Paso 2 – Recolectar Información Introductoria Al Curso Procesamiento Digital De Señales (Doc-Final)
Presentado por: Francisco Javier Chávez Flórez Código: 1080262056
Grupo 299004_35 Curso PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Tutor: MAURICIO ALBERTO GARCIA
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería -ECBTI Septiembre 2017
DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS Cada estudiante realizará dos ejercicios de convolución discreta, para ello el estudiante escogerá las dos señales de entrada x(n) y las dos respuestas al impulso h(n), las señales x(n) y h(n) tendrán tres (3) muestras de longitud, por lo cual la longitud de las salidas y(n), será de cinco muestras. Por ejemplo: 𝑥(𝑛) = [1 2 3]
ℎ(𝑛) = [5 6 8]
Entonces la salida a esta convolución sería: 𝑦(𝑛) = [5 16 35 34 24] Comprobemos, 𝑥: 1 2 3 ℎ: 5 6 8 -------------------------5 10 15 6 12 18 8 16 24 ------------------------------5 16 35 34 24 y(n) = 5 16 35 34 24 Mediante el uso de octave en linea calcularemos la convolución y graficamos Emplearemos el siguiente scrip x = [1 2 3] h = [5 6 8] y = conv(x,h) stem (y)
Primer ejercicio Entradas: 𝑥(𝑛) = [3,4,5] ℎ(𝑛) = [4,6,8] Ahora aplicamos la teoría e convolucion de señales de tiempo discreto, a través de un algoritmo para obtener la señal de salida de un sistema conociendo a entrada x y la respuesta al impulso del sistema. ∞
𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] = 𝑦[𝑛] = ∫−∞ 𝑥(𝑘)𝑦(−𝑘 + 𝑛)𝑑𝑘 ; Calculemos la entrada x[n] y h[n] 𝑥: 3 4 5 ℎ: 4 6 8 -------------------------12 16 20 18 24 30 24 32 40 ------------------------------12 34 68 62 40 y(n) = 12 34 68 62 40 Tenemos entonces que la convolucion 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] = [12, 34, 68, 62, 40] Mediante el uso de octave en linea calcularemos la convolución y graficamos Emplearemos el siguiente scrip x = [3 4 5] h = [4 6 8] y = conv(x,h) stem (y)
Segundo ejercicio Entradas: 𝑥(𝑛) = [2,4,6] ℎ(𝑛) = [3,5,7] Ahora aplicamos la teoría e convolucion de señales de tiempo discreto, a través de un algoritmo para obtener la señal de salida de un sistema conociendo a entrada x y la respuesta al impulso del sistema. ∞
𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] = 𝑦[𝑛] = ∫−∞ 𝑥(𝑘)𝑦(−𝑘 + 𝑛)𝑑𝑘 ; Calculemos la entrada x[n] y h[n] 𝑥: 2 4 6 ℎ: 3 5 7 -------------------------6 12 18 10 20 30 14 21 42 ------------------------------6 22 52 51 42 y(n) = 6 22 52 51 42 Tenemos entonces que la convolucion 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] = [6, 22, 52, 51, 42] Mediante el uso de octave en linea calcularemos la convolución y graficamos Emplearemos el siguiente scrip x = [2 4 6] h = [3 5 7] y = conv(x,h) stem (y)
3. Cada estudiante realizará un ejercicio de transformada Discreta de Fourier, en la cual la señal x(n) también debe tener una longitud de tres (3) Muestras. Este también debe realizarse en el editor de ecuaciones de Word, sin omitir procedimientos, también se debe
calcular
la
magnitud
de
la
transformada
y
la
respuesta
en
fase.
