Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Disusun Oleh: Nama
: Sulistia Ningrum
Nim
: 06111408011
Prodi
: Pendidikan Matematika Kampus Palembang
UNIVERSITAS SRIWIJAYA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AJARAN 2012 1
Peta Konsep
2
A. PERS PERSAM AMAA AAN N KUADRA KUADRAT T
1. BENTUK BENTUK UMUM UMUM PERSAM PERSAMAAN AAN KUADRAT KUADRAT
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertingginya dua. Bentuk umun persamaan kuadrat kuadrat dengan variabel variabel X adalah sebagai berikut. Dengan a,b,c bilangan real dan a ≠ 0 Bentuk umum persamaan kuadrat diatas disebut juga persamaan kuadrat bentuk real. Dari bentuk umum diatas dapat diperoleh bentuk-bentuk yang lain,yaitu: 1.
Jika a,b,dan c bilangan rasional,maka diperoleh persamaan
yang
disebut persamaan kuadrat rasional. 2.
Jika a = 1,maka diperoleh persamaan
yang dimaksut dengan
persamaan kuadrat biasa. 3.
Jika b = 0,maka diperoleh persamaan a
yang disebut persamaan kuadrat
sempurna. 4.
Jika c = 0,maka diperoleh persamaan
yang dimaksud dengan
persamaan kuadrat tak lengkap. lengkap.
2. MENYELES MENYELESAIKAN AIKAN PERSAM PERSAMAAN AAN KUADRAT KUADRAT
Untuk menyelesaikan Persamaan kuadrat dapat digunakan beberapa cara sebagai berikut: a. Memfaktorkan , b. Melengkapkan Melengkapkan bentuk kuadrat. kuadrat. c. Menggunakan Rumus abc (Rumus Kuadrat).
a. Menyelesaikan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan Memfaktorkan 3
1. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Untuk memfaktorkan bentuk ax 2 + bx + c, diperlukan nilai m dan n yang memenuhi m+n = b dan mn = c. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut. ax2 + bx + c = ( x + m)(x + n) dengan m + n = b dan mn = c 2. Menggunakan Jumlah Jumlah dan hasil hasil kali akar-akar persamaan
Untuk memfaktorkan bentuk ax 2 + bx + c, perlukan nilai m dan n yang memenuhi m+n = b dan mn = c. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut : ax2 + bx + c = ( ax + m)(ax + n) dengan m + n = b dan mn = ac
Contoh : Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan cara memfaktorkan! a. x2 + 2x – 15 = 0 b. 4x2 + 5x – 21 = 0 Jawab : a. x2 + 2x – 15 = 0 x2 + 2x – 15 = 0 = (x + m)( x + n), dengan m + n = 2, mn = -15 Nilai m dan n yang mungkin adalah 5 dan -3, sehingga x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x - 3) = 0 x = -5 atau x = 3 Jadi, himpunan penyelesaian nya adalah {-5, 3}. b.
4x2 + 5x – 21 = 0 (4x + m)(4x+ n) = 0, dengan m + n = 5 dan mn = (-21) = -84, maka nilai m dan n yang mungkin adalah 12 dan -7, sehingga 4x2 + 5x – 21 = 0 (4x + 12)(4x - 7) = 0 (x + 3)(4x - 7) = 0 x = -3 atau x = 4
Jadi, Himpunan penyelesaiannya penyelesaiannya adalah { -3,
}
b. Menyelesaikan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan dengan Cara Melengkapkan Kuadrat Kuadrat
Penyelesaian Penyelesaian dengan melengkapkan bentuk Kuadrat dilakukan dengan cara mengubah bentuk ax 2 + bx + c kebentuk (x+p)2 = q. Hal yang mendasari penggunaan penggunaan cara ini 2 adalah dengan dengan mengubah ruas kiri persamaan ax + x + c, menjadi bentuk kuadrat sempurna. Contoh : Dengan cara melengkapkan kuadrat, tentukan penyelesaian dari persamaan berikut! a. x2 – 2x – 4 = 0 Jawab : a. .x2 – 2x – 4 = 0 Mula-mula pidahkan pidahkan konstatnta (-4) ke ruas ruas kanan, sehingga sehingga x 2 – 2x – 4 = 0, kemudian tambahkan kedua ruas dengan(
) 2 = 1, sehingga diperoleh:
. x2 – 2x + 1 = 4 + 1 (x – 1)2 = 5 x–1= x=1+
atau x = 1 -
c. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kudarat ax 2 + bx bx + c = 0, deng dengan an a 0. Maka nilai x1 dan x2 dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
Contoh : Dengan menggunakan menggunakan rumus kuadrat tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut ! a. x2 + 3x – 4 = 0 Jawab : a. x2 + 3x – 4 = 0, koefisien dari x 2 adalah a = 1, koefisien dari x adalah b = 3 dan suku tetap c = -4.
5
=
=
= X1 = 1 atau x2 =
= -4
jadi penyelesaian penyelesaian adalah 1 dan -4.
3. JENISJENIS-JEN JENIS IS AKAR AKAR PERSAM PERSAMAAN AAN KUADR KUADRAT AT
Akar-akar persamaan kauadrat
. Bilangan
dengan a,b,c
dan a ≠ 0 adalah
disebut diskriminan dari persamaan
dilambangkan dilambangkan dengan D. Diskriminan akan memengaruhi jenis-jenis akarakar persamaan kuadrat.Jika D = 0,maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real atau akar-akar kembar. Jika D>0,maka
merupakan bilangan real sehingga persamaan kuadrat
mempunyai dua akar yang berlainan. Jika D < 0 maka
merupakan bilangan imajiner
(khayal) atau tidak real. Dapat dikatakan bahwa,jika D < 0,maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya merupakan bilangan imajiner (khayal). Dari pernyataan diatas dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan kuadrat , dengan D = b2-4ac,berlaku sifat-sifat akar persamaan kuadrat sebagai berikut.
