BAB I ANALISIS VEKTOR Sasaran Pembelajaran
Setelah mengikuti perkuliahan pada bab ini, mahasiswa mampu menggunakan aturanaturan operasi yang ada dalam analisis vektor, pengertian medan skalar dan medan vektor, gradien, divergensi dan curl beserta teoremanya, integral vektor yang mengcakup integral garis, luas dan volume, teorema Gauss dan teorema Stokes untuk menyelesaikan persoalan-persoalan dalam teori medan elektromagnetik. Deskripsi matakuliah
Bab ini membahas mengenai beberapa aturan dalam operasi vektor, medan skalar dan vektor, gradien, divergensi, curl, integral vektor, teorema Gauss dan teorema Stokes. MODUL I ANALISIS VEKTOR 1.1. Pendahuluan
Analisis vektor begitu penting dan sering digunakan dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam fisika khususnya dalam mata kuliah teori medan elektromagnetik. Kebanyakan besaran yang digunakan dalam teori medan elektromagnetik berkaitan dengan vektor dan operasinya, sehingga dirasa perlu membahas kembali mengenai beberapa aturan dalam operasi vektor, pengertian medan skalar dan medan vektor, gradien, divergensi dan curl beserta teoremanya, integral vektor, teorema Gauss dan teorema Stokes serta teori potensial. Analisis vektor sebagai salah satu bagian yang mendasar untuk melatih kemampuan rekayasa matematika supaya dapat menyelesaikan soal-soal dan permasalahan yang banyak dijumpai dalam mata kuliah teori medan elektromagnetik. Fisika merupakan salah satu ilmu yang mencoba menerangkan gejala alam secara lengkap dari hukum-hukum dasar logika penalaran beserta perumusan matematisnya. Oleh karena itu, analisis Vektor yang mulai dikembangkan pada pertengahan abad ke-19 merupakan bagian yang sangat penting dari Fisika Matematika, dimana analisis vektor tidak hanya memberikan suatu notasi yang ringkas untuk memperkenalkan persamaan-persamaan yang muncul dalam perumusan matematika 1
dari persoalan-persoalan Fisika dan Geometri, tetapi juga dapat dipandang sebagai dan dan cara bahasa cara berf berf ik ir yang sangat pantas untuk ilmu-ilmu Fisika. Vektor merupakan suatu besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah, yang dalam penulisannya bisa menggunakan huruf tebal misalkan A (vektor A) atau dapat pula
ditulis sebagai A . Dalam Fisika contoh besaran yang termasuk vektor adalah kecepatan, percepatan, gaya, medan gravitasi bumi, medan listrik dan medan magnet dan lain sebagainya. Sedangkan besaran yang hanya mempunyai besar (nilai) saja disebut skalar seperti misalnya : massa, panjang, potensial gravitasi, potensial listrik dan arus, waktu, temperatur dan lain sebagainya. Dalam persoalan yang terkait dengan medan listrik dan medan magnet, pertama-tama penting untuk mempelajari notasi dan aturan-aturan dalam analisa vektor. Secara grafik, sebuah vektor biasa digambarkan sebagai segmen atau ruas garis yang berarah ke suatu arah, dengan arah tersebut merupakan arah vektor dan panjang panah mencerminkan harga atau nilai
|, seperti pada gambar (1.1) yaitu : (a) vektor ⃗ vektor tersebut dinotasikan sebagai | (A) yang berarah utara, (b) vektor
(B) yang berarah timur-laut dan (c) vector ⃗ (C)
yang berarah barat-laut.
A
B
C
Gambar 1.1. Penggambaran secara grafik dari vektor (N.N. Rao, 1974) Dalam persoalan fisika, tidak mudah menggambarkan vektor-vektor dengan simbol
⃗, , ⃗,
dan seterusnya, jika ingin menyederhanakan bentuk geometri yang
dihubungkan dengan operasi matematika menggunakan vektor-vektor tersebut. Dibutuhkan
suatu sistem koordinat untuk untuk mengurai besar besar dan arah komponenkomponen-
komponen vektor tersebut. 1.2 Aljabar Vektor a. Kesamaan Vektor
Dua vektor dikatakan sama, jika besar (nilai) dan arahnya sama. b. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran genjang atau aturan segi banyak (poligon), contoh : A + B = B + A . Sedangkan 2
pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari vektor yang B = A + (-B). akan dikurangkan, contoh : A – B c. Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor
, ⃗, adalah vektor dan m, n adalah skalar maka, Jika ⃗, 1. 2.
