PERSAMAAN TRIGONOMETRI A. Persamaan Trigonometri Sederhana
Berikut ini beberapa contoh bentuk persamaan trigonometri: a.
sin sin x = sin sin 60
b.
cos x
0
c. sin sin x =1/2 =1/2
= cos
0
√
d. tan x =
Tiap persamaan di atas, memuat perbandingan trigonometri dengan variable sudut x (dalam ukuran derajat dan radian). 1. Penyelesaian persamaan sin x
0
= sin α
0
(x ϵ R) 0
0
Untuk menyelesaiakan persamaan trigonometri sin x = sin α (x ϵ R) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometri sudut berelasi berikut. 0
0
0
a. sin (180 -α ) = sin α o 0 0 b. sin (α +k.360 ) = sin α Dengan menggunakan hubungan-hubungan di atas, maka penyelesaian persamaan 0 0 trigonometri sin x = sin α dapat ditetapkan sebagai berikut. Jika sin x = sin α (x ϵ R), maka: 0 0 x = α + k.360 atau x = (180 α) + k.360, dengan k ϵ k ϵ B Catatan: x dalam derajat Jika sin x = sin A (x ϵ R), maka: x = + k.2 tu x = ( ) + k.2, dengn k ϵ B Catatan: x dalam radian
Contoh: 1.
Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini: a. sin sin x = sin 25 b. sin sin x = sin sin 50 Jawab: 0 0 a. sin x = sin 25 , maka diperoleh: 0 0 0 0 0 x = 25 + k.360 atau x = (180 25 ) + k.360 0 0 = 155 + k.360 0 0 0 Jadi, x = 25 + k.360 atau 1550 + k.360 0 0 b. sin x = sin50 , maka diperoleh: 0 0 0 0 0 x = 50 + k.360 atau x = (180 50 ) + k.360
0
0
= 130 + k.360 0 0 0 0 Jadi, x = 50 + k.360 atau 130 + k.360 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini. 0 0 0 a. sin 2x = sin 40 , jika x dalam intervl 0 ≤ x ≤ 360 0 0 0 b. sin 3x = sin 45 , jik x dlm intervl 0 ≤ x ≤ 360 Jawab: 0
0
0
0
a. sin 2x = sin 40 , maka diperoleh: 0 0 0 0 0 2x = 40 + k.360 atau 2x = (180 40 ) + k.360 0 0 0 0 » x = 20 + k.360 » 2x = 140 + k.360 0 0 » x = 70 + k.360 0 0 untuk k = 0 → x = 20 atau untuk k = 0 → x = 70 0 0 k = 1 → x = 200 k = 1 → x = 250 0 0 0 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {20 , 70 , 200 , 250 } b. sin 3x = sin 45 , maka diperoleh: 0 0 0 0 0 3x = 45 + k.360 atau 3x = (180 450 ) + k.360 0 0 0 0 » x = 15 + k.360 atau » 3x = 135 + k.360 0 0 » x = 45 + k.120 0 0 untuk k = 0 → x = 15 atau untuk k = 0 → x = 45 0 0 k = 1 → x = 135 k = 1 → x = 165 0 0 k = 2 → x = 255 k = 2 → x = 285 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: 0 0 0 0 0 0 HP = {15 , 45 , 135 , 165 , 255 , 285 } 2. Penyelesaian persamaan cos x
0
= cos α
0
(x ϵ R) 0
0
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri cos x = cos α (x ϵ R) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometri sudut berelasi berikut. 0
0
a. cos ( –α –α ) = cos α 0 0 0 b. cos (α + k.360 ) = cos α Dengan menggunakan hubungan-hubungan di atas, maka penyelesaian persamaan 0 0 trigonometri cos x = cos α dapat ditetapkan sebagai berikut. Jika cos x = cos α (x ϵ R), maka 0 0 x = α + k.360 atau x = –α = –α + k.360 , dengan k ϵ k ϵ B Catatan: x dalam derajat
Jika cos x = cos A ( x ϵ R), maka: x = + k.2 tu x = – + k.2, dengn k ϵ B Catatan: x dalam radian
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian pen yelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini: 1. 2.
cos 2x = sin x, jik x dlm intervl 0 ≤ x ≤ 2 cos 3x = cos 0, jik 0, jik x dlm intervl 0 ≤ x ≤ 2
Jawab: 1.
