Opifex - Random Universes Issue 23Descripción completa
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ISO_128-23
niff ii
PRÁCTICA
Tema : DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y POISSON n-x n! x P X ＝ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x ! 1. Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan 3 caras. número de experiemntos
n≔5 p ≔
1 2
Probabilidad de que salga cara número de caras que deben salir
x≔3 P 3 ≔
n! x! ⋅ n - x !
⋅ p x ⋅ 1 - p
n-x
―――
⎛ 1 ⎞3 ⎛ 5! 1⎞ → ⋅ ⋅ 13! ⋅ 5 - 3 ! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
5-3
5 16
P 3 → ―
2. Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan como máximo 2 caras. Se debe calcular la probabilidad de que se obtenga 1 y 2 caras para obtener como maximo 2 caras: número de experimentos
n≔5 p ≔
1 2
Probabilidad de que salga cara número de caras que deben salir
x≔1 n!
x
P 1 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x ! P 1 →
―――
⎛1⎞ ⎛ 5! 1⎞ → ――― ⋅ ⋅ 11! ⋅ 5 - 1 ! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
5-1
5 32 número de caras que deben salir
x≔2 P 2 ≔
n-x
n! x! ⋅ n - x !
⋅ p x ⋅ 1 - p
n-x
―――
⎛ 1 ⎞2 ⎛ 5! 1⎞ → ⋅ ⋅ 12! ⋅ 5 - 2 ! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
5-2
5 16
P 2 → ―
Entonces la probabilidad de que lamenos salgan 2 caras es: 15 32
P 1 + P 2 → ―
3. El 30 % de los tornillos de una gran partida son defectuosos. Si se cogen tres tornillos al azar, calcula : n≔3
número de tornillos escogidos
p ≔ 30%
Probabilidad de que salga defectuoso
a) La probabilidad de que los tres sean defectuosos. x≔3 número de defecturosos que deben salir n! x P 3 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
―――
3! → ――― ⋅ 30% 3 ⋅ 1 - 30% 3! ⋅ 3 - 3 !
3-3
= 2.700%
b) La probabilidad de que solamente dos sean defectuosos. x≔2 número de defecturosos que deben salir P 3 ≔
n! x! ⋅ n - x !
⋅ p x ⋅ 1 - p
n-x
―――
→
3! ⋅ 30% 2 ⋅ 1 - 30% 2! ⋅ 3 - 2 !
3-2
= 18.900%
c) La probabilidad de que ninguno de ellos sea defectuoso. x≔0 número de defecturosos que deben salir P 3 ≔
n! x! ⋅ n - x !
x
⋅ p ⋅ 1 - p
n-x
―――
3! → ⋅ 30% 0 ⋅ 1 - 30% 0! ⋅ 3 - 0 !
3-0
= 34.300%
4. Un tratamiento contra el cáncer produce mejoría en el 80 % de los enfermos a los que se le aplica. Se suministra a 5 enfermos. Se pide : n≔5
número de pacientes
a) Calcula la probabilidad de que los 5 pacientes mejoren. p ≔ 80% x≔5
Probabilidad de que mejores los pacientes número de pacientes que mejoren
n! x P 5 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
―――
5! → ――― ⋅ 80% 5 ⋅ 1 - 80% 5! ⋅ 5 - 5 !
5-5
= 32.768%
b) Calcula la probabilidad de que, al menos, tres no experimenten mejoría. p ≔ 20% x≔3
Probabilidad de que no mejores los pacientes número de pacientes que no mejoren
n! x P 3 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x ! x≔4 P 4 ≔
n! x! ⋅ n - x ! x≔5
n-x
―――
5! → ――― ⋅ 20% 3 ⋅ 1 - 20% 3! ⋅ 5 - 3 !
5-3
= 5.120%
número de pacientes que no mejoren ⋅ p x ⋅ 1 - p
n-x
―――
→
5! ⋅ 20% 4 ⋅ 1 - 20% 4! ⋅ 5 - 4 !
5-4
= 0.640%
número de pacientes que no mejoren
n! x P 5 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
―――
5! → ――― ⋅ 20% 5 ⋅ 1 - 20% 5! ⋅ 5 - 5 !
