8 - SÉRIE DE PAGAMENTOS OU RENDAS Até o momento, analisamos operações financeiras em que um único capital era aplicado para a formação de um montante, ou uma dívida assumida era saldada com um único pagamento. Séries de pagamentos ou rendas, são operações financeiras que envolvem conjunto de capitais disponíveis em datas diferentes. Podem ser: * Várias aplicações, feitas em datas diferentes, com a finalidade de construir um montante no futuro; * Várias prestações que pagarão uma dívida assumida hoje em forma de empréstimo ou de algum bem adquirido a prazo; * Vários pagamento realizados periodicamente com a finalidade de se pagar o uso de um bem ou serviço, como caso de aluguéis ou salários; Cada um dos pagamentos da série se chama termo, prestação ou simplesmente pagamento. Os intervalos de tempo entre os vencimentos de dois pagamentos consecutivos são chamados período da renda. renda. As rendas podem ser certas ou aleatórias. Certas são aquelas cujos vencimentos, valores e números dos pagamentos são preestabelecidos e é fixada a taxa de juros que esses pagamentos incluem ou a que estão sujeitos. Aleatórias são aquelas onde, vencimentos, valores e números de pagamentos são aleatórios. A taxa é variável, como acontece com os rendimentos de ações ou prêmios de seguro (não serão estudadas nesta disciplina).
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Chama-se VALOR PRESENTE ou VALOR ATUAL ATUAL de uma renda a soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos, pagamentos, calculados numa data dada, anterior às datas de disponibilidade disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa também dada. PV4 PV3 PV2 PV1 PMT1 PMT2 PMT3 PMT4
0
1
2
3
PMTn-2
4
n-2
PMTn
n-1
n
PV Chama-se VALOR FUTURO ou MONTANTE MONTANTE de de uma renda a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos, calculados numa data dada, posterior às datas de disponibilidade desses pagamentos pagamentos com uma taxa também dada. dada.
FV2 FV3 FV5 FVn-1 PMT2 PMT3
0
1
2
3
PMT5
4
PMTn-1
5
n-2
n-1
n FV
PV = VALOR PRESENTE FV = VALOR FUTURO PMT = PAGAMENTOS Quanto ao número de termos, as rendas podem ser temporárias, temporárias, quando quando tem número limitado de termos e perpétuas, e perpétuas, quando quando tem número ilimitado de termos.
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Exemplo de renda temporária é a série de prestações que uma pessoa paga para adquirir uma casa própria. Exemplo de renda perpétua é a série de aluguéis que uma pessoa paga para morar numa casa alugada sem intenções de adquirir uma casa própria. Quanto ao valor dos termos, as rendas podem ser constantes ou uniformes, quando os termos são iguais e variáveis, quando os termos são diferentes. Exemplo de renda constante é a série de prestações devidas por um objeto comprado a prazo (supondo prestações iguais). Exemplo de renda variável são os rendimentos mensais de um capital aplicado na caderneta de poupança. Quanto ao período, as rendas podem ser periódicas, quando os períodos são iguais e não periódicas, quantos os períodos são diferentes. Exemplos de rendas periódicas são os ganhos recebidos pelo trabalho assalariado. Exemplos de rendas não periódicas são os ganhos recebidos por trabalhos eventuais. Estudaremos as constantes e periódicas.
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8.1 - SÉRIES POSTECIPADAS São aquelas cujo pagamento ocorre no fim do período. É a sistemática normalmente adotada pelo mercado. Exemplo 1: Determinar o valor do Montante no final do 5 mês, de uma série de 5 aplicações mensais,
iguais e consecutivas, no valor de $ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% a.m., sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tomada como base (“momento zero”), e que a última, no final do 5 mês, é coincidente com o momento em que é pedido
o montante. FV = ? 0
1
2
3
4
5
PMT = $ 100,00 i = 4 % a.m n=5 FV = ? Solução:
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Fórmulas:
(1 i) n 1 FV = PMT . i
(1 i) n 1 i
PMT = FV .
ou
FV = PMT. FAC (i, n)
ou
PMT = FV . FFC (i, n)
FATORES (1 i ) n 1 O fator é denominado de Fator de Acumulação de Capital de uma série i
uniforme de pagamentos e pode ser representado por FAC (i, n).
