Práctica N° 01: Hidrostática – Presión 1. En una localidad se lee que la presión absoluta en agua a una profundidad de 5 m es de 145 kPa. Determine a) la presión atmosférica local b) la presión absoluta, en la misma localidad, a una profundidad de 5 m en un líquido cuya gravedad específica es de 0.85. Datos:
padbH2O = 145 kPa h = 5m Solución: a) Patm = ? Pabc = patm + pH2O g h 1000𝑘𝑔
9.8 𝑚
145kPa – ( 𝑚3 ) ( 96000 = 𝝆𝒂𝒕𝒎
𝑠2
) (5𝑚) = 𝜌𝑎𝑡𝑚
b) 𝜌𝑎𝑡𝑚 = ¿ h = 5m G. E = 0.85 𝜌𝑎𝑏𝑠 = 96000 + (850)(9.8)(5) 𝜌𝑎𝑏𝑠 = 137650𝑃𝑎 𝝆𝒂𝒃𝒔 = 𝟏𝟑𝟕. 𝟔𝟓𝒌𝑷𝒂 2. El barómetro de un montañista da una lectura de 930 mbars al principio de una caminata y de 780 mbars al final de ella. Desprecie el efecto de la altitud sobre la aceleración gravitacional local y determine la distancia vertical que ha escalado. Suponga una densidad promedio del aire de 1.20 kg/m3. Datos: 𝜌𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 930 𝑚 𝑏𝑎𝑟𝑠 1.20𝑘𝑔 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑚3
𝜌𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 780𝑚 𝑏𝑎𝑟𝑠 ℎ =?
Solución: ∆𝜌 = 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑔 ℎ
1.20𝑘𝑔 9.8𝑚 (930 − 780)𝑚 𝑏𝑎𝑟𝑠 = ( )( 2) 𝑚3 𝑠 1.20𝑘𝑔 9.8𝑚 −3 5 (150𝑚)10 ∗ 10 𝑃𝑎 = ( )( 2 ) 𝑚3 𝑠 𝑘𝑔 2 150 ∗ 10 𝑃𝑎 = (11.76 2 2 ) ℎ 𝑚 𝑠 102 𝑘𝑔 11.76𝑘𝑔 150 ∗ 2 =( )ℎ 𝑠 𝑚 𝑚2 𝑠 2 102 150 ∗ =ℎ (1.2)(9.8)𝑚 𝟏𝟐𝟕𝟓. 𝟓𝟏 𝒎 = 𝒉
3. Un gas está contenido en un dispositivo cilindro y émbolo en posición vertical. El émbolo tiene una masa de 4 kg y un área de sección transversal de 35 cm2. Un resorte comprimido arriba del émbolo ejerce una fuerza de 60 N sobre éste. Si la presión atmosférica es de 95 kPa, determine la presión en el interior del cilindro. Solución: 𝜀𝐹 = 0 𝐹𝑃 − 𝐹𝑅 − 𝑊 − 𝐹𝑎𝑡𝑚 = 0 𝐹𝑃 = 𝐹𝑅 + 𝑊 + 𝐹𝑎𝑡𝑚 𝐹𝑃 = 60 + 39.2 + 𝐹𝑎𝑡𝑚 𝐹𝑃 = 99.2 + 𝐹𝐴𝑎𝑡𝑚 𝐹𝐷 𝑃= 𝐴 99.2 𝐹𝑎𝑡𝑚 𝑃= + 𝐴 𝐴 99.2 𝑃= + 95𝑘𝑃𝑎 1 35 4 10 𝑃 = 123342.85𝑘𝑃𝑎 𝑷 = 𝟏𝟐𝟑. 𝟑𝟒𝑷𝒂
4. Considere un tubo en U cuyas ramas están abiertas a la atmósfera. Ahora se vierte agua en una de las ramas del tubo y aceite ligero ( ) en la otra. Una de las ramas contiene agua en un tramo de 70 cm de altura, en tanto que la otra contiene los dos fluidos con una proporción de alturas de aceite y agua de 6. Determine la altura de cada fluido. Solución: 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃𝐻20 − 𝑃𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑃𝐻2𝑂 = 𝑃𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝜌𝐻2𝑂 𝑔 ℎ = 𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑔 ℎ (1000)(9.8)(70) = (790)(𝐻) 𝟖𝟖. 𝟔𝟏𝒎 = 𝒉 5. Los diámetros del émbolo en la figura sonD1=10cmy D2=4cm. Cuando la presión en la cámara 2 es de 2000 kPa y la presión en la cámara 3 es 700 kPa, ¿Cuál es la presión en la cámara 1, en kPa? Solución: 𝜀𝐹𝑦 = 0 𝐹1 = 𝑊 + 𝐹2 + 𝐹3 𝑃3𝐴3 + 𝑃2𝐴2 𝑃1 = 𝐴1 700(2.1 ∗ 10−3 𝜋) + 500(1.6 ∗ 10−3 𝜋) 𝑃1 = 2.5 ∗ 10−3 𝜋 1470𝜋 + 800𝜋 𝑃1 = 2.5𝜋 𝑃1 = 908𝑘𝑃𝑎
6. Se mide la presión manométrica del aire que está en el tanque, como se muestra en la figura, y resulta ser de 65 kPa. Determine la diferencia h en los niveles de mercurio. Datos: 𝜌𝑚𝑎𝑛 = 65𝑘𝑃𝑎 = 𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 1000𝐾𝑔 𝜌𝐻2𝑂 = 𝑚3 1000𝐾𝑔 13600𝐾𝑔 𝜌𝐻𝑔 = 13.6 ( ) = 𝑚3 𝑚3 1000𝐾𝑔 720𝐾𝑔 𝜌𝑐𝑐 = 0.72 ( )= 𝑚3 𝑚3 Solución: 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒 + 𝜌𝐻2𝑂 𝑔 (0.3) − 𝜌𝐻𝑔 𝑔 ℎ − 𝜌𝑎𝑐 𝑔 (0.75) = 𝜌𝑎𝑡𝑚 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒 + (1000)(9.8)(0.3) − (13600)(9.8)ℎ − (720)(9.8)(0.75) = 𝜌𝑎𝑡𝑚 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒 − 𝜌𝑎𝑡𝑚 − 2352 = 133280ℎ 65000 − 2352 = 133280ℎ 𝒉 = 𝟒𝟕𝒄𝒎 7. Agua dulce y agua de mar fluyen en tuberías horizontales paralelas conectadas entre sí mediante un manómetro de tubo en doble U, como se muestra en la figura. Determine la diferencia de presión entre las dos tuberías, considerando la densidad del agua de mar a ese punto de ϼ=10 35 kg/m3 ¿Se puede ignorar la columna de aire en el análisis? Datos: 1035𝐾𝑔 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑟 = 𝑚3 13600𝐾𝑔 𝜌𝐻𝑔 = 𝑚3 1000𝐾𝑔 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑢𝑙𝑐𝑒 = 𝑚3 Solución: 𝑃𝑜 + 𝜌𝐷𝑔(0.6) − 𝜌𝐻𝑔(0.1) − 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑔(0.7) + 𝜌𝑀𝑔(0.4) = 𝑃𝑀 𝑃𝑜 − 𝑃𝑀 = 𝑔(𝜌𝐻𝑔(0.1) + 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑔(0.7) + 𝜌𝐷(0.6 − 𝜌𝑀(0.4)) 𝑃𝑜 − 𝑃𝑀 = 9.8(13600(0.1)) + 1(0.7) − 1000(0.6) − 1035(0.4) 𝑷𝒐 − 𝑷𝑴 = 𝟑𝟑𝟗𝟗. 𝟎𝟑𝟐 8. Examine el sistema de la figura. Si un cambio de 0.7 kPa en la presión del aire, causa que baje 5 mm la interface entra la salmuera y el mercurio, en la columna derecha, mientras que la presión en el tubo de salmuera permanece constante, determine la relación entre A2/A1. 𝑃𝐴 + (𝜌𝐻2𝑂 𝑔 ℎ)1 + (𝜌𝐻𝑔 𝑔 ℎ𝐻𝑔)1 − 𝜌𝑠1 𝑔 ℎ𝑠1 = 𝑃𝐵1 𝑃𝐴1 + (𝜌𝐻2𝑂 𝑔 ℎ𝐻2𝑂)2 + (𝜌𝐻𝑔 𝑔 ℎ𝐻𝑔)2 − 𝜌𝑠2 𝑔 ℎ𝑠2 = 𝑃𝐵2 𝑃𝐴1 − 𝑃𝐵2 + 𝜌𝐻𝑔 𝑔(ℎ𝐻𝑔2 − ℎ𝐻𝑔1) − 𝜌𝑠 𝑔(ℎ𝑠2 − ℎ𝑠1) = 𝑃𝐵2
9. Dos tanques de agua están interconectados mediante un manómetro con los tubos inclinados, como se muestra en la figura. Si la diferencia de presión entre los tanques es de 20kPA, calcule a y θ. Datos: 𝑃𝐴 + 𝑃ℎ𝑔 = 𝑃𝐵 𝑃𝐴 + 𝜌𝐻𝑔 𝑔 (2𝑎) = 𝑃𝐵 (13600)9.8(2𝑎) = 𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 = 20000 20000 𝐴= 13600(9.8)(2) 𝐴 = 0.75 2𝑎 𝑆𝑒𝑛−1 = 0.268 𝜽 = 𝟑𝟒. 𝟎𝟒°
Práctica 03: Hidrodinámica 1. Se necesita llenar una piscina circular con diámetro de 15 m a una profundidad de 3 m. Determinar el flujo de entrada en m3/s si la piscina se llena en 2 horas. Encuentre la cantidad de mangueras de 5,1 cm de diámetro que se requieren si la velocidad del agua no debe exceder de 30,5 cm/s. T = 7200 s 0,051 2 ) 2
D = 5,1 cm = 0,051 m
Q = 0,305 x π x (
Volumen = 530, 1 m3 V = 30,5 cm/s = 0,305 m/s
Q = 6,23 x 10-4 m3/s
→
6,23 x 10-4 m3/s x N x 7200 = 530,1
N = 118 mangueras 2. En la figura 2 mostramos un sifón utilizado para conducir agua desde una alberca. La tubería que conforma al sifón tiene un diámetro interior de 40 mm y termina en una tobera de 25 mm de diámetro. Si suponemos que en el sistema no hay pérdida de energía, calcule el flujo volumétrico a través del sifón, y la presión en los puntos B-E. Punto A y F: 1
1
ρ x g x 3 + 2 x ρ x 0 = ρ x g x 0 + 2 x ρ x VF2 1 2
g x 3 x ρ = x ρ x VF2 6g = VF2 0,025 2 ) 2 10-3 m3/s
Q=AxV=πx(
Q = 3,77 x
→
x 7,67
Ec. De la Continuidad: A1 x V1 = A2 x V2 →
VF = 7,67 m/s
πx
402 4
x VBCDE =
252 0,4
x π x 7,67
→
VBCDE = 3 m/s
Punto A y B: 1
ρ x g x 3 + PATM = PB + ρ x g x 3 + 2 x ρ x VB2 1
1,01 x 105 = PB + 2 x 1000 x 9
PB = 1,01 x 105 – 4,5 X 103
→
PB = 96 500 Pa Punto F y E: 1,01 x 105 +
1 1 x ρ x 7,672 + PATM = PE + 2 x ρ 2 1 x ρ x [(7,67)2 – 32] = PE → 2
x 32 PE = 1,01 x 105 + 24 914
PE = 125 914 Pa
3. Una tubería de 150 mm de diámetro conduce 0,072 m3/s de agua. La tubería se divide en dos ramales, como se ve en la figura. Si la velocidad de la tubería de 50 mm es de 12 m/s, ¿Cuál es la velocidad en la tubería de 100 mm? 0,072 = Q1 + Q2 0,072 = A1 x V1 + A2 x V2 0,072 =
𝜋 𝑥 0,052 4
x 12 +
𝜋 𝑥 0,12 4
x V2
0,288 = π ( 0,03 + 0,01V2)
V2 = 6 m/s
→
4. El medidor Venturí de la figura conduce agua a 60 °C. La gravedad específica del fluido manométrico en el manómetro es de 1,25. Calcule la velocidad de flujo en la sección A y el flujo volumétrico del agua. En el Manómetro: ΡH20 x g x (1,18 + y) + PA = ρFLUIDO x g x 1,18 + ρH20 x g x (0,46 + y) +PB PA – PB = -ρH20 x g x 0,72 + ρFLUIDO x g x (1,18) Ec. De la Continuidad: 0,2 AA x VA = AB x VB → VA = ( )2VB = 0,44VB 0,3
Ec. Bernovlli: 1 1 PA + ρ x g x (1,18 + y) + ρ x VA2 = PB + ρ x VB2 + ρ x g x (1,64 + y) 2
PA – PB = →
𝜌𝐻2𝑂 x 2
2 𝜌𝐻2𝑂 x 2
(VB2 – VA2) + ρH2O x g x (0,46)
(0,8064VB2) + ρH2O x g x (0,46) = - ρH20 x g x 0,72 + ρFLUIDO x g x (1,18) (0,8064VB2) = ρFLUIDO x g x (1,18) - ρH20 x g x (0,72 + 0,46) VB = 2,7 m/s
VA = 1,17 m/s →Q=
1,17 𝑥 𝜋 𝑥 0,32 4
Q = 0,08 m3/s
→
5. Por medio de un sistema similar al que se muestra en la figura, calcule la presión de aire que es necesario aplicar sobre el agua, a fin de hacer que el chorro llegue a 40.0 pies por arriba de la salida. La profundidad es h = 6,0 pies. 1
PATM + 2 x ρ x V22 = PATM + ρ x g x 40 1 2
V22 = g (12,2)
→
V2 = 15,5 m/s
1
PAIRE + ρ x g x 1,8 = PATM + 2 x ρ x V22
1 𝑥 15,52 2
PAIRE = 1,01 x 105 + 1000 ( 5
PAIRE = 1,01 x 10 + 102,5 x 10
PAIRE = 203, 5 KPa
3
– 9,8 x 1,8)
6. Para el sistema mostrado en la figura, calcule (a) el flujo volumétrico de aceite que sale de la tobera, y (b) las presiones en A y en B. 1
ρ x g x (1) + Patm + 2 x ρ x V12 = ρ x g x (4) + Patm V12 = 6g V1 = 7,67 m/s 0,035 2 ) 2
Q = 7,67 x ( Q=AxV
xπ
→
Q = 7,38 x 10-3 m3/s 0,1
7,38 x 10-3 = VA x ( 2 )2 x π
→
→
VA = VB = 0,93 m/s
Punto 1 y B: 1 1 Patm + ρ x g x (1) + x ρ x V12 = PB + ρ x g x (1) + x ρ x VB2 2 2 1,01 x 105 + 500 (7,672 – 0,932) = PB
129 982 Pa = PB Punto A y B: 1 1 PA + ρ x g x (0) + x ρ x VA2 = PB + ρ x g x (1) + x ρ x VB2 2
2
PA = 129 982 + 1000 x 9,8 + 500 x (VB2 - VA2)
→
PA = 139 782 Pa
7. Calcule la presión del aire en el tanque sellado que aparece en la figura, que provocaría que la velocidad del flujo fuera de 20 pies/s a la salida de la tobera. La profundidad h es de 10 pies. 1 2
1 2
PAIRE + ρ x g x (3,048) + x ρ x 0 = Patm + x ρ x V22 6,0962
PAIRE = 1,01 x 105 + ρ ( 2 – 3,048g) PAIRE = 1,01 x 105 – 11,3 x 103
PAIRE = 89,7 KPa 8. Para el medidor venturí de la figura, calcule la deflexión del manómetro h si la velocidad del flujo de agua en la sección de 25 mm de diámetro es de 10 m/s. En el Manometro: ΡH2O x g x (h + y) + PA = ρHg x g x h + ρH2O x g x y +PB PA – PB = g x h x (ρHg – ρH2O) Ec. De la Continuidad: VB = 10 m/s 0,025 1 AA x VA = AB x VB → VA = (0,050)2VB = 4 (10) = 2,5 m/s Ec. Bernovlli: 1 1 PA + 2 ρH2O x VA2 = PB + 2 ρH2O x VB2 PA – PB =