La probabilidad de que al menos 3 pacientes no mejoren P 3 + P 4 + P 5 = 5.792%
5-5
= 0.032%
c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren? Probabilidad de que mejores los pacientes número de pacientes número de pacientes ue se espera que mejoren
p ≔ 80% n=5 n⋅p=4
5. En la empresa MODASA S.A. se realiza la producción de tornillos para motores diésel por parte de una máquina automática italiana. Esta máquina dependiendo de factores externos produce el 10% de tornillos defectuosos. El Ingeniero jefe del área de Control de Calidad selecciona en forma aleatoria 18 tornillos al azar de la producción: n ≔ 18 p ≔ 10%
número de tornillos escogidos Probabilidad de que salga defectuoso
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exista a lo más 3 defectuosos? número de defecturosos que deben salir x≔3 n! x P 3 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
―――
18! → ――― ⋅ 10% 3 ⋅ 1 - 10% 3! ⋅ 18 - 3 !
18 - 3
= 16.801%
número de defecturosos que deben salir
x≔2
n! x P 2 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
―――
18! → ――― ⋅ 10% 2 ⋅ 1 - 10% 2! ⋅ 18 - 2 !
18 - 2
= 28.351%
número de defecturosos que deben salir
x≔1
n! x P 1 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
―――
18! → ――― ⋅ 10% ⋅ 1 - 10% 1! ⋅ 18 - 1 !
18 - 1
= 30.019%
número de defecturosos que deben salir
x≔0
n! x P 0 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
―――
18! → ――― ⋅ 10% 0 ⋅ 1 - 10% 0! ⋅ 18 - 0 !
18 - 0
= 15.009%
La probabilidad de que a lo menos salgan 3 tornillos defecturosos seria: P 3 + P 2 + P 1 + P 0 = 90.180%
b) ¿Cuál es la probabilidad de que exista por lo menos 3 defectuosos? x≔3
P 3 ≔
n! x! ⋅ n - x ! n!
⋅ p x ⋅ 1 - p
x
x≔4
P 4 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
x≔5
n! x P 5 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
x≔6
P 6 ≔
x≔7
n! x P 7 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n! x! ⋅ n - x !
⋅ p x ⋅ 1 - p
n-x
n-x
n-x
n-x
n-x
―――
→
18! ⋅ 10% 3 ⋅ 1 - 10% 3! ⋅ 18 - 3 !
18 - 3
―――
18! → ――― ⋅ 10% 4 ⋅ 1 - 10% 4! ⋅ 18 - 4 !
18 - 4
―――
18! → ――― ⋅ 10% 5 ⋅ 1 - 10% 5! ⋅ 18 - 5 !
18 - 5
―――
→
18! ⋅ 10% 6 ⋅ 1 - 10% 6! ⋅ 18 - 6 !
18 - 6
―――
18! → ――― ⋅ 10% 7 ⋅ 1 - 10% 7! ⋅ 18 - 7 !
18 - 7
= 16.801%
= 7.000%
= 2.178%
= 0.524%
= 0.100%
x≔8
n! x P 8 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
x≔9
n! x P 9 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
x ≔ 10 P 10 ≔
n! x! ⋅ n - x !
⋅ p x ⋅ 1 - p
n! x x ≔ 11 P 11 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x ! x ≔ 12 P 12 ≔
n! x! ⋅ n - x !
⋅ p x ⋅ 1 - p
n! x x ≔ 13 P 13 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x ! x ≔ 14 P 14 ≔
n! x! ⋅ n - x !
⋅ p x ⋅ 1 - p
―――
18! → ――― ⋅ 10% 8 ⋅ 1 - 10% 8! ⋅ 18 - 8 !
18 - 8
―――
18! → ――― ⋅ 10% 9 ⋅ 1 - 10% 9! ⋅ 18 - 9 !
18 - 9
n-x
n-x
n-x
n-x
n-x
n! x x ≔ 15 P 15 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
n! x x ≔ 16 P 16 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
x ≔ 17 P 17 ≔
n! x! ⋅ n - x !
⋅ p x ⋅ 1 - p
n! x x ≔ 18 P 18 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
n-x
= 0.015%
= 0.002%
―――
→
18! ⋅ 10% 10 ⋅ 1 - 10% 10! ⋅ 18 - 10 !
18 - 10
―――
18! → ―――― ⋅ 10% 11 ⋅ 1 - 10% 11! ⋅ 18 - 11 !