Se tiene la siguiente muestra (señal de entrada): 𝒙[𝒏] = [𝟒, −𝟏, 𝟓] La fórmula de la transformada de Fourier es: 𝑵−𝟏
𝟐𝝅𝒊𝒌𝒏 𝑵
𝒙[𝒌] = ∑ 𝒙[𝒏]𝒆− 𝒏=𝟎
Se procede a reemplazar la fórmula, para ello tomamos los valores de 𝑘(0), 𝑘(1) y 𝑘(2) y asi evaluar cada muestra de la señal 𝒙[𝒏] = [𝟒, −𝟏, 𝟓]
Primero reemplazamos 𝑘(0) para las muestras 𝒙[𝒏] = [𝟒, −𝟏, 𝟓] 𝒙[𝒏] = [𝟒] ……… 𝑘(0) = ∑ 4 ∗ 𝑒 −
2𝜋(0)(0)𝑖 3
𝒙[𝒏] = [−𝟏] ……… 𝑘(0) = ∑ −1 ∗ 𝑒 − 𝒙[𝒏] = [𝟓] ………….𝑘(0) = ∑ 5 ∗ 𝑒 −
= 4𝑒 0 = 4
2𝜋(0)(1)𝑖 3
2𝜋(0)(2)𝑖 3
= −1𝑒 0 = −1
= 5𝑒 0 = 5
Entonces tenemos que cuando k toma valor de (o) y aplicamos La fórmula de la transformada de Fourier a la muestra [𝟒, −𝟏, 𝟓], obtenemos de la suma: 𝒌(𝟎) = 𝟒 − 𝟏 + 𝟓 = 𝟖 𝒌(𝟎) = 𝟖 𝒌(𝟎) = 𝟖 +𝟎𝒊
Segundo reemplazamos 𝑘(1), para las muestras 𝒙[𝒏] = [𝟒, −𝟏, 𝟓] 𝒙[𝒏] = [𝟒] …………𝑘(1) = ∑ 4 ∗ 𝑒 −
2𝜋(1)(0)𝑖 3
𝒙[𝒏] = [−𝟏] ……….. 𝑘(1) = ∑ −1 ∗ 𝑒 −
= 4𝑒 0 = 4
2𝜋(1)(1)𝑖 3
= −1𝑒 0 = −1𝑒 −2/3𝜋𝑖
Aplicamos el teorema de Euler: 𝒆−𝒋𝒙 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) − 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝒙) Evaluamos la muestra: 2 2 2 1 √3 −1𝑒 −3𝜋𝑖 = −1 [cos ( 𝜋) − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋)] = + 𝑖 3 3 2 2
𝒙[𝒏] = [𝟓] …………. 𝒌(𝟏) = ∑ 𝟓 ∗ 𝒆−
𝟐𝝅(𝟏)(𝟐)𝒊 𝟑
= 𝟓𝒆𝟎 = 𝟓𝒆−𝟒/𝟑𝝅𝒊
Aplicamos el teorema de Euler: 𝒆−𝒊𝒙 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) − 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝒙) Evaluamos la muestra: 5𝑒 −
2𝜋𝒊(1∗2) 3
= 5𝑒
−4𝜋 3
= 5𝑒
−4𝜋 3
4 4 1 = 5 [cos ( 𝜋) − 𝒊 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋)] = 5 (− + 0.86𝒊) 3 3 2
𝒌(𝟏) = −𝟐. 𝟓 + 𝟒. 𝟑𝒊 Entonces tenemos que cuando k toma valor de (1) y aplicamos La fórmula de la transformada de Fourier a la muestra [𝟒, −𝟏, 𝟓], obtenemos de la suma: 𝑘(1) = 4 +
1 √3 + 𝑖 − 𝟐. 𝟓 + 𝟒. 𝟑𝒊 2 2
𝑘(1) = 2 +
√3 𝑖 + 4.3𝑖 2
𝑘(1) = 4 + 0,8660𝑖 + 4.3𝑖 𝑘(1) = 𝟒 + 𝟓, 𝟏𝟔𝟔𝟎𝒊
Tercero reemplazamos 𝑘(2) para las muestras 𝒙[𝒏] = [𝟒, −𝟏, 𝟓] 𝒙[𝒏] = [𝟒] ………… 𝑘(2) = ∑ 4 ∗ 𝑒 −
2𝜋(2)(0)𝑖 3
𝒙[𝒏] = [−𝟏] ……….. 𝑘(2) = ∑ −1 ∗ 𝑒 −
= 4𝑒 0 = 4
2𝜋(2)(1)𝑖 3
= −1𝑒 −4/3 𝜋𝑖
4 4 4 1 √3 −1𝑒 −3𝜋𝑖 = −1 [cos ( 𝜋) − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋)] = − 𝑖 3 3 2 2
𝒙[𝒏] = [𝟓] …………. 𝑘(2) = ∑ 5 ∗ 𝑒 −
2𝜋(2)(2)𝑖 3
= 5𝑒 0 = −2𝑒 −8/3 𝜋𝑖
Aplicamos el teorema de Euler: 𝒆−𝒊𝒙 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) − 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝒙) Evaluamos la muestra: 5𝑒 − 5𝑒
2𝜋𝑗(2∗2) 3
−8𝜋 3
= 5𝑒
−8𝜋 3
8 8 1 = 5 [cos ( 𝜋) − 𝒊 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋)] = 5 (− − 0.86𝒊) 3 3 2
𝒙(𝟐) = −𝟐. 𝟓 − 𝟒. 𝟑 𝒊 Entonces tenemos que cuando k toma valor de (o) y aplicamos La fórmula de la transformada de Fourier a la muestra [𝟒, −𝟏, 𝟓], obtenemos de la suma: 𝑘(2) = 𝟒 +
𝟏 √𝟑 − 𝒊 − 𝟐. 𝟓 − 𝟒. 𝟑 𝒊 𝟐 𝟐
𝑘(2) = 𝟐 −
√𝟑 𝒊 − 𝟒. 𝟑 𝒊 𝟐
𝑘(2) = 𝟐 − 𝟎, 𝟖𝟔𝟔𝟎𝒊 − 𝟒. 𝟑 𝒊 𝑘(2) = 𝟐 − 𝟓, 𝟏𝟔𝟔𝟎𝒊 Tenemos entonces que: La transformada discreta de Fourier es:
Su magnitud es:
𝒙[𝒌] = [𝟖
𝟒 + 𝟓, 𝟏𝟔𝟔𝟎𝒊
𝟐 − 𝟓, 𝟏𝟔𝟔𝟎𝒊 ]
