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Descripción: As a leading dealers of two wheeler spare parts we deal with all top brands. We have spares for all type of two wheelers are available here. We have spares for 4 stroke bikes, Heavy motor cyc...
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Instrução para encaminhamento de projetos elétricos na CELESC.
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Partitura orquestal de Uptown Funk Pep BandFull description
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Liderazgo Pep Guardiola
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U. DE SANTIAGO SANTIAGO DE CHILE FAC. DE CIENCIA CIENCIA DEP. DEP. DE MATEMÁ MATEMÁTICA TICA Y C.C. SEGUNDA PRUEBA CÁLCULO AVANZADO 10007 Ingeniería Civil Segundo Semestre Semestre 2007
Pregunta 1 Sea f : R2 ! R2 una función de…nida por 2
2
xy xx2 +yy2
2
f (x; y ) =
0
=0 ,si x 2 + y 2 6 ,si x = y = 0
a) Calcular f x (0; 0), f y (0; 0) b) Determine f x (x; y), f y (x; y) si ( x; y) 6 = (0 ; 0) c) Muestre que
@ 2 f (0; 0) @x@y
@ 2 f (0; 0) @y@x
6=
y explique por qué.
Solución a) Partiendo por la de…nición se tiene: f x (0; 0) = lim h
0
f (h;0) f (0;0) h
= limh
0 0 h
= 0; x = y = 0
f y (0; 0) = lim k
0
f (0;k) f (0;0) k
= limk
0 0 k
= 0; x = y = 0
!
!
b) Si x 2 + y 2 6 = 0 se tiene. 2
!
!
(4xy2 )
2
f x (x; y) = 2y xx2 +yy2 + 2xy (x2 +y2 )2 ;
2
2
f y (x; y ) = 2x xx2 +yy2
c)
f yx yx (0; 0) = lim h
xy2 ) ; x2 y 2 )2
2xy ( (4+
f y (h;0) f y (0;0) h
0
!
2
0 2h h h2 +0
= limh
0
= limh
2h 0 h
!
!
f xy xy (0; 0) = lim k
0
h
=2
f x (0;k) f x (0;0) k
0
!
= limk
0
!
2k
k
=
2
Por lo tanto: @ 2 f (0; 0) =2 = @x@y
2
f (0; 0) 6 2 = @ @y@x
Este resultado no contradice el teorema que establece que las derivadas parciales cruzadas son iguales cuando ellas son continuas, ya que, tanto f yx yx como f xy xy no son continuas en (0 ; 0):
Pregunta 2 a) Si u = f (x ; y ; z) de…ne una función diferenciable, y z se de…ne implicitamente como una función de x e y por la ecuación g(x ; y ; z) = 0 con los atributos atributos pedido en el teorema teorema de la función implícit implícita. a. Pruebe que u tiene primeras derivadas parciales de x e y dadas por: @ (f;g ) @ (x;z) @y @z
@u = @x
@u = @y
;
@ (f;g ) @ (y;z ) @y @z
b) Si u = x 2 y + z 2 ; y z = g (x; y) se de…ne implicitamente po la ecuación Calcule: @u (1; 0; 0) @x
y
x2 y
3z + 8yz 3 = 0
@u (1; 0; 0) @y
Solución: a) Utilizando la regla de la cadena tenemos @u @f @ f @z = + @x @x @z @x
por otra parte si g (x ; y ; z ) = 0 de…ne implicitamente a z = z (x; y) entonces @z = @x
@g @x @g @z
reemplazando en la ecuación anterior @u @f @ f = + ( @x @x @z
@g @x @g @z
)=
@f @g @x @z
@f @g @z @x
@g @z
=
@ (f;g ) @ (x;z) @g @z
Similarmente @u @f @ f @z = + @y @y @z @y
)
@u @f @f = + ( @y @y @z
@g @y @g @z
)=
@z = @y
y @f @g @y @z
@f @g @z @y
@g @z
@g @y @g @z
=
@ (f;g ) @ (y;z ) @g @z
b) En este caso u = f (x ; y ; z) = x 2 y + z 2 y z = z (x; y) se de…ne implicitamente por g(x ; y ; z) = x 2 y 3z + 8 yz 3 = 0 y tenemos @g @g = 2 xy , = x 2 + 8z 3 @x @y
,
@g = @z
3 + 24yz 2
derivadas que son todas continuas por lo que se a…rma que g es de C1 Ademas g (1; 0; 0) = 0 y
@g (1; 0; 0) @z
=
3 6= 0
Entonces por el teorema de la función implicita se tiene que existe V = V @ (1; 0) y una vecindad (a; a) de z = 0 y una función z (x; y) de C1 sobre V tal tal que z (1; 0) = 0
Pregunta 3 Pregunta 3 Un avión consume combustible según la función f (x ; y ; z ) = x2 y2 z 2 : El avión se mueve sobre la esfera terrestre asociada a la ecuación de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R › radio de la tierra) Determinar el máximo consumo de combustible posible.
Solución f (x ; y ; z ) = x 2 y 2 z 2
;restricción x 2 + y 2 + z 2 = R 2
) g(x ; y ; z) = x2 + y 2 + z 2 R2 = 0 ) f (x ; y ; z) = (2xy2z2; 2x2yz 2; 2x2y2z) O
Og
(x ; y ; z) = (2x; 2y; 2z )
Resolvemos: (x ; y ; z ) = Og (x ; y ; z) g (x ; y ; z ) = 0
Of
) 1) xy 2 z 2 = x 2) x2 yz 2 3) x2 y 2 z 4) x2 + y 2 + z 2
= y = z = R2
x
3x2 y 2 z 2 = (x2 + y 2 + z 2 ) 3x2 y 2 z 2 = R 2
(1) + y (2) + z (3) ) )
en (1)
xy 2 z 2
=
) )
3 R2 x(
x3 y 2 z 2
3x2 R2
1)y2z2 = 0
x = 0 y 2 z 2 = 0 v 3x2
R2 = 0
1. Si x = 0 en (2) = 0 = 0 y = 0 si = 0 x = y = z = 0 no puede ser si = 0 , y = 0 de(4) z = R y
6
) )
Punto crítico P 1 = (0; 0; R) 2. Si y = 0 , en (3) = 0 si = 0 x = y = z = 0 no puede ser si = 0 , z = 0 de (4) (4) x = R z
6
)
Punto crítico P 2 = (R; 0; 0) 3. Si z = 0 , en (1) x
si si
= 0 = 0 x = 0 = 0 x = y = z = 0 no puede ser = 0 , x = 0 de (4) y = R
6
) )
Punto crítico P 3 = (0; R; 0) 4. Si 3 x2 R2 = 0
x =
R p 3
y =
R p 3
z =
R p 3
se obtiene
Y todas las combinaciones son puntos críticos ahora f (P 1 ) = f (P 2 ) = f (P 3 ) = 0