PLAN DE CLASE
Materia: Matemática
Escuela:
Curso: 3º año
Curso Asignado
Nombre del Alumno: Flavia Marcela Noble
Profesor de la Cátedra
Profesor del Espacio: Cristina Olsavsky Objetivos: •
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Reconocer la presencia de los diferentes movimientos rígidos a través de ejemplos sencillos realizados manualmente. Definir a cada uno de los movimientos rígidos. Identificar ejes y centros de simetría en figuras geométricas. Realizar movimientos rígidos con software matemático Geogebra. Interpretar la modificación de las coordenadas de un punto luego de una traslación en el plano cartesiano y la composición de dos traslaciones.
Objetivos de enseñanza: •
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Proponer actividades en las que los alumnos/as puedan conjeturar propiedades brindándoles herramientas para que sus argumentaciones argumentaciones puedan evolucionar hacia un nivel de formalidad cada vez mayor Proponer actividades en las que los alumnos/as deban realizar construcciones geométricas fundamentando el procedimiento que realicen. Provocar intercambios grupales interviniendo con preguntas que permitan a los alumnos/as tener en cuenta otras dimensiones involucradas en los problemas que están resolviendo. Promover la utilización de medios tecnológicos. Organizar la puesta en común de lo trabajado que permitan el intercambio entre pares. Retomar las expresiones de los alumnos/as para reformularlas utilizando lenguaje matemático.
Eje: •
Geometría y Magnitudes. Magnitudes.
Núcleo: •
Transformaciones en el plano.
Contenidos a abordar: • • • •
Movimientos rígidos: Traslación, Rotación, Simetría Axial y Simetría Central. Ejes de simetría y centros de simetría. Coordenadas de los puntos luego de una simetría en los ejes cartesianos. Composición de simetrías.
Conocimientos previos: • • •
Ubicación de pares ordenados en ejes cartesianos. Vectores. Conocimientos sobre software Geogebra: dibujar figuras geométricas y vectores.
Estrategias didácticas: Realización de ejercicios disparadores con papel y tijera para reconocer conceptos nuevos. Aclaración de dudas y consultas en los bancos en cada una de las actividades. Trabajo de a pares en el aula para lograr el debate y la obtención de conclusiones en conjunto. • •
Actividades: • •
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Se buscará la participación de los alumnos para la introducción del tema. Realiz Realizará arán n ejercic ejercicios ios con fotoc fotocopi opias as de forma forma indivi individu dual al sobre sobre ejes ejes y centro centross de simetría. Responderán Responderán preguntas preguntas orientador orientadoras as para que logren logren definir definir a los movimiento movimientoss rígidos. Trab Trabaj ajar aran an de a dos dos alumn alumnos os con con soft softwa ware re matem matemáti ático co Ge Geog ogeb ebra ra para para saca sacarr conclusiones sobre el movimiento de traslación y puesta en común.
Recursos: • • • •
Papel y tijera, Tiza y pizarrón, Fotocopias, Netbook.
Tiempo: cuatro módulos de 1 hora reloj cada una. Evaluación: Observación de las consultas realizadas. Participación en clase. Realización de los ejercicios propuestos. • • •
Sitios web consultados: http://redescolar.ilce.edu.mx/educontinua/mate/lugares/ma2_03.htm •
Desarrollo de la clase: Actividad 1:
Introducción: Se les pedirá a los alumnos que con papel y tijera vayan siguiendo los siguientes pasos, a fin de introducirlos en los conceptos de los distintos movimientos rígidos.
Para esta actividad necesitarás papel delgado como el papel afiche o de barrilete y
tijeras Primer movimiento: Primero corta una hoja de papel de 20 x 20 centímetros o sea corta el papel en forma de un cuadrado.
Ahora dóblalo a la mitad tal y como se muestra en alguno de los dos dibujos.
Piensa en la figura que quieres que te salga recortada, dibuja la mitad de esa figura en una de las mitades de la hoja doblada, de manera que la mitad del dibujo quede en la parte donde se dobló la hoja. Aquí tienes unos ejemplos:
Recorta tu dibujo por la orilla y tendrás una figura simétrica.
