ASSALAMU’ALAIKUM
PEMBAHASAN Periodesasi Bentuk
Fungsi Trigonometri
Dasar Persamaan Trigonometri
Persamaan yang mengandung Jumlah
Perbandingan Trigonometri Persamaan
Kuadrat Perbandingan
Trigonometri Persamaan berbentuk : a Persamaan
cos x + b sin x = c
Periodesasi Fungsi Trigonometri Secara lebih umum lagi dapat dinyatakan: sin
(x + k.2π) = sin x
cos
(x + k.2π) = cos x
tan
(x + k.π) = tan x
Dalam hal ini dikatakan bahwa fungsi trigonometri adalah fungsi periodik. Sehingga periode untuk sin x, cos x, cosec x, dan sec x adalah 2π atau 360°, periode untuk tan x dan cot x adalah π atau 180°.
•
Contoh 1 Periode fungsi sin x adalah karena sin x = sin (x + k.2π)
•
Contoh 2 Periode fungsi sin 2x adalah karena sin 2x = sin (2x + k.2π) maka, sin 2x = sin 2 (x+ k. π)
•
Contoh 3 Periode fungsi cos 3x adalah karena cos 3x = cos (3x + k.2π) maka, cos 3x = cos 3 (x + k. ⅔ π)
•
Contoh 4 Periode fungsi tan 3x adalah karena tan 3x = tan (3x + k.180°) maka, tan 3x = tan 3 (x + k.60°)
•
Contoh 5
Periode fungsi sin ⅔ x adalah karena sin ⅔ x = sin (⅔ x + k. 360°) maka, sin ⅔ x = sin ⅔ (x + k. 540°)
: ⅙√
√
:
=
≤ ≤
: =
α
→ =
=
α =
=
α
→
=α = π =
→ →
= =
→
=α
π α) π
α π
π π π
π
Contoh soal Tentukan Penyelesaian dari Persamaan berikut, untuk 00 x 3600 : a. sin xo =
1
b. sin (x+30)o – 1 = 0
3
2
Jawab a. sin xo =
1
3
2
sin x =sin ( – 600 ) x1 = ( – 600 )+ k. 360
atau
x2 = 180 – ( – 600 )+ k. 360 x2 = 2400 + k. 360
k=0
x = – 600 ( tdk. memenuhi )
k=1
x = 3000
k=0
x =2400
k=2
x = 6600( tdk. memenuhi )
k=1
x =6000 ( tdk. memenuhi )
Jadi, Harga x yang memenuhi = 2400 atau 3000
b. sin (x+30)o – 1 = 0 sin (x+30)o = 1 sin (x+30)o =sin 90o x1 +300=900 + k. 360 x1 =600 + k. 360
atau
k=0
x = 600
k=1
x = 4200
( tdk. memenuhi )
k=2
x = 7800
( tdk. memenuhi )
Jadi, Harga x yang memenuhi = 600
x2 +300= 180 –(900 )+ k. 360 x2 = 600 + k. 360
Contoh Soal Tentukan Penyelesaiannya : b. sinHimpunan (x+30)o – 1 =0 1
o = 1 3 cos 3xosin = (x+30) untuk 00 x
2
Jawab
3600
1
o = sin 3 90o cos 3xo = sin (x+30)
2
cos 3x = cos 300 0 + k. 360 3x = 30 0 0 1 x1 + 30 =90 + k. 360 10 x =60 + 3 k. 360 1 cos 3x =
atau atau
0 + k. 360 3x2 = –30 x2 +300= 180 –(900 )+ k. 360
x2 = 600 + k. 360
2
cos 3x = cos 300 3x1 = 300 + k. 360 0 k = 0 x = 60 x1 = 100 + k. 120 0 k=1 x = 420 k=0 x = 100 78000 kk==12 xx==130
atau
3x2 = –300 + k. 360
atau
x2 = –100 + k. 120
( tdk. memenuhi )
k=0
x = –100
( tdk. memenuhi )
k=1 x = 1100 k=2 x = 2500 k=2 x = 2300 Jadi, Harga x yang memenuhi = 600 x = 3500 k=3 Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah = {100 , 1100 , 1300 , 2300, 2500, 3500 }
( tdk. memenuhi )
Contoh Soal Tentukan Himpunan Penyelesaiannya : tan 2xo =
3
untuk 00 x
3600
Jawab :
tan 2xo = 3 tan 2x = tan 600 2x1.2 = 600 + k. 180 x1.2 = 300 + k. 90
k=0 k=1 k=2 k=3
x = 300 x = 1200 x = 2100 x = 3000