é denominado de Fator de Formação de Capital de uma série uniforme (1 i ) n 1
O fator .
i
de pagamentos e pode ser representado por FFC (i, n).
EXERCÍCIOS: 1) Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar $ 100,00 por mês, durante esse prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 1,5% a.m.?(R: $ 6.956,52)
2) Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num “Fundo de Renda Fixa”, durante 5
anos, para que possa resgatar $ 20.000,00 no final de 60 meses, sabendo que o fundo proporciona rendimento de 1,6 % ao mês? (R: $ 201,01) 3) Quantas prestações de $ 1.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 3,64 % a.t., para acumular um montante de 30.734,32 , no final de certo prazo? (R: 21 prestações). 4) A que taxa devo aplicar $ 3.000,00 por ano para que eu tenha um montante de $ 40.000,00 no final de 10 anos? (R: 6,24% a.a.)
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Exemplo 2: Qual o valor que, financiado `a taxa de 4% a.m., pode ser pago em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $ 100,00 cada uma? PV = ? 0
1
2
3
4
5
PMT = $ 100,00 i = 4 % a.m n=5 PV = ? Solução:
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Fórmulas:
(1 i ) n 1 PV = PMT . n (1 i ) . i
ou
PV = PMT . FVA (i, n)
(1 i ) n . i PMT = PV . n (1 i ) 1
ou
PMT = PV . FRC (i,n)
FATORES O fator
(1 i ) n 1
é denominado de Fator de Valor Atual de uma série uniforme de
(1 i ) n . i
pagamentos e pode ser representado por FV (i, n). (1 i ) n . i O fator é denominado de Fator de Recuperação de Capital de uma série (1 i ) n 1
uniforme de pagamentos e pode ser representado por FRC (i, n).
EXERCÍCIOS: 5) Calcular o valor Presente de uma série de 24 prestações iguais, mensais e consecutivas de $ 1.500,00 cada uma, considerando uma taxa de 2,3% a.m. (R:$ 27.429,89) 6) Um empréstimo de $ 20.000,00 é concedido por uma instituição financeira para compra de um automóvel. Deverá ser liquidado em 36 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é 2,8% a.m, Calcular o valor da prestação? (R: $ 888,94) 7) Calcule o númro de prestações semestrais de $ 15.000,00 cada uma, capaz de liquidar um financiamento de de $ 49.882,65, à taxa de 20% ao semestre. (R: 6 prestações) 8) Determinar a que taxa anual foi firmada uma operação de empréstimo de $ 15.000,00, para ser liquidada em 36 prestações mensais de $ 656,65? (R: 2,7% a.m.)
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8.2 - SÉRIES ANTECIPADAS São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no início do período. Exemplo: Compra numa loja para pagamento em 4 prestações mensais, iguais, sendo uma de entrada. Exemplo 1: Qual o montante, no final do 5 mês, resultante da aplicação de 5 prestações iguais, mensais e
consecutivas de $ 100,00, à taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje (data do contrato). FV = ? 0
1
2
3
4
5
PMT = $ 100,00 i = 4 % a.m n=5 FV = ? Solução:
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Fórmulas:
(1 i ) n 1 FV = PMT x (1 + i) i
ou FV = PMT x (1+i) x FAC (i, n)
“Para resolver um problema de montante de uma série de pagamentos
com termos
antecipados, basta multiplicar por 1 + i o cálculo obtido para termos postecipados”
PMT =
(1 i ) (1 i ) n 1 FV
.