Pregunta: ¿Cómo es el dibujo respecto al dobles efectuado? Respuesta: el dibujo es igual, simétrico. Se explicará que este tipo de simetrías se llama axial y que la recta que queda en el medio de la figura (donde se dobló el papel) se llama eje de simetría. Segundo movimiento: Para descubrir que tipo de simetría es la siguiente, realicemos primero la actividad. Corta un rectángulo de papel de 40 x 20 centímetros.
Dobla a la mitad el rectángulo por el lado más largo, tal y cómo se ve en el dibujo
Vuelve a doblar a la mitad el rectángulo, exactamente de la misma forma y en el mismo sentido que lo hiciste la primera vez. Observa el dibujo:
Haz un dibujo en el rectángulo que quedó después de hacer los dos dobleces.
Recorta tu dibujo por la orilla. Es importante que en los dobleces quede un poco de papel sin cortar
Has obtenido una cadena de dibujos iguales,
Pregunta: ¿Cómo son los dibujos obtenidos? Respuesta: iguales Pregunta: ¿Qué hay que realizar para obtener un dibujo a partir del otro? Respuesta: con sólo mover o trasladar la primera figura, se puede hacer coincidir con las demás. Se explicará que a esto se le llama movimiento de traslación, Si quieres que la cadena te quede más larga, basta hacer más dobleces en el papel antes de hacer tu dibujo, pero recuerda, los dobleces deben ir siempre en la misma dirección. Tercera simetría Para realizar esta actividad necesitarás un cuadrado de papel de 30 x 30 centímetros.
Dobla tu papel por la mitad
Ahora dóblalo otra vez a la mitad, pero esta vez al revés, si el primer doblez lo hiciste hacia la izquierda o hacia la derecha, el segundo deberás hacerlo hacia arriba o hacia abajo.
Con los dobleces que hiciste obtendrás un cuadrado más pequeño.
Ahora viene el doblez más difícil, ¿estás listo? Dobla tu cuadradito por la diagonal, como lo muestra el dibujo
En el triángulo que te queda haz un dibujo que no toque las puntas del triángulo.
Recorta el dibujo que hiciste
Pregunta: si giras la figura, ¿en algún momento obtienes la misma imagen? Respuesta: sí. Pregunta: ¿cómo es el ángulo/s para que suceda ésto? Respuesta: de 90º, de 180º, de 270º y 360º. Se explicará que la figura que quedó se dice que tiene movimiento de rotación porque si la giras o rotas, adecuadamente, obtendrás la misma figura que tenías al principio.
Usando la movimiento de rotación podemos realizar los famosos papeles picados que se usan en los altares de día de muertos; sólo que en los altares, lo que se cuelga no es la figura en sí sino el cuadrado de papel con el hueco que dejó el dibujo al recortarlo. Un ejemplo, hacemos los dobleces necesarios en nuestro cuadrado de papel de china y marcamos figuritas en el triángulo
Recortamos las figuras y desdoblamos:
Y así queda.
Cuarto movimiento: La cuarta simetría puede observarse a partir de la actividad realizada para la tercera simetría. En la siguiente figura con simetría de rotación une las estrellas opuestas.
Responde: ¿Qué observas? Respuesta: Las flechas se cortan todas en el centro de la figura. Se explicará que la figura que quedó tiene simetría central porque a cada punto se le corresponde otro a la misma distancia desde un punto central, llamado centro de simetría. Actividad 2: A continuación se procederá a registrar, con más rigor matemático, la definición de cada movimiento rígido, pidiéndoles a los alumnos que respondan una serie de preguntas orientadoras que se les entregará en unas fotocopias. Ahora vamos a definir: • • • • •
Movimiento rígido, Simetría axial, Traslación, Rotación, Simetría central.
Responde las siguientes preguntas:
2.1. Movimiento Rígido: Pregunta 1: A cada punto de la figura inicial, ¿cuántos puntos le corresponden de la nueva figura? Respuesta: A cada punto de la figura inicial le corresponde uno y solo uno de la nueva figura. Completar: • • • •
A los puntos de la figura inicial se los llama…………………… Rta: preimagen A los puntos de la figura nueva se los llama…………………… Rta: imagen A estos puntos se los llama………………………………………….. Rta: homólogos Los puntos se notan con letras……………………………………….Rta: mayúsculas
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La imagen de un punto P se escribe con…………………………..Rta: apóstrofe.