18 - 11
―――
→
18! ⋅ 10% 12 ⋅ 1 - 10% 12! ⋅ 18 - 12 !
18 - 12
―――
18! → ―――― ⋅ 10% 13 ⋅ 1 - 10% 13! ⋅ 18 - 13 !
18 - 13
―――
→
18! ⋅ 10% 14 ⋅ 1 - 10% 14! ⋅ 18 - 14 !
18 - 14
―――
18! → ―――― ⋅ 10% 15 ⋅ 1 - 10% 15! ⋅ 18 - 15 !
18 - 15
―――
18! → ―――― ⋅ 10% 16 ⋅ 1 - 10% 16! ⋅ 18 - 16 !
18 - 16
―――
→
18! ⋅ 10% 17 ⋅ 1 - 10% 17! ⋅ 18 - 17 !
18 - 17
―――
18! → ―――― ⋅ 10% 18 ⋅ 1 - 10% 18! ⋅ 18 - 18 !
18 - 18
=0
=0
=0
=0
=0
=0
=0
=0
=0
la probabilidad de ue al menos 3 salgan defectuosos es: P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 + P 11 + P 12 + P 13 + P 14 + P 15 + P 16 + P 17 + P 18 = 26.620%
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya entre 2 y 4 defectuosos inclusive? x≔2
P 2 ≔
n! x! ⋅ n - x ! n!
⋅ p x ⋅ 1 - p
x
x≔3
P 3 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
x≔4
n! x P 4 ≔ ――― ⋅ p ⋅ 1 - p x! ⋅ n - x !
n-x
n-x
n-x
―――
→
18! ⋅ 10% 2 ⋅ 1 - 10% 2! ⋅ 18 - 2 !
18 - 2
―――
18! → ――― ⋅ 10% 3 ⋅ 1 - 10% 3! ⋅ 18 - 3 !
18 - 3
―――
18! → ――― ⋅ 10% 4 ⋅ 1 - 10% 4! ⋅ 18 - 4 !
18 - 4
La pobabilidad de que los defecturosos seas entre 2 y 4 es: P 2 + P 3 + P 4 = 52.152%
= 28.351%
= 16.801%
= 7.000%
DISTRIBUCIÓN DE POISSON -λ
P x ＝
⋅λ
x
x!
1. Una compañía telefónica recibe llamadas a razón de 4 por minuto. Calcular la probabilidad de: λ≔4
= 2.718 x
Número esperado de llamadas constante matemática Número esperado de exitos
a) Recibir 2 llamadas en un minuto -λ
x≔2
x
⋅λ P 2 ≔ ―― ――― x!
-4
2
-4
0
-4
3
-4
2
⋅4 → ―― = 14.653 % 2!
b) No recibir ninguna llamada en un minuto -λ
x≔0
x
⋅λ P 0 ≔ ―― ――― x!
⋅4 → ―― = 1.832% 0!
c) Recibir menos de 3 llamadas en un minuto x≔3
x≔2
-λ
x
-λ
x
⋅λ P 3 ≔ ―― ――― x! ⋅λ P 2 ≔ ―― ――― x! -λ
x≔1
P 1 ≔
⋅λ
x≔0
⋅4 → ―― = 14.653 % 2! -4
x
―――
x! -λ
⋅4 → ―― = 19.537 % 3!
x
⋅λ P 0 ≔ ―― ――― x!
→
⋅4
1!
= 7.326%
-4
0
-4
3
-4
4
⋅4 → ―― = 1.832% 0!
La posibilidad de recibir menos de 3 llamadas es: P 3 + P 2 + P 2 + P 0 = 50.673%
d) Recibir más de 3 llamadas en un minuto x≔3
x≔4
-λ
x
-λ
x
⋅λ P 3 ≔ ―― ――― x! ⋅λ P 4 ≔ ―― ――― x!
⋅4 → ―― = 19.537 % 3! ⋅4 → ―― = 19.537 % 4!