1.
D>0
Kedua akar nyata dan berbeda. Jika D merupakan suatu kuadrat
sempurna maka kedua akar adalah rasional,jika tidak maka kedua akar
6
tersebut adalah bilangan irasional. 2.
D=0
Kedua akar real sama ( kembar )
3.
D<0
Kedua akar tidak nyata ( khayal )
4.
D
Kedua akarnya nyata
0
Contoh Soal : 1. Tentukan Tentukan jenis-jenis jenis-jenis akar persamaa persamaann kuadrat kuadrat beriku berikut.t. a. b. c. Penyelesaian Penyelesaian : a.
D = b2- 4ac = 32- 4(1)(-28) = 9 +112 = 121 D > 0 maka akar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang berlainan b.
D = b2- 4ac = 122- 4(4)(9) = 144 -144 7
=0 D = 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang sama atau akar-akar kembar.
c.
D = b2- 4ac = 42- 4(3)(6) = 16 - 72 = -56 D < 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang merupakan bilangan imajiner (khayal).
4. DISK DISKRI RIM MINAN NAN
Jenis – jenis akar dari persamaan kuadrat berdasarkan
dapat ditentukan
yang sering dinotasikan dinotasikan dengan huruf D dan disebut disebut
diskriminan.
Perhatikan skema sifat akar berikut
8
Jenis – jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan ( D = a. Jika Jika D ≥ 0 maka maka kedua kedua akarn akarnya ya nyata nyata (rea (real). l). b. Jika D > 0 maka kedua akarnya nyata dan berbeda ( i.
ii.
D= D
)
.
, maka kedua akarnya rasional (terukur). , maka kedua akarnya irasional (tidak terukur).
k bilangan bulat. Jika D = 0 maka ke kedua akarnya ny nyata da dan sa sama/akar ke kembar ( , serta rasional. d. Jika D < maka kedua kedua akarnya akarnya tidak tidak nyata nyata (tidak real), real), tidak tidak real sering sering dosebut dosebut khayal khayal atau imajiner.
c.
Contoh 1:
Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut: 1. 2x2 + 4x –1 =0 2. 4x2 + 12x +9 =0
Jawab:
a. 2x2 + 4x –1 =0, 9
D= b2 – 4ac D= 42 – 4.2.(-1) = 16 +8 D= 24 Jadi D>0 , tetapi tetapi Bukan Bilangan Bilangan kuadrat sehingga akar-akarnya: Real, Berbeda, bilangan Irasional b. 4x2 +12 4x +9 =0, D= b2 – 4ac D= 122 – 4.4.9 = 144-144 = 0 Jadi D=0, sehingga akar-akarynya: Real, kembar, bilangan rasional Contoh 2:
Tentukan nilai m agar x 2 + (m+3)x + 4m-3 =0 = 0 mempunyai akar kembar ! Jawab:
a= 1 , b= m+3, c= 4m-3 akar kembar kembar , syarat D=0 2 D= b – 4ac =0 (m+3)2 – 4.1 (4m-3)=0 m2 +6m + 9 – 16m +12 =0 m2 - 10m + 21=0 (m-7 )(m-3) =0 (m-7 )=0 atau (m-3) =0 Jadi, akar-akarnya akar-akarnya adalah adalah m=7 atau m=3
5.
JUMLAH JUMLAH DAN DAN HASIL HASIL KALI KALI AKAR-AK AKAR-AKAR AR PERSAMA PERSAMAAN AN KUADRAT KUADRAT
Kita ingat bahwa akar-akar persamaan kuadrat rumus kuadrat atau rumus abc sebagai berikut x1 =
−b +
b2 2a
− 4ac
atau x2 =
−b −
ax2+b2+c=0
b2
(a ≠ 0) ditentukan dengan
− 4 ac
2a
x1 + x2) dan Berdasarkan rumus di atas, kita dapat mengembangkan mengembangkan rumus jumlah akar-akar ( x hasil hasil kali kali akar-a akar-akar kar ( x x1 . x2) persam persamaan aan kuadra kuadratt ax2+b2+c=0 yang dinyatak dinyatakan an dalam dalam koefisien-koefisien a, b, dan c.
10
Jumlah akar-akar ( x1 + x2) dan hasil kali akar-akar ( x1 . x2) dapat ditentukan dengan manipulasi aljabar dan perhitungan teknis sebagai berikut 1. Jumlah Jumlah akar akar-ak -akar ar persa persamaa maan n kuadra kuadratt :
x1 + x2 =
= =
b2
−b +
− 4ac
−b −
+
2a
−
b2
− 4ac
2a
b + b2
−4
ac
−
b − b2
−4
ac
2a
− 2b
=−
2a
b a
2. Hasil Hasil kali kali akar akar-aka -akarr persa persamaan maan kuadrat kuadrat :
− b + x1 . x2 =
=
= = = =
( − b)
2
b2 2a
(
−
− 4ac − b − b2
( 2a ) b
2
−
(b
2
4a
b
2
−
b
2
4a
−
− 4ac
)
b2 2a
− 4ac
2
2
4ac
)
2
+
4ac
2
4 ac 4a 2 c a
Hasil perhitungan diatas menunjukan berlakunya sifat berikut Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2+b2+c=0, dengan a ≠ 0, maka jumlah dan hasil kali kali akar-akar persamaan persamaan kuadarat itu di tentukan dengan rumus : x1 + x2 =
−b a
dan x1 . x2 =
c a
Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat digunakan untuk :
11
a. menghitun menghitungg bentuk bentuk simetr simetrii akar-akar akar-akar persamaa persamaann kuadrat, kuadrat, b. menghitung koefisien-koefisien koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi sifat-sifat tertentu, c. menyus menyusun un persam persamaan aan kuadra kuadrat.t.
