Problema 07
Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos. Los resultados obtenidos son: ▪ 10 familias tienen hijos en Enseñanza !sica" Enseñanza #edia $ %niversitaria. %niversitari a. ▪ 1& familias tienen hijos en Enseñanza !sica $ %niversitaria. %niversitari a. ▪ '0 familias tienen hijos en Enseñanza #edia #edia $ Enseñanza !sica. ▪ (( familias tienen hijos en Enseñanza #edia $ %niversitaria. %niversitari a. ▪ )( familias tienen hijos en Enseñanza #edia. ▪ )1 familias tienen hijos en Enseñanza !sica. ▪ '* familias tienen hijos en Enseñanza %niversitaria. %niversitaria . +on la informaci,n anterior" deducir: - El nmero de familias /ue solo tienen hijos universitarios. - El nmero de familias /ue tienen hijos solo en dos niveles. - El nmero de familias /ue tienen hijos /ue no estudian. Problema 08
En un una a reu euni ni,n ,n do dond nde e as asis iste ten n 11 110 0 pe pers rson onas as"" se de dete term rmin in, , /u /ue e 5 pe pers rson onas as so son n acion ac ionada adass al ju jue2o e2o"" 50 son aciona acionadas das al vino $ 55 a las es estas tas"" ade adem! m!ss ha$ 11 pers pe rson onas as /u /ue e so son n a aci cion onad adas as al vi vino no"" al ju jue2 e2o o $ a la lass e est stas as"" e3 e3is iste ten n 4 pe pers rson onas as acionadas acio nadas al jue2 jue2o o $ vino solamente solamente"" ha$ 15 pers personas onas /ue son acionada acionadass al jue2 jue2o o solamente $ por por ltimo * a las estas $ al vino solamente. solamente. etermine los si2uientes eventos: a6 El nmero de personas /ue es acionada al vino solamente. b6 El nmero de personas /ue es acionada a las estas solamente. c6 El nmero de personas /ue no son acionadas a nin2una de las tres tres actividades. Problema 09
El departamento de +iencias Sociales de una universidad cuenta con *00 estudiantes" estudiantes" por lo /ue decidi, realizar un estudio sobre el nmero de estudiantes /ue durante el actual semestre semestre cursaran la asi2natura de #etodolo27a #etodolo27a de la 8nvesti2aci,n" 8nvesti2aci,n" 9dministraci,n" 9dministraci,n" $ Estad7stica. Estad7stica. 9 travs de una encuesta" se obtuvieron obtuvieron los si2uientes datos: #etodolo27a #etodolo27a 40" 9dministraci,n 9dministraci,n 1&0 $ Estad7stica Estad7stica '(0. #etodolo27a $ 9dministraci,n 40" #etodolo27a $ Estad7stica ((" 9dministraci,n $ Estad7stica )*. eterminar la cantidad de los /ue: Estudian las ' asi2naturas. (. Estudian solo Estad7stica. '. Estudian #etodolo27a $ 9dministraci,n. . Estudian 9dministraci,n $ Estad7stica. Probl Pro blema ema 1
9 la entrada de la escuela" se les aplic, a 15& niños una encuesta respecto a sus ju2uetes favoritos. La encuesta arroj, los si2uientes resultados: ▪ 9 5( niños les 2ustaba el bal,n; a &' les 2ustaban los carritos; a *) les 2ustaban los videojue2os. ▪ 9dem!s al2unos de ellos coinciden en /ue les 2ustaba m!s de un ju2uete: (& jue2an con el bal,n $ carritos; ') jue2an con carritos $ videojue2os; (' jue2an con el bal,n $ los videojue2os; videojue2 os; por ultimo ) e3presaron su 2usto por los tres. a6 <9 cu!ntos niños les 2usta otro ju2uete no mencionado en la encuesta= b6 <9 cu!ntos niños les 2usta solamente ju2ar con los videojue2os= c6 <9 cu!ntos niños les 2usta solamente ju2ar con el bal,n= Problema 2
La secretar7a de educaci,n municipal re/uiere la provisi,n de (4 car2os docentes en las si2uientes !reas: 1' profesores en matem!ticas" 1' profesores en f7sica $ 15 en sistemas. >ara el cubrimiento de los car2os se re/uiere /ue: & dicten matem!ticas $ f7sica" dicten f7sica $ sistemas $ 5 profesores dicten matem!ticas $ sistemas. eterminar: a6 <+u!ntos profesores se re/uiere /ue dicten las ' !reas= b6 <+u!ntos profesores se re/uiere para dictar matem!ticas nicamente= c6 <+u!ntos profesores se re/uiere para dictar matem!ticas $ sistemas pero no f7sica= Problema 3
Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos. Los resultados obtenidos son: ▪ 10 familias tienen hijos en Enseñanza !sica" Enseñanza #edia $ %niversitaria. %niversitari a. ▪ 1& familias tienen hijos en Enseñanza !sica $ %niversitaria. %niversitari a. ▪ '0 familias tienen hijos en Enseñanza #edia #edia $ Enseñanza !sica. ▪ (( familias tienen hijos en Enseñanza #edia $ %niversitaria. %niversitari a. ▪ )( familias tienen hijos en Enseñanza #edia. ▪ )1 familias tienen hijos en Enseñanza !sica. ▪ '* familias tienen hijos en Enseñanza %niversitaria. %niversitaria . +on la informaci,n anterior" deducir: - El nmero de familias /ue solo tienen hijos universitarios. - El nmero de familias /ue tienen hijos solo en dos niveles. - El nmero de familias /ue tienen hijos /ue no estudian. Problema 4
En una encuesta sobre consumo de bebidas" se obtuvieron los si2uientes datos: a6 &)? beben 9 o " $ 1'? beben ambas. ambas. b6 54? beben o + $ 11? beben ambas. ambas. c6 )5? beben 9 o + $ 15? beben ambas. d6 el 1&? no no consume nin2una nin2una bebida. 1. +alcular el porcentaje /ue consume s,lo una bebida. (. etermine el porcentaje /ue beben las tres bebidas
Problema 5
%na encuesta sobre 500 estudiantes inscritos en una o m!s asi2naturas de #atem!tica" @7sica $ Au7mica durante un semestre" semestre" revel, los si2uientes nmeros nmeros de estudiantes en los cursos indicados: indicados: #atem!tica '(4" @7sica @7sica 1*&" Au7mica (45" #atem!tica #atem!tica $ @7sica *'" #atem!tica $ Au7mica Au7mica (1)" @7sica $ Au7mica &'. +u!ntos +u!ntos alumnos estar!n estar!n inscritos en: a6 Los tres cursos b6 #atem!tica pero no Au7mica c6 @7sica pero no matem!tica d6 Au7mica pero no @7sica e6 #atem!tica o Au7mica" pero no @7sica f6 #atem!tica $ Au7mica" pero no @7sica
26 #atem!tica pero no @7sica ni Au7mica
Problema 6
%na encuesta sobre (00 personas acerca del consumo de tres deter2entes -9lbino" lancura $ +laridad+laridad- revel, los si2uientes datos: ▪ 1(& personas consum7an +laridad. ▪ 1( personas no consum7an 9lbino. ▪ '& usuarios de deter2ente no consum7an ni 9lbino ni lancura. ▪ 1)0 personas consum7an por lo menos uno de los tres productos. ▪ &0 personas consum7an 9lbino $ +laridad. ▪ 0 personas consum7an los tres productos. ▪ 5& personas no consum7an lancura. 96 <+u!ntas personas consum7an solamente lancura= 6 <+u!ntas personas consum7an 9lbino $ lancura= +6 <+u!ntas personas consum7an solamente 9lbino= Ejemplo 1
e una encuesta hecha a 1'5 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas 9" $ +; se obtienen los si2uientes resultados: Bodos leen al2una de las ' revistas; todos" menos 0" leen 9; 15 leen 9 $ pero no +" & leen $ + pero no 9; 10 leen s,lo +. El nmero de los /ue leen 9 $ + es el doble del nmero de los /ue leen las ' revistas. El nmero de los /ue leen s,lo es el mismo /ue el total de los /ue leen 9 $ +. Se2n todo esto" hallar el nmero de los /ue leen solamente 9.
