Portico y Placa

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

INTRODUCCIÓN

Se ha estado desarrollando hasta el momento en la materia de Analisis Estructural II el equilibrio de una estructura en función a su relación lineal entre causa y efecto. Las ecuaciones de equilibrio se planteaban independientemente al estado de tracción al que quedaba sometido el material de la estructura, asimismo se despreciaba el margen de cambio de la geometría que la carga podría producir. En esta parte del curso analizaremos el comportamiento de los nudos entre elementos estructurales con secciones importantes(de gran peralte), siendo su analisis mas alla de cosiderar sólo el efecto de flexion, sino también, considerar el efecto de corte sobre estos miembros de gran peralte (placas) combinadas con vigas formando porticos. También analizaremos como los nudos formados por vigas y columnas anchas(placas) generan el fenomeno de brazo rígido el cual considera su deformacion como practicamente nula asumiendo un EI=α.

Se realiza la resolución de una ejemplo para un mejor entendimiento de estos fenómenos.

ANALISIS ESTRUCTURAL II II


MARCO TEORICO 1. PÓRTICOS PLANOS CON MUROS DE CORTE La teoría de vigas es en general suficiente para describir el comportamiento de las vigas o de las columnas que constituyen los pórticos, siempre que las dimensiones de las secciones transversales (y por lo tanto las dimensiones de los nudos) sean pequeñas en relación con la longitud de los elementos. Hipótesis tales como que "las secciones planas antes de la deformación siguen siendo si endo planas después de la deformación" no pueden estrictamente aplicarse para las zonas de los nudos, donde se tiene una distribución de esfuerzos más compleja que aquella en las luces libres (es decir, entre caras de apoyo) de los elementos. Si las dimensiones de los nudos son pequeñas en comparación con la luz, no se comete mucho error al suponer que la teoría de vigas vi gas es aplicable a todo lo largo. Sin embargo, cuando los elementos transversales son de gran tamaño, si es necesario modificar las expresiones habituales.

Fig. 1 frecuente consiste en suponer

Una aproximación que las regiones de los nudos tienen infinita rigidez. Los elementos se modelan entonces como compuestos por tres partes, dos brazos laterales infinitamente rígidos y una porción central flexible, como se muestra en la figura 2. Esto tampoco es lo exacto, pero permite obtener fácilmente la matriz de rigidez de los elementos. Más adelante se mencionan algunas correcciones que pueden hacerse para tener en cuenta la (pequeña) flexibilidad de los nudos.

Fig. 2 En lo que sigue, se denomina L a la longitud de la porción central flexible (es decir, a la distancia entre caras de apoyo), mientras que a y b son las longitudes de los brazos rígidos (es decir, las distancias entre las caras de apoyo y los correspondientes ejes de los elementos verticales).

ANALISIS ESTRUCTURAL II II


La longitud total del elemento es a+L+b. En las figuras 3a y 3b se muestran las componentes de desplazamiento y de fuerza a las que se hace referencia en el análisis siguiente:

Desplazamientos:

Fig. 3a Fuerzas

Fig. 3b A continuacion presentamos algunas de las matrices de rigidez de elementos considerando el efecto de el brazo rigido.

2. ANALISIS DE PORTICOS PLANOS EN EL CUAL SE INTEGRA ALGUNOS MUROS DE CORTE(PLACAS) – CONDICION DE BRAZO RIGIDO EN VIGAS Sea el siguiente sistema estructural:

ANALISIS ESTRUCTURAL II


3. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS PLACA: K ( e). Para el analisis se incluye la deformacion por corte que esta expresado a traves del parametro “ǿ”.

 

 

  

 

 



6E Ip 12E Ip 6E Ip  12E Ip  0 0    2 3 2 ( 1   p )  h ( 1   p )  h ( 1   p )  h   ( 1   p ) h 3   EAp E Ap 0 0 0 0   h h   ( 4   p )  E Ip 6E Ip ( 2   p )  E Ip   6E Ip 0 0  ( 1   p )  h ( 1   p )  h  2 2 ( 1 p ) h ( 1 p ) h        k11    12E Ip  6E Ip 12E Ip 6E Ip 0 0   3 2 3 2  ( 1 p ) h ( 1 p ) h ( 1 p ) h ( 1 p ) h                 EAp E Ap 0 0 0 0   h h   6E Ip ( 2 p ) E Ip 6E Ip ( 4 p ) E Ip             0 0 2 2 ( 1   p )  h ( 1   p )  h ( 1   p )  h  (1   p )  h 

En donde:

“ǿ”. = Factor de corte, que cuantifica la importancia de las deformaciones por corte.