a. Menghitun Menghitung g bentuk bentuk simetri simetri akarakar-akar akar persamaa persamaan n kuadrat kuadrat
Sebuah Sebuah bentuk aljabar aljabar yang terdiri terdiri atas dua variabel variabel dikataka dikatakann letak peubah itu ditukarkan maka nilai bentuk itu tetap. Bentuk a + b; a2 + b2;
1 a
+ 1 merupakan contoh bentuk simetri, sebab b
a + b = b + a ; a2 + b2 = b2 + a2;
tetapi,
a – b; a 2 – b2;
1 a
simetri/setangkup jika
−
1 b
1
a
1 +
b
1 =
b
1 +
a
bukan bentuk simetri, sebab
a – b ≠ b – a; a 2 – b2 ≠ b2 – a2;
1
1 −
a
1 ≠
b
1 −
b
a
Bent Bentuk uk sime simetr trii akar akar-a -aka karr pers persam amaa aann kuad kuadra ratt dapa dapatt dihi dihitu tung ng tanp tanpaa haru haruss menyeles menyelesaika aikann persamaa persamaann kuadrat kuadrat terlebih terlebih dahulu. dahulu. Agar lebih jelas, jelas, simaklah simaklah beberapa beberapa contoh berikut Contoh 1 : Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x -1 = 0 adalah x1 dan x2. tanpa harus menyelesaikan persamaannya persamaannya terlebih dahulu, hitunglah hitunglah : a)
x1 + x2
c) x12 + x22
b)
x1 . x2
d)
1
1 +
x1
x 2
Jawab : Persamaan kuadrat x2 – 3x -1 = 0 memiliki koefisien-koefisien a = 1, b = 3, dan c = -1.
12
−b
− −3 = 3
a)
x1 + x2 =
b)
x1 . x2 =
c)
x12 + x22 = x12 + 2x1 . x2 + x22 – 2x1 . x2
=
a
c a
=
−1 1
1
= −1
= (x1 + x2 ) )2 – 2x1 . x2 2
b c = − − 2 a a 2
− 3 −1 = − − 2 1 1
= 9 + 2 = 11 1
d) x
1 +
1
x 2
=
x2 x1 . x2
+
x1 x1 . x2
=
x1
+
x2
x1 . x2
− =
b
a c
= −
b c
= −
−3 −1
= −3
a
b. Men Menghitu ghitung ng koefisien koefisien persamaa persamaan n kuadrat kuadrat yang akar-aka akar-akarnya rnya memiliki memiliki ciri-ciri ciri-ciri tertentu
Dalam pasal ini akan dibahas cara menghitung koefisien persaman kuadrat yang akarakarnya memiliki ciri-ciri tertentu tetapi dikaitkan dengan jumlah akar-akar ( x1 + x2) dan hasil kali akar-akar ( x1 . x2) dari dari persa persamaa maann kuadra kuadratt yang yang diketa diketahui hui.. Cirri-c Cirri-ciri iri terten tertenuu yang yang dimaksud itu, misalnya : •
salah satu akarnya dua kali akar yang lain
•
salah satu akarnya dua lebihnya adri akar yang lain
•
salah satu akarnya lawan dari akar yang lain
•
salah satu akarnya kebalikan dari akar yang lain, dan sebagainya.
Contoh 1 :
13
Salah satu akar persamaan x2 + 6x + p = 0 adalah dua kali akar yang lain. Hitunglah nilai p? Jawab : Kofisien-koefisien x2 + 6x + p = 0 adalah a = 1, b = 6, dan c = p. Jika akar-akar persamaan itu x 1 dan x2 maka x1 akarnya 2 akar yang lain). Rumus jumlah akar-akar : 6 x1 + x2 = − 1
= 2x2
(perhatikan pada soal: salah satu
Rumus hasil kali akar-akar : x1 . x2 =
p 1
2x2 + x2 = -6
(-4)(-2) = p
3x2 = -6
p=8
x2 = -2
jadi, nilai p = 8
Dari x1 = 2x2 diperoleh x1 = 2(-2) = -4
Contoh 2 : Persamaan kuadrat x2 – (p + 3)x + 3p = 0 mempunyai akar-akar α dan β. Jika α 2 + β2 = 45, hitunglah nilai p. Jawab : Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x2 – (p + 3)x + 3p = 0 adalah a = 1, b = -(p + 3), dan c = 3p, sehingga (α + β) =
− (−( p + 3)) 1
=p+3 (α . β) =
3 p 1
=
3 p
14
α 2 + β2 = (α + β)2 - 2α . β = (p + 3)2 – 2(3p) = p2 + 6p + 9 – 6p = p2 + 9 Diketahui α2 + β2 = 45, maka p2 + 9 = 45 p2 = 36 p = -6 atau p = 6 jadi nilai p = -6 atau p = 6 Jumlah dan hasil kali akar-akar dapat digunakan untuk membedakan cirri akar yang satu dengan akar yang lain dalam sebuah persamaan kuadrat yang mempunyai dua akar real. Perbedaan cirri akar yang satu dengan akar yang lain itu dapat dideskripsikan sebagai sebagai berikut.
