II.
2.0
PELUANG BERSYARAT BERSYARAT DAN BEBAS STOKASTIK
Pendahuluan D
alam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai bahwa suatu kejadian tidak tunggal, tetapi mungk mungkin in diju dijump mpai ai beber beberapa apa kejad kejadia ian n yang yang satu satu dengan dengan yang yang lain lain mungk mungkin in sali saling ng mempengaruhi atau yang satu dengan yang lain saling bebas. Demikian juga ada kejadian yang terjadinya terjadi setelah kejadian lain terjadinya diketahui. Pada bab ini akan dibahas tentang peluang bersyarat, teorema Bayes, distribusi marginal, distribusi bersyarat, bebas stokastik, kovarians, dan korelasi. k orelasi.
2.1
Peluang Bersara!
Misalkan A dan B kejadian yang terjadinya bersama-sama dengan kejadian B diketahui terjadinya terlebih dahulu. Peluang terjadinya A jika diketahui B terjadi dahulu disebut peluang bersyarat, yang dinotasikan P ( A B !. De"#n#s# 2.1
"ika A dan B dua kejadian yang terjadi bersama-sama maka peluang terjadinya A dengan syarat B yaitu
P(A ∩ B! P(B!
.
Dari pengertian kejadian yang saling bebas berarti jika A dan B dua kejadian yang saling bebas maka P ( A B ! # P ( A ! maka dengan menggunakan de$inisi %.& didapat hubungan P ( A ∩ B ! # P ( A ! . P ( B !
Te$re%a Baes
&'
"ika &, )))))., m kejadian yang saling lepas dan adalah kejadian yang merupakan subset dari union &, )))))., m maka P ( i ! P ( i ! &. P ( ! # ∑ , i # &, %, )))., m i
%. P ( i ! #
2.2
P ( i ! P ( i ! P(!
D#s!r#&us# 'arg#nal dan Bersara!
Misalkan $ ( *,y ! merupakan $kp bersama dari peubah a+ak dan maka $kp marginal dari adalah $ ( *, y ! $(*!# ∑ y
, untuk kasus diskret
$ ( *, y ! dy # y∫ , untuk kasus kontinu
edangkan $kp bersyarat dari jika # y diketahui adalah $ ( *y ! #
$ ( *, y ! $(y!
Ada kalanya diinginkan untuk mengetahui nilai jika # * diketahui. /al ini dapat ditentukan dengan menghitung nilai mean bersyarat yaitu 0 ( * ! yang y $ (y * ! dide$inisikan 0 ( * ! # ∑ y
, untuk kasus diskret
y $ ( y * ! dy # y∫ , untuk kasus kontinu
dan varians bersyarat var ( * ! # 0 1 2 - 0 ( * ! 3 % * 4
2.(
K$e"#s#en K$relas#
Banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari bahwa peubah a+ak yang satu dengan yang lain mungkin saling mempengaruhi atau tidak. Misalkan peubah a+ak dan masing-masing mempunyai mean µ& dan µ% serta varians σ&% dan σ%%, maka ( ! - µ&µ% disebut kovarians dari dan , yang dinotasikan dengan
0 +ov
( , ! , sedangkan koe$isien korelasi dari dan dinotasikan ρ yang dide$inisikan
ρ #
+ov ( , - ! σ &σ %
&5
Te$re%a 2.1
6ilai koe$isien korelasi dari peubah a+ak dan adalah - & ≤ ρ ≤ &.
7ntuk dua peubah a+ak dan yang mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! dapat ditentukan $ungsi pembangkit momennya yang dide$inisikan 0 ( et* 8 sy ! dengan
-
h 9 t 9 h dan - k 9 s 9 k, untuk h kan k bilangan bulat positi$.
2.)
Be&as S!$*as!#*
Misalkan dan dua peubah a+ak yang mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! dan $kp marginal masing - masing $ ( * ! dan $ ( y !. Dari de$inisi distribusi bersama
$
( * , y ! # $ ( *y! $ ( y ! dan misalkan $ ( * y ! tidak tergantung dari y maka didapat $(*,y!#$(*!$(y!
De"#n#s# 2.2
Misalkan dan dua peubah a+ak yang mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! dan $kp marginal dari adalah $ ( * ! dan marginal dari adalah $ ( y !. Peubah a+ak dan dikatakan saling bebas stokastik jika $ ( * , y ! # $ ( * !. $ ( y !
