Pr´actica Pr a´ ctica 2 I.
M ATRIZ DE CAMBIO DE COORDENADAS
Sea la base est´andar andar1 de Rn y sea = = b1 , b2 , . . . , bn n otra base de R . La matriz de cambio de coordenadas
E
B {
B =
P
E←B E←B
= b1
...
b2
bn
permite calcular un vector x a partir de sus
}
La opcion o´ n4 ’o’ indica que los puntos se representen con o. Si se omite, los puntos se representan mediante las l´ l ´ıneas ıneas rectas que los unen. Para obtener obtener los c´ırculos ırculos y tambi´ tambi´en en las l´ıneas ıneas uni´endolos endolos escribimos plot (t, x, ’o’, t, x)
B -coordenadas, -coordenadas,
La instrucci on o´ n y = [0.5, 1 .5, 4 .5, 9 .5]
x = B [x]B
Su inversa B −1 =
P
B←E B←E
plot(t plot(t,, x,’o x,’o’, ’, t,x, t,y,’o’ t,y,’o’,, t,y)
permite calcular [ x]B a partir de x,
representa conjuntamente a los vectores x e y.
[x]B = B −1 x
Ejercicio 2.
1 B = = {0 1 = 1 = 1 2
b1
0} 1 = 2
a) Represent Representaa gr´ graficamente a´ ficamente el vector
b1 , b2 , b3 , b4 donde
Ejercicio 1. Sea
, b2
1
3
2
, b3
2
x = [ 23 , 24 , 24 , 23 , 21 , 18 , 16 , 15 ]
0 1 = 2 3
b4
32
con abscisas 0, 1, . . . , 7 (con c´ c´ırculos ırculos unidos entre si).
3
33
b) La instru instrucci cci´on o´ n rand(1,8) crea un vector de R8 cuyas entradas son 8 n umeros u´ meros tomados al azar entre 0 y 1. ´ ´ As´ Ası, ı, la instrucci on on
a) Constr Construye uye una matri matrizz B cuyas cuyas colum columnas nas sean los vectores de y y comprueba que es base de R4 .
B
B
B
b) ¿Cu ¿Cuales a´ les son las -coordenadas -coordenadas (coordenadas en base ) de x = 100 b1 3 b2 + b 3 b4 ? Asigna a la variable x B el vector vector de -coordenadas -coordenadas de x ( [x]B ). Utilizando la matriz B y [ x]B calcula x.
B
−
B
r = rand(1,8) - 1/2
−
R8 cuyas entradas son n umeros crea un vector r u´ meros tomados al azar entre -1/2 y 1/2. Representa gr aficaa´ ficamente el vector creado.
∈
c) Utilizan Utilizando do la instrucc instrucci´ i´on on inv(B inv(B)) que calcula calcula la inversa de B, calcula el vector de -coordenadas -coordenadas de
B
z
= 100
101 103
107
c) Represent Representaa gr´ graficamente a´ ficamente y conjuntamente a los vectores x y z = x + r.
I II. II.
