los resultados del problema, si se modifica la forma del depósito?
En nuestro depósito principalmente afectara el tiempo de descarga de agua, teniendo en cuenta también que al modificar la forma del depósito también se afecta el volumen ya sea por alterar la altura o el diámetro de la apertura de nuestro Paraboloide de Revolución. Si no se sigue de manera exacta la condición de que “y” tenga un valor igual a “ x2” y para cada valor de “x”, sea la raíz cuadrada de “y”, lo cual se obtiene despejando de nuestra ecuación que define el recorrido de la parábola expresada por “y=x2”. También puede ser por la irregularidad del material utilizado. De ser esto, será muy notorio que las ecuaciones no arrojan resultados congruentes a los que da en las pruebas realizadas de forma práctica con el depósito elaborado.
2 1 a n i g á P
7)
¿Qué efecto tiene la altura sobre el nivel del mar?
Los valores de gravedad utilizados en el problema son los valores en condiciones ideales (sobre el nivel del mar), pero si su estudio requiere de datos muy precisos se puede obtener una gravedad específica para cada zona geográfica como se muestra en la parte de abajo: Aspectos a considerar. Uruapan esta a 600m sobre el nivel del mar. Ecuación de gravedad.
gh = g o( (r e )/(r e+ h)) Donde: gh = Aceleración de la gravedad a la altura “h” con respecto a novel del mar. re = Radio promedio de la tierra 6 ,371,000m (Ecuador). 2
go = Es la aceleración de la gravedad a nivel del mar 9.80665m/s
Sabiendo que la gravedad disminuye con la a ltura.
Entonces.
gh Uruapan = 9.80665m/s 2 (6,371,000m / (6,371,000m + 600m)) = 9.804803144m/s 2
En conclusión: Dado que la región de Uruapan se encuentra a una altura de 600m sobre el nivel del mar, la gravedad real existente en dicha región es de “9.804803144m/s 2”, esto causa que haya un mínima variación en el tiempo de descarga o vaciado de agua en nuestro Paraboloide de Revolución con respecto del nivel mar aumentando dicho tiempo, por la disminución de la fuerza gravitatoria.
{{Cita
web
|url=
http://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_del_campo_gravitatorio
|título
=
Intensidad de campo gravitatorio| |url= http://www.turismoenmexico.com.mx/michoacan/uruapan/ |fecha acceso=21 de MARZO de 2012}}
|titulo= Turismo Mexico|
3 1 a n i g á P
BITACORA CRONOLÓGICA DE ACTIVIDADES. Recopilación de información para la resolución del problema. 1. Recopilación de datos en internet y biblioteca 2. Procedimos a extraer las formulas correspondientes para la elaboración de este ejercicio. 3. Socializamos en equipo la información investigada tratando de comenzar la resolución de los problemas. 4. Consultamos con el profesor correspondiente de la materia, las dudas existentes antes de proceder a la resolución de problemas y por su puesto la elaboración del prototipo y análisis de tiempos. 5. Procedimos a realizar el inciso “c)” en el por medio del cual se obtuvo el radio del orificio inferior de nuestro Paraboloide de Revolución. 6. Por medio de la formula de Torricelli y Bernoulli pudimos obtener el tiempo exacto en el cual nuestro Paraboloide de Revolución terminara vaciándose completamente. Gracias a que ya conocíamos el radio del tapón en el fondo de nuestro paraboloide ya que depende de este va a ser el tiempo de descarga. 7. Pudimos obtener la altura de agua en el tanque a través de un tiempo deseado, después de resolver operaciones e integrarlas evaluando con limites correspondientes.
Investigación de gravedad en Uruapan 1. Procedimos e buscar la ecuación que define la fuerza gravitatoria por altura sobre nivel del mar, dicha ecuación la encontramos en Wikipedia, la cual nos explica que podemos calcular la gravedad específica para la altura a la que te encuentras. 2. Posteriormente procedimos a buscar fuentes de información donde pudiéramos informarnos sobre que altura promedio sobre el nivel del mar se encuentra Uruapan, dicha información la encontramos en Turismo México. 3. Una vez recopilada la información resolvimos la ecuación, donde nos dimos cuanta que la fuerza gravitatoria no cambia mucho a nivel mundial, la variación máxima que puede tener es de .05en comparación dela fuerza gravitatoria ya establecida que es 9.80665m/s 2. Cave mencionar que el cuerpo humano es muy sensible a los cambios de fuerza de gravedad repercutiendo en la salud.