𝜌𝐻2𝑂 x 2
→ g x h x (ρHg – ρH2O) =
(VB2 – VA2)
𝜌𝐻2𝑂 x 2
(VB2 – VA2) →h =
500 x 93,75 9,8 x 13540
→h = 0,35 m
9. A través del medidor venturí de la figura fluye hacia abajo aceite con gravedad específica de 0,90. Si la velocidad del flujo en la sección de 2 pulg de diámetro es de 10.0 pies/s, calcule la deflexión h del manómetro. En el Manometro: ρ x g x (h + x + y) + PA = ρHg x g x h + ρ x g x x +PB PA – PB = ρHg x g x h – ρ x g x (y + h) Ec. De la Continuidad: 0,05
VA = ( 0,1 )2VB = 0,25VB
AA x VA = AB x VB → Ec. Bernovlli: 1
1
PA + ρ x g x y + 2 ρ x VA2 = PB + 2 ρ x VB2 𝜌
PA – PB = 2 x (VB2 – VA2) - ρ x g x y → ρHg x g x h – ρ x g x (y + h) = 900 𝑥 4,2
h = 9,8 𝑥 (13540−900)
→
𝜌 x 2
(VB2 – VA2) - ρ x g x y
→
g x h x (ρHg – ρ) = ρ x 4,2
h =3,1 cm
10. La figura muestra un medidor Venturi con un manómetro de tubo en U, para medir la velocidad de flujo. Cuando no hay flujo, la columna de mercurio está balanceada y su parte superior queda a 300 mm por debajo de la garganta. Calcule el flujo volumétrico a través del medidor, que haría que el mercurio fluyera por la garganta. En el Manometro: ρH2O x g x (0,6) + P1 = ρHg x g x (0,6) + P2 P1 – P2 = g x (0,6) x (ρHg - ρH2O) Ec. De la Continuidad: A1 x V1 = A2 x V2
→
25
1
V1 = (75)2V2 = 9 𝑉2
Ec. Bernovlli: 1
1
P1 + 2 ρH2O x V12 = P2 + 2 ρH2O x V22 1
P1 – P2 = 2 x ρH2O x (V22 - V12) 1
80
→ g x (0,6) x (ρHg - ρH2O) = 2 x ρH2O x 81 V22 m/s
0,025 2 ) 2
Q=πx(
x (12,22)
1
80
→
P1 – P2 = 2 x ρH2O x 81 V22
→
V2 =√
→
Q = 5,9 x 10-3 m3/s
81 𝑥 9,8 𝑥 0,6 𝑥 12540 = 40 𝑥 1000
12,22
Práctica 04: Fluidos Reales 2. Determinar la velocidad límite de una esfera de acero (ρr = 7; 87) de 2mm de diámetro que cae en un recipiente que contiene glicerina a 20°C(ρr = 1; 26; ɳ = 1; 49 Pa.s). (b)Calcular el valor del número de Reynolds correspondiente a esa velocidad límite para asegurarte que fue correcto utilizarla ley de Stokes en el apartado anterior. (c)Determinar el valor máximo del diámetro de la esfera de acero que aúnpermite utilizar la ley de Stokes. DATOS: ρe= 7.81 x 1000 = 7870 kg/m^3 D = 2 x 10^-3m ρg= 1.26 x 1000 = 1260 kg/m^3 ɳg= 1.49 Pa.s Operación: ƩF=0 E+R=W ρg x Vg x g + 6 𝜋ɳ x re x V = ρe x Ve x g Ve= (ρe- ρg) x Ve x g 6 𝜋ɳ x re Ve=4/3 𝜋𝑟 3 V=
4 3
9.8∗( )𝜋 (1∗10−3 )(7870−1260) 6𝜋(1.49)(1∗10−3 )
V= 9661.15 m^3 3. Un cilindro sólido A de masa 3,0 kg se desliza hacia abajo dentro de un tubo, como se muestra en la figura. El cilindro es perfectamente concéntrico con la línea central del tubo, con una película de aceite entre la superficie interna del tubo y elcilindro. El coeficiente de viscosidad del aceite es 7x10^-3 Pa.s. ¿Cuál es la velocidad límite del cilindro? Ignore los efectos de presión del aire. Datos: e = 0.2 mm x 10^-3=10^-4 2 S= 2 x p x (36.9 x 10^-3)(150 x 10^-3) S= 0.035 Solución: ∑F=0 Fvisc = m x g nx s x V/e = m x g V =3 x 9.8 x 10^-4 7 x 10^-3 x 0.035
V= 12
5. Para medir la viscosidad de un fluido utilizamos un conducto de 2 m de largo y 4mm de radio. Si aplicamos una diferencia de presión de 10 mm de Hg entre los extremos del conducto, circula por él un caudal de 0,3L/min. ¿Cuál es el coeficiente de viscosidad del líquido? DATOS: l = 2m Ap=10 mmHg x 1.01 x 10^5 760 mmHg Solución: Q = 0.3 x 10 ^-3 x (1/ 60) =( 3x 10^-3)/(10 x 60) Q = (0.5) x 10^-5 Q = 5 x 10^-6
n= ? Q = π x R^4 x Δ P 8xnxl n = π x R^4 x Δ P 8xQxl n =π x (4 x10^-3)^4 x (10.01 x 10^5) 760 x 8 x 2 x 5 x 10^-6 n=0.013
6. Una aorta posee una sección de 4 cm^2. (a) ¿A qué velocidad comenzará a hacerse turbulento el flujo sanguíneo?; (b) ¿Cuál sería entonces el caudal? Datos: Ρsangre=1,070 g/ml ɳsangre= 3.5 x 10^-3Pa.s A = 4 cm^2 Fórmula: A= π r^2 Nr = ρvD Reemplazando: 4 cm^2= Π (D/2)^2 D =2.26cm x 10^-2 D = 0.023 m 2400 = ρsangre(V)D ηsangre 2400=1,07(V) 3.5x10^-3 V=7.85
7. Encuentra la relación entre el número de Reynolds de un objeto que se mueve con igual velocidad en el aire y en el agua. (ɳaire= 17; 4 x10^6Pa.s y ɳagua= 1002x10^-6Pa.s) NRaire = ρaire(VaireD/ɳaire) NRagua= ρagua(VaguaD/ɳagua) NRaire = ρaire x ɳaire NRagua = ɳagua x ρagua NRaire = 1,23x1002 x 10^-6 NRagua = 1000 x 17,4 x 10^-6 NRaire = 0.074
Práctica 05: Temperatura y Dilatación 1. Cierta escala termométrica °X adopta los valores 10°X y 510°X, respectivamente, para los punto fijos de la escala Celsius. Cuánto corresponde en la escala °X el valor de 30°C. m = 510 – 10 = 5 100 – 0 m = 5 = x – 10 30 – 0 150 = x – 10 160 = x
2. Al comparar la escala °X de un termómetro con la escala °C (Celsius), se obtiene la siguiente gráfica de correspondencia entre las medidas: a) Para la temperatura de fusión del hielo, qué temperatura marcará el termómetro °X? b) Para la temperatura de vapor del agua, qué temperatura marcará el termómetro °X? m = 95 – (-5) 60 - 0 m = 1,67 1,67 = x - 95 100 - 60 a) Fusión: °X = -5 b) (vapor) °X = 161,6 5. Inocencio, un estudiante de ingeniería, cree que el punto de ebullición del agua es lo que mejor se presta como punto de referencia para las escalas de temperatura. Se incomoda porque corresponde a números extraños en las escalas absolutas de temperatura que se usan en la actualidad, y propuso una nueva escala que llama Escala Inocencio. La unidad, de escala de temperatura, se llama Inocencio, se representa por I, y al punto de ebullición del agua en esa escala se le asigna el valor de 1000 I. Desde el punto de vista termodinámico, indique si es una escala admisible. También determine el punto de congelación del agua en la escala Inocencio y deduzca una relación entre las escalas Inocencio y Celsius. m = 100 - 0 100 – 0 m=1 y=x Escala Celsius = Escala Inocencio
6. Un mecánico ha de colocar un aro de 1m de diámetro a una rueda de madera de igual diámetro. Con objeto de poder ajustarla, calienta el aro hasta conseguir que su radio supere en 2 mm al de la rueda. Si la temperatura ambiente es 20 °C y su coeficiente de dilatación lineal 10-5 °C-1, calcular la temperatura a que debe calentarse el aro para cumplir las condiciones expuestas.
Lf- L o = 0,002m Lo = 1m To= 20°C α= 10^-5 °C^-1
ΔL = αΔT Lo 0.002=10^-5(Tf-20) Tf=220°C
Rpta: La temperatura a la que debe calentarse el aro es de 220°C para cumplir las condiciones expuestas. 7. Al introducir en un líquido un bloque, de peso W en aire, el dinamómetro marca N. ¿Cuál será la nueva lectura del dinamómetro al incrementar la temperatura en T °C? Suponga que el líquido no dilata y que el coeficiente de dilatación cúbica del bloque es Z.
W = m.g W = ρVg = N V = V [1 + 2T] Dz= ρgV [1 + z] Dz= N (1+ zT) 8. La longitud de una columna de mercurio de un termómetro es de 2,0 cm cuando el termómetro se sumerge en agua con hielo y 24,0 cuando el termómetro se coloca en agua hirviendo. (a) ¿Cuál será la longitud en una habitación a 22,0 °C? (b) La columna de mercurio mide 30,0 cm cuando el termómetro se introduce en solución química ¿Cuál es la temperatura de la solución?
T = 8°C --> LO = 2 T = 100°C --> LO = 24 LT = LO(1 +αΔT) ∆L = 2F – LO dL ∆T T – TO Dt Lf-20 = αLo Lf = 0.02 (1+α22)
10. Un recipiente se llena completamente con 2000L de agua a 20 °C. Cuando la temperatura del recipiente y el agua se elevan a 90 °C, se derraman 9mL de agua por el borde del recipiente. Calcule el coeficiente de expansión lineal del material del recipiente.
Agua: Vf=3αH2O ΔT Vo + Vo Vf=3αH2O (70)(2000) + 2000 Vf= 420000 αH2O + 2000 Frasco: Vf = 3αF ΔT Vo + Vo Vf = 3αF (70)(2000) + 2000 Vf = 420000 αF + 2000 Vf H2O – Vf F = 0.009 420000 αH2O + 2000 – (420000 αF + 2000) = 0.009 420000 αH2O – 420000 αF = 0.009 αF =(420000 αH2O – 0.009) / 420000 αH2O =2x10^-5 αF = 1.998 x 10^-5
Práctica 06: Calor y cambios de fase 1. Un tanque de 3L contiene aire a 3 atm y 20°C. El tanque se sella y enfría hasta que la presión es de 1 atm. a) ¿Qué temperatura tiene ahora el gas en grados Celsius? Suponga que el volumen del tanque es constante. b) Si la temperatura se mantiene en el valor determinado en el inciso a) y el gas se comprime, ¿qué volumen tendrá cuando la presión vuelva a ser de 3 atm?
Datos
a)
P1 x V1 T1
P2 𝑥 𝑉2
=
b) P1 = 3 atm
𝑇2
V1= 3L P1 = 3 atm T1 = 20°C V2 = 3L P2 = 1 atm
3𝑥3 20
T2 =
=
Si se comprime y se vuelve a dejar seguirá teniendo el mismo volumen (V= 3L)
3 𝑇2
3 𝑥 20 3𝑥3
T2 = 6,7°C
2. El volumen pulmonar total de una estudiante de física es de 6 L. Ella llena sus pulmones con aire a una presión absoluta de 1 atm y luego, deteniendo la respiración, comprime su cavidad torácica para reducir su volumen pulmonar a 5.7 L. ¿A qué presión está ahora el aire en sus pulmones? Suponga que la temperatura del aire no cambia. Datos V1= 6L P1 = 3 atm
P1 x V1 T1
=
P2 𝑥 𝑉2 𝑇2
6 x 1 = P2 x 5,7
V2 = 5,7L P2 = ?
P2 = 1,1 atm
3. Un buzo observa una burbuja de aire que sube del fondo de un lago (donde la presión absoluta es de 3.50 atm) a la superficie (donde es de 1.00 atm). La temperatura en el fondo es de 4.0°C, y en la superficie, de 23.0°C. a) Calcule la razón entre el volumen de la burbuja al llegar a la superficie y el que tenía en el fondo. b) ¿Puede el buzo detener la respiración sin peligro mientras sube del fondo del lago a la superficie? ¿Por qué? Datos
P1 x V1
a)
T1
P1 = 3.5 atm T1 = 4°C + 273 = 277 K
3.5 𝑥 𝑉1
=
277
P2 = 1 atm T2 = 23°C + 273 = 296 K
𝑉1 𝑉2 𝑽𝟏 𝑽𝟐
=
=
P2 𝑥 𝑉2 𝑇2
𝑉2 296
b) No puede, ya que mientras va subiendo la presión va bajando y el volumen de los pulmones aumenta.