Pregunta 2: ¿Cómo es la forma y el tamaño de las figuras nuevas con respecto a las iniciales en cada uno de los movimientos hechos? Respuesta: con cada movimiento la forma y el tamaño se mantienen iguales, no cambien. Se explicará que esta es una propiedad de los movimientos rígidos. AHORA: Según las preguntas anteriores, define con tus palabras movimiento rígido.
2.2. Simetría axial: Pregunta 1: Para poder obtener una simetría axial, ¿qué ente matemático es necesario? Respuesta: una recta o eje. Pregunta 2: si unís dos puntos homólogos de las figuras que obtuviste con el movimiento de simetría axial, ¿cuánto miden la distancia de P al eje? ¿Y de P’ al eje? ¿cómo son las dos medidas? Respuesta: miden lo mismo. Pregunta 3: ¿Ocurre esto con todos los puntos homólogos de la figura? Respuesta: sí. Pregunta 4: ¿Cómo se llama la recta que cumple la propiedad anterior con segmento pp’? Respuesta: Se llama mediatriz AHORA: Según las preguntas anteriores, define con tus palabras simetría axial. Se explicará la notación de una simetría axial: S e (P)= P’, donde “e” es el eje de simetría.
2.3. Traslación: Pregunta 1: si unes los puntos homólogos de las figuras que obtuviste con el movimiento de traslación, ¿qué ente matemático vincula los puntos? ¿Por qué? Respuesta: unen los puntos vectores equipolente, pues tienen todos la misma dirección, sentido y módulo. AHORA: Según las preguntas anteriores, define con tus palabras traslación. Se explicará la notación de una traslación: T v (P)= P’, donde “v” es el vector de traslación.
2.4. Rotación: Pregunta 1: Para girar una figura, ¿qué hay que determinar primero? Respuesta: un punto, un centro.
Pregunta 2: ¿Cómo son las distancias de P al centro? ¿Y de P’ al centro? Respuesta: son iguales. Pregunta 3: en las figuras que creaste con papel, si marcas el centro y giras la figura, ¿cuántas veces obtienes la misma figura, hasta llegar nuevamente ala figura inicial? Respuesta: cuatro veces. Pregunta 4: ¿Qué es lo que cambia con cada nueva figura igual al rotarla? Respuesta: cambia el ángulo: 90º, 180º, 270º y 360º. Pregunta 5: si giras al revés de como giraste para responder la pregunta 3, ¿cómo son los ángulos? Respuesta: son -90º, -180º, -270º, y -360º. Completa: •
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Si se gira en sentido de las agujas del reloj se dice que la orientación de la rotación es………………… Rta: negativo Si se gira en contra del sentido de las agujas del reloj se dice que la orientación de la rotación es………………… Rta: positiva.
Pregunta 6: según las preguntas anteriores, ¿qué elementos son necesarios para realizar una rotación? Respuesta: un centro y un ángulo. AHORA: Según las preguntas anteriores, define con tus palabras rotación. Se explicará la notación de una rotación: R(O, alfa) (P)= P’, donde “o” es el centro y alfa el ángulo de la rotación.
2.5. Simetría central: Pregunta 1: Según la figura obtenida para simetría central, ¿qué ente matemático es necesario determinar para realizar una esta simetría? Respuesta: un punto, un centro. Pregunta 2: ¿Cuánto mide la distancia desde el centro a P? ¿Y desde el centro a P’?¿Cómo son estas medidas? Respuesta: son iguales las medidas obtenidas. AHORA: Según las preguntas anteriores, define con tus palabras simetría central. Se explicará la notación de una simetría central: S o (P)= P’, donde “o” es el centro de simetría.
Actividad 3: Determinar si en las siguientes imágenes •
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existe algún eje tal que si se realiza una simetría axial con respecto a él la figura no cambia, existe algún centro tal que al realizar una simetría central con respecto a él la figura no cambie
Luego de está actividad se procederá a darle el nombre matemático que reciben los ejes que cumplen estas características y a anotarlo en las carpetas de la siguiente manera. Hay figuras que son invariantes (no se modifican) al aplicarles una simetría axial. En ese caso, el eje de la misma se llama eje de simetría de la figura.
Si al aplicar a una figura una simetría de centro O la figura no varía, O se dice que es su centro de simetría.
