SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA N°3
Integrantes:
-Aa! A"u#n$% &'#n( -Cast#ll$ Or$)!$% Ale*an+ra -L,e) Agu#rre% ren+a -Ta(e .argas% /ar#a -.#+al L,e)% ran!1 Aula: 208
UNI.ERSIDAD NACIONAL /AOR DE SAN /ARCOS ACULT ACULTAD DE CIENCIAS ECONO/ICAS Curs$: E!$n$etr4a II Pr$5es$ra: /g6 eatr#) Casta7e+a S6
Pr!t#!a 3 1. Para los los siguie siguiente ntes s proces procesos: os: a) (1 - 0.7 0.7 L + 0.5 0.5 L2) Yt = 3 + Solución: •
εt
Estacionariedad en media
Dao !ue el "oelo es un proceso #$(2)% anali&are"os si cu"ple con la conici'n e estacionariea: ∅
( L ) =1−0.7 L + 0.5 L2=0
α 1,2=
0.7 ± √ 0.7 0.7
2
−4 ( 0.5 )
2∗0.5 1.51 i α 1=0.7 − √ 1.51
1.51 i α 2=0.7 + √ 1.51
o"o poe"os oser*ar las races el polino"io ,(L), se encuentran uera el crculo polar% por tanto cu"ple la conici'n e estacionariea / por ene cu"ple la estacionariea en "eia. •
Orden del proceso ARIMA
l "oelo puee ser representao por #$#(2%0%0)
( 1−0.7 L + 0.5 L ) Y t =δ + εt 2
•
En su forma MA
sa"os lo siguiente: ψ ( L ) =
ψ ( L ) =
θ Q ( L ) ϕ P ( L ) 1 1− ϕ 1 L− ϕ 2 L
2
2
2
3
3
ψ ( l ) = 1+ ( ∅1− ϕ 2 L ) L + ( ∅1− ϕ 2 L ) L + ( ∅ 1−ϕ 2 L ) L + … Y t =
δ + ε t + ( ∅1−ϕ 2 L ) ε t − 1 + ( ∅1− ϕ2 L )2 ε t −2 +( ∅1− ϕ 2 L )3 ε t −3+ … 1 −ϕ 1− ϕ 2
) Yt = 5 + 0.7 t +εt 9 0.4
εt-
Solución: •
Estacionariedad en media
Dao !ue el "oelo es un proceso #(2)% anali&are"os si cu"ple con la conici'n e in*ertiilia: E [ Y t ] = E [ 5 + 0.7∗t + ε t + 0.4 ε t −1 ] E [ Y t ] =5 + 0.7∗t
Poe"os ecir !ue el "oelo es no estacionario en "eia con tenencia eter"instica /a !ue epene el tie"po% es ecir conor"e au"ente el tie"po la "eia ta"in ser6 "a/or. •
Orden del proceso ARIMA
l "oelo !ue puee ser representao por pri"era ierencia: Y t −Y t − 1=5 + 0.7∗ t + ε t + 0.4 ε t −1−( 5 + 0.7∗( t −1 ) + ε t −1 + 0.4 ε t −2) DY t =0.7 + ε t + 1.4 ε t − 1+ 0.4 ε t −2 ¿
( 1− L ) Y t =0.7 + ε t + 1.4 ε t −1+ 0.4 ε t −2 ¿
ue sera un proceso #$#(0%1%2) •
Transformaciones para alcanzar la estacionariedad
#nali&a"os el #$#(0%1%2):
( 1− L ) Y t =0.7 + ε t + 1.4 ε t −1+ 0.4 ε t −2 8ser*a"os !ue con la pri"era ierencia se 9ace estacionario en "eia: Y t =0.7 + Y t −1+ ε t −1.4 ε t −1−0.4 ε t −2 Y E [¿¿ t ]= E [0.7 + Y t −1 + ε t −1.4 ε t −1− 0.4 ε t −2 ]
¿