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah = {300 , 1200 , 2100 , 3000 }
Persamaan Berbentuk sin px = a, cos px = a dan tan px = a diselesaikan dengan cara mengubah ke
persamaan sederhana, yaitu dengan merubah ruas kanan (konstanta a) menjadi perbandingan trigonometri yang senama dengan ruas kiri
Contoh 1: Himpunan penyelesaian sin 3x = ½, 0° x
180°
Jawab: sin 3x = sin 30° maka °
• 3x = 30 + k.360 °
x = 10° + k.120° k = 0
x = 10°
k = 1
x = 10° + 120° = 130°
• 3x = (180 - 30) + k.360
°
3x = 150° + k .360° x = 50° + k.120° k = 0
x = 50°
k = 1
x = 50° + 120° = 170°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 10°, 50°, 130°, 170°}
Contoh 2: Himpunan penyelesaian cos (x + ¾π) = ½√2 , 0
x
2π
Jawab: cos (x + ¾π) = cos¼π • (x + ¾π) = ¼π + 2k.π x = -¾π + ¼π + 2k.π x = -½π + 2k.π k = 1 x = -½π + 2π = 1½π • ( x + ¾ π ) = -¼π + 2k .π
• ( x + ¾ π ) = -¼π + 2k .π
x = -¾π - ¼π + 2k.π x = -π + 2k.π k = 1
x = -π + 2π = π
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1½π, π }
Contoh 3: Himpunan penyelesain tan ⅓x = √3, 0° x
2π
Jawab: tan⅓x = tan ⅓π ⅓ x = ⅓π + 2k. π x = π + 6k.π k = 0,
x = π
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { π }
Contoh 4: Himpunan penyelesaian 2cos x + 1= 0 , 0° x
360°
Jawab: 2cosx + 1 = 0 2cosx = -1 cosx = -½ x = 120°, 210° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120°, 210°}
Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan ini pada dasarnya seperti aljabar, yaitu:
Diingat bahwa untuk melogaritmakan suku-suku yang berperan adalah kelompok rumus Identitas
•
Contoh soal Tentukan HP dari sin 3 x + sin x – sin 2x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° . Jawab: sin 3 x + sin x – sin 2x = 0 2 sin 2x cos x – sin 2x = 0 sin 2x (2 cos x – 1) = 0 sin 2x = 0 → 2x = 0 + n.180° → x = 0 + n. 90° 2 cos x – 1 = 0 → cos x = ½ → x = ± 60 + n. 360 ° Maka HP: {0°, 60°, 90°, 180°, 270°, 300°, 360°}
Contoh soal cos 3x + cos 2x + cos x = 0 , 0 °≤x≤360°. tentukan HP? Jawab: cos 3x + cos 2x + cos x = 0 2 cos 2x cos x + cos 2x = 0 cos 2x (2 cos x + 1) = 0 cos 2x = 0 → 2x = 90 + n.180 → x = 45 + n. 90°
2 cos x + 1 = 0 → cos x = ½ → x = ± 120 + n. 360° Maka HP: {45°, 120°, 135°, 225°, 240°, 315°}
Contoh soal : Selesaikan tan 2x + tan x= tan 3x, 0 ° ≤ x ≤ 360° Jawab: tan 2x + tan x - tan 3x = 0 tan 3x (1 – tan 2x . tan x) – tan 3x = 0 tan 3x (1 – tan 2x . tan x – 1) = 0 tan 3x tan 2x tan x = 0 tan 3x = 0 → 3x = 0 + n.180
° → x = 0 + n.60 ° tan 2x = 0 → 2x = 0 + n.180 ° → x = 0 + n.90 ° tan x = 0 → x = 0 + n. 180 ° Maka HP: {0°, 60°, 90°, 120°, 180°, 240°, 270°, 300°, 360°}
Persamaan Kuadrat Perbandingan Trigonometri •
Bentuk Umum: a sin²x + b sin x + c = 0 a cos²x + b cos x + c = 0 a tan²x + b tan x + c = 0
Persamaan Trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan Langkah-langkahnya:
