Facultad de Humanidades y Ciencias Sociales
E.P. de: Educación Primaria e Interculturalidad
Matemática para Educación Primaria
TEMA: PORCENTAJES TURNO: NOCHE
AULA: 506B
FECHA: 8 / 09 /2016
UCH CICLO II
2016 II
Ed Educacióndx
SEMANA: 04
PORCENTAJES
respecto a otra y representa el número de partes que nos interesan de un total de 100.
Introducción Los porcentajes constituyen uno de los lenguajes matemáticos de uso más extendido en la vida real. Es muy frecuente que los utilicemos para indicar qué representa una cantidad respecto otra pues es un método homogéneo que permite comparar fácilmente unas proporciones con otras, al contrario de lo que sucede con las fracciones. fracciones. También los medios de comunicación social están repletos de porcentajes que indican el peso relativo de una cantidad respecto otra y, en otras ocasiones, las variaciones relativas que han sufrido distintas magnitudes o índices económicos, demográficos, sociales, científicos, etc. Quizás el lenguaje de los porcentajes es el lenguaje matemático más presente en las noticias, por lo que su comprensión y dominio es fundamental para entender la la realidad que nos rodea. A pesar de su uso generalizado, la experiencia muestra una dificultad bastante extendida a todos los niveles en la comprensión y manipulación de los porcentajes, hecho del que no están libres ni los periodistas de los grandes medios de comunicación. comunicación. Así por ejemplo no es raro encontrar encontrar noticias en las que se se afirma: L os coches se vendi eron ero n por p or un 400% má m ás de su valor .... Su Su pr ecio r eal er a un 400% 400% menos del del de venta.
El porcentaje es una de las expresiones matemáticas que más usamos en la vida cotidiana. Por otra parte, la información que aparece en los medios de comunicación está repleta de datos expresados en porcentajes. Por ejemplo, ¿quién no ha oído decir alguna vez?: "Rebajas del 10% en todos los artículos del hogar" o "El paro aumentó el último trimestre un 0,5%". Un porcentaje es la proporción de una cantidad
Porcentaje. - El porcentaje porcentaje es un número número que se calcula calcula
en función a otro principal, dado como una fracción de 100 partes. Es usado para definir relaciones entre dos cantidades: el X por ciento (%) de una cantidad se refiere a una parte proporcional de un número, y es muy utilizado como fundamento de decisiones, así como también para entender la magnitud de cambios o potenciales cambios de una medida medida de estudio.
Cualquier porcentaje se puede expresar en forma de fracción o número decimal y, a su vez, cualquier número decimal o fracción se puede expresar en porcentaje:
Cuando una familia invierte el 25% de sus ahorros en comprar una vivienda, se está gastando en ella 25 euros de cada 100 que ha ahorrado. Se puede definir el tanto por ci ento como como una fracción que tiene denominador 100. En este caso, el 25% es la fracción decimal.
25 100
Las fracciones, los decimales y los porcentajes están por centaj ntaj e es otra manera de relacionados; un porce identificar las partes de un número entero. De hecho, un porcentaje es un número fraccionario cuyo denominador es 100. Los porcentajes se representan utilizando el signo % (por ciento) , como en 25% (veinticinco por ciento), es igual a 25/100 o al decimal 0,25.
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El 25% significa 25 de 100, por lo tanto, es lo mismo decir
25 100
que decir 25%. Además, como sabemos,
podemos simplificar la fracción siguiente fracción equivalente:
25 100 1 4
y obtendremos la
1 4
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1. ¿Qué parte de la localidad corresponde a cada una de las zonas, respectivamente? 2. ¿Qué parte de la localidad corresponde a la zona turística y agrícola juntas? 3. ¿Cuántas hectáreas corresponde a la zona poblada si cada cuadradito equivale a 10 hectáreas? Ejemplo 02. Una biblioteca tiene 100 libros de matemática de distintas áreas, cuya cantidad está dada por los siguientes colores de la imagen:
Ahora, si
realizamos la división de la fracción
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obtendremos
como resultado el decimal 0,25 . Como verás, un porcentaje puede ser representado como fracción y como número decimal.