´ G R AFICAS
2
La instrucci on o´ n
plot ( [0, 1, 2, 3], [0, 1, 4, 9], ’o’) crea crea una una gr´afica a fica con los puntos de abscisas 0, 1, 2 y 3 y ordenadas 0, 1, 4 y 9, es decir con los puntos (0,0), (1,1), (2,4) y (3,9). Esta gr afica a´ fica proporciona una representaci on o´ n del vector x = [0, 1, 4, 9] El vector de abscisas 3 t = [0, 1, 2, 3] se se podr podr´ıa ıa construir con la instrucci on o´ n t = 0 : 3. As´ As´ı, ı , la gr´ grafica a´ fica de x se podr´ podr´ıa ıa crear con las instrucciones t = 0 : 3 ,
x = [0, 1, 4, 9], plot(t, x, ’o’)
B UCLES
Los Los bucl bucles es for son son utiles u´ tiles para la creaci´ creaci´on on de vectores y 2 2 matrices. Por ejemplo, el vector y = [ 1 , 2 , 3 2 , 4 2 ] se puede crear con5 for n = 1 : 4 y(n) = nˆ2 ; end El vector y as´ as´ı construido es un vector fila, como se puede ver ejecutando la instrucci´on on y En el siguient siguientee ejercici ejercicio o se represen representa ta un vector vector de R64 . Como el numero u´ mero de puntos a representar es elevado, resulta mas a´ s conveniente utilizar plot(t,y,’.’,t,y) que plot(t,y,’o’,t,y). 4
Son posibles tambi´en en las opciones ’.’, ’.’, ’*’ y ’+’. Otra Otra posibi posibilid lidad ad m´as a s efici eficien ente te es util utiliz izar ar t=1: t=1:4 4 que que crea crea el vecvector t= [ 1, 2 , 3 , 4 ] y utiliz utilizar ar la instr instrucc uccii on o´ n que que elev elevaa cada cada entr entrad adaa del vector vector al cuadra cuadrado do y=t.ˆ y=t.ˆ2. 2. Este Este m etodo e´ todo permite permite muestrear muestrear una funci´ cion. o´ n. Por Por ejem ejempl plo, o, para para mues muestr trea earr la func funciion o´ n cos(t) en el interv intervalo alo tomando o muestr muestras as cada cada 0,1, 0,1, utiliz utilizamo amoss t=0:0. t=0:0.1: 1:2 2 que crea crea t = [0, 2] tomand [ 0 , 0 , 1 , 0 , 2 , 0 , 3 , . . . , 2 ] y hacer y=cos(t) creandose as´ı el vector y = 5
1
formada formada por las columnas de la matriz matriz identida identidad. d. Las gr´ graficas a´ ficas aparecen en la ventana Figures (en ocasiones aparece minimizada). 3 Utilizamos abscisas 0, 1, 2, . . . , n − 1 en lugar lugar de 1, 2, . . . , n , porque porque en ocasiones el vector representa a una se˜ n nal al en tiempo discreto del tipo x x = x[0], x[1], . . . , x [n − 1] . 2
[ cos(0) cos(0) , cos(0, 1) , cos(0, 2) , cos(0, 3) , . . . , cos(2) cos(2) ]
Ejercicio 3. Teniendo en cuenta que e se escribe exp(a), representa gra´ ficamente el vector y R64 dado pora
IV.
a
y(n) = e −n
2
/200
5 2
n2
− 38 n3
∈
, para n = 1, . . . , 64
a
El vector y se puede construir con un bucle for o bien como se indica en el pie de p´agina 5 teniendo en cuenta que debemos utilizar .* (y no *) para multiplicar vectores componente a componente.
Los bucles for son tambi e´ n u´ tiles para la construcci o´ n de matrices. Por ejemplo, podemos construir la matriz A = [n + m]n,m=1,2,3
2 = 3
3 4 4 5 4 5 6
mediante for n = 1:3 for m =1:3 A(n,m) = n+m ; end end El signo ; indica que el resultado no se muestre en pantalla. Es importante su uso en bucles, pues evita que el ordenador se bloquee intentando mostrar demasiadas matrices.
En el siguiente ejercicio aparecen vectores y matrices complejas. Recuerda que el espacio vectorial complejo Cn formado por los vectores de la forma x = (x1 , . . . , xn ) donde los n´umeros x1 , . . . , xn son n´umeros complejos, es an a´ logo6 a Rn con la salvedad de que los escalares (los n u´ meros por los que se multiplican los vectores) son ahora complejos. Las f o´ rmulas para el cambio de coordenadas x = B [x]B , [x]B = B −1 x siguen siendo v´alidas. MatLab denota con j o con i a la unidad imaginaria y con A a la traspuesta conjugada 7 de A. La notacio´ n habitual8 para la traspuesta conjugada es A ∗ . Por ejemplo, si
A =
1 +
2
j
1
− j entonces
1 −
1
j A = A = 2 + j
j
Ejercicio 5. La matriz de Fourier 8
∗
− j
× 8 es
F = W (n−1)(m−1) ]m,n=1,...,8
donde W = e 2πj/8 o utilizando otra notaci o´ n
Ejercicio 4. Sea y el vector construido en el ejercicio 3.