Ejemplo 2
e un 2rupo de &( trabajadores" trabajadores" (5 laboran en laf!brica 9" '' trabajan en la f!brica " 0
laboran en la f!brica + $ ) trabajadores est!n contratados en las tres f!bricas. <+u!ntas personas trabajan en dos de estas f!bricas solamente=
Ejemplo 3
e un 2rupo de *0 personas: - () le7an la revista 9" pero no le7an la revista . - (& le7an la revista " pero no +. - 14 le7an + pero no 9. - ( las tres revistas mencionadas. mencionadas. <+u!ntos prefer7an otras revistas=
Ejemplo 4
En una ciudad de 10"000 habitantes adultos el )0? de los adultos escuchan radio" el 0? leen los peri,dicos $ el 10? ven televisi,n" entre los /ue escuchan radio el '0? lee los peri,dicos $ el ? ven televisi,n" el 40? de los /ue ven televisi,n" lee los peri,dicos" $ solo el (? de la poblaci,n total adultos lee los peri,dicos" ven televisi,n $ escuchan
radio se pide: a6 +uantos habitantes no escuchan radio" no lee peri,dicos ni ven televisi,n. b6 +uantos habitantes leen peri,dicos solamente.
Ejemplo 5
En una investi2aci,n realizada a un 2rupo de 100 personas" /ue estudiaban varios idiomas fueron los si2uientes: Español (*" 9lem!n '0" @rancs (" Español $ 9lem!n *" Español $ @rancs 10" 9lem!n $ @rancs 5 $ los tres idiomas '.
a6 <+u!ntos alumnos no estudiaban idiomas= b6 <+u!ntos alumnos ten7an como francs el nico idioma de estudio=
Ejemplo 6
En una esta infantil ha$ ' sabores refresco; 2uanaba" naranja $ tamarindo. Cepresente 2r!camente con dia2rama de Denn $ con e3presiones matem!ticas los si2uientes consumos de refrescos por parte de los niños. 9. o consumen a2ua de 2uanaba . no les 2usta nin2uno de los tres sabores +. preeren solo a2ua de 2uanaba . preeren a2ua de 2uanaba $ naranja" pero no de tamarindo
Ejemplo 7
En un 2rupo de estudiantes el &0? aprueba matem!ticas" el )0? aprueba español pero el 15? pierden ambas materias. +alcule:
9. El porcentaje de estudiante /ue aprueban ambas materias. . El porcentaje de estudiantes /ue solo aprob, matem!ticas. +. El porcentaje de estudiante /ue solo aprob, español. FF Soluci,n
Ejemplo 8
>ara in2resar al cole2io Brilce" un 2rupo de *0 niños dieron ' e3!menes para ser admitidos" al nal" se supo /ue: - (* aprobaron el 1er e3amen - '( aprobaron el (do e3amen - '0 aprobaron el 'er e3amen - * aprobaron solo el 1er $ (do e3amen - 10 aprobaron el (do $ el 'er e3amen - aprobaron los tres e3!menes - 1* no aprobaron e3amen al2uno <+uantos alumnos fueron admitidos si solo se necesita aprobar ( e3!menes=
Ejemplo 9
Se realizo una encuesta entre alumnos de una universidad; los si2uientes son los datos /ue muestran la preferencia de al2unos alumnos de primer semestre por ciertas asi2naturas" a '& les 2usta matem!ticas" a '4 les 2usta la administraci,n" a ') les 2usta
biolo27a" a 1& les 2usta administraci,n $ biolo27a" a 15 matem!ticas $ administraci,n" a 1 les 2usta matem!ticas $ biolo27a $ & tienen preferencia por las tres materias. a6 <+uantos alumnos fueron encuestados= b6 <+uantos alumnos preeren solamente matem!ticas= c6 <+uantos estudiantes no preeren biolo27a= d6 <+uantos estudiantes preeren matem!ticas o biolo27a pero no administraci,n= FF Soluci,n Ejemplo 10
En una encuesta se encontr, /ue 140 personas viajan en avi,n" 110 personas viajan en tren $ 150 viajan en ,mnibus. El nmero de personas /ue s,lo viaja en ,mnibus es la mitad de los /ue s,lo viajan en tren $ un tercio de los /ue s,lo viajan en avi,n. El nmero /ue s,lo viaja en tren $ ,mnibus es la mitad de los /ue s,lo viajan en avi,n $ tren. Si el nmero de personas /ue viaja por los tres medios es un tercio de los /ue solo viajan en avi,n $ ,mnibus"
En un estudio sobre las bases matem!ticas de 50 estudiantes inscritos en estad7sticas se encontr, /ue el numero de estudiantes /ue hab7an cursado distintas asi2naturas de matem!ticas era como si2ue: !l2ebra de matrices ('" 2eometr7a anal7tica 1*" matem!tica nita 1'" !l2ebra de matrices $ 2eometr7a anal7tica '" !l2ebra de matrices $ matem!tica nita &" 2eometr7a anal7tica $ matem!tica nita '" $ todas las tres materias 1. a6 <+u!ntos estudiantes ha$ /ue jam!s han tomado nin2una de las tres materias= b6 <+u!ntos estudiantes han tomado solo al2ebra de matrices" solo 2eometr7a anal7tica $ solo matem!tica nita= c6 <+u!ntos estudiantes han tomado solamente al2ebra de matrices $ 2eometr7a anal7tica= d6 <+u!ntos estudiantes han tomado solo al2ebra de matrices $ matem!tica nita="
En una encuesta a 100 inversionistas" se observa lo si2uiente: - 5 s,lo poseen acciones. - 15 poseen solamente valores. - )0 son propietarios de bonos. - 1' poseen acciones $ valores. - (' tienen valores $ bonos. - 10 son propietarios s,lo de acciones $ bonos. +ada uno de los 100 invierte por lo menos en al2o. Galle el nmero de inversionistas /ue: a6 Bienen valores" bonos $ acciones. b6 Bienen s,lo una de ellas. c6 Bienen al menos una. d6 Bienen" cuanto mucho" dos de ellas. FF Soluci,n Ejemplo 13
%na compañ7a compr, 500 tornillos en una subasta de la 89. Los cuales pueden utilizarse en tres diferentes operaciones b!sicas como se indica a continuaci,n: (55 tornillos para la operaci,n 9" (15 para la operaci,n +" (5 para las operaciones 9 $ +
solamente. 1(5 tornillos para las operaciones 9 $ . 105 para la operaci,n solamente. '45 para las operaciones 9 o + &0 para las operaciones $ +. 1. Gallar el nmero de tornillos /ue se pueden utilizar en las tres operaciones. (. Gallar el nmero de tornillos /ue son desechados /ue no sirven para nin2una operaci,n. FF Soluci,n Ejemplo 14
En una investi2aci,n se encontr, /ue el *? del publico lee la revista 9; el 50? lee la revista ; lee la revista +; el (0? lee la revista 9 H ; el 10? lee la revista H + el 1'? lee las revistas 9 H + el 10? no lee nin2una de las revistas. a.