i
ou PMT =
FV
(1 i )
. FFC (i,n)
EXERCÍCIOS: 9) Quanto terei de aplicar mensalmente, na poupança, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses, um montante de $ 28.000,00, sabendo que o rendimento é de 15,12 % a. a., e que as prestações são iguais e consecutivas ? ( R: $ 621,38) 10) Quantas aplicações mensais de $ 1.000, são necessárias para obter um montante de $ 34.995,91, sabendo que a taxa é de 1,8 % a.m., e que a primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resgate daquele valor? (R: 27 prestações) 11) Calcular o montante, no início do 8 mês, resultante da aplicação de 8 parcelas mensais e
consecutivas, à taxa de 2,25% a. m., sendo as 4 primeiras de $ 1.200,00 cada uma e as 4 restantes de $ 1.800,00 cada uma, sabendo-se que se trata de uma série de pagamentos com termos antecipados. (R: $ 13.162,86) A fórmula para resolução de problemas de Valor presente pode ser deduzida utilizando-se o mesmo caminho seguido anteriormente para as deduções já vistas. Entretanto, já sabemos que para obter o valor presente de uma série de pagamentos podemos inicialmente calcular o seu Valor Futuro e em seguida calculá-lo por
1 (1 i) n
, ou seja , utilizar o conceito de série de pagamentos para calcular o
Valor Futuro e, em seguida, o conceito de pagamento único para determinar o Valor Presente. Econoima Financeira
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Fórmulas: (1 i ) n 1 PV = PMT x (1 + i) x (1 i ) n . i
ou
PV = PMT x (1 + i) x FVA(i, n)
“Para resolver um problema de valor presente de uma série de pagamentos com termos antecipados, basta multiplicar por 1 + i o cálculo obtido para termos postecipados”
(1 i ) n .i x PMT = ou (1 i ) (1 i ) n 1 PV
PMT =
PV
(1 i )
x FRC (i, n)
EXERCÍCIOS: 12) Determinar qual o valor de um automóvel financiado em 24 prestações iguais de $ 698,23, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 2,9 % a. m. e que a primeira prestação é paga no ato da assinatura do contrato. (R: $ 12.299,94) 13) Um terreno é colocado à venda por $ 20.000,00 à vista ou em 10 prestações bimestrais, sendo a primeira prestação paga na data do contrato. Determinar o valor de cada parcela, sabendo que o proprietário está cobrando uma taxa de juros de 23,87 % a.a pelo financiamento.(R: $ 2.336,02) 14) Um automóvel é colocado à venda por $ 13,973,00 à vista ou em 36 prestações fixas de $ 636,00, sendo a primeira prestação paga no ato. Qual a taxa de juros do financiamento? (R: i = 3,17% a.m).
8.3 - SÉRIE DIFERIDAS São aquelas séries de pagamentos que se iniciam após decorrido um certo número de períodos sem pagamentos. Geralmente conhecido por “período de carência”. Exemplo: Financiamento pelo prazo de 6 meses, com carência de 2 meses para pagamento em 4 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a partir do terceiro mês 0
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1
2
3
4
5
6
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?
?
?
?
Para apurar o valor das prestações postecipadas de uma série com carência, pode-se utilizar o seguinte critério: Capitaliza-se o saldo devedor ou saldo credor, usando a taxa contratada, até o período imediatamente anterior ao primeiro pagamento. A importância encontrada será a base para o cálculo do valor das prestações como se fosse uma série postecipada. Temos, portanto, dois cálculos, representados por 2 fluxos de caixa. Exemplo: Uma financeira emprestou a quantia de R$720,00 pelo prazo de um ano, para o recebimento em 8 prestações mensais, iguais e consecutivas, sendo que a primeira deverá vencer no final do quinto mês. Sabendo-se que a taxa cobrada é de 6,5% ao mês, determine o valor das prestações ?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
i = 6,5%
720 (1 Fluxo)
FV ? ... (será o PV do 2 Flxo)
0
1
2
3
4
720
(2 Fluxo)
? 5
? 6
? 7
?