Luego de anotar en la carpeta lo anterior se les preguntará ¿Cuántos ejes de simetría tienen cada uno? ¿Y cuántos centros? Para que concluyan ellos mismos que una figura sólo puede tener un centro de simetría pero varios ejes de simetría. Para finalizar la clase se les pedirá a los alumnos que trabajen con sus netbook utilizando software Geogebra en grupos de a dos o tres personas para sacar conclusiones de las siguientes actividades. Actividad 4: 4.1. Actividad con Geogebra: Traslación con el programa GeoGebra. • Abrir el programa GeoGebra Inicio – Todos los Programas – GeoGebra –
Construcción de una traslación utilizando la herramienta incorporada en el software. Dibuja en la ventana geométrica un triángulo ABC y un vector u.
El software trae incorporada la herramienta para realizar movimientos rígidos en el plano, por lo que la traslación de una figura se puede realizar en pocos pasos. Selecciona la herramienta “Traslación de un objeto acorde a un vector”
Luego con el mouse marca el triángulo ABC y después marca el vector u. Con lo realizado anteriormente, el software efectuará automáticamente la traslación del triángulo ABC. La imagen será el triángulo A’ B’ C’.
Ahora conjetura y justifica según con la actividad anterior: •
Observa cómo es cada punto de la figura homóloga y saca conclusiones sobre el valor de sus coordenadas con respecto a la original. Ayuda: considera el vector equipolente con origen en el centro del sistema de coordenadas.
Se espera que los alumnos descubran por sí solos que las coordenadas de los puntos de una figura luego de una traslación es la suma del punto más el módulo del vector u. 4.2. Actividad con Geogebra: Dibuja un cuadrilátero cualquiera y dos vectores de traslación v y u.
Realiza la traslación del cuadrilátero con el vector v, y al cuadrilátero homólogo (al cuadrilátero resultado) la traslación con el vector u.
Ahora realiza la misma actividad pero aplicando primero una traslación con el vector u, y al homólogo con el vector v.
Ahora conjetura y justifica según con la actividad anterior: a) ¿Cómo son los resultados finales de las dos composiciones anteriores?
Respuesta: Se espera que los alumnos respondan que el resultado final es el mismo cuadrilátero, y que deduzcan que el orden para realizar una composición de traslaciones no altera el resultado final. b) Si tuvieses que realizar un solo movimiento para construir el cuadrilátero resultado a partir de su homólogo primero, ¿qué movimiento rígido harías? Respuesta: Por el tema previo visto de vectores los alumnos deberían responder que la composición de dos traslaciones es lo mismo que realizar una sola traslación con el vector suma de los vectores v y u. Se finalizará con una puesta en común para que cada alumno pueda expresar con sus palabras lo que conjeturó y para que pueda argumentarlo.
Ejercitación en la carpeta: 1. Realizar las traslaciones de las figuras determinadas por los puntos indicados con el vector v: a) A=(1:2), B=(-3;6), C=(7;-4) y v=(-5;4) b) A=(9;9),B=(-6;3),C=(-2;-3),D=(3;12) y v=(1;-2) 2. Realizar las simetrías centrales de las figuras determinadas por los puntos indicados y centro de simetría O: a) A=(-2;5), B=(6;4), C=(2;-1) y O=(4;3) b) A=(0;0), B=(1;2), C=(5;3), D=(-2;8) y O=(0;0) 3. Realizar las simetrías axiales de las figuras determinadas por los puntos eje a elección:
indicados y
a) A=(10;2), B=(-3;-1); C=(0;3) b) A=(-1;-1), B=(0;2), C=(-4;-8), D=(5;6) 4. Realizar las rotaciones de las figuras determinadas por los puntos indicados y ángulo alfa y centro O: a) A=(2;2), B=(-2;2), C=(2;-2) , alfa=60º y O=(0;0) b) A=(0;-1), B=(4;-2), C=(-1;-1), D=(3;5) , alfa= -120º y O=(7;6) 5. Investigar qué es un friso y en qué se relacionan con los movimientos rígidos. 6. Confeccionar un friso para cada uno de los siguientes casos, deben tener: a) una simetría axial y una traslación b) ningún movimiento c) una simetría axial horizontal u una vertical.