cos 2x = sin x
cos 2x = cos ( – x – x ), maka diperoleh:
2x = – x – x + k.2 3x = + k.2
2x = ( – x – x ) + k.2 » »
+ k. untuk k = 0 → x = k=1→x=
atau
– x – x ) + k.2 2x = – + x + k.2 x = – = – + k.2
2x = – ( » »
» x=
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: HP = { , , }
2.
atau untuk
k=1→x=
cox 3x = cos 0, maka diperoleh: » 3x = 0 + k.2 » x = 0 + k.
untuk k = 0 → x = 0
k=2→x=
k=1→x=
}
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: HP = { 0, ,
3. Penyelesaian persamaan tan x
0
0
= tan α
(x ϵ R) 0
0
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tan x = tn α (x ϵ R) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometri sudut berelasi berikut. 0
0
0
a. tan (180 + α ) = tn α 0 0 0 b. tn (α + k.360 ) = tn α Dengan menggunakan hubungan-hubungan di atas, maka penyelesaian persamaan 0 0 trigonometri tan x = tn α dapat ditetapkan sebagai berikut. Jika tan x = tn α (x ϵ R), mk x = α + k.180 Catatan: x dalam derajat Jika tan x = tan A (x ϵ R), maka x = A + k. k. Catatan: x dalam radian
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian pen yelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini: 1. 2.
0
0
0
0
0
tan 2x = tan 20 , jik x dlm intervl 0 ≤ x ≤ 180 tan 2x = tn , jik x dlm intervl 0 ≤ x ≤
Jawab: 1.
tan 2x = tan 20 , maka diperoleh: 0 2x = 20 + k.180 0 » x = 10 + k.90 0 untuk k = 0 → x = 10 0 k = 1 → x = 100 0 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: HP = {10 , 100 }
2.
tn 2x = tn 2x = + k.
» x = + k. untuk
k=0→x= k=1→x=
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: HP = { , }
0
0
0
B. Persamaan Trigonometri yang Berbentuk sin x = a, cos x = a, dan tan x = a
0
0
0
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin x = a, cos x = a, dan tan x , kita harus mengubah bagian ruas kanan, yaitu a dalam bentuk perbandingan trigonometri dasar. Dengan demikian, 1. sin x = a, diubah dahulu menjadi menjadi sin sin x = sin α 0 0 2. cos x = a, diubah dahulu menjadi cos x = cos α 0 0 3. tan x = a, diubah dahulu menjadi tan x = tn α Setelah itu, persamaan-persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan cara-cara penyelesaian persamaan trigonometri dasar. Contoh: 1.
Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini.
=
0
0
a. sin x = Jawab: 0
a. sin x
b. cos 3x =
0
» sin x = sin 30 0 0 x = 30 + k.360
√
0 0
0
0
x = (180 – 30 – 30 ) + k.360 0 0 » x = 150 + k.360 0 0 0 0 Jadi, x = 30 + k.360 atau x = 150 + k.360 0
b. cos 3x = 0
atau
√
0
» cos 3x = cos 45 , maka diperoleh: 0 0 3x = 45 + k.360 atau 3x = – 45 – 45 + k.360 0 0 0 0 » x = 15 + k.120 » x = – = – 15 15 + k.120 0 0 0 0 Jadi, x = 15 + k.120 atau x = – = – 15 15 + k.120 2.
Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri brikut ini: 0
0
a. cot (2x – 60 – 60 ) = 0
√
√
b. sec 3x = 0 0 c. cosec (x + 10 ) = 2 Jawab: 0
0
a. cot (2x – 60 – 60 ) =
√
0
0
0
0
= √ √
»
tan (2x – 60 – 60 ) =
»
tan (2x – 60 – 60 ) = tan 30 , maka diperoleh: 0 0 2x – 2x – 60 60 = 30 + k.180 0 » 2x = 90 + k.180 0 0 » x = 45 + k.90
0
0
0
jadi, penyelesaiannya adalah x = 45 + k.90 0
b. sec 3x =
√ 0
»
cos 3x = 0
»
√
0
cox 3x = cos 45 , maka diperoleh: 0 0 0 0 0 0 3x = 45 + k.360 atau 3x = – 45 – 45 + k.360 0 0 0 0 0 0 » x = 15 + k.120 » x = – 15 – 15 + k.120 0 0 0 0 jadi, x = 15 + k.120 atau x = – = – 15 15 + k.120 0
0
c. cosec (x + 10 ) = 2 »
0
0
0
0
sin (x + 10 ) =
»
0
sin (x + 10 ) = sin 30 , maka diperoleh: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x + 10 = 30 + k.360 atau x + 10 = (180 – 30 – 30 ) + k.360 0 0 0 0 0 0 » x = 20 + k.360 » x = 140 + k.360 jadi, penyelesaiannya adalah: 0 0 0 0 x = 20 + k.360 atau x = 140 + k.360
0
0
0
C. Persamaan Trigonometri yang Berbentuk sin px = a, cox px = a, dan tan px = a
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang berbentuk sin px0 = a, cos px0 =a, tan px0 = a, kita dapat melakukannya dengan terlebih dahulu mengubah bentuk persamaan trigonometri tersebut menjadi bentuk persamaan trigonometri sederhana Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini: Contoh: Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut ini dalam interval yang diberikan! 0
√ , 0 ≤ x ≤ 360 = , 0 ≤ x ≤ 360
1.
