Deret Bowen menggambarkan proses pembentukan mineral pada saat pendinginan magma dimana ketika magma mendingin, magma tersebut mengalami reaksi yang spesifik. Dan dalam hal ini suhu merupaka…Full description
matematika untuk kimiaFull description
PENYELESAIAN DERET PANGKAT PERSAMAAN DIFFERENSIAL
A. Penyelesaian Deret Pangkat Secara Umum Penyelesaian persamaan differensial dengan metode deret pangkat menghasilkan penyelesaian dalam bentuk deret pangkat. Suatu deret pangakat merupakan deret tak hingga berbentuk:
ax
n
n
2
= a0 + a1x + a2x + ...
n=0
Peneyelesaian persamaan differensial dengan metode deret adalah sebagai berikut: Untuk suatu persamaan differensial yang diberikan: n
y + P(x)y + Q(x)y = 0
mula-mula nyatakan semua fungsi yang diberikan dalam persamaan tersebut dengan deret pangkat dari x (atau deret pangkat dari x-x0)
y=
ax n
n
2
= a0 + a1x + a2x + ...
n=0
dan masukkan deret ini beserta turunannya:
y· = nanx
n-1
2
= a1 + 2a2x + 3a3x + ...
n=0
yµ =
n(n-1)a x n
n=0
n-2
2
= 2a2 + 3.2a3x + 4.3a4x + ...
Selanjutnya kumpulkan pangkat-pangkat x yang sama dan samakan jumlah koefisien tiap pangkat x yang terjadi dengan nol. B. Konvergensi Konvergensi adalah nilai pembuat nol dari suatu deret. Bila suatu deret memiliki semua suku bernilai nol kecuali pada suku pertama, misal a0, maka deret itu konvergen pada x=x0. C. Metode Frobenius Suatu persamaan differensial: 2
2 dy
x
dx
+ xP(x)
2
dy dx
+ Q(x)y = 0
dengan fungsi-fungsi P(x) dan Q(x) analaitik pada x = 0 memupunyai penyelesaian dalam bentuk:
n+c
y(x) = anx n=0
di mana pangkat c dapat merupakan bilangan yang sembarang (dan c dipilih sehingga a 0 0). Untuk menyelesaikannya, mula-mula nilai c harus diketahui dari persamaan penunjuk, kemudian tentukan hubungan untuk a n. Agar lebih jelas, penyelesaiannya adalah sebagai berikut: Fungsi P(x) dan Q(x) dijabarkan dalam bentuk pangkat:
P(x) = Pnxn = P0 + P1x + P2x2 + ... n=0
Q(x) = n=0 Qnxn = Q0 + Q1x + Q2x2 + ... Kemudian diferensiasikan menjadi persamaan:
y¶ = (n+c)anx n=0
n+c-1
y´ =
(n+c)(n+c-1)anxn+c-2
n=0
Substitusi semua deret tadi ke persamaan awal, sehingga diperoleh:
n+c-2
(n+c)(n+c-1)anx
n=0
n
+ Pnx (n+c)anx n=0
n+c-1
n=0
n
+ Qnx anxn+c = 0. n=0
n=0
Jumlah semua koefisien setiap pangkat x disamakan dengan nol dan dihasilkan persamaan mengandung koefisien-koefisien an yang tidak diketahui. Pangkat terkecil berupa xc memiliki persamaan terkait berupa: [c(c-1) + P 0c + Q0]a0 = 0. Karena a 0 0, maka c2 + (P0 ± 1)c + Q0 = 0. Persamaan terakhir adalah persamaan penunjuk (indicial) dan bentuk akar-akarnya, c 1 dan c2 menentukan penyelesaian yang diperoleh. B.1 Contoh Kasus 1. Jika c2 ± c1 adalah bilangan integer, maka ada dua penyelesaian bebas linier y1(x) = anx
n+c 1
y2(x) = bnx
n+c 2
2
2. Jika
dy c1 = c2 =
y1(x) = anx
dy
c, maka ada dua penyelesaian:
n+c
1
y2 = [u (x,c)] / [c] c=c1 di mana u(x,c) = bnx
n+c
3. Jika c2 ± c1 adalah bilangan bulat, ada dua hal yang jadi perhatian: (a) Kalau akar minimum (c 1) menyebabkan koefisien a j (j merupakan bilangan bulat dari c2 ± c1 = j), maka penyelesaian pertama ditentukan dengan menggunakan akar maksimum (c2) yaitu y1(x) = anx
n+c
2
Sedangkan penyelesaian kedua nya ditentukan dengan menggunakan akar minimum (c 1) n+c
y2 = /c (c ± c 1)u(x,c)c=c1, di mana u(x,c) = bnx
(b) jika a j merupakan bilangan yang tak bisa ditenukan maka ada satu penyelesaian yang mengandung 2 konstanta a 0 dan a j dengan menggunakan akar minimum (c 1) C. Transformasi Laplace Transformasi Laplace merupakan salah satu metode menyelesaikan persamaan differensial dengan cara mengubah bentuk persamaan differensial ke dalam bentuk aljabar. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai
F(s) = L{f(t)} = e ±st f(t)dt
di mana fungsi F(s) dari variabel s disebut transformasi Laplace dari fungsi asal f(t) dan dinotasikan dengan L(f). Selanjutnya fungsi asal f(t disebut transformasi invers dari F(s) dan dinotasikan dengan L-1(f). f(t = L-1(F). C.1 Sifat-sifat Transformasi Laplace (a) L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)} (b) {dnf(t)}/{dtn} = snF(s) ± sn-1f(0) ± sn-2d/dtf(0) - ... ± s d n-2/dtn2 f(0) ± dn-1/dtn-1f(0) (c) L{ f(t)dt dari 0 sampai t} = F(s)/s C.2 Penyelesaian PDB dengan Transformasi Laplace Untuk menyelesaikan persamaan differensial seperti a2 d 2 y(t)/dt 2+ a1 dy(t)/dt +a0 y(t) = bx(t) dengan menggunakan trans.
Laplace maka setiap ruas persamaan harus ditentukan dahulu, sehingga: L{ a2 d 2 y(t)/dt 2+ a1 dy(t)/dt +a0 y(t)} = L{bx(t)}
dan setelah ditransformasikan masing-masing komponen, didapat fungsi Y(s) yang dapat dinyatakan sebagai:
/
Y(s) = bX(s) + (a2 s + a1 )y(0) + a2 dy(0)/dt a2 s2 + a1 s + a0
Kemudian fungsi y(t) dapat ditentukan sebagai invers Y(s), y(t) = L-1{Y(s)}. C.4 Teorema Konvolusi Sifat lain dari Transformasi Laplace adalah hasil kali dari transformasi. Jika diberikan dua transforasi F(s) dan G(s) yang f(t) dan g(t) sebagai inversnya diketahui, dan diinginkan invers dari hasil kali H(s) = F(s)G(s) dari invers f(t) dan g(t) yang diketahui itu, maka invers h(t) adalah: h(t) = (f * g)(t) = f( X g(t-Xd X , yang disebut teorema konvolusi.