%n total de 40 alumnos realizo ' e3!menes para aprobar un curso" se observ, /ue los /ue aprobaron un solo e3amen es i2ual el /u7ntuple de los /ue aprobaron los ' e3!menes" $ los /ue aprobaron solo ( e3!menes es el triple de los /ue desaprobaron los ' e3!menes" si el numero delos /ue desaprobaron los tres e3!menes es i2ual al numero de los /ue aprobaron los ' e3!menes. >ara probar el curso es necesario /ue los alumnos aprueben al menos ( e3!menes .La cantidad /ue lo aprob, es a6 '& b61( c61& d6(0 FF Soluci,n Ejemplo 16
e un 2rupo de *0 personas: - () le7an la revista 9" pero no le7an la revista . - (& le7an la revista " pero no +. - 14 le7an + pero no 9. - ( las tres revistas mencionadas. <+u!ntos prefer7an otras revistas= FF Soluci,n Ejemplo 17
En un evento internacional el &0? de los participantes habla in2ls $ el (5? habla castellano. Si el (0? de los /ue hablan in2ls tambin habla castellano $ son 1(00 los /ue hablan solo in2ls
En una encuesta realizada a 1(0 pasajeros" una l7nea area descubri, /ue a * les 2ustaba el vino ID6 con sus alimentos" a )* les 2ustaba las bebidas preparadas I>6 $ a && el t helado IB6. 9dem!s" a '& les 2ustaba cual/uier par de estas bebidas $ a ( pasajeros les 2ustaba todo. Encuentre: a6 <+u!ntos pasajeros solamente les 2usta el t= b6 <9 +uantos de ellos solamente les 2usta el vino con sus alimentos= c6 <9 +uantos de ellos solamente les 2usta las bebidas preparados=
d6 <+u!ntos de ellos les 2usta al menos ( de las bebidas para acompañar sus alimentos= e6 <+u!ntos de los pasajeros no beben ni vino. ni tJ" ni bebidas preparadas= FF Soluci,n Ejemplo 19
Entre los alumnos de la %9 se realizo un encuesta sobre /ue empresa han utilizado para nave2ar por 8nternet" arrojando los si2uientes resultados: - 1*? solo K. - 1&? + $ K. - 0? B - *? solo + $ B - 4? solo K $ B - ('? solo B - 1(? por nin2una de las tres. Cealice un dia2rama adecuado /ue conten2a la informacion recien entre2ada $ conteste: a6 Au porcentaje de alumnos han utilizado solo dos de estas empresas= b6 Au porcentaje han utilizado las tres compañias= Ejemplo 20
Se considera reprobados en estad7stica en los estudios universitarios a los estudiantes /ue sal2an aplazados en dos de los tres e3emenes del semestre. Si los resultados actuales son: 5 aprobaron ters e3!menes" (0 aprobaron el primero $ el se2undo" 15 aprobaron el primero $ el tercero" (5 aprobaron el se2undo $ el tercero" '5 aprobaron el primero" 50 aprobaron el se2undo $ 5 aprobaron el tercero. Si el total es 100 <+u!ntas personas deben repetir estad7stica=
Ejemplo 21
Ejemplo 22
Ejemplo 23
Ejemplo 24
%n 2rupo de j,venes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte Ibicicleta" motocicleta $ autom,vil6. Los datos de la encuesta fueron los si2uientes: #otocicleta solamente: 5; #otocicleta: '*; o 2ustan del autom,vil: 4; #otocicleta $ bicicleta" pero no autom,vil: '; #otocicleta $ autom,vil pero no bicicleta: (0; o 2ustan de la bicicleta: )(; in2una de las tres cosas: 1; o 2ustan de la motocicleta: &1. ici $ auto pero no moto: 1. +onstru$a un dia2rama de venn con la informaci,n $ determine los si2uientes eventos: 1. <+u!l fue el nmero de personas entrevistadas= (. <9 cu!ntos le 2ustaba la bicicleta solamente= '. <9 cu!ntos le 2ustaba el autom,vil solamente= . <9 cu!ntos le 2ustaban las tres cosas= 5. <9 cu!ntos le 2ustaba la bicicleta $ el autom,vil pero no la motocicleta= Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.
Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) se pueden volcar directamente: !ora con el dato II) se puede completar la única "ona que #alta en el conjunto MOTO, !aciendo la di#erencia $% & ('*$) + :
-uego utili"aremos el dato VI), pues si consideramos todas las "onas, ecepto las cuatro correspondientes al conjunto BICI, de/er0n sumar 1', luego 1' & ('*) + 23:
4espu5s de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las "onas, ecepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, de/er0n sumar 6, luego 6 & (*$) + :
7or último utili"aremos el dato VIII) pues si consideramos todas las "onas, ecepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, de/er0n sumar 3, luego 3 & (23) + 2:
8on lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas: a. 66 personas. /. ninguna. c. 23 personas. d. personas. e. a 2 personas.
Diez problemas propuestos. (Con respuestas). ) 9na encuesta so/re * personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos y : $% personas consum;an pero no . '3 personas consum;an y . 22 personas no consum;an ni ni . a. /. c. d.
<8u0ntas personas consum;an = >ta: $22 personas. <8u0ntas personas consum;an = >ta: $% personas. <8u0ntas personas consum;an pero no = >ta: ' personas. <8u0ntas personas consum;an por lo menos uno de los dos productos= >ta: 2*3 personas.
') 9na encuesta so/re * personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos y : 2 personas consum;an por lo menos uno de los dos productos. '62 personas consum;an . 1% personas consum;an pero no . a. /. c. d.
ta. @l 33,2A ta. @l '$,'A c) ta. @l 2$,'A d) ta. @l %A
$) 9na encuesta so/re * personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos y : $ personas consum;an por lo menos uno de los dos productos. '1 personas consum;an . '* personas consum;an pero no . 4emostrar que los resultados de la encuesta no son atendi/les.
>ta: 8uando se trata de volcar los datos se ve que donde dice que de/e !a/er '1, sólo ca/r;an solamente *.
