1. Turunkan dengan seksama seksama dari dari mana persamaan pelat
∂ 4w ∂ 4w ∂ 4w q + + = ∂ x 4 ∂ x 2∂ y 2 ∂ y 4 D Penyelesaian: δ Mx + − Qx = 0 ∑ x = 0 ⇒ δ Myx δ y δ x
δ My − − Qy = 0 ∑ y = 0 ⇒ δ Mxy δ x δ y
( 2)
δ + Qy + q = 0 ∑ z = 0 ⇒ δ δ Qx δ y x
(3)
Qx =
δ Myx δ y
Qy = −
+
δ Mxy δ x
δ Mx
( 4)
(5)
δ x
+
δ My δ x
(1)
Dimana:
( 6) 2 δ w Mxy = Myx = D (1 − υ ) δ xδ y δ 2 w δ 2 w Mx = − D 2 + υ 2 δ y δ x δ 2 w δ 2 w My = − D 2 + υ 2 δ x δ y
Persamaan (4) dan (5) disubsitusikan ke persamaan (3): δ Qx δ x
+ δ
Qy
δ y
+q =0
δ Myx δ Mx − δ Mxy δ My + δ δ x + δ y y x δ δ + + q = 0
δ
δ x
δ y
2
δ Myx δ xδ y
+
2
δ Mx δ x
2
−
2
δ Mxy δ xδ y
+
2
δ My δ y
2
= −q
Myx = − Mxy 2
δ Mx δ x
−2
2
2
δ Mxy δ xδ y
+
2
δ My δ y
2
= −q
(7)
Persamaan (6) disubsitusikan ke persamaan (7): δ
2
2 δ 2 w δ 2 w 2 δ 2 w δ 2 w δ w 2 − D 2 + υ 2 δ − D δ y 2 + υ δ x 2 2δ D(1 − υ ) δ xδ y x y δ δ − + = −q 2 2
δ x
δ
2
⇔
δ x
δ xδ y
2 δ 2 w δ 2 w 2 δ 2 w δ 2 w δ w 2 − D 2 + υ 2 − + D δ υ δ − υ 2 D (1 ) 2 2 δ y δ x δ xδ y δ x + δ y − = −q 2 2
δ x
δ x
δ xδ y
2 2 2 2 2 δ w 2 δ w δ w 2 − Dδ 2 δ w2 + υ δ w2 − + Dδ δ y 2 υ δ x 2 (− D)2δ (1 − υ ) δ xδ y x y δ δ + + ⇔ = −q 2 2
δ x
δ
2
⇔
⇔
⇔
δ x
δ xδ y
2 δ 2 w δ 2 w 2 δ 2 w δ 2 w δ w 2 2 + υ 2 δ + υ 2δ (1 − υ ) 2 2 δ y δ x δ xδ y δ x + δ y + = 2 2
δ x
4
δ w δ x
4
4
δ w δ x
4
+ υ
+
δ x
4
δ w 2
δ x δ y
4
δ w δ y
4
+ 2
+ 2υ
4
δ w δ y
4
4
δ w 2
δ y δ x
Maka diperolela :
+ υ
+ 2
4
δ w 2
δ y δ x
(2 − 2υ )
+ 2
2δ 4 w 2
δ y δ x
δ xδ y
− 2
4
δ w δ xδ y
δ xδ y
2υδ 4 w 2
δ y δ x
2
=
q D
=
q D
q D
4
δ w δ x
4
+
2δ 4 w 2
δ y δ x
+ 2
4
δ w δ y
4
=
q D
!. Pelat" tebal 1! #m" $# % 3& Mpa" beban idup !5& kg'm!. itung dan gambarkan M(ma)" M*(ma) dengan +ma" dengan teori irs#,eld" -aier" M. /e*" 0tiglat'+ipper dan Pieper'Martins. erikan masukan dan kesimpulan. 2ika diketaui /* % 4 m" / % 5 m dan kondisi perletakan sederana.