⃗ + = + ⃗ (komutatif terhadap jumlahan) ⃗ + ( + ⃗) = ( ⃗ + ) + ⃗ (asosiatif terhadap jumlahan)
3. Terdapat vektor 0, sehingga: A 0 0 A A (ada elemen netral)
4. Terdapat vektor A , sehingga:
⃗ +(−⃗) = 0
(ada elemen invers)
5. (mn (mn)) A = n( mA )
= 6. ⃗ +
(asosiatif terhadap perkalian)
⃗ +
(distributif terhadap perkalian)
d. Vektor satuan ( un i t vector vector )
Bila suatu vektor A dibagi dengan besarnya yaitu A , maka diperoleh suatu vektor yang besarnya satu satuan dan arahnya sama dengan arah vektor A. Vektor ini dinamakan vektor satuan yang dinotasikan sebagai : rA r
A
ˆ
A
A A
(1.1)
Vektor satuan memainkan peranan penting dalam analisis vektor. pr oduct 1.3 Perkalian skalar (dot pr ) dari dua vektor
Perkalian skalar atau perkalian titik antara vektor A dan vektor B menghasilkan nilai skalar yang didefinisikan sebagai perkalian antara besar vektor A dan besar vektor B dikalikan dengan kosinus sudut terkecil antara kedua vektor tersebut. Secara matematis perkalian titik antara 2 buah vektor dituliskan sebagai :
A B A B cos cos AB cos cos
(1.2)
dengan adalah sudut antara vektor A dan vektor B . Dapat pula ditulis sebagai A B A B cos cos B A cos , dengan kata lain bahwa perkalian titik antara dua vektor adalah perkalian nilai salah satu vektor dan proyeksi vektor kedua ke vektor pertama seperti ditunjukkan pada gambar 1.2.
3
A
Acosθ
B
Gambar 1.2. Perkalian titik (dot ( dot product ) antara vektor A dan B (N.N. Rao, 1974) Perkalian titik memenuhi hukum komutatif, sehingga dapat ditulis sebagai A • B = B • A dan juga memenuhi hukum distributif yaitu A • (B + C) = A • B + A • C dan A • (mB) = (mA) • B = mA • B, dengan m adalah konstanta. Jika diuraikan
komponen vektor dalam koordinat kartesian 3-D, maka vektor A dapat ditulis sebagai A A x i A y j A z k . Vektor satuan i, j dan k saling saling tegaklurus (orthogonal (orthogonal ) dan untuk mengembangkan gagasan ortogonal ini dibutuhkan satu langkah lagi (Arfken, G.B. 2005). Misalkan bahwa n adalah vektor satuan dan r adalah sebuah vektor tidak nol terletak pada bidang xy yang dapat dapat dinyatakan sebagai r xi y j. Jika n r 0 untuk semua pilihan r, maka n harus tegaklurus (orthogonal (orthogonal ) terhadap bidang xy. Apabila i, j, dan k diganti diganti dengan vektor satuan em , dan m = 1,2,3 dengan i e1 dan seterusnya, sehingga:
i i j j k k 1; dan i j j k k i 0 ; j i k j i k 0 . atau dapat ditulis sebagai :
em en mn
(1.3)
mn disebut sebagai delta Kronecker. Untuk m n , maka vektor satuan em dan en adalah ortogonal dan untuk m = n, n, maka masing-masing vektor ternormalisasi bernilai satu, yaitu e1 e1 11 1 yang biasa disebut sebagai ortonormal. Contoh soal 1:
Vektor A 6i 4 j 3k dan vektor B 2i 3 j 3k . Hitunglah : a. A • B b. Sudut antara vektor A dan vektor B Penyelesaian : a.
A B 6i 4 j 3k 2i 3 j 3k 12i i 12 j j 9k k 9
b.
A B A B cos cos
A 61 7,81 dan B 22 4,69 4
cos cos
AB A B
9 7,81 x4,69
0,246
o sehingga 104,2 , sudut antara vektor A dan dan vektor B
Contoh soal 2. Vektor A 3i 2 j 5k dan B 4i j 2k
Hitunglah : a. A • B ? b. Sudut antara vektor A dan vektor B ? Penyelesaian : a.
A B 3i 2 j 5k 4i j 2k 0
b.