? 8
? 9
?
?
10
11
12
PV ?
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EXERCÍCIOS: SÉRIES DE PAGAMENTOS 1) Calcule o valor de um empréstimo que deverá ser pago em 6 parcelas mensais, iguais e consecutiva de R$ 447,00, contratado uma taxa efetiva de 17,42% ao trimestre. (R$ 2.233,09) 2) Um financiamento de R$ 3.800,00 foi realizado a uma taxa de 3,8% ao mês, para pagamento em 7 parcelas mensais, iguais e consecutivas, sendo uma entrada. Calcule o valor das prestações. (R$ 605,44) 3) Um empréstimo de R$ 50.000,00 deverá ser pago em 7 prestações mensais, iguais e consecutivas. Sabendo-se que o primeiro pagamento é efetuado 30 dias após a liberação do empréstimo e que a taxa de juro cobrada pelo banco é de 3,5% a.m., determine o valor das prestações. (R: R$ 8.177,22) 4) Baseado no exercício anterior, determine o valor das prestações admitindo-se que o primeiro pagamento ocorra 150 dias após a liberação do empréstimo. (R: R$ 9.383,55) 5) Calcular o montante ao final de dois anos resultante de 12 depósitos mensais de R$ 100,00 e de um reforço, 10 meses após o ultimo depósito no valor de R$ 455,,00. Considere a taxa de juro de 8% a.m. (R: R$ 5.309,47) 6) Qual o valor atual de um empréstimo que vai ser pago nas seguintes condições: 6 prestações mensais de R$ 200,00, com um período de 4 meses de carência, mais um reforço de R$ 500,00 efetuado no final do oitavo mês, sabendo-se que a taxa de juro é de 8% a.m. (R: R$ 1.004,07) 7) Um empréstimo no valor de R$ 100,00 deverá ser pago em 15 prestações mensais, iguais e consecutivas. Sabendo-se que a primeira prestação vencerá 6 trimestres após a liberação do empréstimo, e que a taxa de juro é de 95,6% a.a., determine o valor das prestações. (R: R$ 26,20) 8) Um eletrodoméstico pode ser pago em 8 prestações bimestrais de R$ 20,00 com 12 meses de carência. Considerando-se que o custo de oportunidade de um determinado comprador seja de 3,2% a.m., determine em que faixa deve situar-se o preço à vista para que ele opte pela compra a prazo. (R: acima de R$ 88,86) 9) Um empréstimo de R$ 2.400,00 foi realizado para pagamento em 4 parcelas mensais, iguais e consecutivas de R$ 504,10 mais uma entrada de 25% sobre o valor emprestado. Calcule a taxa efetiva da operação. (4,70 % a.m.) 10) Sabendo-se que o preço à vista de um objeto é de R$ 1.250,00, determine qual deve ser o valor da entrada para que o saldo possa ser financiado em 5 prestações mensais de R$ 200,00, com carência de 6 meses, à taxa de 2% a.m.. (R: R$396,17) 11) Determinada pessoa está planejando adquirir um carro pagando 4 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 9.000,00 sem entrada. Quanto esta pessoa deve depositar mensalmente em um fundo que rende 1,8% a.m., nos 10 meses que antecedem a compra do veículo ? (R: R$ 3.173,83)
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12) Um eletrodoméstico custa à vista R$ 200,00. Sabendo-se que a loja cobra 4% a.m. no crediário, determine o valor das prestações mensais, iguais e consecutivas nas seguintes modalidades: a) 7 pagamentos sem entrada; (R: R$ 33,32) b) entrada e mais 6 prestações; (R: R$ 32,04) 13) Monte uma tabela com multiplicadores para as seguintes condições de venda. Considere a taxa de juro de 7% a.m.. a) 5 X com entrada (1+4); (R: R$ 0,227935) b) 5 X sem entrada ; (R: R$ 2,243891) c) 6 X com 30% de entrada (1+5); (R: 0,170723) d) 6 X com 40% de entrada (1+5); (R: R$ 0,146334) 14) Determine o valor dos juros cobrados em um financiamento em 18 meses, cujo coeficiente é de 0,062668. (R: 1,3% a.m.) 15) Calcule o valor das prestações de um empréstimo de R$ 480,00 contratado a uma taxa de 9,2% ao mês, que deverá ser pago em 8 prestações mensais, iguais e consecutivas. 