Ejercitación en la netbook: 1. Dibuja en el Geogebra un cuadrilátero y realiza una simetría axial con una recta. Luego investiga, conjetura y justifica cómo se relacionan los puntos homólogos de ambas figuras. 2. Dibuja en el Geogebra un triángulo y realiza una composición de simetrías axiales para cada uno de los siguientes casos. Luego investiga, conjetura y justifica a que sería equivalente hacer esta composición: a) si las rectas son coincidentes b) si las rectas son paralelas c) si las rectas son perpendiculares d) si las rectas son oblicuas 3. Dibuja en el Geogebra un cuadrilátero y realiza una simetría central con una recta. Luego investiga, conjetura y justifica cómo se relacionan los puntos homólogos de ambas figuras. 4. Dibuja en el Geogebra un triángulo y realiza una composición de simetrías centrales para cada uno de los siguientes casos. Luego investiga, conjetura y justifica a que sería equivalente hacer esta composición:
a) si los puntos son coincidentes b) si los puntos no son coincidentes 5. Dibuja en el Geogebra un cuadrilátero y realiza una rotación con centro en O=(0;0) y ángulo a) 85º b) -110 6. Dibuja en el Geogebra un cuadrilátero y realiza una composición de rotaciones con centro en O=(0;0) y ángulos de 45º y 60º. Luego investiga, conjetura y justifica a que sería equivalente hacer esa composición.
Evaluación de Matemática: “Movimientos rígidos” Nombre y apellido: Curso y año: Fecha: Cada ejercicio vale un punto y debe estar justificado. Se evaluará el desarrollo, la correcta resolución de cada ejercicio y la prolijidad. Este examen se aprueba con 7 puntos. Escribir con tinta todos los resultados y no usar corrector, sino tachar p rolijamente. Firmar al finalizar el examen con tinta. 1) Identificar en la siguiente imagen todos los movimientos rígidos posibles:
2) Marcar en las siguientes figuras los ejes de simetrías y centros de simetría de cada figura:
3) Determina las coordenadas y el módulo del vector de la traslación que transforma el punto A en el punto B
4) El triángulo de la figura se ha trasladado primero de la posición 1 a la 2, mediante una traslación de vector (3,-3), y luego a la 3 por una traslación de vector (2,-3). ¿Cuál es el vector de la traslación que pasa directamente de 1 a 3?.
5) Dados los puntos A=(-2,2) y B=(3,-4), escribe las coordenadas del vector AB 6) ¿Qué punto se obtiene al trasladar el punto P=(-1,4) mediante el vector v=(4,-1)? 7) ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico del P=(4,-2) en la simetría de eje la bisectriz del primer cuadrante? 8) Al aplicar al punto P primero una simetría de eje e1 y luego una simetría de eje e2, resulta el punto P’’. ¿Cuál es el ángulo del giro que transforma directamente P en P’’
9) ¿Cuál es el centro de la simetría que transforma el punto P=(4,-2) en el P’=(-2,0)? 10) Responder verdadero o falso, y justifica: a) b) c)
La forma de cualquier figura se mantiene constante con los movimientos rígidos Una simetría central es como si reflejáramos en un espejo Los polígonos regulares tienen tantos ejes de simetría como número de lados
Justificación del plan de clase según la bibliografía estudiada durante el año: Galagovsky, Lydia: “Enfoques: hacia una didáctica humanística de la matemática”, Cap XI: Variables del proceso enseñanza aprendizaje, propuestas para el trabajo en el aula.
A : “Todo conflicto está sustentado en una pregunta. Toda pregunta y todo problema representan proyectos más o menos esquematizados de acciones o de operaciones para aplicar sobre determinado dato”, pág. 171.
B : “Cada alumno debe ser el dueño de su conflicto cognitivo. Y, además, éste debe hacerse consciente y verbalizarse en las palabras con que cada alumno pueda expresarse”, pág. 172.
C : “El conflicto que se genera en la mente del alumno no debe ser tan grande que lo angustie, o se sienta impotente de resolverlo. Debe ser un conflicto concreto, consciente, reconocido y sobre el cual puede elaborar un esquema de acción para solucionarlo”. Pág. 172.
D : “Fabricar una hipótesis para solucionar un conflicto es la actividad más creativa del estudiante. Es una construcción intelectual donde el alumno utiliza un pensamiento del nivel de aplicación”. Pág. 173.
