PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan PD Eksak jika ada suatu fungsi F(x,y) sehingga : dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1)
Rumus differensial :
F F dF dx dy ..................(2) x y Maka dari (1) dan (2) diperoleh : F M(x, y)...........................(3) x F N(x, N(x, y)...........................(4) y Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD M N eksak adalah : y x
1
Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui persamaan (3) atau persamaan (4).
Dari persamaan (3) F M(x, y) F(x, y) M(x, y) dx A(x, y) c(y) x Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y F A c' (y) N(x, y) y y A A c(y) ( N(x, y) c' (y) N(x, y) )dy c y y
Dari persamaan (4) F N(x, y) F(x, y) N(x, y) dy B(x, y) c(x) y Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x
F B c' (x) M(x, y) x x
B B c(x) ( M(x, y) c' (x) M(x, y) )dx c x x
2
Contoh : Selesaikan setiap PD dibawah ini : 1. (x2 – y) dx – x dy = 0 2. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0 3. (2x + e y) dx + x e y dy = 0 4. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0 5. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0
3
REDUKSI
KEPERSAMAAN
DIFFERENSIAL
EKSAK Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y) sedemikian sehingga PD : I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0 merupakan PD eksak,
maka
fungsi
I(x,y)
dinamakan factor
integrasi dari PD tersebut. Ada beberapa jenis factor integrasi antara lain
1. Jika
M N y x N
f ( x) suatu fungsi dari x saja
f ( x ) dx e
maka PD tsb.
adalah factor intergrasi dari
4
2. Jika
M N y x M
e maka
g ( y) suatu fungsi dari y saja
g ( y ) dy
adalah factor intergrasi dari
PD tsb. 3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan PD Homogen dan xM + yN ≠ 0 , maka : 1 xM yN adalah faktor integrasi dari PD tsb.
4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis dlm bentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana 1
f(x,y) ≠ g(x,y) maka xM yN adalah foktor integrasi dari PD tersebut.
5
Contoh : Selesaikan setiap PD dibawah ini : 1. (2y –x3) dx + x dy = 0 2. 3x2 y2 dx + (4x3 y – 12 ) dy = 0 3. (xy + y2) dx – x2 dy = 0 4. (x2 y3 + 2y) dx + (2x - 2x 3 y2 ) dy = 0
6
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA Bentuk umum : dy dx
y P(x) Q(x)
Persamaan ini mempunyai factor integrasi : P ( x ) dx e
Solusi umu dari PD ini adalah : P ( x ) dx P ( x ) dx y e Q( x) e dx c
Contoh : dy
y 2 e2x
1. dx dy y 2 x 2 x e 2. dx x dy
3. dx y 2 4x
7
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI Bentuk umum : dy dx
yP ( x) y nQ( x)
Dengan transformasi : z y
n 1
dan
1 dy n
y dx
1 dz 1 - n dx
akan menghasilkan persamaan differensial linier orde satu : dz dx
(1 n) zP ( x) (1 n)Q( x)
mempunyai solusi umum PD : (1 n ) P ( x ) dx (1 n ) P ( x ) dx (1 n)Q( x).e z .e dx c
8
contoh : 1.
2.
dy dx dy dx
y y 2 (1 e3 x )
y x
y 2 ( x 2 3 x)
3. x dy y dx y ( x x ) 6
4. x
dy dx
6
y xy 2 ln x
9