A B A B cos cos , sehingga cos cos
AB AB
0
0 0 Sehingga 90 ,270 dan seterusnya, yang menyatakan bahwa vektor A
dan vektor B saling tegak lurus atau dapat dikatakan bahwa vektor A dan vektor B ortogonal. 1.4
pr oduct Perkalian vektor ( cross pr )
Berbeda dengan perkalian titik (dot ( dot product ) yang menghasilkan vektor skalar, perkalian vektor (cross ( cross product ) dari dua buah vektor A dan B selalu menghasilkan besaran vektor yang arahnya mengikuti kaidah tangan kanan, seperti s eperti diperlihatkan pada gambar 1.2. Secara metematis ditulis sebagai : A B A B sin i N
(1.4)
adalah sudut antara vektor A dan vektor B, dan i N adalah vektor satuan yang
arahnya selalu tegak lurus (normal) dengan bidang dimana vektor A dan vektor B dapat dinyatakan dengan : i N
AxB A B sin
(1.5) B
AxB A B iN A
BxA
Gambar 1.3. Operasi perkalian titik untuk dua vektor A dan vektor B (Rao. 1974). 5
Perkalian vektor tidak memenuhi hukum komutatif seperti diperlihatkan pada gambar 1.3 yang menunjukkan bahwa : A x B = - (B x A) atau disebut antikomutatif
(1.6)
Dari definisi di atas perkalian silang menghasilkan :
i x i j x j k x k 0 Sedangkan i x j k, j x k i, k x i j dan j x i -k, k x j -i, i x k -j Contoh perkalian silang dalam Teori Medan Elektromagnetik adalah persamaan gaya magnet yang didefinisikan sebagai : F M qvxB dengan v adalah kecepatan muatan listrik q dan B adalah induksi magnet. Perkalian silang memenuhi hukum asosiatif, sehingga dapat ditulis sebagai : A x (B + C) = A x B + A x C (A + B) x C = A x C + B x C
(1.7)
A x (mB) = mA x B
Dengan m adalah konstanta. Vektor A dan B dapat diuraikan dalam komponen Kartesian yaitu : A x B C (C x , C y , C z ) A x i A y j A z k x B x i B y j B z k
A x B y A y B x (i x j) A x B z A z B x ixk A y B z A z B y k xi Komponen vektor C dapat diuraikan dalam komponen Kartesian yaitu :
C x A x B y A y B x ; C y A x B z A z B x ; C z A y B z A z B y Perkalian silang antara vektor A dan vektor B dapat dituliskan dalam bentuk persamaan determinan matriks sebagai berikut : i
j
k
C A x A y A z
(1.8)
B x B y B z
Keterangan : i, j dan k merupakan vektor satuan ke arah sumbu x, y dan z. A x : besar vektor ke arah x
B x : besar vektor ke arah x
A y : besar vektor ke arah y
B y: besar vektor ke arah y
A z : besar vektor ke arah z
B z : besar vektor ke arah z
Contoh soal 3.
Seperti pada contoh soal no 2, vektor A 3i 2 j 5k dan B 4i j 2k Hitunglah : A x B ? 6
Penyelesaian : i
j
AxB 3 - 2 4
k 5 i4 5 j 6 20 k 3 8 i 26 j 11k
1 -2
1.5. Perkalian Ganda Tiga
Perkalian titik dan silang antara dua vektor sudah dipelajari, namun ada kombinasi perkalian dari tiga vektor yang disebut sebagai perkalian ganda tiga. a. Perkalian skalar ganda tiga
Jika kombinasi perkalian dari ketiga vektor adalah A • (B x C), ini dikenal sebagai perkalian skalar ganda tiga ( triple scalar product ). ). Perkalian vektor
A B AB sin menghasilkan besaran vektor yaitu luas jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor B dan Vektor C. Secara geometri, perkalian titik dengan vektor A akan menghasilkan besaran skalar yaitu volume paralel volume paralel epipedum yang dibentuk oleh vektor A, B dan C, seperti diperlihatkan pada gambar 1.4 di bawah ini.
Gambar 1.4. Volume paralel epipedum yang dibentuk oleh vektor A, B dan C (Arfken, G.B, 2005) Volume ruang tersebut akan bernilai positif atau negatif tergantung pada unsur perkalian silang di dalam perkalian skalar ganda tiga. A B C B C A C A B
- A C B C B A - B A C
(1.9)
(vector product ) ganda tiga b. Perkalian silang (vector Perkalian ganda tiga yang kedua adalah perkalian vektor ganda tiga yaitu perkalian silang dari tiga besaran vektor yang menghasilkan besaran vektor.
