Penggunaan Integral

SMAK 4/PENGG. INTEGRAL/XII IPA/HR

Page 1

05/12/2009

PENGGUNAAN INTEGRAL Pada bagian ini kita akan mempelajari penggunaan integral yaitu menghitung luas daerah dan volume benda putar. Sebelum mempelajari mempelajari luas daerah dengan menggunakan integral alangkah baiknya kita akan menggambarkan daerah yang dibatasi oleh kurva terlebih dahulu. I.

Mengg enggam amb bar daer aerah yang ang dib dibat atas asii ole oleh h ku kurva. va.

Y

Daerah yang dibatasi oleh satu kurva • Y = f(x) adalah fungsi yang membatasi daerah L • a = batas bawah daerah L • b = batas atas daerah L

Y=f(x) L

0

a

b

X

Y Y=g(x) L

0

Y=f(x)

a

b

Y

X

Y=f(x) Y=g(x) L

Y=h(x) 0

a

b

c

X

Daerah yang dibatasi dua kurva • Y= f(x) kurva yang membatasi daerah bagian atas • Y= g(x) kurva yang membatasi daerah bagian bawah. • a = batas bawah • b = batas atas

Daerah yang dibatasi tiga kurva • Y=f(x) kurva yang membatasi daerah sebelah kiri • Y=g(x) kurva yang membatasi daerah sebelah kanan • Y = h(x) kurva yang membatasi daerah sebelah bawah • a, b dan c adalah interval tertutup pada daerah yang di arsir

Soal latihan 1

Gamb Gambar arla lah h luas luas dae daera rah h deng dengan an car caraa mengarsir yang dibatasi oleh y = 2x ,

Gambar:

Y

y = x-1 dan interval tertutup [ 1,3 ] . Jawab:

0

X


2

Gambar Gambarlah lah luas luas daer daerah ah dengan dengan cara cara

Page 2

05/12/2009

Y

Gambar:

mengarsir yang dibatasi oleh y = x2 − 1 , y = - x. Jawab:

X

0

3

Gambar Gambarlah lah luas luas daer daerah ah dengan dengan cara cara mengarsir yang dibatasi oleh y = sin x ,

Gambar:

Y

 π 5π 

y = cos x dan interval tertutup  , .  4 4  Jawab:

X

4

Gambar Gambarlah lah luas luas daer daerah ah dengan dengan cara cara Gambar: Y mengarsir yang dibatasi oleh y = cos x ,  π 3π  y = cos 2x dan interval tertutup  , .  2 2  Jawab:

X

0

5

Gambar Gambarlah lah luas luas daer daerah ah dengan dengan cara cara

Y

Gambar:

mengarsir yang dibatasi oleh y = 2x 2x - x2 , ,

y = x2 dan y =1. Jawab:

X 0


Page 3

05/12/2009

II.Luas daerah pada bidang datar. Y Luas daerah dibawah kurva y = f(x) dan diatas sumbu X pada interval a ≤ x ≤ b adalah:

Y=f(x) L

b

0

a

b

∫ f(x) dx

L =

X

Y a

0

b

Luas daerah diatas kurva y = f(x) dan dibawah sumbu X pada interval a ≤ x ≤ b adalah:

X

L b

Y=f(x)

Y

a

Y=f(x)

a

b

=

X

Y = f(x)

Y

a

b

L

0

∫ f(x) dx

Luas daerah yang dibatasi dua kurva Y = f(x) dan y = g(x) pada interval a ≤ x ≤ b adalah:

Y=g(x) L

∫

L = - f(x) dx =

b

∫ { f(x) - g(x)} dx

a

Luas daerah yang dibatasi tiga kurva

Y=g(x) Y = f(x), y = g(x) dan y = h(x) pada interval a ≤ x ≤ c adalah:

L

Y=h(x) 0

a

b

c

X

L=

b

c

a

b

- g(x)} dx ∫ { f(x) - g(x)} dx + ∫ { h(x) -g


Page 4

05/12/2009

Soal latihan 1

Hitu Hitung ngla lah h luas luas dae daera rah h diba dibata tasi si ole oleh h y = 2x 2x ,

Y Gambar:

y = x-1 dan interval tertutup [ 1,3 ] . Jawab:

0

2

Hitu Hitung ngla lahl hlua uass daera daerah h yang yang dib dibat atas asii oleh oleh