1. akar akar yang yang satu satu meru merupa paka kann lawan akar yang lainnya atau sering dikatakan akarnya berlawanan : x1 = -x2
akar-
x1 = -x2 x1 + x2 = 0 b
− =0 a
b = 0 2. akar yang satu merupakan akarnya berkebalikan berkebalikan : x1 =
x1 =
kebalikan akar yang
lainnya atau sering dikatakan
akar-
1
x2
1
x2
x1 . x2 = 1 15
c a
=1
a =c 3. sebuah akarnya sama dengan 0: x1 = 0 x1 . x2 =
(0)x2 =
c
x1 + x2
a c
b (0) + x2 = −
a
a
c
0=
b = −a
x2 =
a
−b a
c=0 4. kedu keduaa akar akarny nyaa memp mempun unya yaii tanda yang sama atau sering dikatakan bertanda sama : x1 > 0 dan x 2 > 0 atau x 1 < 0 dan x 2 < 0. x1 . x2 > 0 c
>
0
a
akar-akarnya
, a dan c bertanda sama
5. kedu keduaa akar akarny nyaa memp mempun unya yaii tanda tanda yang yang tidak tidak sama sama atau sering sering dikataka dikatakann akarnya berlainan tanda : x1 > 0 dan x 2 < 0 atau x 1 < 0 dan x 2 > 0 x1 . x2 < 0 c a
<0
akar-
, a dan c berlainan tanda
Deskri Deskripsi psi diatas diatas menunj menunjuka ukann berla berlakun kunya ya sifat sifat yang yang berka berkaita itann dengan dengan cirri-c cirri-ciri iri akar akar persamaan kuadrat kuadrat sebagai berikut berikut : Misalkan x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2+b2+c=0 (a ≠ 0). 1)
akar-akarnya berlawanan (x 1 = - x2)
2)
akar-akarnya berkebalikan (x 1 =
3)
sebuah akarnya sama dengan 0 (x 1 = 0)
⇔
b=0
1
x 2
)
⇔
a=c
⇔
c = 0 dan x2 =
−b
a
16
4)
kedua akarnya bertanda sama
5)
kedua akarnya berlainan tanda
⇔
c
>
0
a ⇔
c
<0
a
Contoh : Persamaan kuadrat 2x2 – px + (p – 3) = 0 akar-akar itu !
akar-akarnya berkebalikan.
Hitunglah nilai p dan
Jawab : 2x2 – px + (p – 3) = 0 ;
koefisien-koefisiennya adalah a = 2, b = -p, dan c = p – 3. supaya akar-akarnya berkebalikan, haruslah a = c 2 = p–3 p = 5
akar-akarnya dapat diperoleh dengan mensubtitusi nilai p = 5 ke persamaan 3) = 0, sehingga :
2x2 – px + (p –
2x2 – (5)x + (5 – 3) = 0 2x2 + 5x + 2 = 0 (2x – 1)(x -2) = 0 x=
1 2
jadi, akar-akar persamaan kuadrat akar-akar itu adalah x =
1 2
atau x = 2 2x2 – px + (p – 3) = 0 berkebalikan
untuk nilai p = 5, dan
atau x = 2
6. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT a. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akanya diketahui
17
setelah mempelajari cara mencari akar-akar dari persamaan kuadrat ,selanjutnya kita akan mempelajari proses kebalikannya, yaitu baaimna menyusun suatu persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui. Jika
dan
adlah kr-akar persaman kuadrat
,
maka untuk menyusun persamaan kuadrat baru dapat dilakukan dengan cara berikut. 1) Perka Perkalia liann Faktor Faktor Jika
dan
adalah akar-akar persamaan kuadrat , maka rumus persamaan kuadrat
tersebut adalah sebgai berikut.
2) Menggunakan Menggunakan Jumlah dan Hasil Hasil Kali Akar-Akar Akar-Akar Persamaan Persamaan Jika
dan
adalah akar-akar persamaan kuadrat , maka rumus persamaan kuadrat
tersebut adalah sebgai berikut.
Contoh : Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut! a.
2 dan
b. 2 -
dan 2 +
Jawab : a. Dengan Dengan perkali perkalian an faktor faktor dipero diperoleh: leh:
18
b. Dengan jimlah dan dan hasil kalikar diperoleh: diperoleh: Diketahui
22-
dan
2+
+ 2+
=4
(2 -
)( 2 +
)
=4–3 =1
Jadi persamaan kuadratnya adalah
b. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Akar-Akarnya Mempunyai Hubungan dengan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Lainnya
Jika suatu persamaan kuadrat akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat kuadrat lainnya, maka maka persamaan kuadrat kuadrat tersebut dapat dapat ditentukan dengan dengan menggunakan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Jika
merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru yang dicari, maka untuk
menyusun persamaan kuadrat dengan rumus jumlahdan hasil kaliakar-akarnyadigunakan sebagai berikut.
19
Contoh : Diketahui
dan
adalah akar-akar persamaan kuadrat dari
. Tentukan
persamaan kuadrat kuadrat baru yang akar-akarnya akar-akarnya adalah adalah a.
2 dan 2
b.
Berkebalikan dengan
c.
dan
dan
Jawab ; Dari persamaan
dan
diperoleh
3. Jika dan
adalah akar-akar persamaan kuadrat baru yang dicari, maka a.