277 3.5 𝑥 296
= 0.27 m3
4. Se calienta balines de cobra, cada uno con una masa de 1g, a una temperatura de 100°C. ¿Cuántos balines se deben agregar a 500g de agua inicialmente a 20°C para que la temperatura final de equilibrio sea de 25°C? (desprecie la capacidad calorífica del contenedor) Ccobre=300 J/kg.K
Datos
T1 = 293 K T1 = 20°c
TE = 298 K TE = 25°c
T2 = 373 K T1 = 100°c
m1 = 1g = 0.001 kg T1 = 100°C + 273 = 373 K
mh2O = 0.5 kg
m2 = 1 kg
m2 = 1 g 𝑚𝐻2 𝑂 × 𝐶𝐻2 𝑂 × 𝑇 + 𝑚𝑐𝑢 × ∆𝑇 = 0
T2 = 373 K mh2O = 0.5 kg mcu
N° balines =
mbal
=
0.466
0.5 x 4190 x (298 – 293) + mcu x 300 x (298 – 373) =0
0.001
10475 = 22500 mcu
N° balines = 466 balines
mcu = 0.466 g
5. Pérdida de calor al respirar. Cuando hace frío, un mecanismo importante de pérdida de calor del cuerpo humano es la energía invertida en calentar el aire que entra en los pulmones al respirar. a) En un frío día de invierno cuando la temperatura es de -20°C, ¿cuánto calor se necesita para calentar a la temperatura corporal (37°C) los 0.50 L de aire intercambiados con cada respiración? Suponga que la capacidad calorífica específica del aire es de 1200 J/kg.K y que 1,0 L de aire tiene una masa de 1,3x10 -3 kg. b) ¿Cuánto calor se pierde por hora si se respira 20 veces por minuto? a) m = ρ x V = ( 1,3 x 10-3 ) x ( 0,5 ) = 6,5 x 10-4 kg Q = m × 𝐶𝑢 × ∆T Q = (6,5 x 10-4) x (1200) x (37 – (-20)) Q = 44,46 J b) 60 s 3600 s
20 resp/min x
x= 1200 resp/min
Q per = 44, 46 x 20 x 60 Q per = 53352 J 6. Un tren subterráneo de 25000 kg viaja inicialmente a 15,5 m/s y frena para detenerse en una estación; ahí permanece el tiempo suficiente para que sus frenos se enfríen. Las dimensiones de la estación son 65,0 m de largo, 20,0 m de ancho y 12,0 de alto. Suponiendo que todo el trabajo para detener el tren que realizan los frenos se trasfiere como calor de manera uniforme a todo el aire en la estación, ¿en cuánto se eleva la temperatura del aire en la estación? Tome la densidad del aire como 1,20 kg/m 3 y su calor específico como 1020 J/kg.K. Tren Aire m = 25000 kg = 1, 2 kg/m3 V = 15, 5 m/s = 1020 J/kg.K W = E x c = ½ m V2 W = ½ (25000)(15,5)2 W = 3003125 J W=Q
Estación V = 65 x 20 x 12
ρw
V = 15600 m 3
Cw
𝑄 = 𝑚𝑎𝑖𝑟𝑒 × 𝐶𝑎𝑖𝑟𝑒 × ∆𝑇 3003125 = ρ × V × 1020 × ∆T ∆𝑻 =
3003125 1020 𝑥 15600 𝑥 1,2 T = 0,157°
7. Un calorímetro de aluminio con una masa de 100g contiene 250g de agua. Están en equilibrio térmico a 10°C. Se colocan a dos bloques de metal en el agua. Uno es una pieza de 50g de cobre a 80°C. La otra muestra tiene una masa de 70g a una temperatura de 100°C. Todo el sistema se estabiliza a una temperatura final de 20°C. a) Determine el calor específico de la muestra desconocida. b) Determine que material puede ser, usando tabla de texto. Qh2o y QA
Q2 Qcu
mh2o = 250 g mA = 100 g
80°C mcu = 50 g
TE = 20°C
100°C M2 = 70 g
Qc = Qg Qcu + Q2 = QAl + Qh2o mcu x Ccu x ∆ Tcu + m2 x C2 x ∆T2 = mAl x CAl x ∆TAl + mh2o x Ch2o x ∆Th20 50 x 0.09 x (80 – 20) + 70 x C2 x (100 – 10) = 100 x 0.217 x 10 + 250 x 10 6300 C2 = 2447 C2 = 0.388 cal/g°C
8. Un alambre de cobre de 200m absorbe 150 cal. Si su masa es de 40g. ¿Cuál es la variación de longitud que ha sufrido? (αcobre= 17x10-6°C) y (Ccu= 0,09 cal/g.°C) Q = mcu x Ccu x ∆T 150 = 40 x 0.09 x ∆ T ∆T = 41, 67°
𝐿𝑓−𝐿𝑜 𝐿𝑜
= α∆T
Lf - Lo = (17x10-6) (41,67) (200) ∆L = 0,14 m
9. Un recipiente abierto con masa despreciable contiene 0.550 kg dee hielo a -15°C. Se aporta calor al recipiente a una tasa constante de 800 J/min durante 500 min. a) ¿Después de cuántos minutos comienza a fundirse el hielo? b) ¿Cuántos minutos después de iniciado el calentamiento, la temperatura comienza a elevarse por encima de 0°C? c) Dibuje una curva que indique la temperatura en función del tiempo transcurrido. mH = 0.55 kg Q = 800 x t
T = -15°C
a) Q = QH 800t =0.55 x 2055 x 15 t = 21.19 min
b) Q = QH + QF Q= mH x CH x ∆ TH + mL + LF 800 t = 0.55 x 2055 x 15 + 0.55 x 3.34 x 105 t = 250 min
Ttotal = 21.29 + 250 = 271 min
21.58
c)
251.8
-15
10. Calefacción con agua caliente o con vapor. En un sistema casero de calefacción por agua caliente se alimenta agua a 70,0°C (158,0°F) a los radiadores, de donde sale a 28,0°C. El sistema se va a reemplazar por uno de vapor de agua, en el que el vapor a presión atmosférica se condensa en los radiadores, saliendo de éstos a 35,0°C (95,0°F). ¿Cuántos kilogramos de vapor suministrarán la misma cantidad de calor que suministraba 1,00 kg de agua caliente en el primer sistema? ∆T =70 - 28 ∆T = 42°C mh2o = 1 kg
Qced = Qgana mvLv x mv x ∆Tcu + mv x Ch2o x (100 – T) = Qcu + Qh
mvLv x mv x ∆Tcu + mv x Ch2o x (100 – T) = mcu x Ccu x (T – 0) + mHLH + mH x Ch2o (T) 0.035 x 2.256 x 106 + 0.035 x 4190 x (100 – T) = 0.446 x 0.093 x T + 0.095 x (3.34 x105) x 10.095 x 4190 x T 78960 + 14665 – 146.65 T = 0.0415 T +31730 + 398 T 61895 = 544.69 T 133.6° = T
11. Un calorímetro de cobre con una masa de 0,446 kg contiene 0,0950 kg de hielo. El sistema está inicialmente a 0°C. a) Si a la lata se agregan 0,0350 kg de vapor de agua a 100°C y 1,00 atm de presión, ¿qué temperatura final alcanzará la lata de calorímetro y su contenido? b) A la temperatura final, ¿cuántos kilogramos habrá de hielo, cuántos de agua líquida y cuántos de vapor? Mc=0.446 MH=0.0950 a) 𝑄𝑐𝑒𝑑 = 𝑄𝑔𝑎𝑛 𝑚𝑣 𝐿𝑣 + 𝑚𝑣 𝐶𝐻2 𝑂 (100 − 𝑇) = 𝑄𝑐𝑢 + 𝑄𝐻 𝑚𝑣 𝐿𝑣 + 𝑚𝑣 𝐶𝐻2 𝑂 (100 − 𝑇) = 𝑚𝑐𝑢 𝐶𝑐𝑢 (𝑇 − 0) + 𝑚𝐻 𝐶𝐻2 𝑂 (𝑇) 0.035 × 2.256 × 106 + 0.035(4190)(100 − 𝑇) = 0.446(0.093)(𝑇) + 0.095(3.34 × 105 ) × 10.095(4190)𝑇 78960 + 14665 − 146.65𝑇 = 0.0415𝑇 + 31730 + 398𝑇 61895 = 544.69𝑇 𝟏𝟑𝟑. 𝟔° = 𝑻 Esto significa que hay demasiado vapor y que solo un poco de este se condensa y solo queda a 100° C. b) TF=100°C 𝑄𝑐𝑒𝑑 = 𝑄𝑔𝑎𝑛 𝑚𝐿𝑣 = 𝑄𝑐𝑢 + 𝑄𝐻 + 𝑄𝐻2 𝑂 6) 𝑚(2.256 × 10 = 𝑚𝑐𝑢 𝐶𝑢 (100) + 𝑚𝐻 𝐿𝐹 + 𝑚𝐻 × 𝐶𝐻2 𝑂 (100) (2.256 × 106 )𝑚 = (0.446)(0.093)(100) + 0.095(3.34 × 105 ) + 0.095(4180)(100) (2.256 × 106 )𝑚 = 71539.15 𝑚 = 0.032 𝑘𝑔
𝑚𝑙 = 0.032 + 0.095 𝒎𝒍 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟕 𝒌𝒈
𝑚𝑣 = 0.095 − 0.032 𝒎𝒗 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟑 𝒌𝒈
𝒎𝑯 = 𝟎
12. Un recipiente de espuma de poliestireno de masa insignificante contiene 1,75 kg de agua y 0,450 kg de hielo. Más hielo, proveniente de un refrigerador a -15,0°C, se agrega a la mezcla en el recipiente, y cuando se alcanza el equilibrio térmico, la masa total del hielo en el recipiente es de 0,778 kg. Suponiendo que no hay intercambio de calor con los alrededores, ¿cuál es la masa del hielo que se agregó? mh2o = 1.75 kg mH = 0.45 kg
mTH = mH + 0.45 + m’M 0.778 = 2.25 x 10-5 m’M +0.45 + m’M 0.328 = m’M
Qc = Qg mH x Lf = m’H cH x 15 m’H 𝑥 0.5 𝑥 15 mH = 3.34 𝑥 100000 mH = 2.25 x 10-5 m’H
13. En un recipiente de masa despreciable, se agregan 0,0400 kg de vapor de agua a 100°C y presión atmosférica a 0,200 kg de agua a 50,0°C. a) Si no se transfiere calor con el entorno, ¿qué temperatura final alcanzará el sistema? b) A la temperatura final, ¿cuántos kilogramos hay de vapor de agua y cuántos de agua líquida? mV = 0.04 mH2O = 0.2 a)
T = 100° C T = 50° C Qc = Qg mvLv x mv Ch2o x (100 – T) = mH2O x Ch2o x (T - 50)
(0.04)(2.256 x 106) + (0.04)(4190)(100 – T) = 0.2 (4190)(T – 50) 9024 + 16760 – 167.6 T = 838 T – 41900 148° = T b)
M Lv = mH2O x Ch2o x ∆T M (2.256 x 106) = (0.2)(4190)(50) M = 0.0186 kg
mH2O = 0.2 + M mH2O = 0.2 + 0.0186 =0.2186 kg
mv = 0.04 - M mv = 0.04 - 0.0186 =0.0214 kg
14. Un carpintero construye una pared exterior con una capa de madera de 3 cm de espesor externa y una capa de espuma de poliestireno de 2.2 cm de espesor interna. La temperatura de la superficie interior es de 19°C, y la exterior, -10°C. a) Calcule la temperatura en la unión entre la madera y la espuma de poliestireno. b) Calcule la tasa de flujo de calor por metro cuadrado a través de esta pared.
Madera
Poliester
Hmadera
Hpoliester Interior
Exterior -10° C
𝐻𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝐻𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟
19°C
T
(𝑇 − −10) (19 − 𝑇) = 𝐾𝑝𝑜𝑙 × 𝐴 0.03 0.022 𝐾𝑚𝑎𝑑 10 × 𝐾𝑚𝑎𝑑 19 × 𝐾𝑝𝑜𝑙 𝐾𝑝𝑜𝑙 × 𝑇 𝑇+ = − 0.03 0.03 0.022 0.022 𝐾𝑝𝑜𝑙 19 × 𝐾𝑝𝑜𝑙 10 × 𝐾𝑚𝑎𝑑 𝐾𝑚𝑎𝑑 𝑇( + )= − 0.03 0.022 0.022 0.03 𝐾𝑚𝑎𝑑 × 𝐴
3 cm 𝐾𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎
2.2 cm
𝑻 = −𝟓. 𝟕𝟖
𝑊 = 0.080 2 𝑚 ×𝐾
𝐾𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟 = 0.010
𝑊 ×𝐾
𝑚2
15. Una olla con base de acero de 8.50 mm de espesor y área de 0.150 m 2 descansa en una estufa caliente. El agua dentro de la olla está a 100°C y se evaporan 0.390 kg cada 3 min. Calcule la temperatura de la superficie inferior de la olla, que está en contacto con la estufa.
∆T = T – 100 K = 448 K A = 0.15 α = 8.5 x 10-3
H= H=
Q
H=
𝑇
K x A x ∆T
𝛼
0.39 Lv
5555.56
3 (60)
=
H=
0.39 (2.256 x 1000000)
H = 5555.56
180
448(0.15)(𝑇−100) 8.5 𝑥 0.001
47.2 = 67.2 T - 6720 6767.2= 67.2 T 100.7° = T
16. La temperatura de operación de filamento de tungsteno de una lámpara incandescente es de 2450 K, y su emisividad es de 0.350. Calcule el área superficial del filamento de una lámpara de 150 W, si toda la energía eléctrica consumida por la lámpara es radiada por el filamento en forma de ondas electromagnéticas. (Sólo una fracción de la radiación aparece como luz visible.) H = ϑ x e x A x T4 150 = (5.6688 x 10-8)(0.35)A(2450)4 150 =714864 A 0.0002 m2 = A
ϑ = 5.6688 x 10-8
Práctica 07: 1º y 2º ley de la Termodinámica 1. Durante el tiempo en que 0.305 moles de un gas ideal sufren una compresión isotérmica a 22 ◦C, su entorno efectúa 518 J de trabajo sobre él. a) Si la presión final es de 1.76 atm, ¿cuál fue la presión inicial? b) Dibuje una gráfica pV para el proceso. n=0.305 T=22º C=295 K W=-518 J a) P2=1.75 atm P1=? 𝑉
𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 ln(𝑉2 ) 1
𝑃1 × 𝑉1 = 𝑃2 × 𝑉2 𝑃1 𝑉2 = 𝑃2 𝑉1 𝑃
𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 ln(𝑃1 ) 2
𝑊 𝑃1 = ln( ) 𝑛𝑅𝑇 𝑃2 𝑊 𝑃1 𝑒 𝑛𝑅𝑇 = ln ( ) 𝑃2
−518
𝑃1 = 𝑃2 × 𝑒 (0.305)(8.3)(295) 𝑷𝟏 = 𝟎. 𝟖𝟖 𝒂𝒕𝒎 b) P 2
P2
1
P1
V2
V1
V
2. Un gas se somete a dos procesos. En el primero, el volumen permanece constan- te en 0,200 m3 y la presión aumenta de 2,00×105 Pa a 5,00×105 Pa. El segundo proceso es una compresión a un volumen de 0,120 m3, a presión constante de 5,00×105 Pa. a) Muestre ambos procesos en una gráfica pV. b) Calcule el trabajo total efectuado por el gas durante los dos procesos. a) P (Pa)
Isobárico
3
2
5 x 105
Isocórico
1
2 x 105
0.120
0.200
W12=0 V (m3)
b) 𝑾𝑻 = 𝑾𝟏𝟐 + 𝑾𝟐𝟑 𝑾𝑻 = 𝟎 + 𝟓 × 𝟏𝟎𝟓 (𝟎. 𝟏𝟐 − 𝟎. 𝟐) 𝑾𝑻 = −𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱 3. Un gas en un cilindro se mantiene a presión constante de 2,3 × 10 5 Pa mientras se enfría y se comprime de 1.70 m 3 a 1.20 m3. La energía interna del gas disminuye 1,40 × 105 J. a) Calcule el trabajo efectuado por el gas. b) Obtenga el valor absoluto del flujo de calor hacia o desde el gas, e indique la dirección del flujo. c) ¿Importa si el gas tiene comportamiento ideal o no? ¿Por qué? P1=2.3 x 105=P2 V1=1.7 ∆𝑈 = 1.4 × 105 𝐽 V2=1.2 a) 𝑾 = 𝑷∆𝑽 𝑾 = 𝑷(𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 ) 𝑾 = 𝟐. 𝟑 × 𝟏𝟎𝟓 (𝟏. 𝟐 − 𝟏. 𝟕) 𝑾 = −𝟏𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑱
b) 𝑸 = ∆𝑽 + 𝑾 𝑸 = 𝟏. 𝟒 × 𝟏𝟎𝟓 − 𝟏𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑸 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑱 (+) entra c) Sí importa, porque de no ser así no se podrían utilizar estas fórmulas.