4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE VIGAS CON BRAZO RIGIDO: H( e).

Al analizar el portico con placas debe tambien hacerse una modificación importante en las rigideces de las vigas por las condiciones de brazo rigido.





MARCO PRACTICO Considere un sistema portico con placa. La placa es de 0.30cm de espesor y de 2.0m de peralte. La columna es de 0.30x0.60m. La luz entre los ejes es de 3.0m, la altura de entrepiso es de 3.0m. E= 2.5x10 6 ton/m2 ; G=0.4E Suponga que la deformacion axial en la viga es practicamente nula. Incluya deformaciones de corte en la placa pero no en la viga y columna. Considere las inercias y areas de las secciones brutas y el 100% de los brazos rigidos Determine: a.

Las fuerzas internas de los extremos de los elementos.

b. Dibujar el DFCy DMF. c.

Las fuerzas en las caras de apoyo de la viga.

d. Los desplazamientos en las caras de apoyo de la viga.

Solucion:



3 ton 2.25 ton/m 7 ton

0.3 ton 2 ton/m

B

C

2

(1)

1

0.0225 ton/m

3m

3

A

D 5.65m

MODELO ESTRUCTURAL DE ANALISIS

2

4

1

3 B

C

2

(1)

5

1

3m

3

A

D a 5.65m

CARACTERISTICAS DEL SISTEMA (GDL=5; ELEM=3)

1 CALCULOS PREVIOS PLAC Ap  0.253   0.75

m

3

Ip  0.25

3

12

 0.563

m t on

6

E  15 000 21 0 10  2.174 10

m2

5

Ge  0.4 E  8 .6 95 1 0 h  3

As 

5Ap 6

 p  12

 0.625

EI p Ge As  h

2

3



VIGA

Av

 0 .2 50  .5  0.125

m

3

Iv 

0.250.5  12

 2.604

3

10

m

TRABAJANDO CON UN PORCENTAJE DE BRAZO RÍGIDO D  3

  0.

PORCENTAJ a  

D 2

 1.05

b  0

Lv  1.5  a

 4

0.3 2

 4.6

DESPRECIABLE

v  0 COLUMN Ac

 0.3 0. 3  0.09

m

3

Ic 

1 0.3 0.3 12

 6. 75

4

10

m

DESPRECIABLE

c  0

2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS ELEMENTO 1: PLACA

2 3 B 1

1 3m

A



MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA COLUMNA 1: 6E Ip 12E Ip 6E Ip  12EIp  0 0    2 3 2 ( 1   p )  h ( 1   p )  h ( 1   p )  h   ( 1   p ) h 3   EAp E Ap 0 0 0 0   h h   ( 4   p )  E Ip 6E Ip ( 2   p )  E Ip   6E Ip 0 0  ( 1   p )  h ( 1   p )  h  2 2       ( 1 p ) h ( 1 p ) h  k11   12E Ip  6E Ip 12E Ip 6E Ip 0 0   3 2 3 2  ( 1   p )  h ( 1   p )  h ( 1   p )  h   (1   p )  h   EAp E Ap 0 0 0 0   h h   ( 2   p )  E Ip 6E Ip ( 4   p )  E Ip   6E Ip 0 0 ( 1   p )  h ( 1   p )  h 2 2 ( 1   p )  h  (1   p )  h 

( 0)

( 0)

 1.359 105

0

( 0)

2.038

( 1)

5

10

5  0 5.434 10 0  5  2.038 105 0 7.132 10 k11   5  1.359 105 0 2.038 10  5 5.434 10 0 0   5 5 0 1.019 10  2.038 10

 k113  3 k1   k114  3   k115  3

k11

3 4

k11

4 4

k11

5 4

  1.359 105   k11 0 4 5    k11 5 5 5   2.038 10 k11

3 5

1.359

( 2)