Distribución geográfica de mi localidad Ej emplo 01. Los estudiantes del segundo ciclo de Educación Primaria de la Universidad de Ciencias y Humanidades han realizado una investigación referida a cómo se distribuye geográficamente su localidad y qué parte corresponde a los lugares turísticos, con la finalidad de elaborar carteles para promover el turismo durante Fiestas Patrias. Los estudiantes encontraron la siguiente distribución:
De acuerdo con ello escriba: a. La razón entre la cantidad de libros de cada área respecto del total de libros. Geometría: ………………………… Álgebra: ……………………………… Probabilidad: ……………………… Ar itmética: ………………………… Estadística: ………………………… b. El porcentaje que representa la cantidad de libros de cada área respecto del total de libros. Geometría: …………………………
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Álgebra: ……………………………… Probabilidad: ……………………… Aritmética: ………………………… Estadística: ………………………… 1
2% =
2 5
100 20 40 2
120% =
0,1 5
0,4
0,6
0,8
100 5 80 4
80% =
0,0 2
100 5 60 3
60% =
100 5 120 6
11 3 4
20% a + 50% a = 70% a 80% b - 60% b = 20% b a + 20% a = 120% a b - 35% b = 65% b 3(20% a) = (3 x 20) % a = 60% a 20% (a + b) = 20% a + 20% b
25% = 20% = 10% =
4 1 5 1
(cuarta parte) (quinta parte)
10
(décima parte)
200% = 2 (doble) Luego: 100 % a = a
“Toda cantidad representa el 100% de sí misma”
4
4 0 4 0% 1 6% 1 0 0
3 6%
36 100
6 10
3 5
En las operaciones comercial es se suele expresar las
ganancias o pérdidas como un tanto por ciento del costo o de la venta, por eso encontramos expresiones como:
– Gané el 30 % del costo.
100% = 1 (total) 75% = 3 (tres cuartas partes (mitad)
2 0% b
(4 0% )2 (4 0% ) (4 0% )
11 1 1 % 4 0,0 2 7 100 400 4
2 1
8 0 % b
60% a 2 = (60 2)% a = 30% a
EQUI VALENT ES NOTABLE S:
50% =
x 1 0 0% 4 0%
0,06 = 0,06 x 100% = 6% 5 = 5 x 100% = 500%
%
4 1
5
80% b 20% b =
1,2 100 5 200% = 2 0 0 2 100 0,6% = 0,6 0,0 0 6 100 2 2 1 2 5 5 % 1 0 0 5 0 0 2 5 0 0,0 0 4 2
2
OPERACIONES CON PORCENTA JE:
1
100 50 15 3
40% =
0,0 1
100 2
15% =
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B) Conversión de fracción o decimal a tanto por ciento
A) Conversión de tanto por ciento a fr acción o decimal
1% =
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– Gané el 20 % del precio de venta. – Perdí el 15 % del costo. También encontramos las aplicaciones del Tanto por ciento a los impuestos, por ejemplo, todo trabajador independiente debe pagar el 10 % de sus ingresos como impuesto, también toda persona que efectúa una compra paga el 18 % de recargo del precio fijado, denominándose a esto el I.G.V. (Impuesto General a las Ventas) y así tendríamos muchos ejemplos de la vida diaria donde el tanto por ciento tiene aplicaciones comerciales.
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Matemática para Educación Primaria Precio de venta. - Al realizar la venta de un artículo, al
Pé rdi da (p).- Si al realizar una venta se realiza a
precio de costo se le recarga una cantidad a la que denominamos ganancia o utilidad. Tendremos entonces:
menor precio que el costo, entonces se origina una pérdida (p), que al restarse del precio de costo nos dará el precio de venta. P.V. = P.C. – p Donde: P.V. = Precio de venta P.C. = Precio de costo p = pérdida
P.V. = P.C. + g Donde: P.V. = Precio de venta P.C. = Precio de costo g = ganancia
PROBLEMAS RESUELTOS
Nota: La ganancia puede expresarse de varias maneras, generalmente es un tanto por ciento del precio de costo. En algunos casos se puede expresar como un tanto por ciento del precio de venta o alguna variante. En esta primera fórmula debe entenderse que es la que aplica la persona (comerciante) que realiza la venta. Si usted llega a una tienda donde el precio de venta de un televisor es $240, éste será el precio de venta del comerciante y sólo él sabe cuál ha sido el precio de costo, el cliente nunca tendrá esta información.
01. ¿Cuál es el 20% de 400? Solución:
(+) 400 x x =
100
80
02. Hallar el 10% de 240. Solución:
Una cantidad cuando no sufre ninguna variación está representada por su 100%, según el ejercicio. 240 es el 100%, entonces formando una regla de tres: 100% ......... 240 10% ......... x De donde: x = (240 x 10) /100 = 24
por el comerciante, al cual se le va a realizar un descuento, para finalmente obtener el precio de venta. Es decir: P.F. – descuento = P.V.
donde se anuncia que los precios van a tener un descuento por aniversario, entonces los precios que encuentra se denominan precio de lista menos el descuento obtendrá el precio de compra del cliente. Es decir:
(4 0 0 )(2 0)
R.T.