4. Un gas ideal se lleva de a a b en la gráfica pV que se muestra en la figura. Durante este proceso, se agregan 400 J de calor y se duplica la presión. a) ¿Cuánto trabajo realiza el gas o se efectúa sobre éste? Explique su respuesta. b) ¿Cómo la temperatura del gas en a se compara con su temperatura en b? Especifique. c) ¿Cómo la energía interna del gas en a se compara con la energía interna en b? De nuevo, especifique y explique su respuesta.
Q= 400 J a) W=0 Es cero porque tiene volumen constante. b) 𝑸 = 𝒏 × 𝑪𝒗 × ∆𝑻 n= 1 mol 5
Cv= 2 R Cv=20.77
𝑇𝑎 =
𝑃×𝑉 𝑛𝑅
30000(0.05) 𝑇𝑎 = 8.314 𝑻𝒂 = 𝟏𝟖𝟎. 𝟒
400 = 20.77(𝑇𝑏 − 𝑇𝑎 ) 400 = 20.77(6 × 10−3 𝑃 − 180.4) 400 = 0.1246 𝑃 − 22.48 422.48 = 0.1246 𝑃 𝑷 = 𝟑𝟑𝟗𝟎 𝑷𝒂
𝑇𝑏 =
𝑃×𝑉 𝑛𝑅
𝑃(0.05) 𝑇𝑏 = 8.314 𝑇𝑏 = 6 × 10−3 𝑃 𝑻𝒃 = 𝟐𝟎. 𝟑𝟒 0
c) 𝑄𝑎 = 𝑊 + ∆𝑈 𝑄𝑎 = ∆𝑈
𝑄𝑎 = 0 𝑸𝒃 = 𝟒𝟎𝟎 𝑱
∆𝑈𝐴 = 0
La energía aumenta, porque comienza sin trabajo y termina con trabajo. 5. Un cilindro contiene 0.01 moles de helio a T = 27 ◦C. a) ¿Cuánto calor se requiere para elevar la temperatura a 67 ◦C manteniendo constante el volumen? Dibuje una gráfica pV para este proceso. b) Si, en vez del volumen, se mantiene constante la presión del helio, ¿cuánto calor se requiere para elevar la tempera- tura de 27 ◦C a 67 ◦C? Dibuje una gráfica pV para este proceso. c) ¿Qué explica la diferencia entre las respuestas a los incisos a) y b)? ¿En qué caso se requiere más calor? ¿Qué sucede con el calor adicional? d) Si el gas tiene comportamiento ideal, ¿cuánto cambia la energía interna en el inciso a)? ¿Y en el inciso b)? Compare las respuestas y explique cualquier diferencia. Considere para el helio: CV = 12,47 J/mol.K y CP = 20,78 J/mol.K n=0.01 T=27 C = 300 K a) T2 = 67 C = 340 K Q=¿ 𝑸 = 𝒏 × 𝑪𝒗 × ∆𝑻 𝑸 = 𝟎. 𝟎𝟏 × 𝟏𝟐. 𝟒𝟕 × (𝟑𝟒𝟎 − 𝟑𝟎𝟎) 𝑸 = 𝟒. 𝟗𝟖 𝑱
b) 𝑸 = 𝒏 × 𝑪𝒗 × ∆𝑻 𝑸 = 𝟎. 𝟎𝟏 × 𝟐𝟎. 𝟕𝟖 × 𝟒𝟎 𝑸 = 𝟖. 𝟑𝟏𝟐 𝑱
Para el primero no se requiere trabajo, en cambio en la segunda se realiza un trabajo; por lo tanto, la energía aumenta.
c) ∆𝑼 = 𝒏 × 𝑪𝒗 × ∆𝑻 ∆𝑼 = 𝟎. 𝟎𝟏 × 𝟏𝟐. 𝟒𝟕 × 𝟒𝟎 ∆𝑼 = 𝟒. 𝟗𝟖 𝑱
6. Una cantidad de aire se lleva del estado a al b siguiendo una trayectoria recta en una gráfica pV (ver figura). a) En este proceso, ¿la temperatura del gas aumenta, disminuye o no cambia? Explique su respuesta. b) Si Va = 0,07m3, Vb = 0,11m3, Pa = 1,00 × 105 Pa y Pb= 1,40 × 105 Pa, ¿cuánto trabajo W efectúa el gas en este proceso? Suponga que el gas tiene comportamiento ideal.
a) 𝑷𝑽 = 𝒏𝑹𝑻 𝑻𝒂 =
𝑷𝒂 ×𝑽𝒂
𝑻𝒃 =
𝒏𝑹
𝑷𝒃 ×𝑽𝒃 𝒏𝑹
𝑻𝒃 > 𝑻𝒂 La temperatura aumenta ya que la presión y volumen aumentan. b) 𝑾 =
(𝑷𝟏 +𝑷𝟐 )(𝑽𝒃 −𝑽𝒂 ) 𝟐
(𝟏𝟎 + 𝟏. 𝟒 × 𝟏𝟎𝟓 )(𝟎. 𝟏𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟕) 𝟐 𝑾 = 𝟒𝟖𝟎𝟎 𝑱 𝑾=
7. Cuando un sistema se lleva del estado a al b por la trayectoria acb (ver figura), 90.0 J de calor entran en el sistema y éste efectúa 60.0 J de trabajo. a) ¿Cuánto calor entra en el sistema por la trayectoria adb si el trabajo efectuado por el sistema es de 15.0 J? b) Cuando el sistema regresa de b a a siguiendo la trayectoria curva, el valor absoluto del trabajo efectuado por el sistema es de 35.0 J. ¿El sistema absorbe o desprende calor? ¿cuánto? c) Si Ua = 0 y Ud = 8,0J, ¿cuánto calor se absorbe en los procesos ad y db?
𝑸𝒂𝒄𝒅 = 𝟗𝟎 𝑱 𝑾𝒂𝒄𝒅 = 𝟔𝟎 𝑱
0
∆𝑼𝒂𝒄𝒅 = 𝑸𝒂𝒄𝒅 − 𝑾𝒂𝒄𝒅
𝑾𝒂𝒅𝒃 = 𝑾𝒂𝒅 + 𝑾𝒅𝒃 = 𝟏𝟓 𝑱
∆𝑼𝒂𝒄𝒅 = 𝟗𝟎 − 𝟔𝟎
∆𝑼𝒂𝒅𝒃 = ∆𝑼𝒂𝒅 + ∆𝑼𝒅𝒃 = 𝟑𝟎 𝑱
∆𝑼𝒂𝒄𝒅 = 𝟑𝟎 = 𝑼𝒃 − 𝑼𝒂
1. 𝑸𝒂𝒅𝒃 = ∆𝑼𝒂𝒅𝒃 + 𝑾𝒂𝒅𝒃 𝑸𝒂𝒅𝒃 = 𝑼𝒃 − 𝑼𝒂 + 𝟏𝟓 𝑸𝒂𝒅𝒃 = 𝟒𝟓 𝑱 2. 𝑾𝒃𝒂 = −𝟑𝟓 𝑱 𝑸𝒃𝒂 = 𝟑𝟎 − 𝟑𝟓 𝑸𝒃𝒂 = −𝟓 𝑱 Desprende
3. 𝑼𝒂 = 𝟎 ; 𝑼𝒅 = 𝟖 𝑱 ∆𝑼𝒂𝒅 = 𝟖 𝑱
𝑸𝒂𝒅 = ∆𝑼𝒂𝒅 + 𝑾𝒂𝒅 𝑸𝒂𝒅 = 𝟖 + 𝟏𝟓 𝑸𝒂𝒅 = 𝟐𝟑 𝑱
𝑸𝒅𝑩 = ∆𝑼𝒅𝒃 + 𝑾𝒅𝒃 𝑸𝒂𝒅 = 𝟑𝟎 − 𝟖 𝑸𝒂𝒅 = 𝟐𝟐 𝑱
0
8. Un sistema termodinámico se lleva del estado a al estado c de la figura siguiendo la trayectoria abc, o bien, la trayectoria adc. Por la trayectoria abc, el trabajo W efectuado por el sistema es de 450 J. Por la trayectoria adc, W es de 120 J. Las energías internas de los cuatro estados mostrados en la figura son: Ua = 150J, Ub = 240J, Uc = 680J y Ud = 330J. Calcule el flujo de calor Q para cada uno de los cuatro procesos: ab, bc, ad y dc. En cada proceso, ¿el sistema absorbe o desprende calor?
𝑼𝒂 = 𝟏𝟓𝟎 𝑱
𝑼𝒄 = 𝟔𝟖𝟎 𝑱
𝑼𝒃 = 𝟐𝟒𝟎 𝑱
𝑼𝒅 = 𝟑𝟑𝟎 𝑱
𝑊𝑎𝑏 = 0 𝑊𝑑𝑐 = 0
𝑊𝑎𝑏𝑐 = 𝑊𝑎𝑏 + 𝑊𝑏𝑐 = 450 𝐽
𝑊𝑏𝑐 = 450 𝐽
𝑊𝑎𝑑𝑐 = 𝑊𝑎𝑑 + 𝑊𝑑𝑐 = 120 𝐽
𝑊𝑎𝑑 = 120 𝐽
𝑄𝑎𝑏 = 𝑊𝑎𝑏 + ∆𝑈𝑎𝑏 𝑄𝑎𝑏 = 𝑈𝑏 + 𝑈𝑎
𝑄𝑏𝑐 = 𝑊𝑏𝑐 + ∆𝑈𝑏𝑐
𝑄𝑏𝑐 = 450 + (680 − 240)
𝑄𝑎𝑏 = 240 − 150
𝑸𝒂𝒃 = 𝟖𝟗𝟎 𝑱
𝑸𝒂𝒃 = 𝟗𝟎 𝑱
Absorbe
Absorbe
𝑄𝑎𝑑 = 𝑊𝑎𝑑 + ∆𝑈𝑎𝑑
𝑄𝑑𝑐 = 𝑊𝑑𝑐 + ∆𝑈𝑑𝑐
𝑄𝑎𝑑 = 120 + (330 − 150)
𝑄𝑑𝑐 = 680 − 330
𝑸𝒂𝒅 = 𝟑𝟎𝟎 𝑱
𝑸𝒅𝒄 = 𝟑𝟓𝟎 𝑱
Absorbe
Absorbe
9. Un volumen de aire (que se supone gas ideal) primero se enfría sin cambiar su volumen y, luego, se expande sin cambiar su presión, como se indica en la trayectoria abc de la figura. a) ¿Cómo se compara la temperatura final del gas con su temperatura inicial? b) ¿cuánto calor inter- cambia el aire con su entrono durante el proceso abc? ¿El aire absorbe o libera calor en el proceso? Explique su respuesta. c) Si ahora el aire se expande del estado a al estado c por la trayectoria rectilínea que se indica, ¿cuánto calor intercambia con su entorno?
a)
𝑃𝑎 ×𝑉𝑎 𝑇𝑎
=
𝑃𝑐 ×𝑉𝑐
b) 𝑄𝑎𝑏𝑑 = ∆𝑈𝑎𝑏𝑐 + 𝑊𝑎𝑏𝑐
𝑇𝑐
𝑄𝑎𝑏𝑑 = 𝑊𝑎𝑏 + 𝑊𝑏𝑐
𝑇𝑐 𝑃𝑐 × 𝑉𝑐 = 𝑇𝑎 𝑃𝑎 × 𝑉𝑎
𝑄𝑎𝑏𝑑 = (1 × 105 )(0.06 − 0.02) 𝑸𝒂𝒃𝒅 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑱
𝑇𝑐 (1 × 105 )(0.06) = 𝑇𝑎 (3 × 105 )(0.02) 𝑇𝑐 =1 𝑇𝑎
c) 𝑄𝑎𝑐 = ∆𝑈𝑎𝑐 + 𝑊𝑎𝑐 1 𝑊𝑎𝑐 = (3 × 105 + 105 )(0.04) 2
𝑻𝒄 = 𝑻𝒂
𝑾𝒂𝒄 = 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝑱
1 x 105
0.06-0.02=0.04
3 x 105
10.