𝑨[𝒌] = [𝟖
𝟒 + 𝟓, 𝟏𝟔𝟔𝟎𝒊
𝟐 − 𝟓, 𝟏𝟔𝟔𝟎𝒊]
4. Cada estudiante realizará la búsqueda o diseño de un algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF), en el cual se utilice ciclos for para la implementación de la sumatoria que describe la (TDF). Este algoritmo tendrá la sintaxis del software de programación de matrices “MATLAB” o pueden utilizar la aplicación en línea “OCTAVE ON LINE” NOTA: No se aceptan códigos que involucren la función FFT de Matlab.
Una vez que cada estudiante verifique el funcionamiento correcto de su algoritmo, este procederá a describir de manera escrita, lo que se sucede en cada línea del algoritmo. Finalmente, cada estudiante realizará un video en el cual explicará y demostrará el funcionamiento del algoritmo en Matlab. En el video el estudiante debe presentarse con nombre y número de grupo y debe subirse a You Tube.
Cada estudiante realizará la búsqueda o diseño de un algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF), en el cual se utilice ciclos for para la implementación de la sumatoria que describe la (TDF). Este algoritmo tendrá la sintaxis del software de programación de matrices “MATLAB” o pueden utilizar la aplicación en línea “OCTAVE ON LINE” Tomamos N=3, designando los siguientes valores 𝑥 = [2 3 4 ] Calculamos el valor de la Transformada Discreta de Fourier, mediante la siguiente fórmula:
− 𝒙(𝟎) = ∑𝑵−𝟏 𝒏=𝟎 𝒙(𝒏)𝒆
𝟐𝝅𝒊𝒌𝒏 𝑵
Cuando K=0 2
𝒙(𝟎) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒 −
2𝜋𝒊𝑘𝑛 𝑁
= 2𝑒 −
2𝜋𝒊(0∗0) 3
= 2𝑒 0 = 𝟐
2𝜋𝒊𝑘𝑛 𝑁
= 3𝑒 −
2𝜋𝒊(0∗0) 3
= 3𝑒 0 = 𝟑
2𝜋𝒊𝑘𝑛 𝑁
= 4𝑒 −
2𝜋𝒊(0∗1) 3
= 4𝑒 0 = 𝟒
𝑛=0 2
𝒙(𝟎) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒 − 𝑛=0 2
𝒙(𝟎) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒 − 𝑛=0
Por lo tanto, el primer término corresponde a: 𝒙(𝟎) = 2 + 3 + 4 = 𝟗 𝒙(𝟎) = 𝟗 + 𝟎𝒊
Cuando K=1 2
𝒙(𝟏) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒 −
2𝜋𝒊𝑘𝑛 𝑁
= 2𝑒 −
2𝜋𝒊(0∗1) 3
= 2𝑒 0 = 𝟐
2𝜋𝒊𝑘𝑛 𝑁
= 3𝑒 −
2𝜋𝒊(0∗1) 3
= 3𝑒 0 = 𝟑
𝑛=0
2
𝒙(𝟏) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒 − 𝑛=0
2
2𝜋𝒊𝑘𝑛 𝑁
𝒙(𝟏) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒 −
= 4𝑒 −
2𝜋𝒊(1∗1) 3
= 4𝑒
−2𝜋 3
𝑛=0
Aplicamos Teorema de Euler, donde: 𝒆−(𝒊𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) − 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝒙) Por lo tanto, = 4𝑒
−2𝜋 3
2 2 1 = 4 [cos ( 𝜋) − 𝒊 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋)] = 4 (− − 0.86𝒊) 3 3 2 𝒙(𝟏) = −𝟐 − 𝟑. 𝟒𝟒𝒊
Por lo tanto, el segundo término corresponde a: 𝑥(1) = 2 + 3 + (−2 − 3.44𝒊) = 𝑥(1) = 5 + (−2 − 3.44𝒊) = (5 − 2 − 3.44𝒊) 𝒙(𝟏) = 𝟑 − 3.44𝒊
Cuando K=2 2
𝒙(𝟐) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒 −
2𝜋𝒊𝑘𝑛 𝑁
= 2𝑒 −
2𝜋𝒊(0∗2) 3
= 2𝑒 0 = 𝟐
2𝜋𝒊𝑘𝑛 𝑁
= 3𝑒 −
2𝜋𝒊(0∗2) 3
= 3𝑒 0 = 𝟑
𝑛=0 2
𝒙(𝟐) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒 − 𝑛=0 2
2𝜋𝒊𝑘𝑛 𝑁
𝒙(𝟐) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒 −
= 4𝑒 −
2𝜋𝒊(2∗1) 3
= 4𝑒
−4𝜋 3
𝑛=0