5

10

5

2.038 10

5

10

0

5

1.359 10

0

0

5.434 10

5

5

2.038 10

5

5

5.434 10 0

0 2.038 10 

0

  5 7.132 10  0




( 0)

  5 1.019 10  5 2.038 10   0  5  7.132 10 

( 0)

2.038

0

5.434

0

( 3)

5

10

0

( 1) ( 2) ( 3)

( 0) ( 1) ( 2) ( 3)


ELEMENTO 2: VIGA CON BRAZO RÍGIDO

2

4

3 B

C

(1)

5

2

a Lv 3

a

 1.05

Iv  2.604 10

b

0

v  0

6

E  2.174 10

Lv  4.6 Av  0. 125

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA VIGA (2): ( 0)

( 2)

 5.907 104

( 3)

0

0

3  0 697.875 2.338 10  3 3  0 2.338 10 9.062 10 k22    5.907 104 0 0  3 0 697.875 2.338 10   3 3 0 1.605 10 4.147 10 

 k221  1

k22

k22

 k222  1 k2    k224  1  k22  5  1

k22

k22

k22

k22

1 2 2 2 4 2

k22

5 2

1 4 2 4 4 4

k22

5 4

( 0)

5.907

( 4)

4

10

0

2.338

0 4

5 .9 07 1 0 0 0

3

10

0 697.875

1.605



0

697.875

0

( 5)

3

10

  3  4.147 10   0  3 1.605 10  3  4.922 10  3

1.605 10

  697.875 2.338 103 697.875 1.605 103   3 3 3 3  k22 2.338 10 4.147 10  2  5   2.338 10 9.062 10  k22 3 3 4 5  697.875 2.338 10 697.875 1.605 10     k22 3 3 3 3 5  5   1.605 10 4.147 10 1.605 10 4.922 10  k22

1 5


( 0) ( 2) ( 3) ( 0) ( 4) ( 5)

( 2) ( 3) ( 4) ( 5)


ELEMENTO 3: COLUMNA

4 5

C

1

3

3m

D 6

E  2.174 10

4

Ic  6.75 10

c  0 h

3 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA VIGA (3)

( 0)

( 0)

 652.112

( 0)

4

k33

3 4

k33

4 4

k33

5 4

( 4)

978.168 652.112

0

6.521 10  0  0 978.168 k33    652.112 0  4 6.521 10  0  0  978.168

 k333  3  k3  k334  3   k335  3

( 1)

0

0 3

6.521

4

10

1.956 10

978.168

0

978.168

652.112

0

0

0

6.521 10

978.168

978.168

0

3 5

( 0)

978.168 

0

0   652.112 4  k33 0 6 .5 21 1 0 4 5     k33 0 5  5   978.168 k33

( 5)

4

( 0)

  978.168  978.168   0  3 1.956 10  0

( 0) ( 1) ( 4) ( 5)



( 1)

 3 1 .9 56 1 0 

( 4)

978.168 0


( 5)


3. MATRÍZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA

 k113 3  k333 3   ke      

k11

k11

3 4

k33

3 5

k11

k11



k22

k11



k22

k22

k11

k11



k22

k11



k22

k22

4 3

4 4

5 3

5 4

1 1 2 1

4 5 5 5

1 2

3 5 1 5

2 4

k33

k22

k22

k22



k33

k33

k22

k22

k22



k33

4 3

4 1

5 3

4 2

5 1

( 1)

( 2)

4 4

5 2

5 4

( 3)

( 4)

  k22  2 5  k22  k334  5 4 5  k22  k335  5  5 5  k22

1 4

2 2



k33

3 4

4 4 5 4

( 5)

5  1.365 105 0 2.038 10 0 978.168   5 3 3  697.875 1.605 10  0 5.441 10 2.338 10    ke  2.038 105 2.338 103 7.223 105 2.338 103 4.147 103    3 4 3 0 697.875 2.338 10 6.591 10 1.605 10   3 3 3 3  978.168 1.605 10 4.147 10 1.605 10 6.879 10 

( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)

4. VECTOR DE FUERZAS EXTERNAS DEL SISTEMA: fn

 7   3  fn   2.25   0.3   0.0225  5. VECTOR DE FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO DEL SISTEMA: fo