=2 +2 =2
+
= (2
(2
= 2 (5) = 10
=4
= 4 (3) = 12
Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah
b.
Akar-akar yang berkebalikan dengan
+
=
dan
adalah
, maka
= 20
=
x
=
=
Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah
c.
= =(
) +16
= 3 – 4(5) + 16 = -1
Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah
B. FUNG FUNGSI SI KUAD KUADRA RAT T 1. BENTUK BENTUK UMUM UMUM FUNGSI FUNGSI KUADRA KUADRAT T 21
Simaklah beberapa fungsi berikut ini : a. b. c. d. Perhatikan bahwa pangkat pangkat tertinggi dari variabel x pada tiap funsi di atas =2. Fungsi yang mempunyai ciri seperti itu disebut fungsi kuadrat dalam variabel x. Dengan demikian bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Bentuk Umum Fungsi Kuadrat Misalkan a,b,dan c bilngan bilngan real dan a 0,maka funsi yang yang dirumuskan dirumuskan oleh oleh Dinamakan fungsi kuadrat dalam variabel x Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y= disebut senagai parabola.
dan grafik fungsi kuadrat
2. MENGG MENGGAMB AMBAR AR GRAF GRAFIK IK FUGS FUGSII KUADR KUADRAT AT
Fungsi f: R → R yang dinyatakan dengan f: x → ax 2 + bx + c dimana a, b, c R dan a ≠ 0 disebut fungsi derajad dua atau lebih lazim disebut fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat f: ax 2 + bx + c mempunyai persamaan persamaan y= ax 2 + bx + c dan grafiknya berupa parabola. I. Nilai Ekstrim Fungsi
f( x x)
= ax2 + bx + c , a≠0 = a(x2 +
x) + c
= a(x +
)2 -
Jika a > 0, maka a(x +
, dimana D = b2 – 4ac
) 2 ≥ 0, nilai minimum f( x x) = -
untuk x= -
22
Jika a < 0, maka a(x +
) 2 ≤ 0, nilai maksimum f( x)= -
untuk x= -
D = b2 – 4ac disebut diskriminan Jika Jika titi titikk P adal adalah ah titi titikk punc puncak ak para parabo bola la maka maka P ( adalah x= -
,-
). sumbu simetri
parabola
.
II. Kedudukan Grafik y= ax2+ bx + c terhadap sumbu x
Nilai- niao x yang menyebabkan menyebabkan nilai f(x) = ax 2 + bx + c dengan nol, disebut nilai nol fugsi f(x). Nilai nol fungsi uadrat f(x) = ax 2 + bx + c dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadrat: kuadrat: ax 2 + bx + c = 0. Ada 6 macam grafik parabola fungsi kuadrat
23
a>0 D<0
a<0 D<0
a>0 D=0
a<0 D=0
a>0 D>0
a<0 D>0
Untuk mengetahui bahwa grafik dari fungsi f adalah parabola, kita dapat membuat sketsa kurva y= ax 2 + bx + c dengan cara sebagai sebagai berikut: a. Jika ax 2 + bx + c dapat difaktorkan. • Tent Tentuk ukan an tit titik ik pot poton ongg kurv kurvaa deng dengan an sum sumbu bu y • Tent Tentuk ukan an tit titik ik pot poton ongg kurv kurvaa deng dengan an sum sumbu bu x • Tentu ntukan kan titi titikk pun punccak b. Jika ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan. – Tentukan titik potong kurva dengan dengan sumbu y. – Tentukan titik puncak puncak dengan memperhatikan memperhatikan sumbu sumbu simetri. – Tentukan beberapa beberapa titik lain yang mudah. mudah. 24
Contoh Soal: Gambar grafik fungsi kuadrat yang ditentukan oleh rumus f(x) = 5 + 4x – x 2, jika asalnya {x│-2 ≤ x ≤ 6, x R} Jawab: f(x) = 5 + 4x – x 2 tidak dapat difaktorkan, maka: a. Misal x = 0, maka y = 5. Jadi, Jadi, (0, 5) b. y = -
=9;x=-
= 2. Jadi (2, 9)
c. Mengambil titik lain yang lebih mudah x = 5 maka y = 0; (5, 0) x = -1 maka y = 0; (-1, 0)
9
5
-1
2
5
25
Titik P(2,9) disebut titik puncak parabola atau titik maksimum karena tidak ada titik lain pada kurva yang koordinatnya lebih dari 9. Nilai f( x) yang bersesuain dengan titik maksimum ialah 9, dan disebut nilai maksimum fungsi . 3. SKET SKETSA SA GRAFIK GRAFIK FUNGS FUNGSII KUADRA KUADRAT T SECAR SECARA A UMUM UMUM
Fungsi kuadrat memiliki bentuk bentuk umum y = ax + bx + c . Dari bentuk aljabar tersebut dapat dapat diilustras diilustrasikan ikan sebagi sebagi bentuk bentuk lintasan lintasan lengkung lengkung atau parabola parabola dengan dengan karakteris karakteristik tik sebagai berikut. 2
Jika, 1. a > 0, maka parabola terbuka ke atas 2. a < 0, maka parabola terbuka ke bawah 3. D < 0, maka maka parabol parabolaa tidak memotong memotong maupun maupun menyi menyinggu nggung ng sumbu sumbu X 4. D = 0, maka maka parab parabola ola menyi menyingg nggung ung sumb sumbuu X 5. D > 0, 0, maka maka parab parabola ola memoto memotong ng sumbu sumbu X di dua dua titik titik Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
y
=
ax
2
Langk Langkahah-lan langka gkahh yang yang diperl diperluka ukann untuk untuk membu membuat at sketsa sketsa grafik grafik fungsi fungsi kuadra kuadratt + bx + c adalah sebagai berikut
a. b. c.