/
Penyelesaian: a. Teori irs#,eld ε
=
k =
Ly Lx ε
4
= = 0.8 5
4
1 + ε 4
=
0.84 1 + 0 .8 4
= 0,291
eban mati (+D) erat sendiri pelat % &"1! !4 % !" k-'m! eban idup (+/) +/ % !5& g'm! % !"5& k-'m! eban Total (+) + % +D +/ % !" !"5& % 5"3 k-'m! I =
1 12
bh 3
=
1 12
(1000)(120) 3
E = 4700 fc ' = 4700 30
= 144 x 106 mm 4
= 25742,96 MPa
ra 8
= (1 – K)p = (1 – 0,291) 538 = 381,442 kg/m
Py
=
M y
1 8
Py Ly 2
=
1 8
381,442 x ( 4) 2 = 762,884 kgm
ra 9 Px
= K x p = 0,291 x 538 = 156,558 kg/m
M x
=
1 8
Px Lx 2
=
1 8
156,558 x (5) 2
= 489,244 kgm
ambar Momen:
76!"4 kgm
/endutan δ
5 WuL 4
=
384 EI
=
5
538 ( 4) 4
384 (23500 x 105 )1,44 x 10 − 4
= 0,005299 m = 5,299 mm
δ
=
L 480
=
4000 480
= 8,33 mm
≤ = 5,299 mm ≤ 8,33 mm
δ δ
O.K !!
b. Metode -aier #. ;lastis eton d. E = 6000 30 = 32863,35 N / mm e. ,. ekakuan Pelat D =
g.
Eh 3 12(1 − v 2 )
=
3,29 ×109 × (0,12)3 12(1 − 0,2 2 )
2
= 3,29 × 109 kg / m2
= 493.500 kgm
. i.
/endutan Maksim <. a*. ! bk. ! b>. ! #i. ! #u. ! dg. ! ds. !
k. *
a?. ! bl. ! b. ! #<. ! #. ! d. ! dt. !
l. m
m. n
ba. 1
bb. 1
bm. 3
bn. 3
b*. 5
b?. 5
#k. 7
#l. 7
#>. @
#. @
di. 1 du. 1
n. a
o.
b#. 5
bd. 4
p.
r.
=.
s.
be. &
b,. &
b=. &
br. &
t. m
bg. 1 bs. @
u.
>.
.
.
b. &
bi. &
b<. @5"1144&
bt. &
bu. &
b. &"13&564
#g. 1
#. &"&&6&@!
*. ?.
#d. 1
#e. !
#o. 1
#p. 3
#=. 4
#r. 1
#s. 1
#t. &"&&&&@
da. 3
db. 5
d#.
dd. 1
de. !
d,. &"&&&17@
d<. 1
dm. 4
dn. 7
do. 1
dp. !
d=. !
dr. &"&&&&54
d. 1
d*. 6
d?. 1
ea. 1
eb. !
e#. 3
##. 1
#,. 1
ed.&"&&&&!&
ee. ! e=. ! ,#. !
e,. ! er. ! ,d. !
,o. !
,p. !
ga. ! gm. !
gb. ! gn. !
eg. 1
e. 1
el. 1
em. !
eo. 3
ep.&"&&&&&
es. 1
et. 1
e>. 1
e. 1
e*. !
e?. 3
,a. 4
,b. &"&&&&&4
,e. 1
A. 1
B. 1
,<. !
,k. 3
C. 3
,m. 4
,n. &"&&&&&!
,=. !
,r. !
,u. 1
,. !
,>. 4
,. 4
,*. 5
,?. &"&&&&&1
g#. !
gd. !
gg. !
g. 3
gi. 5
g<. 4
gk. 5
gl. &"&&&&&1
go. !
gp. !
gs. !
gt. 3
gu. 6
g>. 6
g.&"&&&&&&
a. !
b. !
e. !
,. 4
g. 7
ek. @
en. 3
g. 5
i. g*. !
g?. !
. 5
<. 6
k.&"&&&&&&
m. l.
p. =. r.
Wmaks =
s. t.
16q0
sin
mπ x
6
π D
a
. sin
b 2
m n 2 + 2 a b 2
m.n.
nπ y 2
= 1,737 mm
@5"31@1 74
u. . >.
Momen Maimum .
*. *
?. m
ia. n
ib. a
<#. 1
<*. !
id.
i,.
ie.
ig.