Gambar:

X

Y

y = x2 − 1 , y = - x dan interval tertutup [ 1, 3] . Jawab:

0

3

Hitu Hitung ngla lah h luas luas dae daera rah h yan yangg diba dibata tasi si y = sin x , y = cos x dan interval interval

X

Gambar:

Y

 π 5π 

tertutup  , .  4 4  Jawab:

0

4

Hitu Hitung ngla lah h luas luas dae daera rah h yan yangg diba dibata tasi si oleh y = cos cos x , y = cos 2x dan interval  π 3π  tertutup  , .  2 2  Jawab:

X

Gambar:

Y

0

X


Page 5

5

Gambar:

Hitu Hitung ngla lah h luas luas dae daera rah h yan yangg diba dibata tasi si

05/12/2009

Y

oleh y = 2x 2x - x2 , , y = x2 dan y =1. Jawab:

0

6

Hitung Hitunglah lah luas luas daer daerah ah yang yang diar diarsir sir beriku berikut: t:

Y

Jawab:

y = 4 x - x2

X

0

7


Y

0

8

y = 2x2

X y = 5 - 2 x - x2


Y

Jawab:

Jawab:

y = x2 + 1

X

0

y=x+2 9


Y

y = 6x2

X

0 y = -x

Jawab:

X


10

Page 6

Hitung Hitunglah lah luas luas daer daerah ah yang yang diar diarsir sir beri berikut kut::

05/12/2009

Jawab:

Y

y= x 0

4

X

y=2-x

11

Hitung Hitunglah lah luas luas daerah daerah yang yang diarsi diarsirr berik berikut: ut:

Y

-2

2

0

Jawab:

X

y =-3x =-3x2

12


Y

Jawab:

y 2 = 4 - 4x 0

13

X


Y

2 0

Jawab:

X

y = x3 14

Hitung Hitunglah lah luas luas daer daerah ah yang yang diba dibatas tasii

Gambar:

Y

oleh y2 = 2x dan y = 4x2 . Jawab:

X


Page 7

15

Gambar:

Hitung Hitunglah lah luas luas daer daerah ah yang yang diba dibatas tasii oleh y = cos x, y = sin 2x, x = 0 dan x =

π . 2

Y

05/12/2009

Jawab:

X

16

Hitung Hitunglah lah luas luas daer daerah ah yang yang diba dibatas tasii oleh y = 1 + sin x, sumbu X, x = 0 dan x = 2π . Jawab:

Gambar:

Y

X

17

Hitung Hitunglah lah luas luas daera daerah h yang yang diba dibatas tasii oleh oleh

Gambar: Y

x2 + y2 + 2x − 3 = 0 dan x2 + y2 − 2x − 3 = 0 Jawab:

X

18

Hitung Hitunglah lah luas luas daera daerah h yang yang diba dibatas tasii oleh oleh Y = x sin x, garis x = 0, x = π dan sumbu X. Jawab:

19

Hitung Hitunglah lah luas luas daera daerah h yang yang diba dibatas tasii oleh oleh Y = x cos x, garis x = 0, x = Jawab:

π dan sumbu X. 2


Page 8

05/12/2009

III.Volume benda putar. Y Volume benda putaryang dibatasi oleh kurva y = f(x) pada interval a ≤ x ≤ b jika diputar mengelilingi sumbu X sejau 360 o adalah:

Y=f(x) V

a

0

X

b

b

V = π

∫ { f(x)}

2

a

b

dx = π ∫ { y}

2

dx

a

Y Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva x = f(y) pada interval c ≤ x ≤ d jika diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 o adalah:

c

X

0

V

d

V = π

∫ { f(y)} c

d

2

b

dy = π ∫ { x} 2 dy a

x=f(y)

Y

Volume benda yang yang dibatasi dua kurva Y 1 =

V

Y 1 = g(x) f(x) dan y 2 = g(x) pada interval a ≤ x ≤ b jika diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 o Y 2 = f(x) adalah:

0

a

X

b

b

V

=

2 2 π ∫ { g ( x ) } - { f ( x ) }  dx   a

b

V

=

2 2 π ∫ { y1} - { y2 }  dx   a

Soal latihan 1

Hitu Hitung ngla lah h vol volum ume e yan yangg dia diars rsir ir pada interval 0 ≤ x ≤ 3 jika diputar mengelilingi sumbu X y=2 x sejauh 360 o .