2) 9na encuesta so/re ' personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos , y 8 : * personas consum;an sólo . '* personas consum;an sólo . personas consum;an sólo 8. * personas consum;an y , pero no 8. % personas consum;an y 8, pero no . % personas consum;an 8 y , pero no . 1 personas no consum;an ninguno de los tres productos. a. /. c. d. e.
<8u0ntas personas consum;an = >ta. 3% personas. <8u0ntas personas consum;an = >ta. 3 personas. <8u0ntas personas consum;an 8= >ta. $% personas. <8u0ntas personas consum;an , y 8= >ta. 2 personas. <8u0ntas personas consum;an por lo menos uno de los tres productos= >ta. %$personas. #. <8u0ntas personas consum;an o = >ta. 1$ personas. g. <8u0ntas personas no consum;an 8 = >ta. 3' personas. !. <8u0ntas personas no consum;an ni 8 ni = >ta. 2' personas.
*) 9na encuesta so/re ' personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos , y 8 : $ personas consum;an . %* personas consum;an . $ personas consum;an 8. personas consum;an y 8, pero no . $ personas consum;an y 8. % personas consum;an y 8. * personas consum;an y , pero no 8 a. <8u0ntas personas no consum;an ninguno de los tres productos= >ta. % personas. /. <8u0ntas personas consum;an los tres productos= >ta. $ personas. c. <8u0ntas personas consum;an pero no ni 8= >ta. ' personas. d. <8u0ntas personas no consum;an = >ta. 1 personas. e. <8u0ntas personas consum;an por lo menos uno de los tres productos= >ta. % personas. 3) Bo/re un grupo de 2* alumnos se sa/e que: 3 alumnos leen novelas. % alumnos leen ciencia Ccción. 1 alumnos leen cuentos. $ alumnos leen novelas, ciencia Ccción y cuentos. alumno lee sólo cuentos y ciencia Ccción. % alumnos leen sólo cuentos. 2 alumnos leen sólo novelas y ciencia Ccción. <8u0ntos alumnos leen sólo ciencia Ccción= >ta. alumnos. <8u0ntos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia Ccción= >ta. alumnos.
1) 9na encuesta so/re * niDos internados en un !ogar reveló los siguientes datos: $% eran menores de die" aDos. * eran !u5r#anos de padre y madre. '' eran !u5r#anos de padre 12 no eran menores de aDos, ni eran !u5r#anos de madre o padre. $ eran menores de die" aDos, !u5r#anos de madre y padre. 6 eran menores de die" aDos, !u5r#anos sólo de padre. $ eran !u5r#anos sólo de madre. a. <8u0ntos niDos eran !u5r#anos de madre= >ta. % niDos. /. <8u0ntos niDos menores de die" aDos eran !u5r#anos de madre= >ta. % niDos.
%) 9na encuesta so/re ' personas acerca del consumo de tres productos , y 8 reveló los siguientes datos: '3 personas consum;an 8. '2 personas no consum;an . $3 personas no consum;an ni ni . 1 personas consum;an por lo menos uno de los tres productos. 3 personas consum;an y 8. 2 personas consum;an los tres productos. *3 personas no consum;an . a. <8u0ntas personas consum;an solamente = >ta. '% personas /. <8u0ntas personas consum;an y = >ta. *3 personas. c. <8u0ntas personas consum;an solamente = >ta. Ninguna persona. 6) @n una #0/rica de $. empleados, !ay: .%% varones. .3 personas casadas. $% t5cnicos (varones o mujeres) * t5cnicos casados ' t5cnicos varones casados. .'3 varones casados. '3 t5cnicos varones. a. <8u0ntas mujeres no casadas tra/ajan en la #0/rica= >ta. 1% mujeres. /. <8u0ntas mujeres t5cnicas tra/ajan en la #0/rica= >ta. ' mujeres. c. <8u0ntas mujeres t5cnicas casadas tra/ajan en la #0/rica= >ta. $ mujeres. d. <8u0ntas mujeres tra/ajan en la #0/rica= >ta. .' mujeres. 6) 9na encuesta so/re un grupo de personas acerca del consumo de tres productos , y 8 reveló los siguientes datos: *6A 1$A %*A 2A $$A 21A *A
usan . usan . usan 8. usan y . usan y 8. usan y 8. usan los tres productos.
ta. No son atendi/les porque el total de la gente encuestada ser;a del A y no del A
Ejercicio !"#
%na compañ7a de se2uros hace una investi2aci,n sobre la cantidad de partes de siniestro fraudulentos presentados por los ase2urados. +lasicando los se2uros en tres clases" incendio" autom,vil $ otros" se obtiene la si2uiente relaci,n de datos: El &? son partes por incendio fraudulentos; el 1? son partes de autom,viles fraudulentos; el '? son otros partes fraudulentos; el 1? son partes por incendio no fraudulentos; el (4? son partes por autom,vil no fraudulentos $ el )? son otros partes no fraudulentos. a. Gaz una tabla ordenando los datos anteriores $ hallando el porcentaje total de partes fraudulentos $ no fraudulentos. b. +alcula /u porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios" cu!l a la de autom,viles $ cu!l a otros. 9ñade estos datos a la tabla. c. +alcula la probabilidad de /ue un parte esco2ido al azar sea fraudulento. <+u!l ser!" en cambio" la probabilidad de /ue sea fraudulento si se sabe /ue es de la rama de incendios= $oluci%n#
a. $ b. La tabla de porcentajes con los datos del enunciado $ los totales es la si2uiente: 8+E8 M @C9%%LEBMS & M @C9%%LEBMS 1 BMB9L (0
9%BM#ND8 L 1 (4 '0
MBCMS
BMB9L
' ) 50
10 40 100
b. a Es f!cil ver sobre la tabla /ue la probabilidad de esco2er al azar un parte fraudulento es del 10?. b La probabilidad condicionada /ue se pide es: >I@C9%EO8+E8M6P&O(0P0.'
Se tienen ) libros $ solo ' espacios en una biblioteca" $ se /uiere calcular de cu!ntas maneras se pueden colocar ' libros ele2idos; entre los siete dados" suponiendo /ue no e3istan razones para preferir al2uno.
En un principio se puede ele2ir cual/uiera de los ) libros para ubicarlo en >rimer lu2ar espus /uedan & libros posibles para colocar en el se2undo lu2ar $ por ltimo solo 5 libros para el tercer lu2ar.
>or lo tanto las distintas maneras en /ue se pueden llenar los ' huecos de la biblioteca es: ).&.5 P (10 Si se tienen n libros $ tres lu2ares es: n.In - 16.In - (6 En 2eneral para n libros $ Q lu2ares resulta: n. In-16. In-(6. ..... .Rn- IQ-16 +on la f,rmula: D n"Q P nTOIn-Q6T D)"'P)TOI)-'6TP).&.5.TOTP).&.5
%n hospital cuenta con (1 cirujanos con los cuales ha$ /ue formar ternas para realizar 2uardias. <+u!ntas ternas se podr!n formar=
Se trata de formar todas las ternas posibles" sin repetir elementos en cada una" $ sin importar el orden de los elementos.