7
Misalkan kombinasi perkalian ketiga vektor adalah Ax(BxC), maka perkalian silang ganda tiga dapat disederhanakan dengan apa yang disebut aturan BACCAB yaitu :
A B C B A C C A B
(1.10)
Perhatikan bahwa :
A B C C A B A B C BA C Contoh soal 4 :
Diketahui vektor A i 2 j k , B j k , C i j , hitunglah : a. A•(BxC) b. Ax(BxC) Penyelesaian :
a.
i
j
k
B C 0
1
1 i j - k
1
1
0
A B C i - 2j - k i j - k 0 i
b.
j
k
A B C 1 - 2 - 1 i - k atau 1
1
-1
j k i - j B - C 1.6. Medan
Medan adalah suatu kawasan atau ruang yang pada tiap titiknya terpaut suatu besaran fisis. Bila besarannya adalah besaran vektor, maka medannya disebut sebagai medan vektor dan bila besarannya adalah besaran skalar, maka medannya disebut medan skalar. Medan skalar adalah sebuah medan yang pada setiap titik dalam ruang dihubungkan dengan satu nilai tunggal. Contoh medan skalar adalah potensial listrik, potensial gravitasi dsb. Penggambaran medan skalar dapat dinyatakan dalam peta kontur temperatur dan tekanan atmosfir pada permukaan bumi, peta kontur kedalaman air pada suatu danau, kode warna dan peta relief seperti pada cotoh gambar (1.5) di bawah ini.
8
Gambar 1.5. Sebuah peta relief medan skalar yang diberikan. Misalkan diberikan suatu fungsi skalar : a. (r ) 1 , buatlah plot fungsi skalar berikut dalam dua dimensi. Dalam dua r dimensi r x 2 y 2 setelah dimasukkan nilai x dan y, maka diperoleh seperti gambar 1.6.
Gambar 1.6. Potensial Listrik terhadap suatu muatan titik yang ditempatkan pada pusat koordinat . b. x. y
1
x 2 y 1
2
1
x 2 y 1
2
Jika dimasukkan nilai x dan y, maka diperoleh gambar 1.7.
Gambar 1.7. Potensial dari dipole listrik dengan muatan positif berada di y = 1 dan muatan negatif di y = -1.
Medan vektor adalah sebuah medan yang memiliki nilai dan arah pada setiap titik dalam ruang. Sebagai contoh salju yang jatuh ke permukaan bumi, setiap butir salju memiliki besar dan arah yang berbeda-beda seperti pada gambar 1.8. 9
Contoh lain dari medan vektor adalah kecepatan, percepatan, momontum, medan listrik, medan magnet, medan gravitasi bumi, gaya, dsb.
Gambar 1.8. Panjang dan arah anak panah pada salju jatuh berbeda-beda.
Arah medan gravitasi bumi seperti pada gambar 1.9 dan medan magnet Bumi berperilaku s eolah-olah ada sebuah batang magnet di dalamnya (Gambar 1.10). Perhatikan bahwa kutub selatan magnet bumi terletak di belahan bumi utara.
Gambar 1.9. Medan gravitasi bumi.
Gambar 1.10. Medan magnet bumi
1.7. Differensial Vektor
Suatu besaran vektor umumnya merupakan fungsi dari besaran lain, misalkan fungsi dari besaran waktu, posisi/koordinat dsb. Jadi suatu besaran dapat didifferensialkan ataupun di integralkan terhadap variabelnya. Differensial vektor tersebut adalah suatu operator yang disebut sebagai operator differensial vektor (del sebagai : del ) atau nabla yang didefinisikan sebagai
i
j k x y z
(1.11)
Seperti halnya differensial biasa, operator differensial vektor memenuhi operasi perkalian dengan tiga cara yaitu : 1. Jika bekerja pada suatu fungsi skalar , maka dikenal sebagai ‘Gradien ’. Andaikan fungsi skalar adalah x, y, z , maka dapat dituliskan ’. sebagai :
10
x, y, z grad x, y, z i
j k x y z
(1.12)
Contoh soal 5 :
Hitunglah gradien dari suatu fungsi skalar (r ) x 2 y 2 z 2 Penyelesaian :
(r ) x2 y 2 z 2 i
r r r j k x y z
Jika ditinjau komponen x saja dulu, maka diperoleh,
r 2 x r d r r x y 2 z 2 , sehingga x x dr x r x 1
2
Oleh karena itu untuk komponen y dan z dengan cara yang sama diperoleh : z r 2 y r 2 x y 2 z 2 dan x y 2 z 2 r r y y z z 1
