PERSAMAAN TRIGONOMETRI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI TRIGONOMETRI 1. Persamaan Trigonometri Bentuk Sederhana - sin x = sin a

x1 =  + k . 360

o

o

-

x2 = (180 - ) + k . 360 cos x = cos a

-

x =   + k . 360o tan x = tan a

o

x =  + k . 180 o k : bilangan bulat contoh: tentukan himpunan penyelesaian persamaan persamaan berikut untuk : 0o ≤ x ≤ 360o a. sin x =

1

3

2

b. cos 2x = -

1

3

2

c. tan 3x = 1 d. sin (2x –  (2x – 10 10o) =

1 2

Jawab

a. sin x =

1

3

2 o

o

o

x1 = 60 + k . 360 = 60 , untuk k = 0 x2 = 120o + k . 360 o = 120o, untuk k = 0 o o  jadi HP = {60 , 120 } b. cos 2x = -

1

3

2

2x =  150o + k . 360o o

o

x =  75 + k . 180 x1 = 75o + k . 180o = 75o dan 255o o o o o x2 = -75 + k . 180 = 105 dan 285  jadi HP = {75, 105, 255, 285} c. tan 3x = 1 3x = 45 + k . 180  x = 15 + k . 90  = 15, 105, 195, dan 285  jadi HP = {15, 105, 195, 285} o

d. sin (2x –  (2x – 10 10 ) =

1 2

2x - 10 = 30 + k . 360

atau

2x - 10= 150 + k . 360

2x1 = 40 + k . 360

2x2 = 160 + k . 360

x1 = 20 + k . 180

x2 = 80 + k . 180

x1 = 20 dan 200 k = 0 dan k = 1

x2 = 80 dan 260 k = 0 dan k = 1

 jadi HP {20 {20, 80, 200, 260} latihan soal 1.

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan cos x =

2.

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan tan x =

3.

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan sin 2x =

4.

5.

Tentukan himpunan penyelesaian cos (x - 15) + Tentukan himpunan penyelesaian tan (x + 60 ) +

1 2 1 3

1

untuk 0o ≤ x ≤ 360 o!

2 3

1 2

3=

3

untuk 0o ≤ x ≤ 360o! o o untuk 0 ≤ x ≤ 180 !

0

=0

2. Persamaan Bentuk cos (x + a) + cos (x + b) = c dan sin (x + a) + sin (x + b) = c Untuk menyelesaiakn persamaan trigonometri dengan bentuk cos (x + a) + cos (x + b) = c dan sin (x + a) + sin (x + b) =c, kita ingat kembali rumus-rumus berikut: cos (A + B) + cos (A - B) = 2 cos A . cos B cos (A + B) - cos (A - B) = -2 sin A .sin B sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A . cos B sin (A + B) - sin (A - B) = 2 cos A . sin B contoh Tentukan penyelesaian persamaan berikut, untuk 0 o ≤ x ≤ 360o! a. sin (60 + x) – sin (60 – x) = 1 b. sin 5x – sin x = 0 Jawab: a. sin (60 + x) – sin (60 – x) = 1 

2 cos 60 sin x = 1



2.



1 2

sin x = 1

sin x = 1

sin x = sin 90  diperoleh 

(i)

x = 90 + k . 360 x = ………………………………………………… k=0 k=1 x = …………………………………………………

(ii) x = (180 - 90) + k . 360  x = 90 + k . 360 x = ………………………………………………… k=0 k=1 x = …………………………………………………  jadi himpunan penyelesaiannya ………………………………. b. sin 5x – sin x = 0 

sin (3x + 2x) – sin (3x – 2x) = 0



2 cos 3x sin 2x = 0

cos 3x = 0 atau Untuk cos 3x = 0



sin 2x = 0

cos 3x = cos 90, diperoleh: (i)

3x = 90 + k . 360 x = 30 + k . 120 k=0 x = ………………………………………………… x = ………………………………………………… k=1 k=2 x = …………………………………………………

(ii) 3x = 90 + k . 360 x = -30 + k . 120 k=1 x = ………………………………………………… x = ………………………………………………… k=2 k=3 x = ………………………………………………… Untuk sin 2x = 0 Sin 2x = sin 0, diperoleh: (i)

2x = 0 + k . 360 x = k . 180  x = ………………………………………………… k=0 k=1 x = ………………………………………………… x = ………………………………………………… k=2

(ii) 2x = (180 - 0) + k . 360  2x = 180 + k . 360 x = 90 + k . 180 k=0 x = ………………………………………………… x = ………………………………………………… k=1  jadi himpunan penyelesaiannya …………………………………………………………………………….

3. Persamaan Trigonometri bentuk a cos x + b sin x = c

4. Persamaan Kuadrat dalam sin, cos, dan tan