A toda cantidad menor que la referencial le corresponde un porcentaje inferior al 100%.
Precio fi jado (P.F.). - Es el precio fijado para la venta
Precio de li sta (P.L .) . - Si un cliente llega a una tienda
-
(-) 100 % 20 %
03. Hallar el 12% de 50. Solución:
50 .......... 100% x ........... 12% De donde: x = (50 x 12) /100 = 6
2 04. Hallar el 16 % de 42. 3 Solución:
P.L. – descuento = P. compra Como puede deducirse de estas dos relaciones el precio fijado coincide con el precio de lista. Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
42 ........... 100% 2
x ........... 16 % 3
De donde: Email –
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x = (42) (50/3) /100 x = (42 x 50/3) /100 x = 7
25
4
100
100
x
11. Qué porcentaje es 75 de 1250? Solución: Asumimos, que x es el porcentaje buscado. Luego: 1250 está representado por el 100% y 75 por el x
1
= 1 x 4
=
3
25
4
100
3
x
= 3 x
%. Formando la regla de tres correspondiente: 1250 ...…… 100% 75 ……... x % x = (75 x 100%)/1250 = 6%.
9
4
x 300 x
300
12
x 300 x
4
= 4.
3
12. Qué porcentaje de 512 es 0,64? Solución;
06. Calcular el 1 % de los 3 del triple de 120 3
4
512 ……… 100% 0,64 ........... x % x = 0,6 4x1 0 0% 6 4 1 %
Solución:
=
1
x
300
3 4
x 3 x 120 =
360
9
400
10
=
.
512
H all ar u n número cuando se conoce un tanto por ci ento de é l.
800, de 2400? Solución:
2400 .......… 100% 1 3 . . 800 .......… x %
Entonces formamos la regla de tres: 25% ......... 40 100% ......... x x = (100% x 40) /25% = 160. 08. ¿De qué cantidad es 378 su 45%? Solución:
x =
(3 7 8)(1 0 0) 45
2
x =
10. De qué número es 200 el 12,5%? Solución:
12,5%.
14. ¿Qué porcentaje es 695 de 480? Solución:
480 ........ 100 % 695 ........ x %
x =
84
20% ........ 75 100% ........ x x = (100% x 75) /20% = 375.
4
1 3 . . 8 0 0.1 0 0% 2 4 2400
45 % 100 %
09. De qué número es 75 el 20%? Solución:
512 8
13. ¿Qué porcentaje es la mitad de los tres cuartos de
07. De qué número es 40 el 25%? Solución: Asumimos que el número es x , luego el 100% de ese número es x , y según la pregunta su 25% es 40.
378 ......... x .........
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Dados dos números, averiguar qué tan to por ciento es uno del otr o.
05. Calcular el 25% del 4% de 300 veces 1,333... Solución:
=
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(1 0 0 )(6 9 5 ) 480
1 4 5%
Si l a canti dad referencial se descompone en otras varias, entonces la suma de los porcentajes cor respon dientes a las par tes deberá ser siempr e 100%. 15. Un futbolista dispara 17 penales, acertando todos
ellos. ¿Cuántos debe tirar luego, fallando, para tener una eficiencia del 85%?
12,5% .......… 200 100% ……... x x = (100% x 200) /12,5% = 1600
Solución:
100 % = 85 % + 15 % 17 ......... 85 %
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x
......... 15 % x = (1 7)(1 5) 3 tiros
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13. ¿De qué número es el 50% de 12000, el 10%?
a) 60000 d) 24000
85
b) 10000 e) 15000
c) 20000
Decir por ejemplo el 72% equivale a: 72
14. ¿Qué porcentaje de 1200 es 12?
0.7 2
a) 2% b) 1%
100
Recordar que, en los negocios: Precio Venta (PV) = Precio de compra(PC) + Ganancia (G) PV = PC + G
c) 3%
d) 4%
15. ¿Qué porcentaje de 190 es 60,8?
a) 32% b) 23%
c) 20%
d) 24%
16. ¿Qué porcentaje de 2640 es 6,6?
a) 0,2% b) 0,10% c) 20% d) 0,24%
Ejercicios propuestos
Hallar: 01. El 20% de 900. a) 210 b) 180
17. ¿Qué porcentaje de 3900 es 312?
a) 8% b) 10%
c) 200
d) 240 e) 150
b) 810
03. El 15% de 4800.
a) 720 b) 810
c) 200
d) 240
b) 50
e) 500
c) 920
d) 924
e) 715
d) 24
e) 25
c) 20
uno? a) 20,67% b) 10,67% c) 20% d) 16,67% e) 15,67% 20. ¿En una canasta tenía 480 naranjas he comido 120
naranjas, que porcentaje me sobra? a) 75% b) 70% c) 90% d) 74%
a) 2000 b) 1000 c) 2090 d) 2400 e) 1500 06. 3/4 % de 200 000.