Dos moles de un gas monoatómico con comportamiento ideal se someten al ciclo abc. En un ciclo completo, salen 800 J de calor del gas. El proceso ab se efectúa a presión constante; y el proceso bc, a volumen constante. Los estados a y b tienen temperaturas Ta = 200 K y Tb = 300 K. a) Dibuje una gráfica pV para el ciclo. b) ¿cuánto trabajo W se efectúa en el proceso ca? n=2 moles 𝑄𝑎𝑏𝑐 = 800 𝐽 𝑊𝑎𝑏 = 0 a) P C
Ta=200
Tb=300 V
b) 𝑾 = 𝑷(𝑽𝒃 − 𝑽𝒂 ) 𝒏𝑹𝑻𝒃 𝒏𝑹𝑻𝒂 𝑾 = 𝑷( − ) 𝑷 𝑷 𝑾 = 𝒏𝑹(𝑻𝒃 − 𝑻𝒂 ) 𝑾 = 𝟐(𝟖. 𝟑𝟏𝟒)(𝟑𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎) 𝑾 = 𝟏𝟔𝟔𝟐. 𝟖 𝑱 11. Una máquina con una producción de 200W tiene un rendimiento del 30 %. Trabaja a 10 ciclos/s. (a) ¿Cuánto trabajo se realiza en cada ciclo? (b) ¿Cuánto calor se absorbe y cuánto se elimina en cada ciclo? Datos: e=0.3 W= 200 J/seg Solución: e= W/ QH 0.3 = (200 J/seg) / QH QH= 666.67 ≡ 667 J/seg a) 200 J/seg 10 ciclos / seg = 20 J/ciclo
b) W=QH-QC 200 = 667 – QC QC= 467 J/ seg
Qc=467 J/seg * 1 seg/10 ciclos= 66.7 J/ciclo Qh=667/seg * 1seg/10 ciclos = 66.7 J/ciclo
12. En cada ciclo, una máquina absorbe 150 J de un foco a 100 °C y cede 125 J a un foco a 20°C. (a) ¿Cuál es el rendimiento de esta máquina? (b)¿Qué relación existe entre este rendimiento y el de una máquina de Carnot que funciona entre los mismos focos? Datos QH= 150 J/ciclo QC= 125 J/ciclo
TH= 100 °C TC= 20°C
Solución a) E= 1 – QC/QH = 1- (125/150) = 0.17 b) E= 1- TC/ TH = 1- 20/100 = 0.8 Relación = 0.17 / 0.8 = 0.22 El rendimiento de la máquina de Carnot es 0.22 veces más que el de la otra máquina. 13. En cada ciclo, una máquina absorbe 200kJ de un foco caliente a 500 K y elimina calor a un foco frío a 200 K. Su rendimiento es el 85% del de una máquina de Carnot que opera entre los mismos focos. (a) ¿Cuál es el rendimiento de esta máquina? (b) ¿Cuánto trabajo realiza en cada ciclo? (c) ¿Cuánto calor se elimina en cada ciclo? Datos QH= 200 kJ QH= ? TH= 500 °K TC= 200 °K Solución 𝑒𝐶𝑎𝑟𝑛𝑜𝑡 = 1 −
a)
85 100
b) 𝑒 =
𝑇𝐶 𝑇𝐻
= 0.6
∗ 0.6 = 𝟎. 𝟓𝟏 = e
𝑊 𝑄𝐻
0.51*QH = W
0.51*(200 kJ) = W
W= 102 kJ
𝑄
c) 0.51 = 1 − 𝑄 𝐶
𝐻
0.51 =
200 − 𝑄𝐶 200
102 = 200 − 𝑄𝐶
𝐐𝐂 = 𝟗𝟖 𝐤𝐉
14. Una máquina de Carnot opera entre dos fuentes de calor a 520 K y 300 K. a) Si el motor recibe 6,45 kJ de calor de la fuente a 520 K en cada ciclo, ¿cuántos joules por ciclo cede a la fuente a 300 K? b) ¿Cuánto trabajo mecánico realiza la máquina en cada ciclo? c) Determine la eficiencia térmica de la máquina Datos TH= 520 K T C = 300 K QH= 6.45 kJ QC = ? a)
𝑄𝐶 𝑄𝐻
=
−𝑇𝐶
𝑄𝐶
𝑇𝐻
256.45
=
−330 520
𝑸𝑪 = 𝟑. 𝟕𝟐 𝒌𝑱
b) W = QH - QC W = 6.45 – 3.72 = 2.73 kJ 𝑇
c) 𝑒 = 1 − 𝑇 𝐶
𝐻
𝑒 = 1−
300 520
𝐞 = 𝟎. 𝟒𝟐 = 𝟒𝟐%
15. Una máquina para hacer hielo opera en un ciclo de Carnot; toma calor de agua a 0,0 °C y desecha calor a un cuarto a 24,0 °C. Suponga que 85,0 kg de agua a 0,0 °C se convierten en hielo a 0,0 °C. a) ¿Cuánto calor se desecha al cuarto? b) ¿Cuánto trabajo debe Q suministrarse al aparato? a) Q= mLsol W
𝐽 ) = −28390 ∗ 103 𝐽 𝑘𝑔 −28390 ∗ 103 −273 = 𝑄𝐻 297
𝑄 = 85 𝑘𝑔 ∗ ( 3.34 ∗ 105 𝑄𝐶 273 = − 𝑄𝐻 297
𝑸𝑯 = 𝟑𝟎 𝟖𝟖𝟓 𝟖𝟐𝟒. 𝟏𝟖 𝑱 b) 30 885 824.18 = | -28390*103 | + W W = 2 495 824.18 J
Q
16. Una máquina de Carnot ideal opera entre 500°C y 100°C con un suministro de calor de 250 J por ciclo. a) ¿Cuánto calor se entrega a la fuente fría en cada ciclo? b) ¿Qué número mínimo de ciclos se requieren para que la máquina levante una piedra de 500 kg a una altura de 100 m? Datos: TH = 500ºC = 773 ºK QH = 250 J a)
𝑄𝐶 𝑄𝐻
b)
=
−𝑇𝐶
𝑄𝐶
𝑇𝐻
250
T C= 100ºC = 373 ºK QC = ? =
−373
𝑸𝑪 = 𝟏𝟐𝟎. 𝟔𝟑 𝑱/ciclo
773
W = QH - QC = 250 - 120.63 = 129.37 J/ciclo W= mgh = 490 000 J /ciclo 𝐽
490 000𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 129.37
𝐽 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
∗ (𝑋)
X = 3787.59 ciclos 17. Una máquina térmica utiliza 0,350 mol de un gas diatómico con comportamiento ideal en el ciclo que se muestra en el diagrama pV de la figura. El proceso 1 2 es a volumen constante, el 23 es adiabático y el 3 1 es a presión constante a 1,00 atm. Para este gas, ϒ= 1.40. a) Calcule la presión y el volumen en los puntos 1, 2 y 3. b) Calcule Q, W y ∆U para cada uno de los tres procesos. c) Calcule el trabajo neto efectuado por el gas en el ciclo. d) Calcule el flujo neto de calor hacia la máquina en un ciclo. e) Determine la eficiencia térmica de la máquina y compárela con la de una máquina de Carnot que opera entre las mismas temperaturas mínima y máxima T1 y T2. a) n= 0.35 moles •
•
V1= (nRT1) / P1 (0.35*8.314*300)/(100*103) 8.73x10-3 m3 𝑃2 𝑇2
=
𝑃1
𝑃2
𝑇1
600
=
= V1=
100∗(1000) 300
𝑷𝟐 = 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑷𝒂 •
V3 = (nRT3) / P3 = (0.35*8.314*492)/(100*103) V3 = 0.014 m3
b) Q12 = ∆U12 + W 12 = nCV∆T12 Q12 =0.35 J Q23 = 0 Por ser adiabático, no entra ni sale calor. Q31 = ∆U31 + W 31 = nCv(T1-T3) + P1(V1-V3) Q31 = -1364.98 J c) W12=0 W23=-∆U23 =-nCv(T3-T2) W23= 471.37 J W31= P1(V1-V3) = 100x103(-5.27x10-3) W31 = -527 J d)
QT= 0.35 – 1364.98 QT = - 1364.63J
e) e= W/Q = 0.04 ecarnot = 1- (T1/T2) ecarnot = 0.5 La eficiencia de esta máquina térmica es menor que la de Carnot.
Práctica N°8: Resistencias equivalentes y ley de Ohm 1. El radio del alambre de Nicromo calibre 22 es de 0.321 mm: a) Calcule la resistencia por unidad de longitud de este alambre. b) Si una diferencia de potencial de 10 V se mantiene a través de una longitud de 1 m de alambre de Nicromo, ¿Cuál es la corriente en el alambre? 𝑟 = 0.321 𝑚𝑚 = 3.21 ∗ 10−4 𝑚 Resistividad de Nicromo = 1.5 ∗ 10−6 a) 𝐿 = 1𝑚 𝐴 = 𝜋 ∗ (3.21 ∗ 10−4 )2 𝐿 𝑅 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡 ∗ 𝐴 𝑅 = 1.5 ∗ 10−6 ∗
1 𝜋 ∗ (3.21 ∗ 10−4 )2
𝑅 = 4.63 Ω b) 𝑉 = 10 𝑉 10 𝐼= 4.63 𝐼 = 2.16 𝐴 2. Una diferencia de potencial de 0.900 V se mantiene a través de una longitud de 1.50 m de alambre de tungsteno que tiene un área de sección transversal de 0.600 mm2. ¿Cuál es la corriente en el alambre? 𝑉 = 0.9 𝑉 𝐿 = 1.5 𝑚 𝐴 = 0.6 𝑚𝑚2 = 6 ∗ 10−7 𝑚2 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑇𝑢𝑛𝑔𝑠𝑡𝑒𝑛𝑜 = 5.6 ∗ 10−8 𝐿 𝑅 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡 ∗ 𝐴 𝑅=
5.6 ∗ 10−8 ∗ 1.5 6 ∗ 10−7 𝑅 = 0.14 Ω 𝐼=
0.9 0.14
𝐼 = 6.43 𝐴
3. Un calentador eléctrico de agua bien aislado calienta 109 kg de agua de 20°C a 49°C en 25 min. Encuentre la resistencia de su elemento calefactor, que se conecta a través de una diferencia de potencial de 220V. 𝑚 = 109 𝑘𝑔 Δ𝑇 = 49 − 20 = 29 𝑡 = 25 min = 1500 𝑠 Δ𝑉 = 220 𝑉 𝑄 𝑃= 𝑡 Δ𝑉 2 𝑚 ∗ 𝐶𝐻2 𝑂 ∗ 29 = 𝑅 1500 (220)2 ∗ 1500 𝑅= 109 ∗ 4190 ∗ 29 𝑅 = 5.48 Ω 4. Una batería recargable de 15 g de masa suministra una corriente promedio de 18mA a 1.60V a un reproductor de CD durante 2.4h antes de que dicha batería necesite recargarse. El cargador mantiene una diferencia de potencial de 2.30V en las terminales de la batería y entrega una corriente de carga de 13.5mA durante 4.20h.
Energía producida
𝐼 = 18 𝑚𝐴 = 18 ∗ 10−3 𝐴 Δ𝑉 = 1.6 𝑉 𝑡 = 2.4 ℎ = 8640 𝑠 𝐸. 𝐸𝑝𝑟𝑜𝑑 = 𝑃 ∗ 𝑡 𝐸. 𝐸𝑝𝑟𝑜𝑑 = 1.6 ∗ 18 ∗ 10−3 ∗ 8640 𝐸. 𝐸𝑝𝑟𝑜𝑑 = 249 𝐽 Energía absorbida
Δ𝑉 = 2.3 𝑉 𝐼 = 13.5 𝑚𝐴 = 13.5 ∗ 10−3 𝐴 𝑡 = 4.2 ℎ = 15120 𝑠 𝐸. 𝐸𝑎𝑏𝑠 = 𝑃 ∗ 𝑡 𝐸. 𝐸𝑎𝑏𝑠 = 2.3 ∗ 13.5 ∗ 10−3 ∗ 15120 𝐸. 𝐸𝑎𝑏𝑠 = 469.5 𝐽 a) ¿Cuál es la eficiencia de la batería como dispositivo de almacenamiento de energía? 𝐸𝑝𝑟𝑜𝑑 𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐸𝑎𝑏𝑠 249 𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 469.5 𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0.53
b) ¿Cuánta energía se produce en el interior de la batería durante un ciclo de carga-descarga? 469.5 = 249 + Δ𝐸𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 Δ𝐸𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = 220.5 𝐽 c) Si la batería está rodeada por un aislamiento térmico ideal y tiene un calor específico global de 975 J/kg.°C, ¿cuánto aumentará su temperatura durante el ciclo? 𝑄 = 𝑚 ∗ 𝐶 ∗ Δ𝑇 𝑄 Δ𝑇 = 𝑚. 𝐶 220.5 Δ𝑇 = 15 ∗ 10−3 ∗ 975 Δ𝑇 = 15º 𝐶 5. Para los circuitos mostrados encontrar la resistencia equivalente. a)
𝑅𝑇 =
b)
1 1 1 1 1 10 + 30 + 60 + 20 𝑅𝑇 = 5 Ω
𝑅𝑇 = 8 + 42 + 42.86 + 4 𝑅𝑇 = 96.86 Ω c)
𝑅𝑇 = 10 + 4 + 2 + 8 𝑅𝑇 = 24 Ω
6. Las resistencias mostradas en la figura 2 se conectan en serie con una batería de 100 voltios como se muestra en el diagrama. Utilice el código de colores para identificar cada resistencia y determine la resistencia equivalente, la corriente y la caída de potencial en cada resistencia.
𝑅0 = 18 ∗ 1 ± 5% 𝑅1 = 40 ± 5% 𝑅2 = 16 ∗ 107 ± 5% 𝑅𝑇 = 58 + 16 ∗ 107 Ω 100 𝐼𝑇 = 58 + 16 ∗ 107 𝐼𝑇 = 6.25 ∗ 10−7 7. En el siguiente circuito encontrar la resistencia total y la corriente total I.
1
𝑅𝑇 =
1 1 + 32.5 15 𝑅𝑇 = 1026 Ω 120 𝐼𝑇 = 10.26 𝐼𝑇 = 11.7 𝐴
8. En el circuito mostrado en la figura 4 determinar la resistencia total.
𝑅𝑇 =
1
1 1 + 17.8 21 𝑅𝑇 = 9.6 Ω
9. Para la red de la figura 5 determinar la resistencia total RT y la corriente total I.
𝑅1 𝑦 𝑅2 = 15 Ω 1 𝑅1 𝑦 𝑅2 | | 𝑐𝑜𝑛 𝑅3 = =6Ω 1 1 + 10 15 (𝑅1 , 𝑅2 𝑦 𝑅3 )𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑅4 = 6 Ω + 4 Ω = 10 Ω 1 (𝑅1 , 𝑅2 , 𝑅3 𝑦 𝑅4 ) 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑅5 = = 6Ω 1 1 10 + 15 (𝑅1 , 𝑅2 , 𝑅3 , 𝑅4 𝑦 𝑅5 ) 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑅6 = 6 Ω + 6 Ω = 12 Ω 1 (𝑅1 , 𝑅2 , 𝑅3 , 𝑅4 , 𝑅5 𝑦 𝑅6 ) 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑅7 = =6Ω 1 1 12 + 12
𝑅𝑇 = 8 + 6 𝑅𝑇 = 14 Ω 𝑉𝑇 𝐼𝑇 = 𝑅𝑇 28 𝐼𝑇 = 14 𝐼𝑇 = 2 𝐴
10. Considere el circuito mostrado en la figura 6. Determine: a) La corriente en el resistor de 20 Ω y b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b.
25 20 𝐼20 = 1.25 𝐴 𝑅𝑇 = 2.94 + 10 𝑅𝑇 = 12.94 Ω 𝐼20 =
11. Una batería de 6 V suministra corriente al circuito que se muestra en la figura. Cuando el interruptor de doble posición S está abierto, como se muestra, la corriente en la batería es de 1,00 mA. Cuando el interruptor se cierra en la posición a la corriente es de 1,2 mA y cuando el interruptor se cierra en la posición b la corriente es de 2,00 mA. Determine las resistencias R1, R2 y R3.
𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 6𝑉 𝑅𝑇 = 1 ∗ 10−3 𝐴 𝑅𝑇 = 6 ∗ 103 Ω
𝑅2 + 𝑅3 2 6𝑉 𝑅𝑇 = 1.2 ∗ 10−3 𝐴 𝑅𝑇 = 5 ∗ 103 Ω
𝑅𝑇 = 𝑅1 +
𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 6𝑉 𝑅𝑇 = 2 ∗ 10−3 𝐴 𝑅𝑇 = 3 ∗ 103 Ω
12. Para el circuito que se muestra en la figura encontrar la resistencia equivalente y la corriente que circula por las resistencias de 2 Ω y 6 Ω.
𝑅𝑇 = 5.5 + 4 𝑅𝑇 = 9.5 Ω 12 𝐼𝑇 = 9.5 𝐼𝑇 = 1.263 𝐴 𝑉2 = 1.263 ∗ 2 𝑉2 = 2.52 𝑉 2.52 𝐼2 = 9.5 𝐼2 = 0.265 𝐴 𝑉6 = 1.263 ∗ 6 𝑉6 = 7.579 𝑉 7.579 𝐼6 = 9.5 𝐼6 = 0.798 𝐴
Práctica 09: Leyes de Kirchhoff y f.e.m.