16) Determine a que taxa de juro o pagamento de R$ 7.500,00 por mês gera um montante de R$ 460.112,55 no final de 2 anos, tendo presente que a primeira parcela é paga no início do período. 17) Calcule o valor atual de um empréstimo, contratado a uma taxa de 8,1% ao mês, que deverá ser pago em 10 parcelas mensais, iguais e consecutivas de R$ 112,00. 18) Determine quantos pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 7.000,00 são necessários para gerar um montante de R$ 87.460,96, a uma taxa de 6,5% ao mês, considerando que a primeira parcela é paga no início do período. 19) Uma financeira está emprestando recursos a uma taxa de 13,4% ao mês, pelo prazo de 180 dias, para pagamento em 6 parcelas mensais, iguais e consecutivas. Calcule o multiplicador fixo (coeficiente) de cada prestação. 20) Um veículo foi negociado por R$ 17.800,00 sendo 70% financiados para pagamento em 18 parcelas mensais, iguais e consecutivas. Sabendo-se que a financeira cobra uma taxa de 8,3% ao mês, determine o valor de cada prestação. 21) Para as taxas mensais abaixo indicadas, calcule quais os montantes produzidos pela aplicação de 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas de R$ 2.300,00, sendo a primeira feita no início do período: a) 7,2% b) 8,3% c) 5,6% 22) Determine o valor atual de um empréstimo contratado a uma taxa de 8% ao mês, pelo prazo de 10 meses e que deverá ser pago através de 6 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 188,35, sendo que o primeiro pagamento ocorrerá no final do quinto mês.
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23) Uma empresa contratou um empréstimo com um banco no valor de R$ 37.000,00, pelo prazo de 120 dias, para ser liquidado através do pagamento de 3 parcelas mensais, iguais e consecutivas de R$ 8.500,00 e um final de R4 20.000,00. Calcule a taxa mensal dessa operação. 24) Determine o valor presente de um empréstimo concedido por uma financeira, para ser liquidado em 7 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 2.500,00, a uma taxa efetiva de 220,76% ao ano.
9 - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de formas que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes interessadas. Sistemas de Amortização são as diferentes maneiras de se saldar uma dívida, através de pagamentos periódicos que incluem o reembolso do capital e dos juros correspondentes. OS JUROS SEM PRE SÃ O CAL CUL ADOS SOBRE O SAL DO DE VED OR
Os Sistemas de Amortização são os mais variados, alguns prevendo pagamento único, outros possibilitando parcelamentos. Alguns desses Sistema de Amortização são mais comuns e tem até denominações próprias, como o sistema PRICE, usado pelo Sistema Financeiro de Habitação ou o Sistema Americano, usado nos empréstimos internacionais. Outros não tem denominações próprias e, quando utilizados, são descritos personalizadamente nos contratos de empréstimo. Quanto a forma escolhida para a amortização de uma dívida prevê pagamento parcelado, existe interesse, tanto por parte do devedor como por parte do credor, em conhecer, a cada período de tempo, o estado da dívida, isto é, o total pago e o saldo devedor. Por isso, é comum a elaboração de demonstrativos que acompanham cada pagamento do empréstimo. Não existe um modelo único de demonstrativo, mas em todos deve constar o valor de cada pagamento e o saldo devedor, devendo, ainda, o valor de cada pagamento ser subdividido em juros e amortização.
9.1 - SISTEMAS DE PAGAMENTOS ÚNICOS O devedor paga, no final do prazo, o montante da dívida que, conforme o contrato, pode ser calculado no regime de juros simples ou compostos.