sin 3x =
2.
cos 2x
0
0
0
Jawab: 1.
0
sin 3x =
√
0
0
» sin 3x = sin 60 0 0 0 3x = 60 + k.360 0 0 » x = 20 + k.120
atau
0
0
0
0
3x = (180 – 60 – 60 ) + k.360 0 0 » 3x = 120 + k.360
0
0
» x = 40 + k.12 0 0 untuk k = 0 → x = 20 atau untuk k = 0 → x = 40 0 0 k = 1 → x = 140 k = 1 → x = 160 0 0 k = 2 → x = 260 k = 2 → x = 280 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah : 0 0 0 0 0 0 HP = { 20 , 40 , 140 , 160 , 260 , 280 } 2.
0
cos 2x =
0
0
» cos 2x = cos 60 , maka: 0 0 0 0 2x = 60 + k.360 atau 2x = – 60 – 60 + k.360 0 0 0 0 » x = 30 + k.180 » x = 30 + k.180 0 0 untuk k = 0 → x = 30 atau untuk k = 1 → x = 150 0 0 k = 1 → x = 210 k = 2 → x = 330 0 0 0 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: HP = { 30 , 60 , 210 , 240 }
D. Persamaan Trigonometri yang Memuat Jumlah atau Selisih Sinus atau Kosinus
Kadang-kadang persamaan trigonometri diberikan dalam bentuk persamaan yang memuat jumlah atau selisih sinus atau kosinus. Dengan demikian, penyelesaian persamaan trigonometri tersebut akan melibatkan rumus-rumus yang memuat jumlah atau selisih sinus atau kosinus. Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut ini. Contoh: 1.
Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan trigonometri berikut ini dalam interval yang diberikan: 0 0 0 a. sin 6x + sin 4x = 0, 0 ≤ x ≤ 180 0 0 0 b. cos 8x + cos 2x = 0, 0 ≤ x ≤ 180 Jawab: 0
0
0
a. sin 6x + sin 4x = 0, 0 ≤ x ≤ 180 »
0
0
0
0
2 sin (6x + 4x ) cos (6x – 4x – 4x ) = 0 0
0
» 2 sin 5x . cos x = 0 0 0 » 2 sin 5x = 0 atau cos x = 0 0 0 » sin 5x = 0 atau cos x = 0 0 Dari sin 5x = 0 didapat: 0 0 0 » sin 5x = sin 0 atau sin 5x = sin 180 0 0 0 0 0 » 5x = 0 + k.360 » 5x = 180 + k.360 0 0 0 0 0 » x = 0 + k.72 » x = 36 + k.72
0
untuk k = 0 → x = 0 atau untuk k = 0 → x = 36 0 0 k = 1 → x = 72 k = 1 → x = 108 0 0 k = 2 → x = 144 k = 2 → x = 180 0 Dari cos x = 0 didapat: 0 0 0 0 » cos x = cos 90 atau cos x = cos ( – 90 90 ) 0 0 0 0 0 » x0 = 90 + k.360 » x = – 90 90 + k.360 0 untuk k = 0 → x = 90 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: 0 0 0 0 0 0 HP = { 0, 36 , 72 , 90 , 108 , 144 , 180 } 0
0
0
b. cos 8x + cos 2x = 0, 0, 0 ≤ x ≤ 180 »
0
0
0
0
2 cos (8x + 2x ) cos (8x – 2x – 2x ) = 0 0
0
» 2 cos 5x . cos 3x = 0 0 0 » 2 cos 5x = 0 atau cos 3x = 0 0 0 » cos 5x = 0 atau 3x = 0 0 Dari cos 5x = 0 didapat: 0 0 0 0 cos 5x = cos 90 atau cos 5x = cos ( – 90 – 90 ) 0 0 0 0 0 0 » 5x = 90 + k.360 » 5x = – 90 – 90 + k.360 0 0 0 0 0 0 » x = 18 + k.72 » x = – 18 18 + k.72 0 0 untuk k = 0 → x = 18 atau untuk k = 1 → x = 54 0 0 k = 1 → x = 90 k = 2 → x = 126 0 k = 2 → x = 162 0 Dari cos 3x = 0 didapat: 0 0 0 0 cos 3x = cos 90 atau cos 3x = cos ( – 90 – 90 ) 0 0 0 0 0 0 » 3x = 90 + k.360 » 3x = – 90 – 90 + k.360 0 0 0 0 0 0 » x = 30 + k120 » x = – 30 – 30 + k.360 0 0 untuk k = 0 → x = 30 atau untuk k = 1 → x = 90 0 k = 1 → x = 150 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: 0 0 0 0 0 0 0 HP = { 18 , 30 , 54 , 90 , 126 , 150 , 162 } 2.
Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan trigonometri berikut dalam interval yang diberikan: 0
0
0
0
a. sin (x + 75 ) + sin (x – 15 – 15 ) = 0
0
0
0
√ , 0 ≤ x ≤ 360
0
0
b. cos (4x + 50 ) – cos – cos (4x + 70 ) = sin 10 , 0 ≤ x ≤ 180 180
0
Jawab: 0
0
√ , 0 ≤ x ≤ 360 + x – 15 – 15 ) cos (x + 75 – x – x 0
0
0
a. sin (x + 75 ) + sin (x + 15 ) = »
0
0
2 sin (x + 75
0
0
0
0
0
0
+ 15 ) =
√
» » » »
0
0
0
2 sin (x + 30 ) cos 45 =
√ sin (x + 30 ) = √ sin (x + 30 ) = √ 0
0
0
0
0
0
√
sin (x + 30 ) = , diperoleh: 0
0
0
0
0
0
sin (x +30 ) = sin 30 atau sin (x + 30 ) = 150 0 0 0 0 0 0 0 0 » x + 30 = 30 + k.360 » x + 30 = 150 + k.360 0 0 0 0 0 » x = 0 + k.360 » x = 120 + k.360 0 untuk k = 0 → x = 0 tu untuk k = 0 → x = 120 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {0, 120 } 0
0
0
0
0
0
b. cos (4x + 50 ) – cos – cos (4x + 70 ) = sin 10 , 0 ≤ x ≤ 180 » » »
– 2 – 2 sin (8x
0
0
0
0
0
0
0
0
– 2 – 2 sin (4x + 50 + 4x + 70 ) sin (4x + 50 – 4x – 4x – 70 – 70 ) = sin 10 0
0
0
+ 120 ) sin ( – 20 – 20 ) = sin 10
0
0
0
– 2 – 2 sin (4x + 60 ) sin ( – 10 – 10 ) = sin10 0
0
0
0
sin (4x + 60 ) =
»
sin (4x + 60 ) = , diperoleh: 0
0
0
0
»
0
0
0
0
0
sin (4x + 60 ) = 30 atau sin (4x + 60 ) = sin 150 0 0 0 0 0 0 0 » 4x + 60 = 30 + k.360 » 4x + 60 = 1500 + k.360 0 0 0 0 0 0 » 4x = – 30 30 + k.360 » 4x = 90 + k.360 0 0 0 0 0 0 » x = – 7,5 – 7,5 + k.90 » x = 22,5 + k.90 0 0 untuk k = 1 → x = 82,5 atau untuk k = 0 → x = 22,5 0 0 k = 2 → x = 172,5 k = 1 → x = 112,5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: 0 0 0 0 HP = {22,5 , 82,5 , 112,5 , 172,5 }
E. Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Kosinus, dan Tangen
Bentuk umum persamaan kuadrat dalam sinus, kosinus, tangent. a sin x + b sin x + c = 0 2 0 2 0 a cos x + b cos x + c = 0 2 0 2 0 a tan x + b tan x + c = 0 Beberapa langkah yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dalam sinus, kosinus, dan tangen, diantaranya adalah:
1.