F
√ 2 se escriben pi y ∈ M dada por √ 2 2π(n − 1)(m64 −641) π −4 H(m, n) = cos 64 64
a) Teniendo en cuenta que π y sqrt(2), construye la matriz H
E SPACIOS VECTORIALES COMPLEJOS
×
1 1 = 1 .. .
1
1
1
W W 2 .. . W 7
W 2 W 4 .. . W 2·7
1 ... . . . W 7 . . . W 2 ·7 .. . . . . W 7 ·7
a) Teniendo en cuenta que e se escribe como exp(a), construye la matriz F. a
para n,m= 1, . . . , 64 (utiliza el s´ımbolo ; dentro de los bucles).
b) Comprueba que F −1 =
1 8
F∗ calculando
1 8
F∗ F .
F
c) Sea la base formada por las columnas de F y sean x e r los vectores construidos en el Ejercicio 2. Calculaa [x]F y [ r]F . Comprueba que F [x]F = x .
d) Comprueba que 64 H es la inversa de H, es decir que 64 H2 = I . c) Teniendo en cuenta que H(:,1) da la primera columna de H, representa gr a´ ficamente las columnas 1, 2 y 3 de H. d) Representa gr´aficamente la columna 30 de H.
Cn la instrucd) Para un vector a = (a1 , . . . , an ) ci´on abs(a) da el vector ( a1 , . . . , an ). Representa gr´aficamente abs ([x]F ) y abs([r]F ).
e) Representa gr´aficamente las columnasa 63 y 64 de H.
e) Representa gr´a ficamente el vector coordenadas son (20 , 1 + j, 0.3 j, 0, 0, 0,
| |
H
f) Sea la base formada por las columnas de H. Calcula y representa gr a´ ficamente a [y]H , vector de -coordenadasb de y.
h) Representa gr´aficamente a y + 5 s y a [ y]H + 5 [s]H . a
Observa que las primeras y u´ ltimas columnas de H tienen un comportamiento m´as suave que las intermedias que var´ıan m´as r´apidamente (a mayor frecuencia). b Observa que las coordenadas significativas son las correspondientes a las primeras y u´ ltimas columnas de H. El motivo es que al tener la se˜nal y(n) un comportamiento suave (sin cambios bruscos) se puede casi reproducir mediante combinaciones lineales entre las primeras y u´ ltimas columnas de H.
F −
cuyas 0.3 j, 1 j )
−
f) Representa gr´a ficamente el vector cuyas coordenadas son (20, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0)
H
g) Crea un vector s de R64 cuyas entradas sean 64 n´umeros tomados al azar entre -1/2 y 1/2. Representa gr´aficamente a s y a [ s]H .
∈ | |
−
F -
a Se denomina Transformada Discreta de Fourier de x a sus F coordenadas multiplicadas por 8, es decir DFT(x) = F ∗ x = 8 [x]F . La instrucci´on fft(x) de MatLab calcula la DFT de x mediante un algoritmo muy eficiente, denominado la Transformada R´apida de Fourier. La matriz H construida en el Ejercicio 5, da la transformada de Hartley (concretamente [ y]H = 64 H y es la transformada de y), que tiene propiedades similares a la DFT y la ventaja de ser real (desafortunadamente tiene tambi´en desventajas).
6
Todos las definiciones y resultados incluidos en los siete primeros temas del curso sobre el espacio vectorial R son v´alidos para C . 7 Si A es real A es simplemente la traspuesta 8 que Matlab no puede utilizar debido al super´ındice n
n