<,. 4
<. &
i#. b
ka. 5
kb. 5
ke. 1
k,. 1
i.
+ m n
ii.
ik.
i<.
il.
<<. &
im. in.
jl. 0,000091040
<. &
k. 1
<>. &
ki. 1
jx. 0,000001124 kj. 0,000000146
km. 7 kk. !
li. ! lu. !
k=. 1
kr. 3
kl. !
k*. @ k>. !
kn. 7
k?. @
l#. 3
ld. 5
k. !
l<. ! l. !
lk. 1
ll. 1
lo. 4
lp. 7
l>. 1
l. 1
ma. 6
mb. 1
; & 7 ks. 1 " 4 7 3 @ 6 ; & le. 3 " ! 6 3 & 1 ; & @ l=. @ " 7 5 3 ; 1 & m#. 3"5 @
kt. 1
ku. 1
kv.0,000000038
l,. 1
lg. !
lh. 0,000000014
lr. !
ls. !
md. !
me. 3
lt. 0,000000006 mf. 0,000000003
mi. 1 mg. !
ne. ! n=. !
mm. @
mn. 1
m. !
mu. 1
ms. !
m<. 1
m. 1
m*. 1
m?. 1
mt. !
n,. ! nr. !
ng. 1
n. 1
nk. 1
nl. !
ns. !
nt. !
n>. 1
n. !
! 6 4 ; 1 & mo. 1"5 ! ! 3 @ ; 1 & na.7 " 1 4 ! 3 ; 1 1 nm. 3"6 5 @ 7 ; 1 1 n*. ! "
mp. 3
nb. 3
m=. 3
mr.
0,000000002
nd.
0,000000001
np. ob.
0,000000001 0,000000000
n#. 4
nn. 3
no. 4
n?. 4
oa. 5
oe. ! o#. !
pa. !
oi. !
o<. 3
od. !
o=. ! oo. !
o,. !
or. !
ou. !
o. 3
op. !
pb. !
p#. !
pd. !
pg. !
p. 4
& ! 1 @ ; 1 1 ok.1 " 1 7 1 4 ; 1 1 o>. 7"1 & ! 6 ; 1 ! pi. 4 " 4 7 6 & 1 ; 1 !
ol. 4
o. 5
p<. 5
om. 5
on.
0,000000000
oz.
0,000000000
o*. 6
pk. 6
pl. 0,000000000
pm.
pn.&"&&&&@!376
p=. pr.
Momen ra 9 Mx = π 2 D[( m / a) 2
ps. pt.
+ υ (n / b)2 ]. amn sin (mπ x / a ).sin (nπ y / b)
Mx = 448,973 Kgm
pu. p.
p>. *
p. m
p*. n
p?. a r#. 5
=*. !"
rk. !"
=?. !
ra. 1
rb. 1
rl. !
rm. 3
rn. 3
=a. b
=b.
=d.
=#.
=e.
rd. 4
re. &
r,. &
r=. &
rr. &
=,.
+ m n
rg. & " & & 1 7 3 4 & @ 7 rs. ! " 3 7 7 3 ; & 6
=g.
=i.
=.
=<.
r. &
ri. &
rt. &
ru. &
=k. =l.
rj. 0,000122254
rv. 0,000001509
r>. !"
si. !"
su. !"
tg. !"
r. !
r*. 5
r?. 5
s<. !
sk. 7
sl. 7
s. !
s>. @
s. @
t. !
ti. 1
t<. 1
s#. 1
sd. 1
so. 1
sp. 3
ta. 3
tb. 5
tm. 4
tn. 7
se.1 " 1 & @ ! ; & 7 s=.1 " 4 7 3 @ 6 ; & t#. 3 " ! 6 3 & 1 ; & @ to. @ " 7 5 3
s,. 1
sg. 1
sr. 1
ss. 1
td. 1
te. !
tp. !
t=. !
sh.
0,000000196
st. 0,000000051
tf. 0,000000019
tr. 0,000000008
ts. !"
ue. !"
u=. !"