4 1 a n i g á P
Para la elaboración del tanque. 1. Se adquirieron aros de madera de diferentes tamaños que serian parte de la estructura interna de nuestro depósito con forma de Paraboloide. 2. Además de los aros conseguimos alambre galvanizado que también seria parte de la estructura. 3. Estructuramos los aros de las medidas específicas como se requerían e indicaban nuestros cálculos y comenzamos a dar forma y hacer las uniones de los aros y el alambre galvanizado. 4. Con malla de alambre de acero se construyo el esqueleto del tanque. 5. Se procedió a la preparación de yeso en agua con el cual se harían los acabados, para posteriormente forrar la estructura de de alambre y aros de madera con el yeso preparado. 6. Finalmente para evitar fugas desde el interior del tanque se aplicó pintura a prueba de agua sellando así el interior del tanque y comenzar con los registros de prueba correspondientes.
5 1 a n i g á P
Desarrollo experimental. 1. En esta imagen como podemos ver, comenzamos a diseñar el esqueleto de la Parábola aproximándonos a la información propuesta en nuestro ejercicio, usando marcos para tejer y alambre.
2. Unas ves terminadas la Parábola, sujetamos las puntas del alambre en la parte inferior utilizando unas pinzas de electricista.
3. Aquí podemos ver como quedo terminado el esqueleto de nuestra Parábola de Revolución.
4. Aquí podemos ver que el esqueleto fue envuelto en una malla metálica, para aplicar posteriormente agregar yeso sobre dicha superficie.
6 1 a n i g á P
5. Así se ve nuestro Paraboloide de Revolución envuelto con la malla metálica
6. Como aquí podemos observar que la malla metálica nos sirve como base para poner el yeso permitiéndonos colocarlo sin deformar el esqueleto.
7. Aquí podemos ver como quedo revestido nuestro Paraboloide con yeso. Una vez terminadas lo pusimos al sol durante un par de horas y así lograr un buen secado.
8. Ya seco, aplicamos pintura anti hongos a prueba de agua (utilizada en las albercas). Para evitar perdidas por la absorción del yeso que es un material poroso.
7 1 a n i g á P
TABLA DE VALORES REGISTRADOS DURANTE LA PRUEBA DEL TANQUE PARABOLOIDE
Para llevar a cabo los experimentos con nuestro tanque paraboloide procedimos a hacer una prueba de 10 intentos teniendo en cuenta que el valor que buscábamos en nuestro tanque era que tardara en vaciarse 24.93 min, resultado obtenido de hacer las operaciones necesarias para la escala a la que fue elaborado, sabiendo que ha sido construido a una escala de 1:1/4 de acuerdo con el radio establecido para el tapón que va al final del tanque por el cual hay un flujo de salida constante hasta vaciarse dicho depósito. Los resultados son los siguientes:
Intento Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo que tarda en vaciarse 25.5 min 25 min 24.7 min 23.9 min 20.2 min 23.9 min 23.1 min 19.6 min 18.9 min 18.3 min
8 1 a n i g á P
Conclusiones: Christian Cervantes Zamora Esta practica nos ayudo mucho para practicar la adaptación y resolución de problemas mediante las ecuaciones diferenciales, usando los conocimientos que hemos adquirido a lo largo de nuestra vida como son las formulas de área, volúmenes, y tratar de adaptarlas con formulas nuevas como es el caso de la ley de Torricelli, además también investigamos lo que se refiere al comportamiento de las parábolas y su estructura definida por by=x^2 donde el valor que se le da a "b" hace cambiar de forma muy drástica tanto los volúmenes como la abertura que tendrán las puntas de la parábola dichos valores van con una variación en lo que se refiere al diámetro del circulo de amplitud de la parábola y también dependiendo del signo de “b” será el sentido de abertura (positivo o negativo). Un aspecto importante es que dependiendo del tamaño del tapón será la velocidad con la que se vacíe el depósito, aparte de la forma y tamaño del mismo deposito. En lo que se refiere a la parte práctica nos acercamos mucho a los datos que esperábamos, pero hubo un pequeño error que se debe a varios factores como son los errores de medición en alturas y diámetros en el paraboloide, el material con el que es construido, entre otros. Pero restando esos pequeños errores llego a la conclusión de que nuestra prueba analítica y experimental fue un éxito.
