PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE KEDUA

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE KEDUA
Bentuk umum Persamaan Differensial (PD) linier orde kedua adalah :
y"+ p(x)y'+ g(x)y = r(x)
Disebut persamaan linear homogen orde kedua jika r(x) = 0,
p(x) dan g(x) disebut konstanta
Persamaan Differensial Linier Homogen Orde Kedua
Penyelesain persamaan differensial linier homogen orde kedua
Kita misalkan
y = ex
kita substitusikan ke persamaan y"- y = 0
Jadi,
(ex)"- ex = ex – ex = 0
y = -3ex + 8ex
Kita substitusikan ke persamaan y"- y = 0
Jadi,
(-3ex + 8ex)"-( -3ex + 8ex) = -3ex + 8ex – (-3ex + 8ex) = 0
Dari kedua contoh tersebut kita dapatkan penyelesaian untuk persamaan differensial linier homogen orde kedua
Maka dapat kita simpulkan bahwa :
Untuk setiap y1 = ex dan y2 = e-x
Maka
y = c1y1 + c2y2
c1 dan c2 merupakan konstanta sebarang
Contoh :kita substitusikan persamaan di atas ke dalam persamaan
y"+ p(x)y'+ g(x)y = 0
Maka
y"+ py'+ qy = (c1y1+ c2y2)"+p(c1y1+ c2y2)'+q(c1y1+ c2y2)
= c1y1"+ c2y2"+ p(c1y1'+ c2y2') + q(c1y1 + c2y2)
=c1(y1"+ py1'+ qy1) + c2(y2"+ py2' +qy2)=0

Persamaan Differensial Linier Homogen Orde 2 Koefisien Konstanta
PD Linier Homogen Orde 2 dengan koefisien konstan adalah :
ay"+ by'+ cy = 0
Dengan a, b, c = konstanta
Dimisalkan solusi umum PD: y = emx sehingga jika kita substitusikan ke dalam PD
Maka :
ay"+ by'+ cy = 0
am2emx+ cemx = 0
(am2 + bm + c) emx=0
Jadi y = emx menjadi solusi PD jika am2+bm+c = 0 (disebut persamaan ciri)
Akar-akar persamaan ciri adalah
m1,2=-b±b2-4ac2a
Terdapat tiga (3) kemungkinan akar-akar nilai m pada Persamaan ciri :
Jika b2-4ac>0 , maka m1,2 adalah dua akar real yang berbeda dengan m1,2 £ R maka solusi umumnya :
y=c1em1x+c2em2x
Jika b2-4ac=0 , maka m1 = m2 dengan m1,2 £ R ,maka solusi umumnya :
y=c1emx+c2xemx
Jika b2-4ac<0, maka m1,2 = α ± iβ dengan α,β £ R ,maka solusi umumnya :
y=c1eα+iβx+c2eα-iβx
dengan rumus Euler, yaitu eix = cos x + i sin x maka bentuk trigonometri rumus dapat ditentukan :

y=c1eα+iβx+c2eα-iβx
=c1eαxcosβx+i sinβx+c2eαx-cosβx-i sinβx; -cosβx=cosβx
=c1+c2eαxcosβx+ic1-c2eαx(sinβx)
=Aeαxcosβx+Beαxsinβx ;A,B konstanta bil.kompleks
Contoh soal :
Tentukan solusi umum persamaan differensial berikut :
y"+5y'- 6y = 0
Penyelesaian :
Akar-akar persamaan karakteristik pada PD di atas adalah : m2+5m – 6 = 0
(m-1)(m+6)=0
m1=1 dan m2=-6
dua solusi bebas linier PD adalah :
y1(x)= ex dan y2(x)= e-6x
Jadi solusi umum PD adalah :
y(x)= c1 ex +c2 e-6x

Selesaikan PD berikut ini :
y" – 3y' + 2y = ex, y(0)=1, y'(0)=-1

Penyelesaian :
Persamaan karakteristiknya:
r2 – 3 r + 2 = 0 (r – 2) (r – 1) = 0
Sehingga didapat r1 = 2 dan r2 = 1


Jadi solusi homogennya adalah yh = C1 e2x + C2 ex
Untuk yp dipilih yp = A x ex
yp' = A ex + A x ex yp" = 2A ex + A x ex
Kemudian masukan ke PD di atas:
2Aex+Axex – 3 (Aex + Axex) + 2 Axex = ex -A ex = ex
A = -1

Jadi solusi umum PD di atas adalah y = C1e2x + C2ex – xex
Kita punya y(0)=1 dan y'(0)=-1

y = C1 e2x + C2 ex – x ex 1=C1+C2
y' = 2C1e2x + C2ex – ex – xex 0=2C1+C2

Didapat C1=-1, dan C2 = 2
Jadi solusi khusus PD di atas adalah
y = – e2x + 2 ex – x ex






Soal
Selesaikan persamaan differensial berikut
y"+5y'-6y=0
Selesaikan persamaan differensial berikut
y"-y=0
Dimana y(0)=1 dan y'(0)=0
Tentukan penyelesaian umum persamaan differensial berikut
2y"+4y'+8y=0