La probabilidad de recibir mas de 3 llamadas es: P 3 + P 4 = 39.073%
2. En una empresa el término medio de accidentes es de 3 por mes. Calcular la probabilidad de: Número esperado de accidentes constante matemática Número esperado de exitos
λ≔3
= 2.718 x
a) Que no ocurra ningún accidente en un mes -λ
x
⋅λ P 0 ≔ ―― ――― x!
x≔0
-3
0
-3
2
⋅3 → ―― = 4.979% 0!
b) que como máximo ocurran 2 accidentes en un mes -λ
x
⋅λ P 2 ≔ ―― ――― x! x -λ ⋅λ P 1 ≔ ―― ――― x! x -λ ⋅λ P 0 ≔ ―― ――― x!
La probabilidad de que como máximo ocurran 2 accidentes en un mes es: P 2 + P 1 + P 0 = 42.319%
c) Que ocurran 30 accidentes en un año λ ≔ 3 ⋅ 12 = 36
Número esperado de accidentes -λ
-36
x
⋅λ P 0 ≔ ―― ――― x!
x ≔ 30
30
⋅ 36 → ――― = 4.274% 30!
d) que ocurran 8 accidentes en un trimestre λ≔3⋅3=9 Número esperado de accidentes -λ
-9
x
⋅λ P 0 ≔ ―― ――― x!
x≔8
8
⋅9 → ―― = 13.176 % 8!
3. En la zona que rodea un punto kilométrico de una autovía hay una población de erizos. Se ha realizado un estudio por el que se ha deducido que los erizos cruzan la autovía a razón de 1 cada 20 minutos. La probabilidad de que 4 erizos crucen la autovía en una hora es: Número esperado de erizos que crucen en una hora Número esperado de exitos
λ≔1⋅3=3 x≔4 -λ
x
⋅λ P 4 ≔ ―― ――― x!
-3
4
⋅3 → ―― = 16.803 % 4!
4. En la hora punta de la mañana en un semáforo pasan una media de 8 coches por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen 16 coches en un intervalo de 2 minutos? λ ≔ 8 ⋅ 2 = 16 x ≔ 16 -λ
x
Número esperado de coches en 2 minutos Número esperado de exitos
⋅λ P 16 ≔ ―― ――― x!
-16
16
⋅ 16 → ――― = 9.922% 16!
5. Si la secretaria de la Facultad de Derecho de la Universidad Señor de Sipán, recibe un promedio de 1 llamada cada 25 minutos por motivos académicos. Calcular lo siguiente: a) ¿Cuál es la probabilidad que reciba más de 2 llamadas en 25 minutos? Número esperado de llamadas en 25 min Número esperado de exitos
λ≔1 x≔2 -λ
x
⋅λ P 2 ≔ ―― ――― x!
-1
2
⋅1 → ―― = 18.394% 2!
b) ¿Cuál es la probabilidad que reciba menos de 2 llamadas en 30 minutos? 30
λ ≔ 1 ⋅ ― = 1.2
Número esperado de llamadas en 30 min
x≔2
Número esperado de exitos
25
-λ
x
⋅λ P 2 ≔ ―― ――― x!
-1.2
2
⋅ 1.2 → ――― = 21.686% 2!
Número esperado de exitos
x≔1 -λ
x
⋅λ P 1 ≔ ―― ――― x!
-1.2
⋅ 1.2 → ―― = 36.143 % 1!
Número esperado de exitos
x≔0 -λ
x
⋅λ P 0 ≔ ―― ――― x!
-1.2
0
⋅ 1.2 → ――― = 30.119% 0!
La probabilidad de que reciba menos de 2 llamadas en 30 minutos es: P 2 + P 1 + P 0 = 87.949%
c) ¿Cuál es la probabilidad que reciba exactamente 1 llamadas en quince minutos? λ≔1⋅
15 25
= 0.6
Número esperado de exitos
x≔1 -λ
P 1 ≔
Número esperado de llamadas en 15 min
⋅λ
-0.6
x
―――
x!
→
⋅ 0.6
1!
= 32.929 %
d) ¿Cuál es la probabilidad que reciba 8 llamadas en dos horas y media? 150
λ≔1⋅― =6
Número esperado de llamadas en dos horas y media (15min)
x≔8
Número esperado de exitos
25
-λ
x
⋅λ P 8 ≔ ―― ――― x!