1. Langsung difaktorkan bila sudah berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan.
Langkah ke-2
2. Bila belum berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan, ubah dulu ke bentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan, dengan menggunakan:
1. Rumus trigonometri sederhana 2. Rumus trigonomteri sudut rangkap
Rumus Pendukung •
Rumus-rumus pendukung untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini terutama dengan rumus Identitas, seperti: (1) sin 2x = 2 sin x cos x (2) cos 2x = cos²x - sin²x= 2 cos²x – 1 = 1- 2 sin²x (3) tan 2x = 2 tan x 1-tan²x
Contoh 1: Himpunan penyelesaian dari 2sin2x + 3sinx – 2 = 0, 0° x 360°
Jawab: 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 (2sinx – 1)(sinx + 2) = 0 2sin x – 1 = 0 atau sinx + 2 = 0 • 2sin x – 1 = 0 2sinx = 1 sinx = ½
Lanjutan sinx = ½
sinx = sin 30°
x = 30° + k .360° k = 0
x = 30°
x = (180° – 30°) + k .360° x = 150° + k.360° k = 0
x = 150°
• Untuk sinx + 2 = 0,
sin x = -2
tidak ada nilai x yang memenuhi. Jadi, Hp = { 30°, 150°}
Contoh 2: Himpunan penyelesaian cos2x + 2cosx = 3, 0° x
360°
Jawab: cos2x + 2cosx = 3 cos2x + 2cosx – 3 = 0 (cosx + 3)(cosx – 1) = 0 • cosx + 3 = 0
cosx = -3
tidak ada harga x yang memnuhi
LANJUTAN (cosx + 3)(cosx – 1) = 0 • cosx - 1= 0
cosx = 1
x = 0°, 360° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 360°}
Contoh 3: Himpunan penyelesaian tan2x – 3 = 0, 0° x
360°
Jawab: tan2x – 3 = 0 (tanx + √3)(tan - √3) = 0 • tanx + √3 = 0
tanx = - √3
x = 120°, 300°
LANJUTAN (tanx + √3)(tan - √3) = 0 tanx - √3 = 0
tanx = √3
x = 60°, 240° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 240°, 300°}
Contoh 4: Himpunan penyelesaian cos2x – sinx = 1, 0° x
360°
Jawab: cos2x – sinx = 1 1 - 2sin2x – sinx = 1 sinx(- 2sinx – 1) = 0 sinx = 0 atau -2sinx – 1 = 0 • sin x = 0
x = 0°, 180°, 360°
• -2sinx – 1 = 0
-2sinx = 1
LANJUTAN -2sinx – 1 = 0 -2sinx = 1 sinx = -½ x = 210°, 330° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 180°, 210°, 330°, 360°}
Contoh 5:
Himpunan penyelesaian cos2x – 3cosx + 2 = 0, 0° x
Jawab: cos2x – 3cosx +2 = 0 2cos2x – 1 – 3cosx + 2 = 0 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (2cosx – 1)(cosx – 1) = 0 • 2cosx – 1 = 0
cosx = ½
2cosx = 1
360°
LANJUTAN
(2cosx – 1)(cosx – 1) = 0 cosx = ½ cosx – 1 = 0
x = 60°, 300° cosx = 1 x = 0°, 360°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 60°, 300°, 360°}
Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c •
Untuk menyelesaikan persamaan a cos x + b sin x = c, c diubah menjadi bentuk k cos (x – α), dengan cara:
•
a cos x + b sin x = k cos (x – α), k > 0 k (cos x cos α + sin x sin α) k cos x cos α + k sin x sin
α
k cos α . cos x + k sin α . Sin x maka:
k cos α = a
tan α = b
k sin α = b
a
Lanjutan k² cos²α = a² k² sin²α = b²
+
k ² (cos²α + sin²α) = a² + b²
k² = a² + b² k = √a² + b²
→ k tertentu
karena k > 0, letak α ditentukan oleh cos α dan sin α, yaitu tanda a dan b.
Contoh : Selesaikan 3 cos x + 4 sin x = 2 Jawab : a = 3, b = 4, c = 2 k cos (x – α) = c → k = √a²+b² = √3²+4² = √25 = 5
tan α =
b a
=
4 3
α = 53,8°
LANJUTAN
k cos (x – α) = c 5 cos (x – 53,8 °) = 2 Cos (x – 53,8 °) = 0,4 X – 53,8 ° = 66,25° + n . 360° X1 = 66,25° + 53,8° + n . 360° X1 = 119,33° + n . 360° X2 = - 66,25° + 53,8° + n . 360° X2 = 346,43° + n . 360°
Latihan Soal 1. Himpunan penyelesaian persamaan dari 2
cos x +
2
sin x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah …
A. {15°, 255°}
D. {75°, 315°}
B. {30 °, 255°}
E. {105°, 345°}
C. {60° , 180°} 2. Diketahui persamaan 2 sin 2x + 5 sinx – 3 = 0 untuk -90° ≤ x ≤ 90°, nilai cos x adalah … A. B. C.
1 2 1
1 2
2
3
1
D. 2 1
E. 2
2 3
3. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0 ° < x < 360°
himpunan penyelesaiannya adalah … A. {135°, 315°}
D. {75°, 315°}
B. {60 °, 255°}
E. {30° , 180°}
C. {105°, 345°} 4. Bentuk (-cos x A. 2 cos (x B. 2 cos (x +
4 3
4 3
1
π) π)
C. 2 cos (x + 3 π)
3
sin x) dapat diubah menjadi bentuk … D. -2 cos (x E. 2 cos (x -
7 6
7 6
π )
π )
5. Himpunan penyelesaian sin4x + sin2x = 0, untuk 0° x 360° adalah … A. {45°, 135°, 150°, 240°, 330°, 360°} B. {60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°} C. {30°, 135°, 150°, 270°, 300°} D. {60°, 120°, 150°, 270°, 360°} E. {45°, 120°, 180°, 240°, 330°, 360°}
Kunci jawaban Latihan Soal 1. E 4. A 2. E 5. B 3. A