Carlos Javier Galván Concluyo que las ecuaciones diferenciales lineales son de gran importancia en nuestra vida cotidiana. En esta práctica pudimos observar de manera clara como es que se manifiestan las ecuaciones diferenciales con el vaciado de un líquido (AGUA) en un paraboloide que a través de un orificio era vaciado así tanto como en esta práctica como en cualquier otra es necesario llevar un orden estricto de todo lo que se va realizando así como notas que sean de ayuda a la hora de entregar el reporte para llegar a un resultado a la incógnita establecida al momento de iniciar una investigación.
Antonio de Jesús Cuevas Martínez Llego a la conclusión de que las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales son muy importantes en nuestra vida diaria al encontrarnos situaciones donde se nos presenten incógnitas, mediante la adaptación del problema a una ecuación para posteriormente resolverlas como fue el caso del paraboloide donde tuvimos que analizar las características primordiales de una parábola las cuales nos iban a dar los puntos clave para la resolución de nuestro problema que no fue nada sencillo pero con la dedicación de todos los integrantes del equipo se pudo llevar a cabo.
9 1 a n i g á P
Gerardo Arreola Quevedo En esta práctica número dos aprendimos a la aplicación de las ecuaciones diferenciales en la cual nosotros las aplicamos en el vaciado de un tanque de 4ft de altura y de radio de 2ft, sacamos en cuanto tiempo se vaciara en su totalidad así como el radio inferior por el cual se drenara el agua. También realizamos la práctica físicamente pero nosotros tomamos valores de ¼parte de las medidas reales y pudimos observar con las ecuaciones que son muy exactas, en las cuales nuestro prototipo tuvo un margen de error de muy pocos segundos y yo creo que no fue exacta por las medidas del molde ya que si hubieran sido exactas las medidas del molde tengo la certeza de que nuestro margen de error hubiera sido menor. Todo esto fue posible a la fórmula de Torricelli la cual se refiere al vaciado de un tanque,
y gracias a que realizamos el trabajo prácticamente pudimos confirmar dichas formulas porque ya que obtuvimos los resultados del vaciado del tanque se asemejan mucho con los resultados de las formulas de Torricelli.
Gabriel Alejandro Sandoval Duran Tenemos que existe una relación directa entre las ecuaciones diferenciales y actividades varias que son llevadas a cabo en la vida cotidiana, sin embargo para poder obtener el análisis de dichas actividades y/o proyectos es necesario conocer adecuadamente las leyes, formulas y propiedades tanto del cálculo como del algebra, como ejemplo particular tenemos el proyecto que fue llevado a cabo con mi equipo por medio de un tanque el cual estaba formado con una función cuadrática la cual al hacerla girar en el espacio formaba un paraboloide, sorprendentes fueron los resultados que obtuvimos tanto en la parte analítica como en el desarrollo experimental de nuestra práctica, de los tiempo que tardaba en descargarse completamente de agua, sin embargo nuestra practica desgraciadamente también estuvo acompañada de fracasos ya que en varias ocasiones los resultados o las formulas aplicadas no eran los adecuados por lo que se procedía nuevamente a realizar la práctica. Finalmente gracias a este practica que llevamos a cabo nos dimos noción de algunas otras aplicaciones de la ED. Ya que aunque no son muy prácticas, nos ayudan a resolver casi cualquier problema de la vida cotidiana que se nos presente.
0 2 a n i g á P