E : “El alumno aporta al aprendizaje un interés proporcional al grado de actividad que se le permite desplegar”. Pág. 176.
F : “Durante la discusión se pondrán en evidencia hipótesis y consecuencias que se derivan de causas y/o efectos”. Pág. 177.
G : “Entender la hipótesis de otro compañero es un ejercicio mental de abstracción que debe estimularse desde edad temprana”. Pág. 179.
H : “El docente tiene que dar lugar en tiempo y en su espacio para que sean los propios alumnos quienes expongan sus argumentos, equivocados o no, para que los defiendan, se pregunten y contesten y traten de hacerse entender por el otro, en un clima de respeto, orden y contención”. Pág. 180.
I : “En el transcurso de las discusiones o puestas en común, el docente percibirá claramente cuáles de sus alumnos captaron la esencia del conflicto cognitivo, cuáles generaron hipótesis, cuáles cometieron errores sistémicos, constructivos y/o equivocaciones. Todas estas observaciones son evaluativas del proceso de aprendizaje significativo que realiza, o no, cada alumno.” Pág. 181.
J : “La participación en clase es el mecanismo que mejor garantiza la consecución de un aprendizaje significativo”. Pág. 185.
K : “… habrá que estimular cuánto se descuenta por cada error cometido…”. Parra, Cecilia. Saiz, Irma: “Didáctica de las Matemáticas- Aportes y reflexiones”, Charnay, Roland.
A : “El modelo llamado “incitativo” (centrado en el alumno) •
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El maestro escucha a sus alumnos, suscita su curiosidad, le ayuda a utilizar fustes de información, responde a sus demandas, […] El alumno busca, organiza, luego estudia, aprende, […] El saber está ligado a las necesidades de la vida, del entorno, […]”
B : “El modelo llamado “aproximativo” (centrado en la construcción del saber por el alumno) El maestro propone y organiza una serie de situaciones con distintos obstáculos […], organiza las diferentes fases,…” Organiza la comunicación de la clase, propone en el momento adecuado los elementos convencionales del saber (notaciones, terminología). El alumno ensaya, busca, propone soluciones, las confronta con las de sus compañeros, las defiende o las discute.” •
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C : “El problema como criterio del aprendizaje” D : “El problema como móvil del aprendizaje. •
Motivación: situación basada en lo vivido.”
E : “El problema como recurso de aprendizaje (la resolución de problemas como fuente, lugar y criterio de la elaboración del saber)”
F : “Sólo hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problema para resolver” G : “Los conceptos matemáticos no están aislados” H : “La interacción social es un elemento importante en el aprendizaje”.
Polya, George: “Resolver problemas de forma heurística. Estrategias para la resolución de problemas”
A : “Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas generalizó su método en los siguientes cuatro pasos: I. Entender el problema. II. Configurar un plan. III. Ejecutar un plan. IV. Mirar hacia atrás.”
B : “No les deis únicamente “saber, sino “saber hacer”, actitudes intelectuales, el hábito de un trabajo metódico.”
C : “Enseñadles a conjeturar”. D : “No reveléis de pronto toda la solución, dejad que los estudiantes hagan suposiciones, dejadles descubrir por sí mismo siempre que sea posible”.
Diseño curricular 1er año y 2do año.
A : “Hacer matemática es básicamente resolver problemas”. B : “El docente es el responsable de organizar situaciones de enseñanza que presenten desafíos que los alumnos/as reconozcan ser capaces de aceptar generando interés por la resolución de los problemas, lo que les permitirá construir nuevos conocimientos”.
C : “… las generalizaciones a las que los alumnos/as arriban deberán ser producto de un proceso de reflexión sobre el trabajo realzado a partir de la discusión con los pares y el docente…”
D : “para propiciar el aprendizaje de la matemática, el docente planifica situaciones de enseñanza en las que están involucradas problemas en juego sus conocimientos”.
E : “… recurrir a preguntas orientadoras, a una nueva lectura de la situación, a la evocación de situación anteriores que tengan relación con el problema”
F : “El docente debe planificar sus intervenciones y prever las posibles respuestas de los alumnos”
G : “El docente procurará que los alumnos/as muestren a sus compañeros la validez de sus desarrollos con argumentos sólidos”