1. En los siguientes circuitos determinar las cantidades desconocidas. I ingresan = I salen: 5m A = 4m A + I2 1m A= I2 I3 + 1.5m A+ 5m A= 8m A I3= 1.5m A I1 = I3 + 1.5m A I1= 3m A
I2 = 6uA-2uA = 4uA I3=2uA – 0.5uA = 1.5 uA I4= I2 + I3 = 4uA + 1.5uA = 5.5 uA I1= I4 + 0.5uA = 5.5uA + 0.5uA =6uA
I1= 9mA -5mA = 4mA I2= 5mA -2mA = 3mA I3= 2 m A
VR2 = (IR3) (R2)= (3mA)(4k) = 12v R1 = 12v/I1 = 12v/4mA = 3 k R3 = 12v/I3 = 12v/2mA = 6 k
ParaleloE =VR1=VR2 =VR3 =12v
2. En el siguiente circuito determinar las Corrientes y voltajes desconocidos.
Rt = 6/5 + 30/5 = 6
I5 =? I = V/R I5 = 24v/ 6 4*24/5=19.2 I5 = 4A
V1 =? V1 = I1*R V1 = 0.8 * 6 V1 = 4.8 V
I2 =? V (R1//R2//R3) = I*R V (R1//R2//R3) = 4*6/5
I4 =? V (R4//R5) = I*R V (R4//R5)=
V (R1//R2//R3) = 4.8 I = V2/ R2 I2 = 4.8/6 = 0.8A
I4 = 19.2 v/8 = 2.4A
V5 =? I5 = 19.2/12 V5 = I*R V5 = 1.6 * 12 V5 = 19.2
3. Para el circuito de la figura determinar I5 y los voltajes V1, V3 y Vab
1 1 1 = + = 4 Req 8 8 I = 12v/4 = 3A
I1 = 1.5 V1 = I1*R1 = 1.5 (5) = 7.5V I3 = 1.5 A V3 = 6 (1.5) = 9V Va1b = 9 – 7.5 = 1.5V I5 = I = 3A
4. En el circuito mostrado en la figura determine. a) La corriente que circula por cada resistencia b) La potencia total que disipa el circuito
Malla 1: 20-2I1- 3 (I1-I2) = 0 20-2I1-3I2+3I2 = 0 20-5I1+3I2 = 0 -5I1 + 3I2 = -20
Malla 3: -5(I3-I2) – 6(I3) + 5 = 0 -5I3 + 5I2 – 6I3 + 5 = 0 5I2 – 11I3 = -5
Malla 2: -3(I2 – I1) – 4I2 – 5(I2-I3) = 0 -3I2 + 3I1 – 4I1 – 5I2 + 5I3 = 0 3I1 – 12I2 + 5I3 = 0
I1 = 5.08 A I2 = 1.80 A I3 = 1.27 A
Resistencia 2 3 4 5 6
Corriente 5.08 A -3.28 A 1.08 A -0.53 A 1.27 A
Potencia 51.61 32.28 4.67 1.40 9.68
Potencia total = 99.64 w
5. Determine la corriente que circula por cada Resistencia y la potencia total que disipa el circuito mostrado en la figura.
Malla 1: 100-45I1+40-20(I1-I2)-30(I1-I3)-5I1 = 0 100-45I1+40-20I2-30I1+30I3-5I1 = 0 -100I1 + 20I2 + 30I3 = -160 Malla 2: -50I2 – 10 (I2-I3) -20 ( I2-I3) = 0 -50 I2 - 10 I2 + 10 I3 - 20 I2 + 20I1 + 40 = 0 20I1 + 80 I2 + 10I3 = -40 Malla 3: (I3- I1) + 10 (I3- I2) -30 -25I3 = 0 -20 +30I3 + 30I1 +10I3 + 10I2 -30 -25I3 = 0 30 I1 + 10I2 – 65 I3
6. Determinar la corriente que circula por cada Resistencia y la potencia total que disipa el circuito mostrado.
Malla 1: -50I1+200-35I1-30(I1-I3)-25(I1-I2) = 0 -50 I1 + 200 -35 I1-30I1-30I3-25I1+25 -240 I1 + 25I2 + 30 I3 = -200
Malla 2: 50-25 (I2-I1)-45(I2-I3)-30 -40I2 = 0 50-25I2+25I1= -45I2+45I3 -30 – 40I2 =0 25I = -110I2+45 I3= -20 Malla 3 : 30-45(I3-I2)-30(I3-I1)-55I3 = 0 30-45I3+45I2-30I3+30I1-55I3=0 30I1+45I2-130I3=-30
I1=1.82A I2=1A I3=0.99A
Resistencia 35 30 35 40 45 50 55
Corriente Potencia -0.082A 0.1631 -0.83A 20.667 1.82A 115.934 1A 40 0.01A 4.5*10-3 1.82A 165.62 0.99A 53.9055 Potencia total: 4896.29
7. Determine la corriente que circula por cada Resistencia y la potencia total que disipa el circuito mostrado en la figura.
Malla 1: 95-25I1-5(I1-I2)-50 = 0 95-25 I1-5I1+5I2-50 = 0 -30I1+5I2 = -45 Malla 2: 50-5(I2-I1)-20I2-30(I2-I3)-15I2 = 0 50-5I2+5I1-20I2-30I2+30I3-15I2 = 0 5I1-70I2+30I3 = -50 Malla 3: -30(I3-I2)-10I3+110 = 0 -30I3+30I2-40I3 = -110
Resistencia 5 10 15 20 25 30
Corriente 1A 5A 3A 3A 2A 2A
Potencia 5 250 135 180 100 120
Potencia total: 790
I1 = 2A I2 = 3A I3 = 5A
8. Resistencia y la potencia total que disipa el circuito mostrado en la figura.
Malla 1: 15-6I1-7(I1-I2)-10(I1-I3)= 0 15-6I1-7I1+7I2-10I1+10I3 = 0 -33I1+7I2+10I3=-15 Malla 2: 10-5I2+20-8(I2-I3)-7(I2-I1) = 0 10-5I2+20-8I2+8I3-7I2+7I1 = 0 7I1-20I2+8I3 = -30 Malla 3: 25-8I3+8I2-10I3+10I1-15I3 = 0 10I1+8I2-27I3 = -25
9. Para la red de la figura encontrar: (a) Las corrientes I e I6, y (b) los voltajes V1 y V5.
I =? I6 =? V1 =? V5 =? Rt = (R1//R2//R3)//[(R4//R5)+(R6)] Rt = (2k)// [(3.6k)+10.4k] Rt = 1.75k I = V/Rt = 28v/1.75 = 16mA V1 = I1*R1 = (14mA) (2k) V1 = 28V
I1 = 28v/2 k = 14mA I6 = 28v/14 k = 2mA
V5 = I6 (3.5k) V5 = 7v
10. Para la red de la figura (a) Calcule Rt, (b) Determine Is, I1 e I2 y (c). Encuentre Va.
a. Rt = (R1//R2)//(R3+R4) Rt = (6)//(12) Rt = 4 b. IS = 36v/Rt = 36v/4 = 9A I1 = 36v/R1//R2 = 36v/6 = 6A I2 = 36v/ R3+R4 = 36v/12 = 3A c. Va = I2*R4 Va = (3A)(2) Va = 6v
11. Determine las Corrientes I1 e I2 para la red de la figura.
I1 = 20v/5 = 4A I2 = 7v/9.76 = 0.72A
12. Encuentre la magnitud y la dirección de las corrientes I,I1,I2 e I3 para la red de la figura. Malla 1: 24-4(I1-I2) = 0 24-4I1+4I2 = 0 -4I1+4I2 = -24 Malla 2: -4(I2-I1)-2I2-10(I2-I3) = 0 -4I2+4I1-2I2-10I2-10I2+10I5 = 0 4I1 – 16I2 +10I3 = 0 Malla 3: -10(I3-I2) + 8 = 0 -10I3 + 10I2 + 8 = 0 10I2 -10I3 + 8 =0 10I2-10I3 = -8
I1 = 22A I2 = 16A I3 = 16.8A
I3 = 22A I = I1 – I2 = 6A I2 = 16A I3 = I3-I2 = 0.8A
13. Una bacteria tiene una fem de 15.0 V. Cuando entrega 20.0 W de potencia a un resistor de carga extremo R, el voltaje entre las terminales de la batería es de 11.6 V. a) ¿Cuál es el valor de R? b) ¿Cuál es la resistencia interna de la batería? a) P= I2*12 = V2 20=11.6I I = 1.724 A P = 20 (1.724)2.R R= 6.729 b) P=E*I-I2.r
V= 11.6
20=15I – I2.r 20= 15(1.724)-1.7242r r=1.97
14. Dos baterías de 1.50V con sus terminales positivas en una misma orientación, están insertas en serie en el cuerpo de una linterna. Una de las baterías tiene una resistencia interna de 0.255 y la otra una resistencia interna de 0.153. Cuando el interruptor se cierra, por la lámpara pasa una corriente de 600mA. a) ¿Cuál es la resistencia de la lámpara? b) ¿Qué fracción de la energía química transformada aparece como energía interna de las baterías? a) 1.5 – 0.6*0.153 +1.5 – 0.6 * 0.255-0.6R = 0 1.5-0.2448 = 0.6R R= 2.092 b) P= 12R P = I2*r + I2*r2 Energía = (r1+r2/2) * 100 (0.371/2.072) * 100 %
18%
15. La batería de un automóvil tiene una fem de 12.6 V y una resistencia interna de 0.080. Los dos faros juntos presentan una resistencia equivalente de 5.00 (que se supone constante). ¿Cuál es la diferencia de potencial aplicada a las lámparas de los faros a) cuando representan la única carga de la batería y b) cuando funciona el motor de arranque, que consume 35.0 A adicionales de la batería? E= 2.6 r = 0.08
a) 12.6 – I * 0.08 – 5I = 0 12.6 = 5.08I I = 2.48 A V = I*R V=2.45*5 V=12.4 V
PRÁCTICA Nº 10: CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA 1. El voltaje en un resistor de 5Ω es como se indica. Encuentre la expresión senoidal para la corriente. Además, trace las formas de onda senoidal v e i sobre el mismo eje. v(t)
a. 𝑣(𝑡) = 150𝑠𝑒𝑛(377𝑡)
i(t) 𝒗(𝒕)
150v 𝑉𝑃 𝑅
150𝑣 5Ω
𝐼𝑝 =
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
=
= 30 A
30A (t) -30A
𝑖(𝑡) = 30𝐴𝑠𝑒𝑛(377𝑡)
𝒊(𝒕)
-150v
v(t)
b. 𝑣(𝑡) = 30𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 20°) 𝑉𝑃 𝑅
30𝑣 5Ω
𝒗(𝒕)
30v
𝐼𝑝 =
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
=
i(t)
=6A
6A (t) 20º
𝑖(𝑡) = 6𝐴𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 20°)
-6A
𝒊(𝒕) -30v v(t)
c. 𝑣(𝑡) = 40𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 10°) 𝑣(𝑡) = 40𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡 + 100°)
i(t) 𝒗(𝒕)
40v 𝑉𝑃 𝑅
40𝑣 5Ω
𝐼𝑝 =
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
=
=8A
8A (t) 100º
𝑖(𝑡) = 8𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 100°)
-8A
𝒊(𝒕) -40v
d. 𝑣(𝑡) = −80𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 40°) 𝑣(𝑡) = 80𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡 − 140°) 𝑉𝑃 𝑅
80𝑣 5Ω
𝐼𝑝 =
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
=
i(t)
v(t) 𝒗(𝒕)
40v
= 16 A
8A (t) 140º
𝑖(𝑡) = 16𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 140°) -40v
𝒊(𝒕)
-8A
2. La corriente a través de un resistor de 7kΩ es como se indica. Encuentre la expresión senoidal para el voltaje. Además, trace las formas de onda senoidal v e i sobre el mismo eje. i(t) v(t) a. 𝑖(𝑡) = 0.03𝑠𝑒𝑛(754𝑡) 𝑣(𝑡) = 210𝑠𝑒𝑛(754𝑡)
𝒗(𝒕)
210v
0.03A (t)
𝒊(𝒕)
-0.03A -210v b. 𝑖(𝑡) = 2𝑥10−3 𝑠𝑒𝑛(400𝑡 − 120°) 14v 𝑣(𝑡) = 14𝑠𝑒𝑛(400𝑡 − 120°)
i(t)
v(t)
𝒗(𝒕) 2x10-3A 𝒊(𝒕)
120º
(t) -3
-2x10 A
-14v c. 𝑖(𝑡) = 6𝑥10−6 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 − 10°) 𝑖(𝑡) = 6𝑥10−6 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 80°) 𝑣(𝑡) = 0.042𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 80°)
v(t)
i(t) 𝒗(𝒕)
0.042v
6x10-6A 𝒊(𝒕)
80º
(t) -6x10-6A
-0.042v
d. 𝑖(𝑡) = −0.004𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 − 90°) 𝑖(𝑡) = −0.004𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) 𝑣(𝑡) = −28𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
v(t) 28v
i(t) 𝒗(𝒕) 0.004A 𝒊(𝒕)
-28v
(t) -0.004A