Menentukan titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0 Menentukan titik potong potong dengan sumbu sumbu Y, diperoleh jika jika x = 0 b Menentukan persamaan sumbu simetri x = −
d.
Menentukan nilai ekstrim grafik
e.
b D Koordinat titik balik − 2a ,− 4a
2a
y
Contoh soal: Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat
y
=
D − 4a
= x 2 + 4 x
Penyelesaian: a. Titik Titik poton potongg denga dengann sumbu sumbu X, jika jika y = 0 x + 4 x = 0 2
26
=0
x ( x + 4)
x
= 0 atau ( x x + 4) = 0 x
= –4
Jadi memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (–4, 0) b. Titik potong dengan dengan sumbu Y, jika x = 0 maka, y = 02 + 4.0
Y
=0 Jadi memotong sumbu Y di titik (0, 0) c. Pers Persam amaa aann sum sumbu bu sime simetr trii −4 x = = −2
-
-
4
2
0
X
2.1
-
Jadi persamaan sumbu simetrinya x = –2 d. Nilai Nilai Ekstr Ekstrim/ im/nil nilai ai stasio stasioner ner,, untuk untuk x = –2 2 y = (–2) + 4(–2)
4 x = -2
= –4 e. Koor Koordi dina natt tit titik ik bali balik: k: (–2, –4) 4. MEMB MEMBEN ENTU TUK K FUNGS FUNGSII KUADR KUADRAT AT
Apabila sketsa grafik suatu fungsi fungsi kuadrat diketahui,maka diketahui,maka kita dapat menentukan menentukan rumus fungsi kuadrat tersebut. Proses demikian disebut membentuk atau menyusun fungsi kuadrat. Keterangan-keterangan Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat sering kali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya sebagai berikut 1. Grafik Grafik fumgs fumgsii kuadra kuadratt memoto memotong ng sumbu sumbu X di A(X1,0) dan B(X2,0) serta melalui sebuah titik tertentu . Persamaan fungsi fungsi kuadratnya dapat dinyatakan dinyatakan sebagai : y=f(x)=a(x-x1 )(x-x )(x-x2 ) )
dengan nilai a ditentukan kemudian. 2. Grafik Grafik fumgs fumgsii kuadra kuadratt memoto memotong ng sumbu sumbu X di A(X1,0) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan Persamaan fungsi kuadratnya kuadratnya dapat dinyatakan dinyatakan sebagai : Y=f(x)= a(x-x1 ) )2 27
Dengan nilai a ditentukan kemudian. 3. Grafik fungsi fungsi kuadrat kuadrat melal melalui ui titik puncak puncak dan dan titik titik balik P(x p-y p) dan melaui titik tertentu. Persamaan fungsi fungsi kuadratnya dapat dinyatakan dinyatakan sebagai : y=f(x)=a(x-x p ) )2+y p
dengan nilai a ditentukan kemudian. 4. Grafik Grafik fungs fungsii kuadr kuadrat at mela melalui lui titi titik-ti k-titik tik A(X1,Y1), B(X2,Y2),dan B(X3,Y3). Persamaan fungsi fungsi kuadratnya dapat dinyatakan dinyatakan sebagai : y=
dengan nilai a,b,dan c ditentukan kemudian.
Contoh soal : 1. Sebuah Sebuah fungsi fungsi kuadrat kuadrat memotong memotong sumbu sumbu x di A(1,0),B(2,0 A(1,0),B(2,0).). Jika fungsi fungsi kuadrta kuadrta otu melalui titik (0,4), tentukan persamaan fungsi kuadrat itu ? Penyelesaian : Persaman fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai y= a(x-1)(x-2) nilai an di tentukan dari keterangan bahwa fungsi kuadrat itu mellui titik (0,4),aretinya untuk x=0 diperoleh y= 4. 4 = a(0-1)(0-2)
Jadi,persamaan Jadi,persamaan fungsi kuadratnya adalah : y =f(x)
y =2(x-1)(x-2) y =2x2-6x+4
28
C. PENERAPAN PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Pada perhitungan matematika maupun kehidupan sehari-hari, tentu sering Anda jumpai suatu permasalahan permasalahan yang berkaitan dengan dengan persamaan kuadrat. kuadrat. PermasalahanPermasalahan permasalahann yang berkaitan dengan permasalaha dengan persamaan persamaan kuadrat itu mempunyai mempunyai karakteristik atau atau ciri tertentu. Agar Anda memahami dan terampil merancang(m merancang(menyusun) enyusun) model matematika yang berkaitan dengan dengan persamaan kuadrat, kuadrat, perhatikan beberapa beberapa contoh contoh di bawah ini. Contoh 1: Kuadrat suatu bilangan dikurangi empat kali bilangan itu sama dengan -3. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Langkah 1: Misalkan bilangan itu = x Di sini x dinamakan besaran masalah yang dirancang sebagai sebagai variabel persamaan kuadrat. Langkah 2: Berdasarkan ketentuan, ketentuan, pada soal diperoleh hubungan x2 – 4x = -3 bentuk x2 – 4x = -3 merupakan persamaan persamaan kuadrat kuadrat sebagai model model matematika dari permasalahan di atas. Jadi model matematika dari permasalahan diatas diatas adalah x2 – 4x = -3. Contoh 2: Jumlah dua buah bilangan sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 75, tentukan bilangan-bilangan tersebut dan penafsiran solusi masalahnya! Jawab: •) Misalkan: bilangan-bilangan itu adalah x dan y, maka x + y = 20 y = 20 – x •) Anda buat model matematikanya sebagai berikut: x . y = 75 x (20 – x) = 75 20x – x2 = 75 -x2 + 20 – 75 = 0 (kedua ruas dikalikan (-1)) x2 – 20 x + 75 = 0