#. !"
tt. !
u,. !
ur. !
d. !
tu. 1
t. 1
t*. 6
ug. 1
u. 1
us. 1
ut. 1
u>. 1
u. 1
e. 1
,. 1
i. 1
<. !
uk. @
t?. 1
ul. 1
; 1 & ua.3 " 5 @ ! 6 4 ; 1 & um. 1"5 ! ! 3 @ ; 1 & u*. 7 " 1 4 ! 3 ; 1 1 k.3 " 6
ub. !
u#. 3
ud.
0,000000004
uo. 3
up.
0,000000002
u?. 3
a. 4
vb.
0,000000002
l. 3
m. 4
vn.
0,000000001
un. 3
o. !"
>a. !"
>m. !"
>*. !"
p. !
>b. !
>n. !
>?. !
=. !
r. !
u. 1
. !
>#. !
>d. !
>g. !
>. 3
>o. !
>p. !
>s. !
>t. 3
a. !
b. !
e. !
,. 4
5 @ 7 ; 1 1 >. !"& ! 1 @ ; 1 1 >i. 1 " 1 7 1 4 ; 1 1 >u. 7"1 & ! 6 ; 1 ! g.4 " 4
. 4
*. 5
><. 4
>k. 5
wl.
>>. 6
wx. 0,000000000
>. 5
. 5
i. 6
vz.0,000000001
0,000000001
xj. 0,000000000
7 6 & 1 ; 1 ! k.
l. &"&&&1!4&4
o.
Momen ra 8 My = π 2 D[ (n / b) 2 + υ (m / n) 2 ]. amn sin (mπ x / a). sin (nπ y / b)
p.
My = 602,9092kgm
=. r. s. t. u.
ambar Momen: . >. . *. ?. *a. *b.
*#. /* %4m *d.
M*% 6&!"@&@! kgm
/ % 5 m
*e. *,. *g.
*. Metode M. /e* *i.;lastis eton *<. E = 6000 30 *k. D =
*l.
Eh 3 12(1 − v 2 )
= 32863,35 N / mm 2 = 3,29 ×109 kg / m 2 =
3,29 ×109 × (0,12) 3 12(1 − 0,2 2 )
= 493.500 kgm ekakuan Pelat
*m. *n. *o.
Wmaks =
5qa
4
384 D
−
4qa ( −1)
m −1
4
5
π D
m
2
.
5
α m.tghα m
+2
2 cs α m
⇒ m =1
/endutan
Maimum *p. *=. 1−1
Wmaks =
5(538)(5)
4
384( 493500 )
−
4(538)5 5
4
π 493500
( −1) 15
2
.
1,256.tgh1,256 + 2 2 cs 1,256
⇒ α m = Wmaks = 8,872 × 10 − 3
*r.
− 7,215 × 10− 3 = 1,65 × 10− 3 m = 1,65 mm
*s. *t. *u. *. *>. *.
Momen Maimum Mx =
**.
qx (a − x ) 2
− qa 2π 2
∑ m [ 2υ Bm − (1 −υ ) Am] sin maπ x 2
m =1, 3, 5
*?. Am =
?a. ?b.
2(α m "#n! α m + 2 $ 5
5
π m cs! α m
=
2(1,256 "#n! 1,256 + 2) 3,14515 cs! 1,256
= 0,0106
mπ ( 4) 2×5
= 1,256
Bm
?#.
=
2 5
5
π m cs! α m
=
2 3,14 515 cs! 1,256
= 0,00345
?d. ?e.
ra 9 ?,.
Mx =
(538)(2,5)(5 − 2,5)
− 538(5) 2 3,14 2 (12 )[ 2(0,2)0,00345 − (1 − 0,2)0,0106 ] sin
1π 2,5
2 Mx = 1681,25 + 2164,9 = 3846,15 kgm
5
?g. ?. ?i.
ra 8 My = υ
qx( a − x)
?<. My = 0,2
?k.
2
− qa 2π 2
(538) 2( 4 − 2)
∑ m [ 2 Bm + (1 −υ ) Am] sin maπ x 2
m =1, 3, 5
− (538)(4) 2 3,14 2 (12 )[ 2(0,00345) + (1 − 0,2)0,0106] sin!