Aplicamos Teorema de Euler, donde: 𝒆−(𝒋𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) − 𝒋𝒔𝒆𝒏(𝒙) Por lo tanto, = 4𝑒
−4𝜋 3
4 4 1 = 4 [cos ( 𝜋) − 𝒊 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋)] = 4 (− + 0.86𝒊) 3 3 2 𝒙(𝟐) = −𝟐 + 𝟑. 𝟒𝟒 𝒊
Por lo tanto, el tercer término corresponde a: 𝑥(2) = 2 + 3 + (−2 + 3.44𝒊) 𝑥(2) = 5 + (−2 + 3.44𝒊) 𝑥(2) = (5 − 2 + 3.44𝒊) 𝒙(𝟐) = (3 + 3.44𝒊)
Se obtiene entonces el siguiente resultado: 𝑿 = [𝟗 + 𝟎𝒊
3 − 3.44𝒊
3 + 3.44𝒊]
Comprobamos el resultado en octave on line: Scrip: x = [2 3 4]; % señal original que queremos emitir N = length (x); % número de muestras X = zeros (3,1) % valor en X o tamaño de la matriz
for k = 0 for n = 0 X (k + 1) end % Fin end % Fin
: N – 1 % Valor en “k” por “n” por la suma de exponenciales : N -1 = X (k + 1) + x (n + 1) * exp ((- j * 2 * pi * n * k) / N) %Suma de proceso de suma de proceso de la Transformada
t = 0 : N – 1 % intervalo de tiempo desde cero hasta N-1 subplot (311) % Grafica uno stem (t, x); % graficar el valores de t en funcion de x xlabel ( 'tiempo (s) '); % Titulo para el eje “x” ylabel ( 'Amplitud' ); % Titulo para el eje “y” title( 'Dominio de tiempo - secuencia de entrada' ) % Titulo del grafico uno
subplot (312) % Grafica dos stem (t, X); % graficar el valores de t en funcion de x xlabel ( 'Frecuencia'); % Titulo para el eje “x” ylabel ( '| X (k) |' ); % Titulo para el eje “y” title( 'Dominio de Frecuencia - secuencia de Magnitud' ) % Titulo del grafico dos
subplot (313) % Grafica tres stem (t, x); % graficar el valores de t en funcion de x xlabel ('Frecuencia'); % Titulo para el eje “x” ylabel ( 'fase' ); % Titulo para el eje “y” title( 'Dominio de Frecuencia - secuencia de Fase' ) % Titulo del grafico tres
X% para comprobar | X (k) | % comprobar angle x% para comprobar la fase % comprobar la fase
Link del video: https://www.youtube.com/watch?v=cxjI7Kp6eZo
Referencias Bibliográficas Sitios web:
Jembjo yun, Publicado el 27 feb. 2017. Convolucion En Matlab, (Video). Consultado el 18 de septiembre de 2017 del sitio web. https://www.youtube.com/watch?v=ABRNU2DyMyo Andrés Felipe Escallón Portilla. 27 mar. 2017. Convolución de Señales Discretas Finitas. (Video). Consultado el 20 de septiembre de 2017 del sitio web https://www.youtube.com/watch?v=4dShGBHDM3Y www.matpic.com. Publicado el 6 nov. 2015. 6. Convolución discreta. (Video). Consultado el 22 de septiembre de 2017 del sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=MWOfQwM7Pvk Damián Pedraza, Publicado el 2 jun. 2016. #34 - Integral de Convolución: Parte 1 de 2. (Video). Consultado el 22 de septiembre de 2017 del sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=bDvDX70VwEE Damián Pedraza, Publicado el 2 jun. 2016. #34 - Integral de Convolución: Parte 2 de 2. (Video). Consultado el 22 de septiembre de 2017 del sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=QwiiOlPuCh8
Recurso web: http://octave-online.net/