3. Determine la inductancia de una bobina que tiene una reactancia de: 𝑤 = 2𝜋. 𝑓 a. 20Ω en f = 2 Hz. 𝑋𝐿 = 𝑤. 𝐿 20Ω = 2𝜋. 2. 𝐿 𝐿 = 1.59 𝐻 b. 1000Ω en f = 60 Hz. 𝑋𝐿 = 𝑤. 𝐿 1000Ω = 2𝜋. 60. 𝐿 𝐿 = 2.65 𝐻 c. 5280Ω en f = 1000 Hz. 𝑋𝐿 = 𝑤. 𝐿 2580Ω = 2𝜋. 1000. 𝐿 𝐿 = 0.84 𝐻 4. Una corriente a través de una reactancia inductiva de 20Ω es como se indica. Encuentre la expresión senoidal para el voltaje. Además, trace las formas de onda senoidal v e i sobre el mismo eje. v(t) i(t) a. 𝑖(𝑡) = 5𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) 𝑣(𝑡) = 100𝑣𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 90°)
𝒗(𝒕)
100v
5A (t) 100º
-5A 𝒊(𝒕)
-100v b. 𝑖(𝑡) = 0.4𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 60°) 𝑣(𝑡) = 8𝑣𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 150°)
v(t)
i(t) 𝒗(𝒕)
8v 0.04A 150º 60º -8v
(t) 𝒊(𝒕)
-0.04A
v(t) c. 𝑖(𝑡) = −6𝑣𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 30°) 𝑣(𝑡) = −30𝑣𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 60°)
i(t) 𝒗(𝒕)
30v
6A (t) 60º
30º
-6A
𝒊(𝒕)
-30v v(t) d. 𝑖(𝑡) = 3𝑣𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 10°) 𝑖(𝑡) = 3𝑣𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 100°) 𝑣(𝑡) = 60𝑣𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 190°)
60v
i(t) 𝒗(𝒕) 3A (t)
190º
100º 𝒊(𝒕)
-3A
-60v
5. El voltaje de una bobina de 0.2H es como indica. Encuentre la expresión senoidal para la corriente. a. 𝑣(𝑡) = 1.5𝑠𝑒𝑛(60𝑡) 𝑉
1.5𝑣
𝐼𝑝 = 𝑤𝐿𝑃 = (60)(0.2) = 0.125 A
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 90°) 𝑖(𝑡) = 0.125𝐴𝑠𝑒𝑛(60𝑡 − 90°)
b. 𝑣(𝑡) = 0.016𝑠𝑒𝑛(𝑡 + 4°) 𝑉
0.016𝑣
𝐼𝑝 = 𝑤𝐿𝑃 = (1)(0.2) = 0.08 A
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 90°) 𝑖(𝑡) = 0.08𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 86°)
c. 𝑣(𝑡) = −4.8𝑠𝑒𝑛(0.05𝑡 + 50°) 𝑣(𝑡) = 4.8𝑠𝑒𝑛(0.05𝑡 − 130°)
𝑉
4.8𝑣
𝐼𝑝 = 𝑤𝐿𝑃 = (0.05)(0.2) = 480 A
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 90°) 𝑖(𝑡) = 480𝐴𝑠𝑒𝑛(60𝑡 − 220°)
d. 𝑣(𝑡) = 9 × 10−3 𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 360°) 𝑉
9×10−3 𝑣
𝐼𝑝 = 𝑤𝐿𝑃 = (377)(0.2) = 1.19 x 10-4 A
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 90°) 𝑖(𝑡) = 1.19 × 10−4 𝐴𝑠𝑒𝑛(60𝑡 + 270°)
6. Determine la capacitancia en microfaradios si un capacitor tiene una reactancia de: 𝑤 = 2𝜋. 𝑓 a. 250Ω en f = 60 Hz. 𝑋𝐶 =
1 𝑤𝐶
1 2𝜋. 60. 𝐶 𝐶 = 1.06 × 10−5 𝐻 𝐶 = 0.106𝜇𝐹 250Ω =
b. 55Ω en f = 312 Hz. 𝑋𝐶 =
1 𝑤𝐶
1 2𝜋. 312. 𝐶 𝐶 = 9.27𝜇𝐹 55Ω =
c. 10Ω en f = 25 Hz. 𝑋𝐶 =
1 𝑤𝐶
1 2𝜋. 25. 𝐶 𝐶 = 6.37 × 10−4 𝐻 𝐶 = 0.06𝜇𝐹 10Ω =
7. El voltaje en un capacitor de 1 𝜇𝐹 es como se indica. Encuentre la expresión senoidal para la corriente. 1𝜇𝐹 = 1 × 10−6 𝐹 𝐼𝑃 = 𝑉𝑃. 𝑤. 𝐶 a. 𝑣(𝑡) = 30𝑠𝑒𝑛(200𝑡) 𝐼𝑝 = 𝑉𝑃. 𝑤. 𝐶 = 30 × 200 × 1 × 10−6 = 6 x 10-3 A 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 90°) 𝑖(𝑡) = 6 × 10−3 𝐴𝑠𝑒𝑛(200𝑡 + 90°) b. 𝑣(𝑡) = 90𝑠𝑒𝑛(377𝑡) 𝐼𝑝 = 𝑉𝑃. 𝑤. 𝐶 = 90 × 377 × 1 × 10−6 = 0.03 A 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 90°) 𝑖(𝑡) = 0.03𝐴𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 90°) c. 𝑣(𝑡) = −120𝑠𝑒𝑛(374𝑡 + 30°) 𝑣(𝑡) = 120𝑠𝑒𝑛(374𝑡 − 150°) 𝐼𝑝 = 𝑉𝑃. 𝑤. 𝐶 = 120 × 374 × 1 × 10−6 = 0.0 A 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 90°) 𝑖(𝑡) = 0.04𝐴𝑠𝑒𝑛(374𝑡 − 60°) d. 𝑣(𝑡) = 70𝑐𝑜𝑠(800𝑡 − 20°) 𝑣(𝑡) = 70𝑠𝑒𝑛(800𝑡 + 70°) 𝐼𝑝 = 𝑉𝑃. 𝑤. 𝐶 = 70 × 800 × 1 × 10−6 = 0.056 A 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 90°) 𝑖(𝑡) = 0.056𝐴𝑠𝑒𝑛(800𝑡 + 160°) 8. La corriente a través de un capacitor de 0.5 𝜇𝐹 es como se indica. Encuentre la expresión senoidal para el voltaje. 0.5𝜇𝐹 = 0.5 × 10−6 𝐹
a. 𝑖(𝑡) = 0.20𝑠𝑒𝑛(300𝑡) 𝐼
0.20
𝑃 𝑉𝑝 = 𝑤𝐶 = (300)(0.5×10−6 )= = 3 x 10-5 V
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) 𝑣(𝑡) = 3 × 10−5 𝑉𝑠𝑒𝑛(300𝑡 − 90°) b. 𝑖(𝑡) = 0.007𝑠𝑒𝑛(377𝑡) 𝑉𝑝 =
𝐼𝑃 𝑤𝐶
0.007
= (377)(0.5×10−6 )= = 37.1 V
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) 𝑣(𝑡) = 37.1𝑉𝑠𝑒𝑛(377𝑡 − 90°) c. 𝑖(𝑡) = 0.048𝑐𝑜𝑠(754𝑡) 𝑖(𝑡) = 0.048𝑠𝑒𝑛(754𝑡 + 90°) 𝐼
0.048
𝑃 𝑉𝑝 = 𝑤𝐶 = (754)(0.5×10−6 )= = 127.3 V
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) 𝑣(𝑡) = 127.3𝑉𝑠𝑒𝑛(754𝑡)
d. 𝑖(𝑡) = 0.08𝑠𝑒𝑛(1600𝑡 − 80°) 𝐼
0.08
𝑃 𝑉𝑝 = 𝑤𝐶 = (1600)(0.5×10−6 )= = 100 V
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) 𝑣(𝑡) = 100𝑉𝑠𝑒𝑛(1600𝑡 − 170°) 9. Para los siguientes pares de voltajes y corrientes, indique si el elemento involucrado es un capacitor, un inductor o un resistor, y encuentre el valor de C, L o R cuando se dé suficiente información. a. 𝑣(𝑡) = 550𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 40°) 𝑖(𝑡) = 11𝑠𝑒𝑛(377𝑡 − 50°)
𝑣 − 𝑖 = 90° 40° − (−50°) = 90° INDUCTOR
𝑉𝑃
𝐿=𝐼
𝑃.𝑤
550
= (11)(377) = 0.13 𝐻
b. 𝑣(𝑡) = 36𝑠𝑒𝑛(754𝑡 + 80°) 𝑖(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛(754𝑡 + 170°)
10.
𝑖 − 𝑣 = 90° 170° − (80°) = 90° CAPACITOR
𝐶 = 𝑉 𝑃 = (36)(754) = 1.5 × 10−4 𝐻
𝐼
4
𝑃.𝑤
Exprese lo siguiente en forma de fasor. a. √2(1000)𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 30°) 𝑉𝑅𝑀𝑆 =
𝑉𝑃 √2
=
√2(1000) √2
= 1000 𝑉
1000 𝑉 < 30° b. 100𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 90°) 𝑉𝑅𝑀𝑆 =
𝑉𝑃 √2
=
100 √2
= 70.7 𝑉
70.7 𝑉 < −90° c. 42𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 0°) 𝑉𝑅𝑀𝑆 =
𝑉𝑃 √2
=
42 √2
= 29.7 𝑉
29.7 𝑉 < 0° d. 3.6 × 10−6 𝑐𝑜𝑠(754𝑡 − 20°) 3.6 × 10−6 𝑠𝑒𝑛(754𝑡 + 70°) 𝑉𝑅𝑀𝑆 =
𝑉𝑃 √2
=
3.6 × 10−6 √2
2.55 × 10−6 < 70°
= 2.55 × 10−6 𝑉
11. Exprese los siguientes voltajes y corrientes fasoriales como ondas senoidales si la frecuencia es de 60 Hz. 𝑤 = 2𝜋. 𝑓 = 2𝜋. 60 = 377 a. 𝐼 = 40𝐴 < 20° 𝐼𝑃 = 𝐼𝑅𝑀𝑆 . √2 = 40 × √2 = 56.6 𝐴 𝑖(𝑡) = 56.6 𝐴𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 20°) b. 𝐼 = 1200𝐴 < −120° 𝐼𝑃 = 𝐼𝑅𝑀𝑆 . √2 = 1200 × √2 = 1697 𝐴 𝑖(𝑡) = 1697 𝐴𝑠𝑒𝑛(377𝑡 − 120°) c. 𝑉 = 120𝑉 < 0° 𝑉𝑃 = 𝑉𝑅𝑀𝑆 . √2 = 120 × √2 = 169.7 𝑉 𝑣(𝑡) = 169.7 𝑉𝑠𝑒𝑛(377𝑡) d. 𝑉 = 5𝑉 < 90° 𝑉𝑃 = 𝑉𝑅𝑀𝑆 . √2 = 5 × √2 = 7.1 𝑉 𝑣(𝑡) = 7.1 𝑉𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 90°) 12. Para el sistema de la figura 1, encuentre la expresión senoidal para el voltaje desconocido 𝑣𝑎 si: 𝑒𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 60𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 20°) 𝑣𝑏 = 20𝑠𝑒𝑛(377𝑡) 𝒆𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝒗𝒂 + 𝒗𝒃 𝑒𝑒 =
60
< 20° = 42.4𝑐𝑜𝑠30° + 𝑗(42.4𝑠𝑒𝑛30°)
√2
𝑒𝑒 = 36.7 + 𝑗21.2 𝑣𝑏 =
20 √2
< 0° = 14.1𝑐𝑜𝑠0° + 𝑗(14.1𝑠𝑒𝑛0°)
𝑣𝑏 =14.1 FIGURA 1 36.7 + 𝑗21.2 = 𝑣𝑎 + 14.1 𝑣𝑎 = 22.6 + 𝑗21.2 = √(22.6)2 + (21.2)2 < 𝑡𝑎𝑛−1
(21.2) = 31 < 43.2° (22.6)
𝑉𝑃 = 31 × √2 = 43.84 𝑉 𝑣𝑎 (𝑡) = 43.84 𝑉 𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 43.2°) 13. Para el sistema de la figura 2, encuentre la expresión senoidal para la corriente desconocida 𝑖1 si: 𝑖𝑠 = 20 × 10−6 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 90°) 𝑖2 = 6 × 10−6 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 60°) 𝒊𝒔 = 𝒊𝟏 + 𝒊𝟐 𝑖𝑠 =
20×10−6 √2
< 90°
𝑖𝑠 = 1.4 × 10−5 𝑐𝑜𝑠90° + 𝑗(1.4 × 10−5 𝑠𝑒𝑛90°) 𝑖𝑠 = 𝑗1.4 × 10−5 𝑖2 = FIGURA 2 60°)
6×10−6 √2
< −60
𝑖2 = 4.2 × 10−6 𝑐𝑜𝑠 − 60° + 𝑗(4.2 × 10−6 𝑠𝑒𝑛 − 𝑖2 = 2.1 × 10−6 − 𝑗3.6 × 10−6
𝑗1.4 × 10−5 = 𝑖1 + 2.1 × 10−6 − 𝑗3.6 × 10−6 𝑖1 = −2.1 × 10−6 + 𝑗1.76 × 10−5 = √(−2.1 × 10−6 )2 + (1.76 × 10−5 )2 (1.76 × 10−5 ) < 𝑡𝑎𝑛−1 (−2.1 × 10−6 ) −5 𝑖1 = 1.77 × 10 < −83.2° 𝐼𝑃 = 1.77 × 10−5 × √2 = 2.5 × 10−5 𝐴 𝑖1 (𝑡) = 2.5 × 10−5 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 83.2°) 14. Encuentre la expresión senoidal para el voltaje aplicado 𝑒 para el sistema de la figura 3, si: 𝑣𝑎 = 60𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 30°) 𝑣𝑏 = 30𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 30°) 𝑣𝑐 = 40𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 120°)
𝒆𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝒗𝒂 + 𝒗𝒃 + 𝒗𝒄 60 60 𝑐𝑜𝑠30° + 𝑗 ( 2 𝑠𝑒𝑛30°) = 36.74 + 𝑗21.21 √2 √ 30 30 𝑣𝑏 = 2 𝑐𝑜𝑠 − 30° + 𝑗 ( 2 𝑠𝑒𝑛 − 30°) = 18.37 + 𝑗10.61 √ √ 40 40 𝑣𝑐 = 2 𝑐𝑜𝑠120° + 𝑗 ( 2 𝑠𝑒𝑛120°) = −14.14 + 𝑗24.49 √ √
𝑣𝑎 =
𝑒𝑒 = (36.74 + 18.37 − 14.14) + 𝑗(21.21 + 10.61 + 24.49)
FIGURA 3
(56.31)
𝑒𝑒 = 40.97 + 𝑗56.31 = √(40.97)2 + (56.31)2 < 𝑡𝑎𝑛−1 (40.97) = 69.64 < 53.96° 𝑉𝑃 = 69.64 × √2 = 98.49 𝑉 𝑒𝑒 (𝑡) = 98.49 𝑉 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 53.96°) 15. Exprese las impedancias de la figura 4 tanto en forma polar como rectangular.
𝑍𝑅 = 200 < 0° 𝑍𝑅 = 200𝑐𝑜𝑠0° + 𝑗200𝑠𝑒𝑛° = 200
𝑋𝐿 = 𝑤𝐿 = (2𝜋. 50)(0.05) = 15.71 Ω 𝑍𝐿 = 𝑋𝐿 < 90° = 15.71 < 90° 𝑍𝐿 = 15.71𝑐𝑜𝑠90° + 𝑗15.71𝑠𝑒𝑛90° = 𝑗15.71
1
1
𝑋𝑐 = 𝑤𝐶 = (377)(10×10−6 ) = 265.25 Ω 𝑍𝐶 = 𝑋𝐶 < −90° = 265.25 < −90° 𝑍𝐿 = 265.25𝑐𝑜𝑠 − 90° + 𝑗265.25𝑠𝑒𝑛 − 90° = −𝑗265.25
16. Encuentre la corriente i para los elementos de la figura 5, utilizando el álgebra compleja. Trace las formas de onda v e i sobre el mismo conjunto de ejes.