2 My = 215,2 − 3001,3 = −2786,1 kgm
?l. ?m. ?n. ?o. ?p.
ambar Momen:
1π 2 4
?=.
!76"1kgm
?r. ?s. ?t. Metode 0tiglat' +ipper ?u. Momen Maimum ?.
υ
= 0,2
x
?>. ?. ?*. ??.
y
5
= = 1,25 4
erdasarkan tabel ! ab EF il,sta,eln" diperole:
= 22,35 in"%&p'#s i α yf = 37,55 α xf
aaa. aab. aa#. Momen Maimum ra 9
1 + 0,2 = 538,74 kgm 22,35 37,55
m#x Mx = 538(5).(4)
aad. aae. aa,.
Momen Maimum ra 8
0,2 1 + = 382,84 kgm 37 , 55 22 , 35
m#x My = 538(5).(4)
aag. aa. aai. aa<. aak. ambar Momen: aal. aam.
M % 53"74 kgm
aan. /endutan aao.
K =
Eh
3
12 ( 1− μ
2
)
=
25742,96 ( 0,12 2
12 ( 1 −0,2
)
3
)
=3,86144 Mpa= 386144 Kgm
aap. 538 ( 2
4
aa=.
W =
P a ( 5 + μ ) 64 K (1+ μ )
2
=
) (5 + 0,2 )
64 ( 386144 ) ( 1+ 0,2)
=1,509 x 10−3 m
aar. aas. aat. Metode Pieper' Martins aau. erdasarkan tabel 3 ab EF il,sta,eln" diperole:
= 17,95 in"%&p#s i f y = 30 f x
aa.
aa>. aa.
Momen maimum ara 9 M xf =
q. L x
2
=
f x
538 . (5) 2 17,95
= 749,303 Kgm
aa*. aa?. aba. Momen maimum ara 8 M yf =
abb.
q. Lx 2 f y
=
538. (5) 2 30
= 448,33 Kgm
ab#. abd. abe.
ambar momen: ab,. abg.
44"33 kgm
ab. abi.
/endutan ab<.
K =
Eh
3
12 ( 1− μ
2
)
=
25742,96 ( 0,12 2
12 ( 1 −0,2
)
3
)
=3,86144 Mpa= 386144 Kgm
abk. 538 ( 2
4
abl.
W =
P a ( 5 + μ ) 64 K (1+ μ )
2
=
64 ( 386144 ) ( 1+ 0,2)
abm. abn. abo. abp.
Tabel kumulasi
) (5 + 0,2 )
=1,509 x 10−3 m
abr. ab=. Met ode
Momen
Maksimum ab. M ab*.
abs. /en M*
dutan abt. (m
abu.
´= W
L 480
( mm)
ab. ete rangan
(gm) a#d.
(gm) a#e.
m) a#,.
a#g. "333
a#.
s#,eld a#i. -a
a#<.
a#k.
a#l.
a#m. "333
a#n.
ier a#o. M.
a#p.
a#=.
a#r.
a#s.
"333
a#t.
a##.
ir
/e* a#u. 0tig a#.
3!"
a#>. 53
a#. 1"5
a#*.
"333
a#?.
lat ada. Pie
4 adb. 44"
"74 ad#. 74@
&@ add. 1"5
ade. "333
ad,.
per
33
"3&
&@ adg. ad.
adi. esimpulan 1) Momen terbesar diasilkan ole peritungan dengan menggunakan metode irs#,eld dibandingkan dengan metode *ang lainn*a. !) Dengan menggunakan metode irs#,eld" konstruksi lebi aman dalam peren#anaan" momen M dan M* lebi besar dibandingkan dengan metode lainn*a. 0edangkan lendutan dari peritungan dengan menggunakan metode irs#,eld relati, lebi ke#il dari peritungan metode lainn*a. 3) Dengan menggunakan momen *ang besar dari asil peritungan metode irs#,eld maka konstruksi tidak akan ekonomis karena
adn. ado.