Sehingga (r ) i
1
2
d r x dr r
j
(r ) i x j y k z
d r y dr r
k
d r z dr r
2
atau
1 d r
d r r d r rn r dr dr r dr
Dengan rn adalah vektor satuan yang bernilai positif arah radial. Jadi gradien dari suatu fungsi/medan skalar menghasilkan besaran/medan vektor. 2. Jika bekerja pada pada suatu fungsi/medan vektor melalui perkalian titik (dot product ), ), maka A disebut sebagai ‘Divergensi ’. Secara matematis ditulis sebagai :
A
A x A y A z x y z
(1.13)
Jadi divergensi dari suatu medan vektor menghasilkan medan skalar. Contoh soal 6 : Hitunglah r
Penyelesaian :
r i j k i x j y k z y z x x y z r 3 x y z 3. Jika bekarja pada pada suatu fungsi/medan vektor melalui perkalian silang (cross product ), ), maka A dikenal sebagai ‘Cur l atau i’. Secara atau Rotas matematis ditulis dalam bentuk : 11
A i A z A y j A x A z k A y Ax z z x x y y
(1.14)
Atau
A
i
j
k
x
x
x
A x
A y
A z
Jadi Curl menghasilkan menghasilkan vektor. Pernyataan lain dari adalah jika divergensi dari gradien suatu fungsi/medan skalar, maka akan diperoleh :
2
(1.15)
Persamaan (1.15) merupakan pernyataan yang sangat sa ngat penting yang dikenal sebagai Laplacian dari Laplacian dari fungsi . Dalam fisika matematika ada beberapa persamaan penting yang menggunakan menggunakan laplacian yaitu : 2 1. 0 , dikenal sebagai persamaan Laplace
2. 2
2 3.
1 2 v
2
t 2
1 v 2 t
, dikenal sebagai persamaan Gelombang
(1.16) (1.17)
, dikenal sebagai persamaan difusi atau persamaan konduktivitas
panas.
(1.18)
Beberapa Rumus :
Jika A, B fungsi vektor dan U,V fungsi skalar, maka diperoleh beberapa rumusrumus yaitu : 1. (U + V) = U + V atau grad (U + V) = grad U + grad V 2. • (A+ B) = ∇ •A +∇ •B atau div (A + B) = div A + div B 3. A B A B atau curl ( A + B) = curl A + curl B 4. • (UA) = ( U) •A + U ( •A) 5. × (UA) = (∇ U)×A - U (∇ ×A) 6. 7. 8.
∇ • (A×B) = B×(∇ •A) −A(∇ •B) ∇ × (A×B) = (B•∇ )A− B(∇ •A) − (A•B)B+ A(∇ •B) ∇ •(A•B) = (B•∇ )A + (A•∇ )B+ B×(∇ ×A) + A×(∇ ×B)
2U 2U 2U 9. U U disebut Laplace dari U x2 y 2 z 2 2
12
2 2 2 dan 2 2 2 disebut Operator Laplace x y z 2
10. ∇ × (∇ U) = 0 → curl dari gradien U = 0 11. ∇ • (∇ ×A) = 0 → divergensi dari curl A = 0 12. ∇ ×(∇ ×A) = (∇ •A) −∇ A2
1.8. Integral Vektor
Langkah selanjutnya setelah mempelajari differensial vektor adalah integral vektor. Dalam elektrodinamika dikenal ada tiga macam integral vektor yaitu integral garis, integral luas (fluks) dan integral Volume. 1. Integral Garis
Integral garis dinyatakan dalam bentuk : b
F d l
(1.19)
a
dengan F merupakan fungsi vektor dan d l merupakan elemen perpindahan sepanjang lintasan dari titik a ke titik b, seperti diperlihatkan pada gambar (1.11). Jika yang dilalui merupakan lintasan tertutup (yaitu b = a), maka dapatlah diberikan tanda integral tertutup pada persamaan (1.19) sehingga persamaannya menjadi :
F d l
(1.20)
F
Gambar (1.11). Gaya yang bekerja disepanjang lintasan dari a ke b (Griffiths, D. J., 1999). Integral garis ini sudah sering digunakan dalam fisika, sebagai contoh dalam menghitung kerja (usaha) yang dihasilkan oleh gaya yang bekerja pada sebuah
13
sepanjang lintasan yang dilalui benda tersebut. Secara matematis ditulis sebagai:
W F d l F ( x, y, z )dx F ( x, y, z )dy F ( x, y, z )dz
(1.20)
Dalam kasus khusus yaitu jika F tidak bergantung pada lintasan yang dilalui dari titik a ke titik b akan tetapi hanya bergantung pada posisi awal dan akhir saja. Jika posisi awal dan posisi akhir berimpit atau lintasannya tertutup, maka
F d l 0 . Medan
gaya F ini dikatakan sebagai M edan gaya kons kon ser vatif .
