APLIKASI MATEMATIK MTE3114
Pemodelan Matematik Model matematik :
Satu set persamaan yang menggambarkan dan mengintepretasikan sistem nyata (real system).
Pemode Pemodelan lan matema matematik tik merupa merupakan kan proses proses dalam dalam mempe memperol roleh eh pemah pemahama aman n matema matematik tik melalui konteks dunia nyata. Menurut Lovitt (1991) pemodelan matematik dibahagi kepada dua ciri utama, iaitu pemodelan bermula dan berakhir dengan dunia nyata, dan pemodelan membentuk suatu kitaran.
Model matematik umumnya digunakan untuk mendapatkan cara terbaik dalam mengatur (controlling) atau mengelola (management) sebuah sistem i!ikal. Persamaan" Persamaan"pers persamaan amaan dalam dalam model model matematik matematik menun#ukk menun#ukkan an rumusan rumusan pelbagai pelbagai aspek aspek persoalan, mengidentiikasikan hubungan ungsi diantara komponen dan elemen dalam sistem, menetapkan ukuran eekti dan kekangan, serta menun#ukkan data yang diperlukan berkait dengan persoalan secara kuantitati. $ntuk itu model matematik yang dibuat harus relevan dengan sistem yang dimodelkan. %riter %riteria ia umum umum untuk untuk hal ini adalah adalah keluaran keluaran model model dan keluar keluaran an sistem sistem nyata nyata harus harus bertetapan.
1
APLIKASI MATEMATIK MTE3114
Model predicted
Actual system respond
system respond
Mathematical model
Real physical system
Non-modeled
Modeled input
input
Solution strategy (Optimization and Simulation)
Skema proses pemodelan dan sistem optimasi.
%aedah yang diperoleh dari penyelesaian model matematik dapat diaplikasikan pada sistem i!ikal yang sebenarnya. &alam menerapkan strategi penyelesaian masalah kita dapat menggunakan pendekatan optimasi, simulasi atau gabungan keduanya. 'asil akhir dari prosedur di atas adalah keputusan optimal berkait dengan pengendalian atau pengelolaan sebuah sistem.
2
APLIKASI MATEMATIK MTE3114
Penyelesaian Masalah - Pemodelan Matematik
yarikat estari ingin menentukan berapa banyak dari tiga produk yang berbe!a yang akan dihasilkan dengan sumber tenaga dan bahan yang minimum agar memperoleh keuntungan maksimum. %eperluan peker#a dan bahan mentah dan sumbangan keuntungan setiap produk adalah sebagai berikut :
%eperluan umber *enaga6 ahan Produk
%euntungan (M6unit)
Peker#a (#am6orang)
ahan (kg6unit)
/
7
5
+
8
7
0
5
+
*elah disediakan +- #am ker#a dan bahan mentah sebanyak -- %g. Masalahnya adalah menentukan #umlah setiap produk agar keuntungan mencapai tahap maksimum. umusan model adalah : A. aria!el "eputusan *iga variabel dalam masalah ini adalah produk /, dan 0 yang harus dihasilkan. umlah ini dapat di2akilkan sebagai : 31 4 #umlah produk / 3+ 4 #umlah produk 35 4 #umlah produk 0
3
APLIKASI MATEMATIK MTE3114
#. $ungsi tu%uan *u#uan masalah kombinasi produk adalah untuk memaksimumkan keuntungan keseluruhan. elas sekali baha2a keuntungan keseluruhan adalah #umlah keuntungan yang diperoleh dari setiap produk. %euntungan dari produk / adalah pendaraban antara #umlah produk / dengan keuntungan per unit (M 5,"). %euntungan produk dan 0 ditentukan dengan cara yang sama. ehingga keuntungan total , dapat ditulis : 4531 73+ +35 &. Sistem kekangan &alam masalah ini kekangan adalah #umlah peker#a dan bahan mentah yang terhad. etiap produk memerlukan peker#a mahupun bahan mentah. agi produk /, peker#a yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit adalah selama 7 #am, oleh itu peker#a bagi produk / memerlukan 7 3 1 #am. &engan cara yang sama produk memerlukan + 3+ #am peker#a, dan produk 0 memerlukan 3 5 #am, sementara #umlah #am peker#a yang tersedia adalah +- #am. ;ormula yang dapat ditulis : 731 +3+ 35 <+%ekangan bahan mentah dirumuskan dengan cara yang sama, iaitu untuk produk / memerlukan bahan mentah sebanyak kg per unit, produk memerlukan 8 kg per unit dan produk 0 memerlukan 5 kg per unit. ebanyak -- kg bahan mentah teah disediakan, maka dapat ditulis : 31 83+ 535 <- /ndaian baha2a setiap variabel hanya pada nilai positi, kerana tidak mungkin untuk menghasilkan #umlah produk negati. %ekangan ini dikenali sebagai non negativity constraints dan secara matematik dapat ditulis : 31 =-, 3+ =-,35 =- atau 31,3+,35 =&ari masalah diatas, ormula model matematik secara lengkap dapat ditulis :
4
APLIKASI MATEMATIK MTE3114
Maksimumkan 4 531 73+ +35 &engan syarat
731 +3+ 35 < +31 83+ 535 < -31,
3+,
35 = -
P'R#ANN*AN P'N+','SAAN 'N*AN R'A, Penggunaan model linear programing ini amat bertepatan dengan situasi sebenar sekiranya situasi yang berlaku menepati andaian"andaian yang dilakukan. ebagai contoh, model ini membuat andaian baha2a ungsi #umlah #am peker#a dan ungsi #umlah bahan adalah linear. /ndaian ini perlu dibuat supaya pembolehubah yang digunakan dapat memberikan gambaran yang lebih #elas terhadap sesuatu situasi tersebut. &alam realiti, kita tidak akan dapat meramal dengan tepat berkaitan dengan suatu perniagaan kerana terlalu banyak perkara yang diluar #angkaan mampu berlaku dan men#e#askan suatu perniagaan itu seperti bencana alam, kecurian, kebakaran dan sebagainya. usteru andaian ini dilakukan untuk membantu model ini menggambarkan situasi sebenar dengan lebih tepat. agi mencari keuntungan maksimum, kita perlu nyatakan ungsi #umlah kos bersamaan dengan ungsi #umlah keuntungan serta menyelesaikan persamaan untuk mencari nilai > di mana > ialah bilangan ob#ek yang perlu ada untuk me2u#udkan situasi keuntungan. &alam realiti, memang benar baha2a apabila #umlah perbelan#aan dan #umlah pendapatan adalah sama, maka kita tidak mengaut sebarang keuntungan.
5
APLIKASI MATEMATIK MTE3114
P'NP
Pemodelan Matematik telah mendatangkan pelbagai aedah kepada pembangunan manusia sama ada secara langsung atau tidak langsung. Pemodelan Matematik bukanlah suatu perkara yang mudah terutamanya kerana kita perlu mencari dan mengaitkan pembolehubah yang sesuai dengan realiti. %elebihan menggunakan permodelan Matematik dapat men#adi pengalaman bela#ar kepada seseorang individu. %ecepatan membuat ormula matenatik memberikan kemampuan bagi kita untuk mengetahui hasil keputusan dalam #angka 2aktu yang singkat. Pemodelan Matematik #uga melatih budaya meramal dalam sesuatu bidang seprti perniagaan, ke#uruteraan dan #uga sistem ekonomi. &engan menggunakan pemodelan Matematik, perbelan#aan dapat dikurangkan dan dapat di#imatkan berbanding menggunakan kaedah ?trial and error@.
6