Vio  Vjo 

w  Lv 2 w  Lv 2

2

 w  a  6. 7

Mijo 

w  Lv

 w b  4. 6



12

w  Lv a 2

2

Mjio 

w  Lv 12



 w

w Lv b


2

a

2

 9.459

2

 w

b

2

2

 3.527


 0   0   Vio   6.7  fo   Mijo    9.459   Vjo   4.6 

 Vio   6.7  Mijo   9.459  f02     Vjo   4.6   Mjio   3.527 

 Mjio   3.527 

6. VECTOR DE FUERZAS EXTERNAS DEL SISTEMA: f

 7   9.7  f  fn  fo   7.209  4.9   3.504  7. VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL SISTEMA: u

 1.159 10 4   5 1.922 10     1 u  ke  f   4.576 10 5     6.375 10 5    4  5.101 10 

( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)

8 VECTOR DE FUERZAS INTERNAS DE LOS ELEMENTOS: fe ELEMENTO 1:

 u0  0   1.159 10 4      u1  u 1  0  1.922 10 5     u  2  0   4.576 10 5 

 1.359 105  k1  0  5  2.038 10

 6.425  f1  k1u1

 10.443    9.014 


2.038 10  5

0 5

5.434 10 0

  5 7.132 10  0


ELEMENTO 2:

 u1  0   1.922 10 5   u2  0   4.576 10 5  u2    u  3  0   6.375 10 5  u   4  0   5.101 10 4 

ELEMENTO 3:

 697.875 2.338 103 697.875 1.605 103   3 3 3 3  2.338 10 9.062 10 2.338 10 4.147 10   k2   697.875 2.338 103 697.875 1.605 103    3 3 3 3  1.605 10 4.147 10 1.605 10 4.922 10 

 7.443  11.264 f2  k2u2  f02    3.857   1.134 

 u0  0   1.159 10 4  u3   u3  0    6.375 10 5       u4  0   5.101 10 4 

 652.112 k3 

978.168 

0 4

 0 6.521 10  0  978.168

 3 1.956 10  0

 0.575  f3  k3u3

 4.157

   1.111 

9. FUERZAS EN LOS EXTREMOS FLEXIBLES DE LA BARRA FLEXIBLE (cara de apoyo): ELEMENTO 2: MATRIZ DE TRANSFORMACION A CARA DE APOYO

 1 0 H   0  0

a 0 1 0 0 1 0 0

0 

 1 0  0   b   0 1   0

1.05 0 0  1

0 0

0

1 0

0

0 1 

 1 0 1.05 1 T T  H    0 0  0 0

0 0  0 0 1 0 0 1 

 14.143  28.538 f22  T f2  f02    8.457   4.661  ANALISIS ESTRUCTURAL II


10. DESPLAZAMIENTOS EN LOS EXTREMOS DE LA BARRA FLEXIBLE

 6.727 10 5   5 4.576 10    u2 2  H u2    6.375 10 5    4  5 .1 01 1 0  MODELADO CON PROGRAMA SAP 2000 v15

MODELADO DEL PORTICO CON PLACA (BRAZO R IGIDO)



DESPLAZAMIENTOS DEL PUNTO 2

DESPLAZAMIENTO DEL PUNTO 3



AXIAL (DFA)

CORTANTE (DFC)



MOMENTO (DMF)

MODELADO DEL PORTICO CON PLACA (ELEMENTOS FINITOS)



DESPLAZAMIENTO DEL PUNTO 2:

DESPLAZAMIENTO DEL PUNTO 3:



EFECTO DEL CORTE EN LA PLACA:

CORTANTE (DFC)



MOMENTOS (DMF)

CONCLUSIONES . El metodo matricial de la rigidez es util y practico, siempre y cuando se apliquen o desarrollen con software adecuado, en este caso en MATH CAD. Nos da resultados semejantes al que hubiesemos obtenidos si utilizaramos otros softwares.

. Al momentos de realizar la modelacion de analisis se debe tener en cuenta el efecto del corte sobre la placa ya que si bien es un elemento de gran rigidez lateral, es sensible a fallar por corte. . El programa SAP 2000 realiza sus calculos mediante Elementos Finitos , lo cual nos da un pequeño porcentaje de variacion en cuanto se comparan los resultados, pero estos no sobrepasan el 10%.


Portico y Placa

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