Si /uisiramos formar todas las ternas posibles" sin repetici,n de elementos en cada una" para ele2ir el primer elemento ha$ (1 posibilidades" para el se2undo /uedan (0 posibilidades" $ para el tercero 14 posibilidades" por lo tanto el nmero de ternas posibles est! dado por: (1U (0U14 P )4*0 >ero en este caso cada terna aparece repetida en distinto orden" por ejemplo tendremos: 9+" 9+" 9+" +9 $ +9. Son seis ternas con los mismos elementos" /ue est! dado por el factorial de '. >or lo tanto el total de ternas obtenido )4*0" ha$ /ue dividirlo por & )4*0O& P 1''0 Se pueden or2anizar las 2uardias de 1''0 maneras diferentes Este es un problema de combinaci,n. Si llamamos m al nmero de elementos del conjunto $ n al nmero /ue inte2rar! cada uno de los conjuntos /ue debemos formar" de modo /ue ls elementos de cada uno sean diferentes $ no importa el orden" se tiene la f,rmula: +m"n P mTO InT. Im-n6T6
Problemas propuestos con respuesta
1.- Si en un colectivo ha$ 10 asientos vac7os.
&.-<e cu!ntas maneras se pueden ordenar en hilera todas las chas blancas de ajedrez" si no son distin2uibles entre s7 las del mismo tipo= I>or ejemplo los * peones6. Cta: &.*&.*00 ).-<+u!ntos tri!n2ulos /uedan determinados por & puntos" tales /ue no ha$a ' alineados= Cta:(0 *.- Bres personas suben en la planta baja al ascensor de un edicio /ue tiene 5 pisos. <e cu!ntas maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en nin2n piso baja m!s de una persona=
Cta: &0
4.-<+u!ntos nmeros de cifras distintas se pueden formar con los d72itos del 1 al 4= Cta: '0( 10.-<e cu!ntas maneras se pueden ordenar & discos en un estante= Cta:)(0 11.-En un edicio en el /ue viven (5 personas adultas ha$ /ue formar una comisi,n interna de ' personas. <+u!ntas comisiones se pueden formar= Cta: ('00 1(.-%n marino tiene banderas distintas para hacer señales. <+u!ntas señales diferentes puede hacer si coloca ' banderas en un m!stil una sobre otra= Cta: (
1'.-<+u!ntas palabras de 5 letras pueden formarse" ten2an o no sentido" usando las letras de la palabra +%9ECM=Cta: &)(0 1.-<+u!ntos e/uipos de ftbol se pueden formar con los (0 alumnos de un curso= Cta: 1(5.4)0 15.-<e cu!ntas maneras se pueden ordenar las ( letras del alfabeto 2rie2o= Cta: (T 1&.-<e cu!ntas maneras se pueden bajar de un ascensor personas" en un edicio /ue tiene ) pisos= Cta: (01 1).- +on ' mujeres $ 5 varones: a. <+u!ntos triunviratos /ue ten2an ( personas del mismo se3o se pueden formar= b. <+u!ntas hileras de * personas se pueden formar si las mujeres no pueden ocupar ni el primer ni el ltimo lu2ar= c. <+u!ntas hileras de ) personas se pueden formar si personas del mismo se3o no pueden ocupar lu2ares consecutivos= Cta: a6 5 b6100 c6 )(0 1*.- <e cu!ntas maneras pueden alinearse 10 personas" si ' de ellas deben estar juntas= Cta: (14(0 14.- <+u!ntos caracteres se pueden formar con los puntos $ ra$as del alfabeto #orse" si en cada uno entran hasta de tales elementos= Cta: '0 (0.- <e cu!ntas maneras se pueden colocar 10 libros en un estante" si deben ocupar los mismos lu2ares" an cuando estos puedan intercambiarse entre s7= Cta: 1)(*0
(1.- <e cu!ntas maneras se pueden colocar en la & hombres" no pudiendo uno determinado estar nunca a la cabeza= Cta: &00 ((.- <+u!ntos paralelo2ramos /uedan determinados cuando un 2rupo de * rectas paralelas son intersecadas por otro 2rupo de & rectas paralelas= Cta: (0 ('.- En un 2rupo de 1* alumnos ha$ /ue formar un 2rupo de &. a. <e cu!ntas maneras puede hacerse= b. <e cu!ntas maneras puede hacerse sabiendo /ue un alumno en particular" Vuan" debe inte2rar el 2rupo= c. <e cu!ntas maneras puede hacerse e3clu$endo a Vuan Cta: a6 + 1*"&" b6 + 1)"5 c6+ 1)"& (.- En una ciudad 9 los nmeros telef,nicos se forman con nmeros I0 a 46 no pudiendo ser cero el primero de ellos" $ en otra ciudad con 5 nmeros con las mismas condiciones ortafolioX $ se obtuvieron los si2uientes resultados: * leen WineroW" 0 leen WSemanaX" ' leen W>ortafolioX" (5 leen WineroX $ WSemanaX" 1 leen WSemanaX $ W>ortafolioX" (' leen WineroX $ W>ortafolioX $ ' estudiantes leen las tres revistas.
1. Se pide ilustrar el problema con un dia2rama de Denn. (. etermine el nmero de estudiantes entrevistados '. Cesponda: a. ortafolioX d. <+u!ntos estudiantes leen la revista inero o >ortafolio= . 8ndi/ue por comprensi,n $ por e3tensi,n" los resultados de las operaciones entre conjuntos /ue hacen parte de la situaci,n planteada.