-6
8
⋅6 → ―― = 10.326% 8!
e) ¿Cuál es la probabilidad que reciba más de 2 llamadas pero menos de 5 en 50 minutos? 50
Número esperado de llamadas en 50 min
λ ≔ 1 ⋅ ―= 2
25
x≔2
x≔3
-λ
x
-λ
x
⋅λ P 2 ≔ ―― ――― x! ⋅λ P 3 ≔ ―― ――― x! -λ
x≔4
P 4 ≔
2
-2
3
⋅2 → ―― = 27.067% 2! ⋅2 → ―― = 18.045% 3! -2
x
―――
x! -λ
x≔5
⋅λ
-2
x
⋅λ P 5 ≔ ―― ――― x!
→
⋅2
4
= 9.022%
4! -2
5
⋅2 → ―― = 3.609% 5!
La la probabilidad que reciba más de 2 llamadas pero menos de 5 en 50 minutos P 2 + P 3 + P 4 + P 5 = 57.743%
PRÁCTICA DE LABORATORIO: TAMAÑO DE MUESTRA
1. Suponga que los pesos netos en gramos de ciertas bolsas de cereales tienen distribución normal con desviación estándar de 30 gramos. ¿Cuántas bolsas se deben tomar como muestra para determinar el peso neto promedio de un lote de 758 unidades, si se espera tener un error máximo o precisión de 5 gramos y una confianza del 95%? S ≔ 30
2. El gerente general de una empresa importante está preocupado por conocer el porcentaje de trabajadores que están de acuerdo o aprueban las nuevas políticas laborales adoptadas por la institución. Si la empresa tiene 1344 trabajadores: a. Determine el número de trabajadores que debe entrevistarse si desea que la proporción estimada presente un error máximo del 2% y un nivel de confianza del 99%. N ≔ 1344
b. Si ya hubo una encuesta anterior en la que solamente el 25% de trabajadores manifestaron estar de acuerdo con las nuevas políticas y se desea verificar si la opinión ha cambiado después de efectuar ciertas charlas acerca de sus ventajas, ¿Cuál será el tamaño de la muestra a considerar? N ≔ 1344
3. Si el cálculo del tamaño de la muestra para determinar el porcentaje de alumnos que aprueban la gestión de su actual decano fue efectuada al 99% de confianza sin tener información anterior al respecto, estableció una muestra de 330 alumnos (la institución tiene un total de 1200 alumnos), ¿Cuál fue el tamaño de error con el que se efectuó el cálculo? N ≔ 1200
P ≔ 50%
Q ≔ 50%
2.58 α ≔ 100% - 99% = 1% ---> Z ≔
n ≔ 330
Despejando E: 2
n＝
Z ⋅ P ⋅ Q ⋅ N E
2
⋅ N - 1 + Z 2 ⋅ P ⋅ Q
1 n ＝ ――― ――――――― 2 2 2 Z ⋅ P ⋅ Q ⋅ N E ⋅ N - 1 + Z ⋅ P ⋅ Q 2
Z ⋅ P ⋅ Q ⋅ N n 2
Z ⋅ P ⋅ Q ⋅ N
――― n
＝ E 2 ⋅ N - 1 + Z 2 ⋅ P ⋅ Q - Z 2 ⋅ P ⋅ Q ＝ E 2 ⋅ N - 1
2
Z ⋅ P ⋅ Q ⋅ N
――― - Z 2 ⋅ P ⋅ Q n ――――――― ＝ E 2 N - 1 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ Z ⋅ P ⋅ Q ⋅ N ――― - Z 2 ⋅ P ⋅ Q
n
＝E
N - 1 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ Z ⋅ P ⋅ Q ⋅ N - Z 2 ⋅ P ⋅ Q n E ≔ ――――――― ――― N - 1
4. Se desea estimar el gasto promedio que las familias de una ciudad pequeña hacen por concepto de bebidas gaseosas. Determine el número de familias que deben ser encuestadas si: a. No se conoce el número de familias y se exige un resultado confiable en un 99% y un error máximo de 6 soles. Un especialista en este tipo de actividades a estimado a la desviación estándar en 40 soles. α ≔ 100% - 99% = 1% ---> Z ≔ 2.58 2
⋅ S2 n0 ≔ ―― ――― 2 Z
E
E ≔ 6
S ≔ 40
2.58 2 ⋅ 40 2 → ――― = 296 62
b. Se conoce que son 1220 familias y se exige una confianza del 95% con un error máximo de 10 soles. Considere la misma desviación anterior. S ≔ 30