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Para se calcular o valor desse pagamento final, basta calcular o montante correspondente a dívida somada aos juros, simples ou compostos, conforme o caso. O valor da dívida será o valor presente PV e o pagamento final será o valor futuro FV, calculado com a taxa i contratada para o empréstimo por n períodos se o contrato prevê juros simples, tem-se:
FV = PV (1 + in) Se o contrato prevê juros compostos, tem-se: FV = PV (1 + i) n Exemplo 1. Um empréstimo de $ 10.000,00 deve ser pago após quatro meses com juros de 3% a.m.. Calcular o pagamento final: a) Supondo que o empréstimo foi feito no regime de juros simples. (R: $ 11.200,00) b) Supondo que o empréstimo foi feito no regime de juros compostos. (R: $ 11.255,09)
9.2 - SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS O devedor paga o total de juros na data da liberação do empréstimo. Os juros podem ser simples ou compostos. Se os juros são pagos antecipadamente, o valor liberado como empréstimo (empréstimo efetivo) não coincide como valor solicitado pelo devedor, o que faz com que a taxa efetiva a que ele se obriga seja diferente da taxa nominal contratada. Com os juros pagos antecipadamente, o devedor pagará no final apenas o valor solicitado no empréstimo. Exemplo 2. Considera-se o mesmo exemplo anterior, de um empréstimo de $ 10.000,00 à taxa de 3% pelo prazo de quatro meses. Se os juros são cobrados antecipadamente, calcular o valor liberado, o valor a ser pago no final do prazo e a taxa efetiva. a) Para regime de juros simples. (R: $ 8.800 ; 0,0 340091) b) Para regime de juros compostos. (R: $ 8.744,91 ; 0,034097)
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9.3 - SISTEMA AMERICANO O devedor paga os juros periodicamente; o valor emprestado é pago no final do prazo estipulado para o empréstimo. Chamado de PV o valor emprestado a taxa e, os juros pagos em cada período são iguais e calculados como: J = PVi Terminado o prazo, o devedor, no último pagamento, além dos juros, paga o capital emprestado
PV. OBS: Por este sistema, é indiferente que o regime de juros seja simples ou compostos, pois, como os juros são pagos periodicamente, o saldo devedor é sempre o mesmo, o que não muda o valor básico para o cálculo dos juros. Exemplo 3. Considerar, ainda, o mesmo empréstimo de R$ 10.000,00 feito a taxa de 3% a.m. pelo prazo de quatro meses. Qual será o desembolso mensal do devedor se o empréstimo foi feito pelo Sistema Americano com juros pagos mensalmente ? J = PVi = 10.000 . 0,03 = 300,00 Nos três primeiros meses, seu desembolso foi de R$ 300,00 correspondente ao pagamento dos juros. No quarto mês, seu desembolso foi de R$ 10.300,00, sendo 300,00 correspondente aos juros e 10.000,00 para saldar a dívida.
9.4 - SISTEMA PRICE, FRANCÊS OU DE PRESTAÇÕES CONSTANTES Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações iguais e imediatas, incluindo, em cada uma, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo devedor. O número de prestações varia em cada contrato.
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Suponha-se o empréstimo PV, feito a taxa i para ser pago em n prestações, pelo sistema PRICE. As prestações são calculadas como se fossem os temos PMT de uma renda imediata cujo valor presente é PV: (1 i ) n . i PMT PV . n (1 i) 1
Como o Sistema PRICE prevê pagamento da dívida de forma parcelada, é conveniente para devedor e também para o credor que se elabore um demonstrativo que mostre o estado da dívida em cada período do prazo fixado. Como já se disse no início do capítulo, não existe um modelo de acordo com os seus interesses ou com as exigências legais de cada caso. O modelo mais simples seria um quadro, como o reproduzido a seguir, com colunas para data (0, 1, 2, ..., n), valor dos pagamentos (PMT), valor dos juros (J 1, J 2, ..., J n), valor das amortizações (A 1, A 2, ... An) e saldos devedores (SD 1, SD2, ... SDn) para cada período. As amortizações crescem exponencialmente à medida que o prazo aumenta, em função da taxa de juros.