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
•) Penyelesaia Penyelesaiannya: nnya: (x –15) (x – 5) = 0 x – 15 = 0 atau x – 5 = 0
⇔ ⇔
29
⇔ ⇔
x = 0 + 15 atau x = 0 + 5 x = 15 atau x = 5
•) Anda cari nilai y sebagai berikut: Untuk x = 15, maka y = 20 – 15 y=5 lalu diperiksa: x + y = 15 + 5 = 20 x . y = 15 . 5 = 75 (ternyata benar) Untuk x = 5, maka y = 20 – 15 y = 15 lalu diperiksa: x + y = 5 + 15 = 20 x . y = 5 . 15 = 75 (ternyata benar)
⇔
⇔
Dalam kehidupan sehari-hari banyak contoh-contoh penerapan fungsi, misalnya pada permainan bola basket bahwa pemain berusaha memasukkan memasukkan bola ke keranjang dengan pelemparan tidak lurus tetapi dilemparkan ke atas melampaui tempat jaringnya menuju jaringnya dengan dengan lintasan bolanya bolanya berbentuk parabola, parabola, bagaimana bagaimana menentukan ukuran ukuran lipatan talang seng agar talangnya dapat mengalirkan air sebanyak mungkin, dan sebagainya. Matema Matematik tikaa dalam dalam kehidu kehidupan pan sehari sehari-ha -hari ri dapat dapat diperg diperguna unaan an sebag sebagai ai alat alat untuk untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman suatu masalah, misalnya fungsi kuadrat dalam kegiat kegiatan an ekono ekonomi mi dapat dapat dipaka dipakaii dalam dalam berba berbagai gai anali analisis sis berbag berbagai ai permas permasala alahan han yang yang berkaitan dengan permintaan, penawaran, penerimaan, titik impas, harga keseimbangan, keseimbangan, dan sebagainya. Dalam penelitian ini penulis bertujuan unuk mengetahui bagaimanakah fungsi kuadrat dapat diaplikasikan dalam estimasi kegiatan ekonomi terutama berkaitan dengan masalah permintaan, penawaran, penerimaan, titik impas serta estimasi keuntungan dari produk barang atau jasa. Fungsi kuadrat bentuk umum y = f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c suatu konstanta dalam penelitian ini membuktikan bahwa penerapannya penerapannya dapat dipergunakan untuk melakukan esti estima masi si harg hargaa dan dan fako fakor-f r-fak akto torr prod produk uksi si dala dalam m mene menent ntuk ukan an besa besarn rnya ya perm permin inta taan an,, penawaran, penerimaan, penerimaan, harga keseimbangan keseimbangan,, titik impas dan estimasi estimasi keuntungan. Bagaimana memecahkan memecahkan masalah, misalnya pada contoh berikut ini : Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari dengan kawat untuk kandang ayam. Pagar kawat yang tersedia 400 m, dan kandang itu dibuat berbentuk persegi panjang. Tentukanlah Tentukanlah ukurannya ukurannya agar terdapat kandang kandang yang seluas-luasnya seluas-luasnya.. 30
Penyelesaian: Misalkan lebar kandang x meter, maka panjangnya (400 – 2x) meter. Luas kandang dalam m2 adalah L = x (400 – 2x) = 400x – 2x2Dari persaman luas tersebut yang berbentuk fungsi kuadrat dapat ditentukan nilai ekstremnya sebagai berikut : L = 400x – 2x2 = – 2x2 + 400x = - 2( x - 100 )2 + 20000 Agar luas kandang maksimum maka x – 100 = 0 atau x = 100. Sehingga untuk x =100 terdapat luas kandang maksimum L =20.000 Jadi luas maksimum yang ditanyakan adalah 20.000 m2 yang terjadi jika lebarnya 100 m Dalam penerapannya nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat dapat dinyatakan dengan kata-kata yang berlainan : a. kata kata-k -kat ataa terj terjau auh, h, terb terbes esar, ar, terti terting nggi gi,, terp terpan anja jang ng,, terl terlua uas, s, dan dan lain lain seba sebagi giny nyaa dapa dapatt dihubungkan dengan pengertian nilai maksimum fungsi kuadrat. b. Kata-kata terdekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit, dan lain sebagainya dapat dihubungkan dengan pengertian nilai minimum fungsi kuadrat. Contoh soal : 1.
Tentu ntukan kan lua luas terb terbeesar sar dari dari sua suatu pers perseegi panja njang jika jika kelili liling ng pers perseegi panja njang diketahui 60 cm 2. Sebu Sebuah ah rok roket et dit ditem emba bakk kkan an ke ata atas. s. Set Setel elah ah t deti detikk pelu peluru ru men menca capa paii ketin ketingg ggia iann yang yang dirumuskan dengan h(t) = 40t – 5t 2 dalam meter. Tentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai? Penyelesaian: 1. M Miisal :
panjang
= x cm
lebar
= y cm
keliling
= 2(x + y) cm
maka, 31
2(x + y) = 60 x + y = 30 y
= (30 – x) cm
Misal luas luas persegi persegi panjang panjang L(x) = x . y cm = x (30 – x) = 30x – x2 Luas bernilai maksimum =
D − 4a
=
900 −4
−
= 225 cm 2
Jadi luas terbesar persegi panjang adalah 225 cm 2 2. h(t) = 40t – 5t2 Waktu saat mencapai tinggi maksimum t = =
b 2a
−
40 −10
−
= 4 detik Tinggi maksimum pada saat t = 4 detik h(t) h(t) = 40(4) 40(4) – 5(4) 5(4)2 = 160 – 80 = 80 meter
32
SOAL-SOAL EVALUASI 1.