=
Ly Lx
4
= = 0.8 5
adp. ad=. adr. ads. adt. adu. ad. ad>. ad. ad*. ad?. aea. aeb.
k =
ε
4
1 + ε 4
=
0.84 1 + 0.8 4
= 0,291
eban mati (+D) erat sendiri pelat % &"1! !4 % !" k-'m! eban idup (+/) +/ % !5& g'm! % !"5& k-'m! eban Total (+) + % +D +/ % !" !"5& % 5"3 k-'m! I =
1 12
bh 3
=
1 12
E = 4700 fc '
ae#. aed. aee. ra 8
(1000 )(120) 3
= 4700
25
= 144 x 106 mm4
= 23.500 MPa
Py = (1 – K)p
= (1 – 0,291) 538 = 381,442 kg/m
ae,. aeg. ae.
M !"#$t =
1
=
1
Py Ly 2
=
Py Ly 2
12 12 = 508,589 kgm
aei. ae<. aek.
M a#angan =
1
381,442 x ( 4) 2
1
24 24 = 254,295 kgm
381,442 x ( 4) 2
ael. aem. ra 9 aen. P % p % &"!@1 53 % 156"55 kg'm M !"#$t =
1
Px Lx 2
=
1
12 12 = 326,162 kgm
aeo. aep. ae=.
156,558 x (5) 2
aer. M a#angan =
aes.
1
Px Lx
2
=
1
24 24 = 163,081 kgm
156,558 x (5)
2
aet. aeu. ae. ae>. ae. ae*. ae?. a,a. a,b. a,#. a,d. a,e.
ambar momen: aA.
M* % 5&"5@kgm
a,g. a,.
M % 3!6"16! kgm
aB. a,<.
/endutan
=
δ
=
1 WuL 4 384 EI 538 ( 4) 4
1
384 ( 23.500 x 105 )1,44 x 10 − 4
= 0,00106 m =1,06 mm
a,k. aC. a,m. a,n. a,o.
=
δ
a,p. a,=. a,r.
L 480
=
4000 480
= 8,33 mm
a,s. δ ≤ δ =1,06 mm ≤ 8,33 mm a,t. a,u. b. Metode 0tiglat' +ipper a,. Momen Maimum a,>.
υ
= 0,2
x
a,. a,*. a,?. aga.
O.K !!
y
5
= = 1,25 4
erdasarkan tabel ! ab EF il,sta,eln" diperole:
= 46,3 in"%&p'#s i α yf = 87,3 α xf
agb. ag#. agd. Momen /apangan ra 9
1 + 0,2 = 257,05 kgm 46,3 87,3
m#x a#angan Mx = 538(5).( 4)
age. ag,. agg.
0,2 1 + = 169,73 kgm 87 , 3 46 , 3 Momen
m#x a#angan My = 538(5).(4)
/apangan ra 8 ag. agi. ag<. agk. erdasarkan tabel ! ab EF il,sta,eln" diperole:
= −18,7 in"%&p'#s i α ys = −22, 2 α xs
agl. agm. agn.
1 + 0,2 = −154,48 kgm − − 18 , 7 22 , 2 Momen
m#x tum#uan Mx = 538(5).( 4)
Tumpuan ra 9 ago. agp. ag=.
Momen Tumpuan ra 8
1 + 0,2 = − 599,76 kgm − − 22 , 2 18 , 7
m#x tum#uan My = 538(5).(4)
agr. ags. agt. agu. ag. ag>. #. Metode Pieper' Martins ag. erdasarkan tabel 3 ab EF il,sta,eln" diperole:
= 24,2 in"%&p#s i f y = 41,95 f x
ag*.
ag?. aa.
M xf =
q. L x
2
=
f x
538 . (5) 2 24,2
= 555,785 Kgm Momen /apangan ara 9
ab. a#. ad. M yf =
a.
q. L x f y
2
=
538 . (5) 2 41,95
= 320,62 Kgm Momen /apangan ara 8
ae. a,. ag. erdasarkan tabel 3 ab EF il,sta,eln" diperole:
= 15 in"%&p#s i % y = 17,75 % x
ai.
a<. ak.
M xs
=−
q. L x
2
=−
s x
538 . (5) 2 15
= −896,667 Kgm Momen maimum ara 9
al. am. M ys
=−
q. L x s y
2
=−
538 . (5) 2 17,75
= −757,75 Kgm Momen maimum ara 8 an. ao.
ap.