N
PAGAMENTO
JUROS
AMORTIZAÇÃO
0 1 2 . . . n
PMT PMT . . . PMT
J1 J2 . . . Jn
A1 A2 . . . An
SALDO DEVEDOR SD0 = PV SD1 SD2 . . . SDn = 0
Para elaborar a tabela , os valores (juros, amortizações e saldos devedores) são colocados linha por linha e são calculados da seguinte forma: J1 = PV i
A1 = PMT - J1
SD1 = PV - A1
J2 = SD i
A2 = PMT - J2
SD2 = SD1 - A2
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
Jn = SDn - 1i
An = PMT - Jn SDn = PV - 1- An
Exemplo 4. Considerando, ainda, o mesmo empréstimo de $ 10.000,00, feito à taxa de 3% a.m., por quatro meses, agora devendo ser pago no sistema PRICE, determinar o pagamento mensal e fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses. (R: $ 2.690,27 pagamento mensal).
N
PAGAMENTO
JUROS
0 1 2 3 4
2.690,27 2.690,27 2.690,27 2.690,27
300,00 228,29 154,43 78,36
AMORTIZAÇÃ O 2.390,27 2.461,98 2.535,84 2,611,91
SALDO DEVEDOR 10.000,00 7.609,73 5.147,75 2.611,91 0,00
Pode se observar que os juros são cada vez menores, uma vez que são calculados sobre o saldo devedor que é cada vez menor. Conseqüentemente, as amortizações são cada vez maiores para que, somada aos juros, totalizem prestações iguais.
9.5 - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTES (SAC) Por este sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem, cada uma, uma parcela constante de amortização mais os juros sobre o saldo devedor. Enquanto no sistema PRICE as prestações são iguais, no SAC são iguais a amortizações incluídas em cada prestação. Como n amortizações iguais devem saldar a dívida PV, para calcular cada uma basta dividir o total do empréstimo PV pelo número n de parcelas:
A
Econoima Financeira
PV n
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O quadro demonstrativo para esse sistema de amortização, também pode ser elaborado linha por linha, mas, desta vez, tem início na terceira coluna, onde se repete, em toda as linhas, o valor da amortização. Em seguida, são calculados os juros (J 1, J2, ..., Jn) para cada período e só então é possível calcular o valor de cada prestação (P 1, P2, ... Pn), que representa a soma dos juros com a amortização correspondente ao período.
A seguir, o quadro demonstrativo, análogo ao do sistema anterior, e o cálculo dos valores necessários à sua elaboração:
N
PAGAMENTO
JUROS
AMORTIZAÇÃO
0 1 2 . . . n
P1 P2 . . . Pn
J1 J2 . . . Jn
A A . . . A
J1 = PV i J2 = SD i . . . Jn = SDn - 1i
P1 = A + J1 P2 = A + J2 . . . Pn = A + Jn
SALDO DEVEDOR SD0 = PV SD1 SD2 . . . SDn = 0
SD1 = PV - A SD2 = SD1 - A . . . SDn = PV - 1- A
Exemplo 5. Considerando, mais uma vez, o mesmo empréstimo de $ 10.000,00, feto à taxa de 3% a.m., pelo prazo de quatro meses, agora pago pelo SAC, fazer o demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses. (R: $ 2.500,00)
N
PAGAMENTO
JUROS
0 1 2 3 4
2.800,00 2.725,00 2.650,00 2.575,00
300,00 225,00 150,00 75,00
Econoima Financeira
AMORTIZAÇÃ O 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 47
SALDO DEVEDOR 10.000,00 7.500,00 5.000,00 2.500,00 0 Leandro Hirt Rassier