Contoh Soal 7 (Griffiths,D.J., 1999). j dari titik a = (1,1,0) ke Hitunglah integral garis dari fungsi F = y2 i + 2 x( x( y+1) y+1) j
titik b = (2,2,0) melalui lintasan (1) dan (2), seperti ditunjukkan pada gambar (1.12) di bawah ini. Hitunglah
F d l untuk loop dari a ke b melalui lintasan
(1) dan kembali ke a lewat lintasan (2).
Gambar 1.12 Penyelesaian Penyelesaian :
Vektor d l dxi dy j dz k , lintasan (1) terdiri dari dua bagian, sepanjang garis horizontal yaitu dy dz 0 sehingga : 2 (i) d l dxi, y 1, F d l ( y i 2 x y 1) j dxi 2
F d l y dx(i i) dx, sehingga 2
F d l dx 1 1
Sepanjang arah vertikal yaitu dy dz 0 , sehingga (ii) d r dy j dan x = 2, maka F d l 2 x y 1dy 4( y 1)dy, 2
Jadi
F d l 4( y 1)dy 4 y 1dy 10 1
Sehingga hasil integrasi garis yang melalui lintasan (1) adalah : b
F d l 1 10 11 a
14
Sementara itu, pada lintasan (2), diperoleh x y , dx dy dan dz 0 , j dan d l dxi dy j sehingga, F = x = x2 i + 2 x( x( x+1) x+1) j
F d l ( x 2i 2 x x 1) j (dxi dx j)
x 2dxi i 2 x x 1dx j j x 2dx 2 x( x 1)dx 3 x 2 2 x dx b
Jadi
2
2
F d l 3 x2 2 x dx x3 x 2 10
a
1
1
Sehingga untuk loop yang bergerak dari lintasan (1) dan kembali lewat lintasan (2), diperoleh :
F d l 11 10 1 2. Integral Luas
Integral luas dinyatakan dalam bentuk :
J d A
(1.21)
A
Dengan J adalah fungsi vektor dan d A adalah elemen kecil dari luasan yang selalu tegaklurus dengan luas permukaan, seperti ditunjukkan dalam gambar (1.12).
Gambar 1.12. Elemen luasan d A selalu tegak lurus bidang permukaan Tentu saja ada dua luas permukaan yang tegak lurus terhadap setiap luasan, jadi integral luas pada hakekatnya berarti dua. Jika luas permukaan tersebut tertutup misalkan berbentuk “balon”, maka tanda pada integralnya menjadi :
J d A
(1.22)
Hal yang sudah sering dilakukan adalah jika arah vektor luas permukaan ke luar, maka diberi tanda positif. Akan tetapi untuk luasan permukaan bebas, maka tanda tersebut bisa berubah-ubah. 15
Jika J menggambarkan aliran fluida yang menembus suatu luas penampang (massa persatuan luas persatuan waktu), maka
J d A menunjukkan
total
A
massa persatuan waktu yang menembus luasan yang dikenal sebagai fluks ( flux). flux). Contoh soal 8.
Hitunglah integral luasan dari J 2 xz i x 2 j y z 2 3 k di kelima sisi (tidak termasuk alas bawah) dari kotak seperti pada gambar (1.14). Elemen sisi luasan yang arah ke atas dan ke luar diberi nilai positif seperti yang perlihatkan dengan arah anak panah.
Gambar 1.13. Kotak kubus dengan lima sisi yang diberi tanda anak panah. Penyelesaian Penyelesaian :
Utuk sisi (i) diperoleh x 2, d A dydz i , jadi J d A [2 xz i x 2 j y z 2 3 k ] dydz i xzdydz 4 zdydz zdydz 2 xzdydz 2
2
0
0
J d A 4 dy zdz 16 Untuk sisi(ii) diperoleh x 0, d A dydz i , jadi J d A 2 xzdydz xzdydz 0, sehingga sehingga
J d A 0 Untuk sisi (iii) diperoleh y 2, d A dxdz j J d A ( x 2)dxdz , sehingga sehingga 2
2
0
0
J d A ( x 2)dx dz 12 Untuk sisi (iv) diperoleh y 0, d A dxdz j J d A ( x 2)dxdz , sehingga sehingga 2
2
0
0
J d A ( x 2)dx dz 12 Untuk sisi (v) diperoleh z 2, d A dxdyk
16
ydxdy, sehingga sehingga J d A y( z 3 3)dxdy ydxdy 2
2
0
0
ydy 4 J d A dx ydy
Jadi fluks total adalah :
J d A 16 0 12 12 4 20 Permukaan
3. Integral Volume
Integral luas dinyatakan dalam bentuk :
TdV
(1.23)
V
Dengan T adalah adalah fingsi skalar (misalkan fungsi dari temperatur) dan dV adalah adalah elemen kecil volume yaitu dV dxdydz . Sebagai contoh, jika T adalah rapat massa dari zat yang bervariasi dari titik ke titik, maka integral volume menghasilkan total massa. Adakalanya ditemui integral volume dari fungsi vektor :
vdV v i v j v k dV i v dV j v dV k v dV x
y
z
x
y
z
(1.24)
Sebab vektor satuan adalah konstan, sehingga dapat dikeluarkan dari integral.