Tent Tentuk ukan an pers persam amaa aann kua kuadr drat at yang yang akar akar-a -aka karn rnya ya 3+
2.
Tentukan ni nilai p ag agar pe persamaan
dan dan 33-
!
mempunyai ak akar
kembar ! Tentukan batas-batas nilai k agar persamaan
3.
tidak mempunyai akar real ! Diketa Diketahui hui
4.
dan
merupa merupaka kann akarakar-aka akarr persa persamaa maann
.
Tentukan nilai p dan q ! 5.
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan kuadrat! a. x2 – 2 = 0 b. x2 + 3x – 1 = 0 c. x2 + 2x – 3 = 0
6.
Jika x = -7 adalah salah satu persamaan kuadrat px 2 + (7p + 1)x + (3p + 1) = 0, tentukan : a. Nilai p b. Jumlah akar-akarnya. akar-akarnya. c. Hasil kali akar-akarnya dan adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 – x + 1 = 0, tentukan nilai
7.
dari : a. ( b. ( 8.
Tentukan jenis akar masing- masing persamaan kuadrat di bawah ini tanpa menyelesaikan persamaannya :
33
a. b. c. Tentukan nilai m agar persamaan
9.
mempunyai akar kembar. Tentukan nilai m agar persamaan
10.
mempunyai akar tidak
real. 11.
Salah satu akar persamaan x2 + mx + 10 = 0 adalah 3 lebihnya dari akar yang lain. Hitunglah nilai m.
12.
Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 adalah α dan β. Tanpa harus menyelesaikan persamaanya persamaanya terlebih dahulu, hitunglah : a) α + β
c) (α – β)2
b) α . β
d)
1 2
α
1 +
β 2
13.
Jika akar-akar persamaan 2x2 – 6x – p = 0 adalah x1 dan x2 serta x1 – x2 = 5, tentukan nilai p.
14.
Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 – (a + 3)x + 2a + 2 = 0 adalah x1 dan x2, tentuka nilai a positif agar x x1 = 3x2.
15.
Tentukan pe persamaan ku kuadrat ya yang ak akar-akarnya ad adalah se sebagai be berikut! a. 2 dan -3 b.
dan
c.
d.
2-
dan 2 +
34
adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x 2 - x - 4 = 0,
Jika
16.
tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut! a. x1x2 dan x1 + x2 b.
dan
+
c.
d.
17.
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 2x –2 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnyaadalah akar-akarnyaadalah sebagai berikut! a. 3x1 dan 3x2 b. x1 – 2 dan x 2 -2
c.
d.
Jika
18.
adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax 2 -b x - c = 0,
tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut! a. x1 + p dan x2 – p b. px1 dan px2 c.
d.
19. 20.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-a r-akarny rnya dua lebihnya dari akar-ak -akar persamaan kuadrat kuadrat 2x 2 - 5x - 1 = 0 Diketahui 3x – y = 6, hitunglah nilai minimum dari x.y.
35
21.
Jumlah 2 bi bilangan sa sama de dengan 10 100. Te Tentukan ha hasil ka kali bi bilangan ititu ya yang terbesar.
22.
Tinggi h meter da dari se sebuah pe peluru ya yang di ditembakkan ve vertikal ke ke at atas se setelah t detik dinyatakan dengan rumus h = 42t – 3t 2. Tentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai? 23. Selembar seng berbentuk berbentuk persegi panjang akan dibuat dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 2 x 2 cm2 di masingmasing pojoknya. Panjang Panjang kotak 4 cm lebih lebih dari lebarnya dan dan volum kotak itu 90 cm3. Tentukan panjang dan alas kotak tersebut serta jelaskan penafsiran solusi masalahnya. 24. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat di bawah ini a. y = (x – 2)2 b. y = x2 – 4x + 3 c. y = 8 – 2x – x2 d. y = (1 + x) ( 3 – x ) e. y = (2x (2x – 9) (2x + 7) 25. Manakah yang benar dan manakah yang salah? a. kurva y = x2 + 6x simetris terhadap garis x = 3 b. kurva y = (x – 1)(x + 5) simetris terhadap garis garis x = - 2 2 c. kurva y = x – 2x + 5 tidak memotong sumbu X d. Titi Titikk bal balik ik mini minimu mum m kur kurva va y = x2 + 6x + 7 adalah (-3, -2) e. Nila Nilaii mak maksi simu mum m kur kurva va y = -x2 + 2x + 4 adalah 4
36
DAFTAR PUSTAKA
Cunayah, dkk. 2007. Pelajaran Matematika. Jakarta : Yrama Widya. Marwanta, dkk.. 2009. Matematika SMA kelas X. Jakarta : Yudhistira. Sukino. 2007. Matematika SMA kelas X . Jakarta : Erlangga. Sunardi, dkk.. 2008. Matematika 1 SMA/MA. Jakarta : Bumi Aksara. Wirodikromo, Sartono. 2008. Matematika Untuk SMA Kelas X Semester 1. Jakarta : Erlangga.
37