1. Se pide ilustrar el problema con un dia2rama de Denn. (. etermine el nmero de estudiantes entrevistados PF &' '. Cesponda: a. ortafolioX PF @ d. <+u!ntos estudiantes leen la revista inero o >ortafolio= PF *Y11 P 54 En la facultad de derecho" han /uedado 100 alumnos aceptados para sus estudios superiores. En un re2istro estad7stico" se encuentran ' 2rupos de alumnos con las si2uientes calicaciones aprobatorias para su in2reso a la %9+9C: ZC%>M 9 Ilos /ue obtuvieron 100 de calicaci,n6: 10 alumnos. ZC%>M Ilos /ue obtuvieron 45 de calicaci,n6: 15 alumnos. ZC%>M + Ilos /ue obtuvieron 40 de calicaci,n6: (0 alumnos. 9dicionalmente se obtiene /ue: 5 alumnos pertenecen al 2rupo 9 $ ) alumnos pertenecen al 2rupo 9 $ + 5 alumnos pertenecen al 2rupo $ + Barea: a6 Mbten2a el dia2rama de Denn /ue representa el problema b6 +uantos sacaron una calicaci,n distinta de estas ' calicaciones=
c6 +uantos obtuvieron nicamente 40 de calicaci,n= d6 +uantos pertenecen al 2rupo $ + simult!neamente" pero no a 9= e6 +oloree o sombree las !reas de las operaciones anteriores $ obten2a su formulaci,n en terminolo27a de conjuntos. En una encuesta a 100 inversionistas" se observa lo si2uiente: U 5 s,lo poseen acciones. U 15 poseen solamente valores. U )0 son propietarios de bonos. U 1' poseen acciones $ valores. U (' tienen valores $ bonos. U 10 son propietarios s,lo de acciones $ bonos. +ada uno de los 100 invierte por lo menos en al2o. Galle el nmero de inversionistas /ue: a6 Bienen valores" bonos $ acciones. b6 Bienen s,lo una de ellas. c6 Bienen al menos una. d6 Bienen" cuanto mucho" dos de ellas. bueno /uiero saber como lo resuelve pors aa$udeme
a6 Bienen valores" bonos $ acciones. PF ' b6 Bienen s,lo una de ellas. PF 5 Y 15 Y ') P 5) c6 Bienen al menos una. PF 100 d6 Bienen" cuanto mucho" dos de ellas. PF 100 - ' P 4) %na fabrica produce 100 art7culos por cada hora" de los cuales pasan el control de calidad &0. Las fallas en el resto" fueron fallas del tipo 9" tipo $ tipo +" $ se repartieron del modo si2uiente: * art7culos con fallas del tipo 9 $ del tipo " 1( art7culos con solo fallas del tipo 9" ' art7culos con fallas de los tres tipos" 5 art7culos con fallas del tipo 9 $ +" ( art7culos con solo fallas del tipo + $ tipo . El nmero de art7culos /ue tuvieron una sola falla de tipo + o de tipo fue el mismo. <+u!ntos art7culos tuvieron fallas del tipo = <+u!ntos art7culos tuvieron una sola falla= Gola" las respuestas son: <+u!ntos art7culos tuvieron fallas del tipo = PF 1* <+u!ntos art7culos tuvieron una sola falla= PF 1(Y*Y* P (* El dia2rama de Denn los puedes ver a/u7
Se consideran reprobados para pasar el tercer año de la escuela de economia de cierta universidad a los estudiantes /ue sal2an aplazados en 9nalisis #atematico I96" Beoria Economica IB6 $ Estadistica IE6. Los resultados obtenidos en cierto semestre fueron: 5 aprobados en las ' materias" (0 aprobados en analisis $ estadistica" 15 aprobados en analisis $ teoria" (5 aprobados en teoria $ estadistica" '5 aprobados en analisis" 50 aprobados en teoria $ 5 aprobados en estadistica. Si el total de personas es 40. <+uant!s personas deben repetir el semestre=
%n 2rupo de j,venes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte Ibicicleta" motocicleta $ autom,vil6. Los datos de la encuesta fueron los si2uientes:
a6 #otocicleta solamente: 5 b6 #otocicleta: '* c6 o 2ustan del autom,vil: 4 d6 #otocicleta $ bicicleta" pero no autom,vil:' e6 #otocicleta $ autom,vil pero no bicicleta: (0 f6 o 2ustan de la bicicleta: )( 26 in2una de las tres cosas: 1 h6o 2ustan de la motocicleta: &1 <+u!l fue el nmero de personas entrevistadas= PF 44 <9 cu!ntos le 2ustaba la bicicleta solamente= PF 0 <9 cu!ntos le 2ustaba el autom,vil solamente= PF & <9 cu!ntos le 2ustaban las tres cosas= PF 10 <9 cu!ntos le 2ustaba la bicicleta $ el autom,vil pero no la motocicleta= PF 1
En el ++9D Eje +afetero ha$ un cierto nmero de estudiantes /ue se matricularon en el primer periodo intersemestral de este año (015" para lo cual debemos de determinar dicho nmero. Se sabe /ue cada uno de los estudiantes matriculados en dicho centro estudia" al menos" uno de los tres si2uientes cursos: >ensamiento L,2ico $ #atem!tico I>L#6" +atedra %nadista I+%6" Gerramientas Beleinform!tica IGB6. >ues bien" al vericar en Ce2istro $ control la base de datos se obtuvo la si2uiente informaci,n: >ensamiento L,2ico $ #atem!tico * matricularon; 5 se matricularon en +atedra %nadista; en Gerramientas Beleinform!ticas 4 estudiantes 2uran matriculados; (* matricularon simult!neamente >L# $ +%; (& matricularon de manera conjunta >L# $ GB; los cursos de +atedra %nadista $ Gerramientas Beleinform!ticas poseen (* estudiantes matriculados simult!neamente; los tres cursos fueron matriculados a la vez por 1* estudiantes. Se pre2unta:
a. <+u!ntos estudiantes in2resaron al ++9D Eje +afetero para el primer intersemestral de este año (015= PF * Y ) Y 10 Y 1' P )* b. <+u!ntos estudian >ensamiento L,2ico $ #atem!tico junto con +atedra %nadista" pero no Gerramientas Beleinform!ticas= PF 10 c. <+u!ntos estudian nicamente Gerramientas Beleinform!ticas= PF 1'
e un total de &0 9L%#MS del primer curso 15 estudian solamente ruso" 11 estudian ruso e in2les" 1( estudian sola aleman" * estudia ruso $ aleman" 10 estudian solo in2les" 5 estudian in2les $ aleman" $ ' los tres idiomas. etermina a6
%n conjunto formado por (50 personas present, una prueba formada por tres pre2untas. Lue2o de la correcci,n" se obtuvieron los si2uientes resultados: () respondieron correctamente las tres pre2untas" '1 respondieron correctamente s,lo la primera $ la se2unda pre2unta" '( respondieron correctamente s,lo la primera $ la tercera pre2unta"
15 respondieron correctamente s,lo la se2unda $ la tercera pre2unta" 1' respondieron correctamente la pre2unta 1" *) respondieron correctamente la se2unda pre2unta $ 1(4 respondieron correctamente la pre2unta tres. +on la a$uda del dia2rama de Denn calcule el nmero de personas /ue no respondi, correctamente nin2una pre2unta.
En una encuesta realizada a 1(0 pasajeros" una l7nea area descubri, /ue a * les 2ustaba el vino ID6 con sus alimentos" a )* les 2ustaba las bebidas preparadas I>6 $ a && el t helado IB6. 9dem!s" a '& les 2ustaba cual/uier par de estas bebidas $ a ( pasajeros les 2ustaba todo. Encuentre: a6 <+u!ntos pasajeros solamente les 2usta el t= PF 1* b6 <9 +uantos de ellos solamente les 2usta el vino con sus alimentos= PF 0 c6 <9 +uantos de ellos solamente les 2usta las bebidas preparados= PF '0 d6 <+u!ntos de ellos les 2usta al menos ( de las bebidas para acompañar sus alimentos= PF 1(Y1(Y1(Y( P &0 e6 <+u!ntos de los pasajeros no beben ni vino. ni tJ" ni bebidas preparadas= PF 1(
En una reuni,n se determina /ue 0 personas son aliados al jue2o" '4 son aliados al vino $ * a las estas" adem!s ha$ 10 personas /ue son aliadas al vino" jue2o $ estas" e3isten 4 personas aliadas al jue2o $ vino solamente" ha$ 11 personas /ue son aliadas al jue2o solamente $ por ltimo nueve a las estas $ el vino solamente. eterminar: 8. El nmero de personas /ue es acionada al vino solamente. PF 11 88. El nmero de personas /ue es acionada a las estas solamente. PF 14
n conjunto formado por (50 personas present, una prueba formada por tres pre2untas. Lue2o de la correcci,n" se obtuvieron los si2uientes resultados: () respondieron correctamente las tres pre2untas" '1 respondieron correctamente s,lo la primera $ la se2unda pre2unta" '( respondieron correctamente s,lo la primera $ la tercera pre2unta" 15 respondieron correctamente s,lo la se2unda $ la tercera pre2unta" 1' respondieron correctamente la pre2unta 1" *) respondieron correctamente la se2unda pre2unta $ 1(4 respondieron correctamente la pre2unta tres.