selesaikan persamaan kuadrat dalam sinus, kosinus, dan tangen, seperti menyelesaikan persamaan kuadrat k uadrat biasa dengan cara: memfaktorkan, melengkapkan kuadrat senpurna, dan menggunakan rumus kuadrat. 2. persamaan kuadrat dalam sinus dan kosinus dapat diselesaikan apabila dipenuhi syaratsyarat sebagai berikut. a. syarat perlu, yitu D ≥ 0 0 0 b. syarat cukup, yaitu jika sin x = p dan kita ketahui bahwa –1 bahwa –1 ≤ sin x ≤ 1, mk nili 0 sin x = p harus terletak antara – antara – 1 dan 1 atau –1 atau –1 ≤ p ≤ 1 Jika salah satu di antaran kedua syarat tersebut tidak terpenuhi, maka persamaan kuadrat dalam sinus, kosinus, dan tangen tidak mempunyai penyelesaian. Contoh: 1.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini dalam interval 0 0 ≤ x ≤ 360 . 2 0 0 a. 2 sin x – 5 – 5 sin x + 3 = 0 2 0 0 b. 2 sin x + 3 sin x – 2 – 2 = 0 Jawab: 2 0
0
0
a. 2 sin x – 5 – 5 sin x + 3 = 0, 0, 0 ≤ x ≤ 360 0 2 0 0 Misalnya, sin x = p, maka persamaan 2 sin x – 5 – 5 sin x + 3 = 0 dapat ditulis menjadi: 2p2 – 2p2 – 5p 5p + 3 = 0 » (2p – (2p – 3) 3) (p – (p – 1) 1) = 0
atau p = 1 p = (tidak memenuhi karena nilai p harus –1 harus –1 ≤ p ≤ 1) » p=
0
p = 1 berarti sin x = 1
↔
0
0
sin x = sin 90 0 0 x = 90 + k.360
0
untuk k = 0 maka x = 90 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {90 } 2 0
0
0
b. 2 sin x + 3 sin x – 2 – 2 = 0, 0 ≤ x ≤ 360 0 2 0 0 Misalnya, sin x = p, maka persamaan 2 sin x + 3 sin x – 2 – 2 = 0 dapat ditulis menjadi: 2p2 + 3p – 3p – 2 2=0 » (2p – (2p – 1) 1) (p + 2) = 0 » p=
atau p = – 2
p = – = – 2 (tidak memenuhi karena nilai p harus –1 harus –1 ≤ p ≤ 1) p =
0
berarti sin x =
↔
0
sin x = sin 30 0
0 0
0
0
x = 30 + k.360 atau x = 150 + k.360 0 untuk k = 0 maka x = 0 atau untuk k = 0 maka x = 150
0
0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {30 , 150 } 2.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini dalam interval 0 0 ≤ x ≤ 360 . 2 0 0 0 a. 2cos x + sin2x + cos x – 3 – 3 = 0 2 0 0 b. cos x – 3 – 3 sin x – 1 – 1 = 0 Jawab: 2 0
2 0
0
a. 2 cos x + sin x + cos x – 3 – 3 = 0 2 0 2 0 2 0 0 » cos x + cos x + sin x + cos x – 3 – 3 = 0 2 0 2 0 2 0 0 » cos x + (cos x + sin x ) + cos x – 3 – 3 = 0 2 0 0 » cos x + 1 + cos x – 3 – 3 = 0 2 0 0 » cos x + cos x – 2 – 2 = 0 0 2 0 0 Misalnya, cos x = p, maka cos x + cos x – 2 – 2 = 0 dapat ditulis: p2 + p – p – 2 2=0 » (p + 2) (p – (p – 1) 1) = 0 p1 = – 1 (tidak memenuhi karena nila p harus –1 harus –1 ≤ p ≤ 1) » p2 = 1, berarti cos x0 = 1 0 cos x = cos 0 0 0 » x = 0 + k.360 untuk k = 0 → x = 0 0 k = 1 → x = 360 0 Jadi, himpunan penyelesainaya penyelesainaya adalah HP = {0, 360 } 0
0
b. cos 2x – 3 – 3 sin x – 1 – 1 = 0 2 0 0 » 1 – 2 – 2 sin x – 3 – 3 sin x – 1 – 1 = 0 2 0 0 » – 2 sin x – 3 – 3 sin x = 0 0 2 0 0 Misalnya, sin x = p maka – 2 sin x – 3 – 3 sin x = 0 dapat ditulis: – 2p2 – 2p2 – 3p 3p = 0 » p ( – – 2p2 – 2p2 – 3p) 3p) = 0
p1 = 0 atau p2 = (tidak memenuhi karena nilai p harus –1 harus –1 ≤ p ≤ 1) 0
berarti sin x = 0 0 0 » x = 0 + k.360 untuk k = 0 → x = 0 0 k = 1 → x = 360 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {0, 360 }
F.