07. El 33 1/3% de 200.
c) 27
d) 55,6
08. ¿El 10% de qué número es 64?
b) 640
c) 620
d) 624
e) 65,67
Si fueran n descuentos sucesivos, el descuento único sería.
e) 615
Du 100
09. ¿El 25% de qué número es 700?
a) 2800 b) 1210 c) 1200
d) 1240
a) 1200 b) 1000 c) 2000 d) 1600 e) 1500 a) 820 b) 710
c) 200
d) 400
e) 150
12. ¿El 20% del 25% de 1 000 de qué número es 400?
a) 8
b) 10
c) 20
d) 24
e) 15
100 a 100 b ...100 p n 1
100
%
Aum entos sucesivos. – Dos aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a u n aumento úni co A u a.b % Au a b 100
e) 1500
10. ¿De qué número es 164 el 10 1/4%?
11. De qué número es 40 el 20% de 50%?
e) 65%
Descuentos sucesivos. - Dos descuentos sucesi vos del a% y b% equi valen a un descuento úni co D u a.b Du a b % 100
a) 1200 b) 1000 c) 1120 d) 1500 e) 1235
a) 200
e) 5%
los ¾ de 7200? a) 2,78% b) 10,78% c) 20% d) 24% e) 17,78%
05. El 40% de la mitad de 12000.
a) 33,3 b) 66,67
d) 4%
e) 0,25%
19.¿La mitad de uno qué porcentaje es del triple de
04. El 12,5% del 10% de 2000.
a) 28
c) 2%
e) 15%
18. ¿La mitad de los 2/5 de 4800, qué porcentaje es de
02. El 12,5% de 4000.
a) 280
e) 5%
Si fueran n aumentos sucesivos, el único aumento sería. 100 a 100 b ...100 p Au 100 % n 1 100 01. Calcular el porcentaje de descuento único, equivalente a
dos descuentos sucesivos del 20% más 30%.
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Matemática para Educación Primaria Solución:
=
Si asumimos que N es la cantidad (100% de N), sobre la cual se aplica el descuento del 20%; obtendremos: 80
80% de N =
Aplicando sobre la cantidad resultante, el descuento del 30% se obtendrá el 70% de la misma; así: .
80
.N=
100 100
56
Observe que la cantidad resultante
56
.N
Descuento único equivalente = 44% F orma Prácti ca:
= (100 - 20) %. (100 - 30) %. N = 80%.70%. N .
70
56
. N =
100 100
.N= 56% . N
100
Descuento único = (100 - 56) %. N = 44%. N 02. Calcular el porcentaje de descuento único, equivalente a dos descuentos sucesivos del 10% más 20%.
único descuento de: Solución:
Del enunciado del problema tenemos: = (100 - 10) %. (100 - 20) %. N = 90%.80%. N 90
.
100
=
72
.N
100
06. Dos descuentos sucesivos de 40% y 20% equivale a un
Solución:
=
88
primero se ganó el 10% y en el segundo se perdió el 10%. ¿Se perdió o se ganó? Solución : En el primero En el segundo 297 – 110% 297 – 90% x – 100% y – 100% x = 270 y = 330 Costo total = x + y = 270 + 330 = 600 Venta total = (297) (2) = 594 Ganancia = PV – PC Ganancia = 594 – 600 = - 6 Luego pierde 6
. N también se
100
80
.N=
05. Dos artefactos se han vendido en 297 cada uno. Si en el
100
puede representar como 56%. N, que es una expresión que implica una disminución (descuento) del 44% de N. Por lo tanto:
=
80
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= 88%. N Como la expresión resultante es menor del 100% se deduce, que N ha disminuido (Descuento). Descuento único = (100-88) %. N Descuento único = 12%. N
.N
70
.
100 100
100
= 70% del 80% de N =
110
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80
Sea 100 la cantidad de la que se descuenta el 40% Luego queda 60 de la cantidad original. 60 – 100 % x – 20 %
. N
100
x =
. N= 72%. N
100
(60 )(20 ) 100
12
Luego queda 60 – 12 = 48 Si por 100 queda 48 lo descontado es de 100 – 48=52, por lo tanto, el descuento es de 52%.