Observa-se que no SAC os pagamentos são decrescentes, uma vez que são a soma de amortizações iguais com juros cada vez menores. Observa-se, ainda, que o quadro demonstrativo pode ser elaborado coluna por coluna, uma vez que as amortizações são constantes, iguais a A; os saldos devedores, decrescentes, podem ser obtidos por subtrações sucessivas da parcela A; os juros podem ser obtidos, a partir de J 1 = PVi, por subtrações sucessivas do valor de Ai; e os pagamentos podem ser obtidos, a partir de P 1 = A + PVi , por subtrações sucessivas do valor Ai:
SD0 = PV SD1 = SD0 - A = PV - A SD2 = SD1 - A = PV - 2A . . . SDn = SDn - 1 - A = PV - nA J1 = PVi J2 = SD1 i = (PV - A) i = PVi - A i J3 = SD2 i = (PV - 2A) i = PVi - 2A i . . . Jn = SDn - 1 i = (PV - nA) i = PVi - nAi P1 = A = J 1 = A + PVi P2 = A + J 2 = A + PVi - Ai P3 = A + J 3 = A + PVi - 2Ai . . . Pn = A + J n = A + PVi - (n -1) Ai
9.6 - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO - SAM Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações, tais que cada uma delas é a média aritmética entre os valores encontrados para as prestações do sistema PRICE e SAC. É claro que isso implica que os juros, amortizações e saldos devedores no SAM, em cada período, também sejam, cada um, a média aritmética entre os juros, amortizações e saldos devedores dos sistemas PRICE e Econoima Financeira
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SAC. Mas na prática nem sempre é conveniente calcular esses valores dessa forma e apenas as prestações são calculadas como médias aritméticas Chamando de PMT a prestação do sistema PRICE e de P1, P 2, ..., Pn as prestações do SAC, para calcular as prestações P’1 , P’2 , ..., P’n do SAM, basta fazer:
P '1
P ' 2
PMT
2 PMT
P 2
2
. . . P ' n
P 1
PMT
P n
n
Calculadas as prestações, o demonstrativo deve ser elaborado, como no sistema PRICE, linha por linha. A seguir apresentam-se o quadro demonstrativo e o cálculo dos demais elementos:
N
PAGAMENTO
JUROS
AMORTIZAÇÃO
0 1 2 . . . n
-
J1 J2 . . . Jn
A1 A2 . . . A3
J1 = PV i J2 = SD i . . . Jn = SDn - 1i
Econoima Financeira
P’1 P’2
. . . P’n A1 = P1 - J1 A2 = P2 - J2 . . . An = Pn - Jn
SALDO DEVEDOR SD0 = PV SD1 SD2 . . . SDn = 0
SD1 = SD0 - A1 SD2 = SD1 - A2 . . . SDn = SDn - 1- A
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Exemplo 6. Considerar, novamente o empréstimo de $ 10.000,00, à taxa de 3% a.m., por quatro meses, agora pelo SAM. Fazer o demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses. Solução: PMT = 2.690,27 (ver exemplo 4) P1 = 2.800,00 P2 = 2.725,00 P3 = 2.350,00 P4 = 2.575,00
P '1
P '2
P '3
P '4
N 0 1 2 3 4
PMT
P 1
2 PMT
P 2
2 PMT
P 3
2 PMT
P 4
2
PAGAMENTO 2.745,14 2.707,64 2.670,14 2.632,64
(ver no exemplo 5)
2.690,27 2..800 2 2.690,27 2.725 2 2.690,27 2.650 2 2..690,27 2.575 2
JUROS
2.745,14 2.707,64 , 2..67014
2.632,64
AMORTIZAÇÃ O
300,00 226,65 152,22 76,68
2.445,14 2.480,99 2.517,92 2.555,95
SALDO DEVEDOR 10.000,00 7.554,86 5.073,87 2.555,95 0
Existem ainda, muitos outros sistemas de amortização que prevêem prazos de carência, atualização monetária etc.
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