Persamaan Trigonommetri Bentuk a sin x + b cos x = c
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk a sin x + b cos x = c adalah dengan cara mengubah bentuk a sin x + b cos x = c menjadi k cos (x – (x – α) α) = c. Untuk mengubh bentuk tersebut menggunakan aturan berikut: cos (x – (x – α) α) = cos x . cos α – sin – sin x . sin α Sehingga: a sin x + b cos x = k cos (x – (x – α) α) = k (cos x . cos α + sin x . sin α) = (k cos α) cos x + (k sin α) sin x = k sin α dn b = k cos α
Maka:
2
2
Kita telah mempelajari identitas trigonometri bahwa cos α + sin α = 1, mk: mk: 2 2 2 2 a + b = (k sin α) + (k cos α) 2 2 2 2 2 a + b = k (sin α) + (cos α) 2 2 2 a + b = k 2
sehingga: k =
√
karena = k sin α dn b = k cos α, mk berlku: tn α =
=
Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa: 1. untuk menentukan nila k adalah: k= 2. untuk menentukn nili α dlh:
√ – 1
α = tn
Jadi untuk menyelesaikan persamaan a sin sin x + b cos x = c adalah dengan menyelesaikan
√ –
persamaan k cos x (x – (x – α) α) Contoh: 1.
dengan syarat
|| {– 0
Tentuka himpunan penyelesaian dari 2 cos x + 2 sin x = 2, untuk 0 ≤ x ≤ 360 . Jawab: 2 cos x + 2 sin x = 2 » cos x + sin sin x = 1
» cos x + sin x = k cos (x – (x – α) α) = 1 a = 1 dan b = 1 k= k= k= α=
√ √ √
α= 0 0 α = 45 tu α = 225 cos x + sin x = 1
»
√
0
cos (x – (x – 45 45 ) = 1 0
» cos (x – (x – 45 45 ) = 0
√
0
0
0
» cos (x – (x – 45 45 ) = cos 45 atau cos (x – (x – 45 45 ) = cos 315 0 0 0 0 » x – 45 – 45 = 45 x – 45 – 45 = 315 0 0 » x = 90 x = 360 0 0 0 0 0 » x = 90 + k.360 x = (360 – 360 360 ) + k.360 untuk k = 0 → x = 900 atau untuk k = 0 → x = 0 0 k = 1 → x = 360 0 0 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah HP = {0, 90 , 360 } 2.
√
Tentukan batas-batas p batas-batas p agar persamaan sin x – x – p p cos x = p Jawab:
√
Agar persamaan sin x – x – p p cos x = p = p
|| – (–) √ (–)
dapat syaratnya adalah:
2
( p p
) ≤
2
2
2 p ≤ 1 + p + p 2 2 p – p2 p2 – 1 – 1 ≤ 0 2 p – 1 – 1 ≤ 0 ( p p + 1) ( p – p – 1) 1) ≤ 0 –1 ≤ p ≤ p ≤ 1 Jadi, agar persamaan di atas dapat diselesaikan syaratnya –1 syaratnya –1 ≤ p ≤ p ≤ 1 3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Jawab:
√
k=
cos x – x – sin sin x = k cos (x – (x – α) α) =
(√ ))
√
√
cos x – x – sin sin x =
√
k=2 tn α = 0
α = 45
√
0
tu α = 330 0
√ √
2 cos (x – (x – 330 330 ) = 0
cos (x – (x – 330 330 ) = 0
0
0
cos (x – (x – 330 330 ) = cos 45 atau cos (x – (x – 330 330 ) = cos 315 0 0 0 0 x – 330 – 330 = 45 x – 330 – 330 = 315 0 0 0 0 x = 375 → x = 15 x = 645 → x = 285 0 0 0 0 x = 15 + k.360 x = 285 + k.360 0 0 untuk k = 0 → x = 15 atau untuk k = 0 → x = 285 0 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {15 , 285 }
0