Descuento único = (100 - 72) %. N= 28%. N 03. Calcular el porcentaje de incremento único, equivalente a
dos aumentos sucesivos del 10% más 20%. Solución:
Ej ercici os propu estos
Del enunciado del problema: = (100+10) %. (100+20) %. N = 110%. 120%. N =
110 120
132
100 100
100
.
.N=
01. Incrementar N en 30% y al resultado quitarle su 20%. Al
final tendríamos: a) 180%N b) 104%N c) 102%N d) 100%N e) N.a.
.N
= 132%. N Aumento único = (132-100) %. N= 32%. N
02. Disminuir N en 20% y al resultado incrementarlo en su
20%. Al final tendríamos. a) 100%. N b) 104%. N d) 96%. N e) No varia.
04. Calcular el porcentaje de incremento o descuento único,
equivalente a un aumento del 10% seguido de un descuento del 20%. Solución:
Del enunciado del problema: = (100+10) %. (100 - 20) %. N = 110%. 80%. N
c) 102%. N
03. Dos descuentos sucesivos de 40% y 10% equivalen a un
único del: a) 154% b) 41% c) 50%
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d) 46% e) 48%
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Matemática para Educación Primaria 04. Dos descuentos sucesivos de 25% y 12% equivalen a un
único del: a) 47% b) 46%
c) 45%
d) 44%
e) 43%
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Calculo IGV: 100*.18 = 18 Precio + IGV: 100 + 18 = 118
05. Tres descuentos sucesivos de 10%, 40% y 20%
equivalen a un único del: a) 70% b) 56,8% c) 60%
d) 67%
e) 65%
06. ¿A qué porcentaje único de aumento equivalen tres
aumentos sucesivos del 10%, 20% y 25%? a) 50% b) 55% c) 60% d) 65%
e) 70%
07. ¿A qué porcentaje único de aumento equivalen tres
aumentos sucesivos del 10%, 10% y 30%? a) 60% b) 55% c) 60% d) 157% e) 57,3% 08. Un incremento del 15%, seguido por un descuento del 15%.
¿A qué único descuento o incremento equivale? a) No varía b) 97,5% c) 2,5% d) 30% e) N.a.
09. Un incremento del 25%, seguido por un descuento del 30%.
¿A qué único descuento o incremento equivale? a) 55% b) 5% c) 87,5% d) 12,5% e) 43%
escoger, uno del 30%, otro equivalente a dos descuentos sucesivos del 10% y 22% ó el equivalente a tres descuentos sucesivos del 5%, 20% y 10%. ¿Cuál es el más conveniente? a) Son iguales b) el primero c) el segundo d) El tercero e) N. a. 11. Hallar el descuento único que reemplace a dos
Cálcul o del I GV
e) 10%
Calculo IGV de un precio con impuesto incluido I GV= 18%
Precio incluido IGV: Precio Total: 118 Calculo IGV del total: 118/1.18 = 18 Precio sin IGV: 118 - 18 = 100 Precio + IGV Precio sin IGV: 100
Ejemplo: Sebastián compra una memoria USB, sabiendo que el costo total es de s/. 19,47. ¿Cuál es el monto pagado sin considerar el IGV? Rpta. s/. 16,50 Bibliografías
ACADEMIA ADUNI, Asociación Aduni (2003) Compendio académico de matemática Editor: Lumbreras Lima
10. En una tienda se ofrecen 3 tipos de descuentos para
descuentos sucesivos de 15% y 20%? a) 30% b) 35% c) 32% d) 15%
Para obtener el total incluido IGV de una cantidad sólo multiplique por 1.18 Para obtener el neto, sabiendo el total, divida por 1.18
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES (2008) Aritmética Análisis del número y sus aplicaciones Edición: 3a ed. Editor: Instituto de Ciencias y Humanidades Lima LONDOÑO Nelson, BEDOYA Hernando (1985) Aritmética y nociones de geometría Editor: Norma Bogotá Referencias http://www.minedu.gob.pe/rutas-delaprendizaje/documentos/Primaria/Sesiones/Unidad0 6/SextoGrado/matematica/6G-U6-MAT-Sesion06.pdf http://matematicascercanas.com/2016/07/16/porcen tajes/ http://www.icarito.cl/2010/03/103-8691-9porcentajes.shtml/
www.jacobiperu.com http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-024904/apartado52.htm
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
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