+on la a$uda del dia2rama de Denn calcule el nmero de personas /ue no respondi, correctamente nin2una pre2unta. PF '(
as profesoras de un cole2io est!n preparando un campin2 para esto re2istraron la si2uiente informaci,n sobre las preferencias de los niños I/ue son '56 para acampar en la nca de 9melia" ernardo o +atalina: ( /uieren ir donde 9melia $ ernardo pero no donde +atalina" ) donde 9melia $ ernardo" solo donde +atalina" ' solo donde ernardo" * donde ernardo $ +atalina" 1' donde 9melia o ernardo mas no donde +atalina $ 1' donde 9melia $ +atalina $ dijo tambin /ue el /ue no di2a a donde /uiere ir /ue se /uede en su casa. Se pre2unta: - +u!ntos niños preeren ir donde 9melia PF (' - +u!ntos niños preeren ir donde ernardo $ +atalina solamente PF ' - +u!ntos niños preeren ir solo a una de las ncas PF * Y ' Y P 15 - +u!ntos niños preeren ir a las tres ncas PF 5 - +u!ntos niños se /uedaran en casa PF (
%n 2rupo de j,venes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporteIicleta" #otocicleta" 9utom,vil6
Los datos de la encuesta fueron los si2uientes: 8-#otocicletas solamente 5 88-#otocicletas '* 888-motocicleta $ bicicleta pero no autom,vil ' 8D-#otocicleta $ autom,vil pero no bici (0 D-Solamente autom,vil & D8-9utom,vil $ bicicleta ( D88-icicleta () D888-in2uno de las ' cosas 1 a6<+al fue el nmero de personas entrevistadas= PF 44 b6<9 cantos les 2ustaba la bicicleta solamente= PF 0 c6<9 cantos les 2ustaban ls ' cosas= PF 10 d6 <9 cantos no les 2ustaban los autom,viles= PF 4
Se realizo una encuesta entre alumnos de una universidad; los si2uientes son los datos /ue muestran la preferencia de al2unos alumnos de primer semestre por ciertas asi2naturas" a '& les 2usta matem!ticas" a '4 les 2usta la administraci,n" a ') les 2usta biolo27a" a 1& les 2usta administraci,n $ biolo27a" a 15 matem!ticas $ administraci,n" a 1 les 2usta matem!ticas $ biolo27a $ & tienen preferencia por las tres materias. a6 <+uantos alumnos fueron encuestados= P )' b6 <+uantos alumnos preeren solamente matem!ticas= P 1' c6 <+uantos estudiantes no preeren biolo27a= P 1' Y 4 Y 1 P '& d6 <+uantos estudiantes preeren matem!ticas o biolo27a pero no administraci,n= P 1' Y 1' Y * P '
n un supermercado se realiza una prueba para de2ustar diferentes tipos de ceviche $ para conocer los 2ustos de los clientes se administro una muestra de (00 personas" la cual re[ejo los si2uientes datos: *5 probaron de corvina 110 probaron de camarones 1(5 probaron de combinacion 0 probaron de corvina $ camarones 50 probaron corvina $ combinacion &5 probaron de camarones $ combinacion (5 probaron los tres tipos de ceviche
ncuestados 100 deportistas para conocer la forma en /ue se hidratan se obtuvo los si2uientes resultados :
a2uaP5 ju2oP'( 2aseosaP'5 solo a2uaP(& solo ju2oP1( a2ua $ ju2oP15 cual/uiera de las tres P*
Ejercicio &."!&#
Se lanzan dos dados e/uilibrados con seis caras marcadas con los nmeros del 1 al &. Se pide: a. Galla la probabilidad de /ue la suma de los valores /ue aparecen en la cara superior sea mltiplo de tres. b. <+u!l es la probabilidad de /ue los valores obtenidos dieran en una cantidad ma$or de dos=
$oluci%n#
El espacio muestral del e3perimento es: @ P \I1"16; I1"(6; I1"'6; I1"6; I1"56; I1"&6; I("16; ...; I&"&6] $ est! formado por '& sucesos elementales e/uiprobables. +onstitu$en el nmero de casos posibles del e3perimento. %tilizando la re2la de Laplace" calculamos las probabilidades de los sucesos /ue nos piden: a. Si llamamos al suceso obtener una suma mltiplo de '" los casos favorables al suceso son: P \I1"(6; I("16; I1"56; I("6; I'"'6; I"(6; I5"16; I'"&6; I"56; I5"6; I&"'6; I&"&6]. >or tanto" 7( ) P 1(O'& P 1O'
b. Si llamamos al suceso obtener unos valores /ue se diferencian en una cantidad ma$or /ue dos" los casos favorables al suceso son: P \I1"6; I"16; I1"56; I5"16; I1"&6; I&"16; I("56; I5"(6; I("&6; I&"(6; I'"&6; I&"'6]. >or tanto" 7( ) P 1(O'& P 1O'
Ejercicio &."!'#
Si esco2emos al azar dos nmeros de telfono $ observamos la ltima cifra de cada uno" determina las probabilidades si2uientes: a. Aue las dos cifras sean i2uales. b. Aue su suma sea 11. c. Aue su suma sea ma$or /ue ) $ menor /ue 1'. $oluci%n#
El espacio muestral de este e3perimento est! formado por los cien sucesos elementales: 00" 01" 0(" 0'" 0" 05" 0&" 0)" 0*" 04" 10" 11" ..." 4*" 44. >ara cada sucesos del enunciado calculamos sus casos favorables" aplicamos la re2la de Laplace $ obtenemos: a. Los casos favorables son: 00" 11" ((" ..." 44. La probabilidad de /ue las ltimas cifras sean i2uales es: >Iltimas cifras i2uales6 P 10O100 P 1O10 P 0.1 b. Los casos favorables a /ue la suma de las ltimas cifras sea 11 son: (4" '*" )" 5&" &5" )" *' $ 4(. >or tanto" >Iltimas cifras suman once6 P *O100 P 0.0* c. eben contarse los nmeros de dos cifras cu$a suma sea *" 4" 10" 11 $ 1(. Gaciendo un recuento ordenado" se obtienen ' casos favorables. La probabilidad buscada es: >Iltimas cifras suman un valor ma$or /ue ) $ menor /ue 1'6 P 'O100 P 0.'