1.9 Teorema Gradien
Telah dibahas pada integral garis bahwa integral garis suatu fungsi vektor yaitu F dari suatu posisi ke posisi lain menghasilkan harga yang tidak bergantung pada lintasan yang dilalui oleh F, yang dikenal dengan istilah konservatif. Persamaan (1.19) menjadi (David J.Griffiths, 1999): b
F d l W (b) W (a) W
(1.25)
a
Jika F adalah medan vektor, maka W adalah medan skalar. Karena tidak bergantung pada bentuk lintasan, maka lintasan yang dilalui oleh medan vektor F dapat merupakan garis lurus, sehingga : F
dW d r
W
(1.26)
Persamaan (1.25) menyatakan bahwa gradien suatu medan skalar akan menghasilkan medan vektor yang konservatif. Ciri dari medan yang konservatif adalah jika F 0 . Berdasarkan pernyataan dari persamaan (1.26), maka persamaan (1.25) dapat ditulis sebagai : 17
b
W d l W (b) W (a)
(1.27)
a
Persamaan (1.27) disebut sebagai teor . teor ema gr adien Contoh Soal 9 .
Misalkan W xy dan titik a diletakkan pada pusat koordinat (0,0,0) dan titik b 2
W d l
terletak pada koordinat (2,1,0) seperti pada gambar (1.15). Hitunglah dengan menggunakan teorema gradien.
Gambar 1.14
Penyelesaian :
Diketahui : W xy , d l dxi dy j dz k 2
W (i
j k )( xy2 ) i ( xy2 ) j ( xy2 ) y 2i 2 xy j x y z x y
Jadi dengan menggunakan teorema gradien untuk lintasan : (i) y 0; d l dxi, sehinggaW d l y dx 0 2
Jadi
W d l 0 i
(ii) x 2; d l dy j, sehinggaW d l 2 xydy xydy 4 ydy ydy 1
1
Jadi
ydy 2 y W d l 4 ydy ii
2
2
0
0
Sehingga total integralnya adalah 2, sesuai dengan teorema gradien yaitu W (b) W (a) 2 0 2
(iii) Jika lewat lintasan (iii) berarti langsung dari titik a ke titik b, maka persamaan
xydy 34 x dx garisnya adalah : y 12 x, dy 12 dx. W d l y dx 2 xydy 2
2
2
Jadi
W d l iii
0
2
3 4
x dx x 2
1 4
2
3 0
18
1.10 Teorema Divergensi T eor ema dive di verr gensi gensi dinyatakan dalam bentuk persamaan matematis sebagai :
( J)dV J d A V
(1.28)
A
Teorema divergensi diterapkan pada hu kum Gauss untuk medan listrik. Tinjau Gauss suatu keadaan sederhana yaitu terdapat muatan titik q terlatak pada pusat koordinat, maka muatan q akan mengeluarkan garis gaya listrik kesegala arah. Tinjau kuat medan listrik E pada sembarang titik sejauh r dari pusat koordinat o, sehingga jumlah garis gaya listrik yang menembus suatu permukaan tertutup A pada jarak r adalah sama dengan jumlah muatan yang dilingkupi oleh permukaan A. Secara matematis dinyatakan sebagai :
E d A A
V
V
1 ( E)dV 1 dV 0 0
(1.29)
1.11 Teorema Curl
Teorema Curl, dengan nama khusus yaitu Teorema Stokes ( Stokes Theorem ) dinyatakan sebagai berikut :
( E) d A E d l E d l
(1.30)
C
A
Persamaan (1.30) menyatakan bahwa
( E) d A adalah sama dengan integral A
garis dari medan vektor E sepanjang lintasan tertutup sembarang. Untuk suatu permukan tertutup elemen luas d A arahnya normal keluar, sesuai dengan teorema Stokes yang mengikuti kaidah tangan kanan untuk menentukan arah nornal elemen luas tersebut seperti ditunjukkan pada gambar (1.15).