𝐼𝑃 = 𝑖(𝑡)
𝑉𝑃 4×10−3 = 5.1×103 = 7.84 × 10−7 𝐴 𝑅 𝑣(𝑡) = 𝑅 = 7.84 × 10−7 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 −
120°)
v(t) 4x10-3v
i(t) 𝒗(𝒕) 7.84x10-7 A 𝒊(𝒕)
-4x10-3v
(t) -7.84x10-7 A
𝑉
16
𝐼𝑃 = 𝑤𝐿𝑃 = (377)(0.1) = 0.42 𝐴 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑃 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 90°) = 0.42𝐴𝑠𝑒𝑛(377𝑡 − 30°) v(t)
i(t) 𝒗(𝒕)
16v
0.42 A 60º
30º
(t)
𝒊(𝒕)
-0.42A
-16v
𝐼𝑃 = 𝑉𝑝 . 𝐶. 𝑤 = (120)(2 × 10−6 )(10 × 103 𝜋) = 7.54 𝐴 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑃 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 − 90°) = 7.54𝐴𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 90°) v(t) 120v
i(t) 𝒗(𝒕) 7.54 A
90º
-120v
𝒊(𝒕)
(t) -7.54A
17. Calcule la impedancia total de los circuitos mostrados en la figura 6. Exprese su respuesta en forma rectangular y polar. 𝑍𝑇 = 6.8 + 𝑗6.8 𝑍𝑇 = √(6.8)2 + (6.8)2 < 𝑡𝑎𝑛−1
(6.8) (6.8)
𝑍𝑇 = 9.62 < 45°
𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 2 + 8 = 10 Ω 𝑍𝑇 = 10 − 𝑗6 𝑍𝑇 = √(10)2 + (−6)2 < 𝑡𝑎𝑛−1
(−6) (10)
𝑍𝑇 = 11.66 < −30.96°
𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1 + 4 = 5 𝑘Ω 𝑋𝐿 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 3 + 7 = 10 𝑘Ω 𝑍𝑇 = 5 + 𝑗10 𝑍𝑇 = √(5)2 + (10)2 < 𝑡𝑎𝑛−1
(10) (5)
𝑍𝑇 = 11.18 < 63.43° 18.
Para el circuito de la figura 7:
FIGURA 7
a. Encuentre 𝑍𝑇 𝑍𝑇 = 2 + 𝑗(6 − 10)
(−4) = 4.47 < −63.43° (2) b. Encuentre el valor de C en microfaradios y de L en henrys. 𝑍𝑇 = 2 − 𝑗4 = √(2)2 + (−4)2 < 𝑡𝑎𝑛−1
1
𝑋𝐿 = 𝑤. 𝐿
𝑋𝐶 = 𝑤.𝐶
6 = 377. 𝐿
10 = (377)𝐶
1
𝐿 = 0.016 𝐻
𝐶 = 2.65 × 10−4 = 265.51 𝜇𝐹
c. Encuentre la corriente I y los voltajes 𝑉𝑅 , 𝑉𝐿 𝑦 𝑉𝐶 en forma fasorial. 𝑒𝑒 = 70.7 𝑠𝑒𝑛(377𝑡) =
70.7 √2
< 0°
𝑉𝑡 50 𝑉 < 0° = = 11.19 𝐴 < 63.43° 𝑍𝑇 4.47 < −63.43° 𝐼𝑇 = 11.19 × √2𝐴𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 63.43°) 𝐼𝑇 =
𝑉𝑅 = 𝐼𝑇 . 𝑍𝑅 = (11.19 𝐴 < 63.43°)(2Ω < 0°) 𝑉𝑅 = 22.38 𝑉 < 63.43° = 22.38√2𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 63.43°)
𝑉𝐿 = 𝐼𝑇 . 𝑍𝐿 = (11.19 𝐴 < 63.43°)(6Ω < 90°) 𝑉𝐿 = 67.14 𝑉 < 153.43° = 67.14√2𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 153.43°)
𝑉𝐶 = 𝐼𝑇 . 𝑍𝐶 = (11.19 𝐴 < 63.43°)(10Ω < −90°) 𝑉𝐶 = 111.9 𝑉 < −26.57° = 111.9√2𝑠𝑒𝑛(377 − 26.57°)
d. Verifique la ley de voltajes de Kirchhoff alrededor del lazo cerrado. 𝑬 = 𝑽𝑹 + 𝑽𝑳 + 𝑽 𝑪
𝑉𝑅 = 22.38 𝑉 < 63.43° = 22.38𝑐𝑜𝑠63.43° + 𝑗22.38𝑠𝑒𝑛63.43° 𝑉𝑅 = 10.01 + 𝑗20.02
𝑉𝐿 = 67.14 𝑉 < 153.43° = 67.14𝑐𝑜𝑠153.43° + 𝑗67.14𝑠𝑒𝑛153.43° 𝑉𝐿 = −60.05 + 𝑗30.03
𝑉𝐶 = 111.9 𝑉 < −26.57° = 111.9𝑐𝑜𝑠 − 26.57° + 𝑗111.9𝑠𝑒𝑛 − 26.57° 𝑉𝑅 = 100.08 − 𝑗50.05
𝐸 = (10.01 − 60.05 + 100.08) + 𝑗(20.02 + 30.03 − 50.05) 𝐸 = 50.04 + 𝑗(0) = 50.04 𝐸 = 50.04 < 0° = 50.04√2𝑠𝑒𝑛(377𝑡) = 70.76𝑠𝑒𝑛(377𝑡) e. Encuentre las expresiones senoidales para los voltajes y la corriente.
𝑉𝑅 = 31.65 𝑉𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 63.43°) 𝑉𝐿 = 94.95 𝑉𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 153.43°) 𝑉𝐶 = 158.25 𝑉𝑠𝑒𝑛(377 − 26.57°) 𝐼𝑇 = 15.83 𝐴𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 63.43°)
19. Calcule los voltajes 𝑉1 𝑦 𝑉2 para el circuito de la figura 8.
FIGURA 8
𝑍𝑇 = (2 + 𝑗6) × 103 𝑍𝑇 = (√(2)2 + (6)2 ) × 103 < 𝑡𝑎𝑛−1 𝐼𝑇 =
(6) = 6325 < 71.57° (2)
𝐸 120 𝑉 < 20° = = 0.019 𝐴 < −51.57° 𝑍𝑇 6325 < 71.57°
𝑉1 = (0.019 𝑉 < −51.57°)(2 × 103 < 0°) 𝑉1 = 38 < −51.57°
𝑉2 = (0.019 𝑉 < −51.57°)(6 × 103 < 90°) 𝑉2 = 113.94 < −38.43°
20. Encuentre la admitancia total y la impedancia de los circuitos de la figura 9. Identifique los valores de conductancia y susceptancia. 1
1
1
𝑌𝑇 = 11 + 𝑗 6
𝑍𝑇 = 𝑌
𝑌𝑇 = 0.09 + 𝑗0.17
𝑍𝑇 = 0.19<62.10°
𝑌𝑇 = 0.19 < 62.10°
𝑍𝑇 = 5.26 < −62.10°
1
𝑇
1
1
1
1
𝑌𝑇 = [3 + 𝑗 (9 − 6)] × 10−3
𝑍𝑇 = 𝑌
𝑌𝑇 = (0.33 − 𝑗0.056) × 10−3
𝑍𝑇 =
𝑌𝑇 = 3.35 × 10−4 < 9.63° −9.63°
𝑍𝑇 = 2985.07 <
1 3.35×10−4 <9.63°
21. Para el circuito de la figura 10: FIGURA 10
𝑇
a. Encuentre 𝑌𝑇 1
1
𝑌𝑇 = 2 − 𝑗 5 𝑌𝑇 = 0.5 − 𝑗0.2 = √(0.5)2 + (−0.2)2 < 𝑡𝑎𝑛−1
(−0.2) (0.5)
𝑌𝑇 = 0.54 < −21.8° b. Encuentre el voltaje E y las corrientes 𝐼𝑅 𝑒 𝐼𝐿 en forma fasorial. 2 𝐴 < 0° 0.54 < −21.8° 𝐸 = 3.70 𝑉 < 21.8° 𝐸=
𝐼𝑅 =
3.70 𝑉<21.8° 2<0°
𝐼𝑅 = 1.85 𝐴 < 21.8°
𝐼𝐿 =
3.70 𝑉<21.8° 5<90°
𝐼𝐿 = 0.74 𝐴 < −68.2° c. Verifique la ley de corrientes de Kirchhoff en un nodo. 𝑰𝑺 = 𝑰𝑹 + 𝑰𝑳
𝐼𝑅 = 1.85 𝐴 < 21.8° = 1.85𝑐𝑜𝑠21.8° + 𝑗1.85𝑠𝑒𝑛21.8° 𝐼𝑅 = 1.72 + 𝑗0.69
𝐼𝐿 = 0.74 𝐴 < −68.2° = 0.74𝑐𝑜𝑠 − 68.2° + 𝑗0.74𝑠𝑒𝑛 − 68.2° 𝐼𝐿 = 0.27 − 𝑗0.69
𝐼𝑆 = (1.72 + 0.27) + 𝑗(0.69 − 0.69) 𝐼𝑆 = 1.99 + 𝑗(0) 𝐼𝑆 = 2 < 0° = 2√2𝑠𝑒𝑛(377𝑡) = 2.83𝑠𝑒𝑛(377𝑡) d. Encuentre las expresiones senoidales para las corrientes si la frecuencia es de 60 Hz.
𝐼𝑅 = 2.62 𝐴 𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 21.8°) 𝐼𝐿 = 1.05 𝐴 𝑠𝑒𝑛(377𝑡 − 68.2°) 𝐼𝑇 = 2.83 𝐴𝑠𝑒𝑛(377𝑡)
22.
Repita el problema anterior para la figura 11 reemplazando 𝐼𝐿 𝑐𝑜𝑛 𝐼𝐶 en el inciso b.
FIGURA 11
a. Encuentre 𝑌𝑇 1
1
𝑌𝑇 = 10000 + 𝑗 20000
(5×10−5 )
𝑌𝑇 = 1 × 10−4 + 𝑗5 × 10−5 = √(1 × 10−4 )2 + (5 × 10−5 )2 < 𝑡𝑎𝑛−1 (1×10−4 ) 𝑌𝑇 = 1.12 × 10−4 < 26.57° b. Encuentre el voltaje E y las corrientes 𝐼𝑅 𝑒 𝐼𝐶 en forma fasorial. 2 × 10−3 𝐴 < 20° 1.12 < 26.57° 𝐸 = 17.86 𝑉 < −6.57° 𝐸=
𝐼𝑅 =
317.86 𝑉<−6.57° 10000<0° −3
𝐼𝑅 = 1.79 × 10
𝐼𝐶 =
17.86 𝑉<−6.57° 20000<−90° −4
𝐼𝐶 = 8.93 × 10
𝐴 < −6.57°
𝐴 < 83.43°
c. Verifique la ley de corrientes de Kirchhoff en un nodo. 𝑰𝑺 = 𝑰𝑹 + 𝑰𝑪
𝐼𝑅 = 1.79 × 10−3 𝐴 < −6.57° = 1.79 × 10−3 𝑐𝑜𝑠 − 6.57° + 𝑗1.79 × 10−3 𝑠𝑒𝑛 − 6.57° 𝐼𝑅 = 1.77 × 10−3 − 𝑗2.05 × 10−4
𝐼𝐶 = 8.93 × 10−4 𝐴 < 83.43° = 8.93 × 10−4 𝑐𝑜𝑠83.43° + 𝑗8.93 × 10−4 𝑠𝑒𝑛83.43° 𝐼𝐶 = 1.02 × 10−4 + 𝑗8.87 × 10−4
𝐼𝑆 = (1.77 × 10−3 + 1.02 × 10−4 ) + 𝑗(−2.05 × 10−4 + 8.87 × 10−4 ) 𝐼𝑆 = 1.872 × 10−3 + 𝑗6.82 × 10−4
𝐼𝑆 = 2 × 10−3 < 20° = 2 × 10−3 √2𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 20°) = 2.83 × 10−3 𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 20°)
d. Encuentre las expresiones senoidales para las corrientes si la frecuencia es de 60 Hz. 𝐼𝑅 = 2.53 × 10−3 𝐴 𝑠𝑒𝑛(377𝑡 − 6.57°) 𝐼𝐿 = 1.26 × 10−3 𝐴 𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 83.43°) 𝐼𝑇 = 2.83 × 10−3 𝐴 𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 20°)
23.
Para el circuito de la figura 12:
FIGURA 12
𝐼𝑆 =
3 √2
𝐴 < 60° = 2.12 𝐴 < 60°
a. Encuentre 𝑌𝑇 1
1
1
𝑌𝑇 = 1.2 + 𝑗(5 − 2)
(−0.3)
𝑌𝑇 = 0.83 − 𝑗0.3 = √(0.83)2 + (−0.3)2 < 𝑡𝑎𝑛−1 (0.83) 𝑌𝑇 = 0.88 < −19.87°
1
1
𝑍𝑇 = 𝑌 = 0.88<−19.87° = 1.14 Ω < 19.87° 𝑇
b. Encuentre C en microfaradios y de L en henrys.
1 𝑤.𝐶 1 (377).𝐶
𝑋𝐶 = 5=
𝐶 = 5.31 × 10−4 𝐹 = 531 𝜇𝐹
𝑋𝐿 = 𝑤𝐿 2 = 377. 𝐿 𝐿 = 5.31 × 10−3 𝐻
c. Encuentre el valor del voltaje E y los voltajes 𝐼𝑅 , 𝐼𝐿 𝑦 𝐼𝐶 en forma fasorial. 𝐸 = 𝐼𝑠 . 𝑍𝑇 𝐸 = (2.12 𝐴 < 60°)(1.14 Ω < 19.87°) 𝐸 = 2.42 𝑉 < 79.87° 𝑒(𝑡) = 3.42 𝑉 𝑠𝑒𝑛 (377𝑡 + 79.87°)
𝐼𝑅 =
𝐼𝐿 =
𝐼𝐶 =
2.42 𝑉 <79.87° = 2.02 𝐴 < 79.87° 1.2 Ω <0° 2.42 𝑉 <79.87° = 1.21 𝐴 < −10.13° 2 Ω <90° 2.42 𝑉 <79.87° = 0.484 𝐴 < 169.87° 5 Ω <−90°
d. Verifique la ley de corrientes de Kirchhoff en un nodo. 𝑰𝑺 = 𝑰𝑹 + 𝑰𝑳 + 𝑰𝑪
𝐼𝑅 = 2.02 𝐴 < 79.87° = 2.02 𝑐𝑜𝑠79.87° + 𝑗2.02 𝑠𝑒𝑛79.87° 𝐼𝑅 = 0.36 + 𝑗1.99
𝐼𝐿 = 1.21 𝐴 < −10.13° = 1.21 𝑐𝑜𝑠 − 10.13° + 𝑗1.21 𝑠𝑒𝑛 − 10.13° 𝐼𝐿 = 1.19 − 𝑗0.21
𝐼𝐶 = 0.484 𝐴 < 169.87° = 0.484 𝑐𝑜𝑠169.87° + 𝑗0.484 𝑠𝑒𝑛169.87° 𝐼𝐶 = −0.48 + 𝑗0.09
𝐼𝑆 = (0.36 + 1.19 − 0.48) + 𝑗(1.99 − 0.21 + 0.09) 𝐼𝑆 = 1.07 + 𝑗1.87 𝐼𝑆 = 2.15 < 60.22° = 2.15√2𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 60.22°) = 3.04𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 60.22°)
e. Encuentre las expresiones senoidales para los voltajes y para la corriente.
𝑒(𝑡) = 3.42 𝑉 𝑠𝑒𝑛 (377𝑡 + 79.87°) 𝐼𝑅 = 2.86 𝐴 𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 79.87°) 𝐼𝐿 = 1.71 𝐴 𝑠𝑒𝑛(377𝑡 − 10.13°) 𝐼𝐶 = 0.68 𝐴 𝑠𝑒𝑛(377𝑡 + 169.87°)