Te$re%a 2.2
"ika dan peubah a+ak yang bebas stokastik dengan $kp marginal $ ( * ! dan
$
( y ! maka P ( a 9 9 b , + 9 9 d ! # P ( a 9 9 b ! P ( + 9 9 d ! untuk setiap a 9 b dan + 9 d, dengan a, b, +, dan d konstanta.
Te$re%a 2.(
Misalkan peubah a+ak dan mempunyai $kp bersama $ ( * , y !. Maka dan bebas stokastik jika dan hanya jika
$ ( * , y ! dapat dinyatakan sebagai hasil
pergandaan $ungsi non negati$ dari * dan $ungsi non negati$ y, yaitu (*,y!#g(*!.h(y!
&:
$
S$al + s$al la!#han ,
&. "ika P ( & ! ; < dan jika % , =, )..
saling lepas maka buktikan
P (% ∪ = ∪ )).. & ! # P ( % & ! 8 P ( = & ! 8 )))) %. Misalkan dan mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! # * 8 y , < 9 * 9 & dan
<
9 y 9 & , dan nol untuk yang lain. >entukan mean dan varians bersyarat dari jika diberikan # * , < 9 * 9 &. =. Misalkan $ ( * y ! # +* y % , < , * 9 y , < 9 y 9 & , dan nol utnuk yang lain , dan $ ( y ! # d y ? , < 9 y 9 & ,dan nol untuk yang lain masing -masing merupakan $kp bersyarat dan $kp marginal. >entukan a. konstanta + dan d b. $kp bersama antara dan +. P ( @ 9 9 # : ! d. P ( @ 9 9 ! ?. Misalkan $ ( * , y ! # %& ( * y ! % , < 9 * 9 y 9 & , dan nol untuk yang lain merupakan $kp bersama antara dan . >entukan mean dan varians bersyarat dari jika # y , < 9 y 9 &. . "ika dan adalah peubah a+ak tipe diskret yang mempunyai $kp bersama
$
( * , y ! # ( * 8 % y ! &: , ( * , y ! # ( & , & ! , ( & , % ! , ( %, &! , ( % , % ! , dan nol untuk yang lain. >entukan mean dan varians bersyarat dari jika diberikan # * untuk * # & atau %. '. Misalkan dan mempunyai $kp bersama a. $ ( * , y ! # &= , ( * , y ! # ( < , < ! , ( & , & ! , ( % , % ! , dan nol untuk yang lain b. $ ( * , y ! # &= , ( * , y ! # ( < , % ! , ( & , & ! , ( % , < ! , dan nol untuk yang lain +. $ ( * , y ! # &= , ( * , y ! # ( <, < ! , ( & , & ! , ( % , < ! , dan nol untuk yang lain >entukan koe$isisen korelasi dari peubah a+ak dan 5. Misalkan $ ( * , y ! # % , < 9 * 9 y , < 9 y 9 & , dan nol untuk yang lain merupakan $kp bersama dari dan . Buktikan 0 ( * ! # ( & 8 * ! % , < 9 * 9 & dan 0 ( y ! # y % , < 9 y 9 & , dan koe$isien korelasi antara dan adalah .
&C
:. Misalkan dan mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! # & , -& 9 y 9 * , < 9 * 9 & dan nol untuk yang lain. Buktikan 0 ( * ! merupakan garis lurus dan 0 ( y ! bukan merupakan garis lurus. C. Buktikan peubah a+ak dan yang mempunyai $kp bersama
$
( * , y ! # &% *y ( & - y ! , < 9 * 9 & , < 9 y 9 &, dan nol untuk yang lain merupakan independen stokastik. &<.
"ika peubah a+ak dan mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! # % e - * - y , < 9 * 9 y , y ; < , dan nol untuk yang lain. Buktikan dan independen stkastik.
&&. Misalkan $ ( * , y ! # &&' , * # &, %, =, ? dan y # &, %, =, ? dan nol untuk yang lain. Buktikan dan independen stokastik. &%.
>entukan P ( < 9 9 &= , < 9 9 &= ! jika peubah a+ak dan mempunyai $kp bersama $ ( * , y ! # ? * ( & - y ! , < 9 * 9 & , < 9 y 9 & dan nol untuk yang lain.
%<