Contoh Soal 10.
Diberikan suatu medan vektor E (2 xz 3 y 2 )j 4 yz k , gunakan teorema Stokes untuk menghitung
E d l yang sesuai arah anak panah seperti yang ditunjukkan
pada gambar (1.16).
19
Penyelesaian :
Diketahui fungsi medan vektor adalah E (2 xz 3 y 2 )j 4 yz k , sehingga :
E (4 z 2 2 x)i 2 z k dan d A dydz i . Jika arah panah berlawanan arah jarum jam, maka arah elemen luasan d A ke arah sumbu x. x. Jika arah panahnya searah jarum jam, maka
d A dydz i tetapi tidak diharuskan searah jarum jam.
Untuk x Untuk x = = 0, maka :
1 1
( E) d A
4 z 2dydz
0 0
A
4 3
Untuk masing-masing segmen garis diperoleh : 1
(i) x 0,
z 0,
E d l 3 y dy, 2
E d l 3 y dy 1 2
0 1
(ii) x 0,
y 1,
E d l 4 z dy, 2
4
E d l 4 z dz 3 2
0
0
(iii)
x 0,
z 1,
E d l 3 y dy, 2
E d l 3 y dy 1 2
1 0
(iv) x 0,
y 0,
E d l 0,
E d l 0dz 0 1
Jadi,
E d l 1
4 3
1 0
4 3
Soal-soal Latihan :
1. Tiga vektor A, B, dan C diberikan oleh A 3i - 2j 2k, B 6i 4j - 2k dan C -3i - 2j - 4k . Hitunglah nilai dari : a. A B C ; b. A (B C) ; c. C (A B) dan d. B (B A) 2. Diberikan
suatu
medan
skalar
x 2 yz 3
dan
suatu
medan
vektor
A xz xz i y 2 j 2 x2 yk . Hitunglah : a. grad b. div divA A c.
curl A A
20
xy 2 yz dan titik a diletakkan pada pusat 3. Diberikan suatu fingsi skalar W x 4 xy 2
3
koordinat (0,0,0) dan titik b terletak pada koordinat (1,1,1), dan tiga lintasan b
lainnya seperti pada gambar di bawah ini. Hitunglah
W d l
dengan
a
menggunakan teorema gradien. a.
0,0,0 1,0,0 1,1,0 1,1,1
b.
0,0,0 0,0,1 0,1,1 1,1,1
c. Lintasan parabolik z x ; y x 2
4. Hitunglah dengan menggunakan teorema divergensi untuk fingsi vektor berikut
J ( xy)i (2 yz ) j (3zx)k , seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
5. Hitunglah dengan teorema Stokes fungsi E ( xy)i (2 yz )j 3zxk dengan menggunakan luas segitiga seperti pada gambar di bawah ini.
Umpan Balik
1. Mahasiswa harus menyelesaikan menyelesaikan semua yang ada secara benar dan memahami arti fisis semua parameter yang berkaitan dengan permasalahan 2. Bila hanya mampu menyelesaikam sebagian dari soal yang tersedia (kurang 40%). Mahasiswa harus mengulang materi bab ini sampai mahasiswa mampu menyelesaikannya secara keseluruhan dan benar.
Kunci Jawaban : grad 2 xy xyz 3i x2 z 3 j 3 x3 yz 2k 2. a. grad
b. divergensiA z 2 y 0 z 2 y
xy x j c. culr A 2 x i 4 xy 2
3.
Griffiths, D.J., 2004 Griffiths, D.J., 2004 b
a.
W d l 7 a
21
b
b.
W d l 7 a
b
c.
W d l 7 a
4.
( J)dV 48 V
E d l
5.
Griffiths, D.J., 2004.
6.
Buat ringkasan dengan benar.
8 3
Daftar Bacaan :
1. Arfken, G. B., 2005 “ Mathematical “ Mathematical Methods For Physicists” 6 rd edition, edition, Elsevier Academic Press 2. Griffiths, D.J., 1999 “ Introduction of Electrodynamics” Electrodynamics” 3rd edition, edition, Prentice Hall, New Jersey 3. Griffiths, D.J., 2004. “ Introduction of ElectrodynamicsElectrodynamics-Solution”, Solution”, 3rd edition, edition, Prentice Hall, New Jersey. 4. Rao, N.N., 1974 “ Basic “ Basic Electromagnetics with Application”, Application” , Prentice Hall of India, New Delhi.
22
23