Ejercicio !"#
%na empresa del ramo de la alimentaci,n elabora sus productos en cuatro factor7as: E , E ', E $ y E 2. El porcentaje de producci,n total /ue se fabrica en cada factor7a es del 0?" '0?" (0? $ 10?" respectivamente" $ adem!s el porcentaje de envasado incorrecto en cada factor7a es del 1?" (?" )? $ ?. Bomamos un producto de la empresa al azar. <+u!l es la probabilidad de /ue se encuentre defectuosamente envasado= $oluci%n#
Llamando F P el producto est! defectuosamente envasado" se tiene /ue este producto puede proceder de cada una de las cuatro factor7as $" por tanto" se2n el teorema de la probabilidad total $ teniendo en cuenta las probabilidades del dia2rama de !rbol adjunto" tenemos:
7(F) + 7(E ) G 7(FHE ) 7(E ' ) G 7(FHE ' ) 7(E $ ) G 7(FHE $ ) 7(E 2 ) G 7(FHE 2 ) +
P 0. ^ 0.01 Y 0.' ^ 0.0( Y 0.( ^ 0.0) Y 0.1 ^ 0.0 P P 0.00 Y 0.00& Y 0.01 Y 0.00 P 0.0(*
>ara aprobar un e3amen un alumno debe contestar 4 de 1( pre2untas" a6 <+u!ntas maneras tiene el alumno de seleccionar las 4 pre2untas=" b6 <+u!ntas maneras tiene si forzosamente debe contestar las ( primeras pre2untas=" c6 <+u!ntas maneras tiene si debe contestar una de las ' primeras pre2untas=" d6 <+u!ntas maneras tiene si debe contestar como m!3imo una de las ' primeras pre2untas= Solución: ! "#E$ES% E& !$'E(
a6 n P 1(" r P 4 1(+4 P 1(T O I1( _ 46T4T P 1(T O 'T4T P 1( 3 11 3 10 O 'T P ((0 maneras de seleccionar las nueve pre2untas o dicho de otra manera" el alumno puede seleccionar cual/uiera de ((0 2rupos de 4 pre2untas para aprobar el e3amen.
b6
+(U10+) P 1 3 1(0 P 1(0 maneras de seleccionar las 4 pre2untas entre las /ue est!n las dos primeras pre2untas. c6 '+1U4+* P ' 3 4 P () maneras de seleccionar las 4 pre2untas entre las /ue est! una de las tres primeras pre2untas. d6 En este caso debe seleccionar 0 , 1 de las tres primeras pre2untas '+0U4+4 Y '+1U4+* P I1 3 16 Y I' 3 46 P 1 Y () P (* maneras de seleccionar las pre2untas a contestar. (
)u*a +e Ejercicios , 1(
1. %na ciudad cuenta con ) candidatos para ele2ir al 9lcalde $ al S7ndico. e cuantas maneras puede asi2nar estos car2os. (. <e cu!ntas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente" vicepresidente $ tesorero de un club de ftbol sabiendo /ue ha$ 1( posibles candidatos= '. +on las letras de la palabra libro" uede pertenecer a l cual/uier hombre o mujer. b6 %na mujer determinada debe pertenecer al comit. c6 os hombres determinados no pueden estar en el comit. 1'.<e cu!ntas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una la de butacas= 1.En una clase de '5 alumnos se /uiere ele2ir un comit formado por tres alumnos. <+u!ntos comits diferentes se pueden formar= 15.<e cu!ntas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda= 1&.En una bode2a ha$ cinco tipos diferentes de botellas. <e cu!ntas formas se pueden ele2ir cuatro botellas= 1).En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas" dos azules $ cuatro verdes. <+u!ntas señales distintas pueden indicarse con la colocaci,n de las nueve banderas= 1*.Se ordenan en una la 5 bolas rojas" ( bolas blancas $ ' bolas azules. Si las bolas de i2ual color no se distin2uen entre s7"
14.+uatro libros distintos de matem!ticas" seis diferentes de f7sica $ dos diferentes de /u7mica se colocan en un estante. e cu!ntas formas distintas es posible ordenarlos si: 1. Los libros de cada asi2natura deben estar todos juntos. (. Solamente los libros de matem!ticas deben estar juntos. (0.%na persona tiene cinco monedas de distintos valores. <+u!ntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas=
Soluciónes(
1. <e cu!ntas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente" vicepresidente $ tesorero de un club de ftbol sabiendo /ue ha$ 1( posibles candidatos= o entran todos los elementos. S* importa el orden. o se repiten los elementos.
(. +on las letras de la palabra libro"
o entran todos los elementos. o importa el orden. o se repiten los elementos.
'. <e cu!ntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tom!ndolos de tres en tres=
. <+u!ntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares= <+u!ntos de ellos son ma$ores de )0.000= S* entran todos los elementos. S* importa el orden. o se repiten los elementos. Si es impar s,lo puede empezar por ) u 4.
5. <e cu!ntos partidos consta una li2uilla formada por cuatro e/uipos= o entran todos los elementos.
S* importa el orden. o se repiten los elementos.
&. 9 una reuni,n asisten 10 personas $ se intercambian saludos entre todos. <+u!ntos saludos se han intercambiado= o entran todos los elementos. o importa el orden. o se repiten los elementos.
). +on las cifras 1" ( $ '"
*. <e cu!ntas formas pueden colocarse los 11 ju2adores de un e/uipo de ftbol teniendo en cuenta /ue el portero no puede ocupar otra posici,n distinta de la porter7a= isponemos de 10 ju2adores /ue pueden ocupar 10 posiciones distintas. S* entran todos los elementos. S* importa el orden. o se repiten los elementos. 4. %na mesa presidencial est! formada por ocho personas"
11. %n 2rupo" compuesto por cinco hombres $ siete mujeres" forma un comit de ( hombres $ ' mujeres. e cu!ntas formas puede formarse" si: 1. >uede pertenecer a l cual/uier hombre o mujer. (. %na mujer determinada debe pertenecer al comit. '. os hombres determinados no pueden estar en el comit.
1(. <e cu!ntas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una la de butacas= S* entran todos los elementos. Bienen /ue sentarse las * personas. S* importa el orden. o se repiten los elementos. %na persona no se puede repetir. 1'.En una clase de '5 alumnos se /uiere ele2ir un comit formado por tres alumnos. <+u!ntos comits diferentes se pueden formar= o entran todos los elementos. oimporta el orden: Vuan" 9na. ose repiten los elementos.
1.<e cu!ntas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda=
15.En una bode2a ha$ cinco tipos diferentes de botellas. <e cu!ntas formas se pueden ele2ir cuatro botellas= o entran todos los elementos. S,lo elije . o importa el orden. a i2ual /ue elija ( botellas de an7s $ ( de ron" /ue ( de ron $ ( de an7s. S* se repiten los elementos. >uede ele2ir m!s de una botella del mismo tipo.
1&.En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas" dos azules $ cuatro verdes. <+u!ntas señales distintas pueden indicarse con la colocaci,n de las nueve banderas= S* entran todos los elementos. S* importa el orden. S* se repiten los elementos.