Y

0

3

X

Jawab:

atau


2

Page 9

Hitu Hitung ngla lah h vol volum ume e ben benda da puta putarr yan yangg dibatasi oleh kurva y = 2x, y = 1, y = 4 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 o .

Y

Y

05/12/2009

Jawab:

y = 2x

4

X

0 3

Hitung Hitunglah lah volume volume benda benda putar putar dari dari dae daerah rah

Y

Jawab:

2

yang dibatasi oleh kurva y = 3x dan y = x

diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 o :

Y = 3x y = x2

0

4

X

3

Hitung Hitunglah lah volume volume benda benda putar putar dari dari dae daerah rah

Jawab:

yang dibatasi oleh kurva y = 3x dan y = x2 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 o :

Y

Y = 3x y= x

0

5

X

3

Hitung Hitunglah lah volume volume daera daerah h yang yang diar diarsir sir beriku berikut: t: 3

Y

0

y=x

1

3

X

Jawab:


6

y = 9 - x2

X

0

3

Hitung Hitunglah lah volume volume daerah daerah yang yang diars diarsir ir beri berikut kut::

Jawab:

Y 2

0

8

05/12/2009

Hitu Hitung ngla lah h volu volume me yan yangg diar diarsi sirr Jawab: jika diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 o .

Y

7

Page 10

y2 = x - 1 X

Hitu Hitung ngah ah vol volum ume e bend bendaa puta putarr yang yang terj terjad adii jika diputar terhadap sumbu X sejauh 360 o

Gambar:

dari kurva x2 + y2 = 4 dan x + y = 2 Jawab:

9

Hitu Hitung ngah ah vol volum ume e bend bendaa puta putarr yang yang terj terjad adii jika diputar terhadap sumbu X sejauh 360 o

Gambar:

x 2 y 2 dari kurva + = 1 dan x + 2y = 2 9 16 Jawab:

10

Hitung Hitungah ah volu volume me bend bendaa putar putar yang yang terjad terjadii jika diputar terhadap sumbu Y sejauh 360 o dari kurva x = y3 dan x = y2 Jawab:

Gambar:


11

Page 11

Hitung Hitungah ah volu volume me benda benda puta putarr yang yang terj terjadi adi jika diputar terhadap sumbu X sejauh 360 o

Gambar:

dari kurva y = x2 da dan y = −x2 + 4 Jawab:

12

Hitung Hitungah ah volu volume me bend bendaa putar putar yang yang terjad terjadii jika diputar terhadap sumbu X sejauh 360 o

Gambar:

dari kurva y = 7 − 2x2 dan y = x2 + 4 Jawab:

13


Gambar:

dari kurva y = 4 − 4x2 da d an y = x 4 − 1 Jawab:

14

Hitung Hitungah ah volu volume me bend bendaa putar putar yang yang terjad terjadii jika diputar terhadap sumbu Y sejauh 360 o

Gambar:

dari kurva x = y2 − y3 da dan x = 0 Jawab:

15


Gambar:

dari kurva y = 2x2 dan y = x Jawab:

16

Hitung Hitungah ah volu volume me bend bendaa putar putar yang yang terjad terjadii

Gambar:

05/12/2009


Page 12 o jika diputar terhadap sumbu X sejauh 360

dari kurva y = sin x garis x = 0 dan x = 2π

05/12/2009

Y

Jawab:

0

17

Hitung Hitungah ah volu volume me bend bendaa putar putar yang yang terjad terjadii jika diputar terhadap sumbu X sejauh 360 o kurva y = 1 + sin x, sumbu X, x = 0 dan x = 2π . Jawab:

Gambar:

Y

0

18

Hitung Hitungah ah volu volume me bend bendaa putar putar yang yang terjad terjadii jika diputar terhadap sumbu X sejauh 360 o kurva y = cos x, sumbu X, x = 0 dan x =

π 2

X

X

Gambar:

Y

.

Jawab:

0

19

Hitung Hitungah ah volu volume me bend bendaa putar putar yang yang terjad terjadii jika diputar terhadap sumbu X sejauh 360 o kurva y sin x , sumbu X, x = 0 dan x = π . Jawab:

X

Gambar:

Y

=

0

X

Penggunaan Integral

Recommend Documents