Y E [¿¿ t ]=0.7
¿
c) (1- 0.4 L) Yt = (1 0.; L + 0.4 L 2 ) εt
La serie es estacionaria en "eia
MA
(1 −θ L −θ L )=( 1− 2
1
2
∅1
L ) ( 1 + ψ 1 L + ψ 2 L + ψ 3 L … ) 2
3
¿ [ 1 + ( ψ 1− ϕ1 ) L +( ψ 2− ϕ1 ψ 1 ) L2 + ( ψ 3− ϕ 1 ψ 2 ) L3+ ( ψ 4− ϕ1 ψ 3 ) L4 + … ] θ1=0.8 ∅1
θ2=−0.4
=0.4
−θ 1=ψ 1−ϕ 1 ψ 1=−0. 4
−0.8=ψ 1−0.4
−θ 2=ψ 2−ϕ 1 ψ 1
−(−0.4 )=ψ 2−( 0.4 )(− 0.4 )
ψ 2=0.24 0 =ψ 3−ϕ 1 ψ 2
0 =ψ 3−0.4 ( 0.24 )
ψ 3=0. 096 0 =ψ 4− ϕ1 ψ 3
0 =ψ 4−0.4 ( 0.096 )
ψ 4= 0.0384
+;
Yt = 2 + 0.5 t + 0.; Y t-1 +εt - 0.3
εt-
Solución:
[
Y t − Y t − 1=2 + 0.5 t + 0.8 Y t − 1 + ε t − 0.3 ε t − 1− 2+ 0.5 (t −1 ) + 0.8 Y t −2+ ε t −1 −0.3 ε t − 2 Y t − Y t − 1=0.5 + 0.8 Y t −1−0.8 Y t − 2+ ε t −0.3 ε t − 1−1,3 ε t −1 + 0.3 ε t − 2
sta es una ecuaci'n en ierencia. La *ariale transor"aa: Y t =0.5 + 1.8 Y t − 1− 0.8 Y t −2+ ε t −0.3 ε t −1−1,3 ε t −1+ 0.3 ε t −2
e) Yt = -0.5 Yt-1 + 0.24 Yt-2 + εt 0. Solución:
•
L1=
>alla"os las races / se otu*o: 10 3
εt-1 +0.1; εt-2
]
L2=
−5 4
| L|> 1
-?o"o
%se conclu/e !ue el co"porta"iento e la serie es
estacionario. • •
8ren el proceso #$#(2%0%2)
εt-1 +0.1; εt-2
( 1 + 0.5 L−0.24 L ) Y t =(1 −0.9 L + 0.18 L ) ϵ t 2
(
L−
10 3
2
)( ) ( L +
5 4
Y t = L−
10 3
)( ) L−
5 3
ϵ t
l "oelo esta sorepara"etri&ao% por ello pasa"os a si"pli@carlo
( ) ( ) L +
5 4
Y t = L−
5 3
ϵ t
e) (1 0.; L ) (1 L)2 Yt = (1 + 0.7 L) εt Solución:
>alla"os las races / se otu*o:
•
L1=
1 0.8
=1.25
L2=1 L3=1
-?o"o no se cu"ple !ue
| L|>1 %se conclu/e !ue el co"porta"iento e
la serie no es estacionario.
8tenci'n e la *ariale transor"aa 2 2
( 1 – 0.8 L) W 2=( 1 + 0.7 L ) t estacionario en "eia.
%el cual tiene un co"porta"iento
•
8ren el proceso #$#(1%2%1)
)
Yt = 0.4Yt-1 + 0.AYt-2 + εt + 0.5
εt-1
Solución: -
#nalice el co"porta"iento i"plicao por caa "oelo para la serie original Yt%: o
( 1−0.4 L −0.6 L ) Y t =( 1 + 0.5 L) ε t 2
guala"os el polino"io e re&agos a 0: 1−0.4 L −0.6 L
2
=0
l 1=1 no está fuera del circulounitario l 2=−1.66667 fuera del circulounitario
La serie no es estacionario en "eia o
8ren el proceso #$#(p%%!)
( 1 +0.6 L) ( 1− L ) Y t =(1 + 0.5 L ) ε t
(1 + 0.6 L) W t =( 1+ 0.5 L ) ε t
#$# (1%1%1)
De no ser estacionario otenga la *ariale transor"aa !ue sea estacionaria. ( 1 +0.6 L) ( 1− L ) Y t =(1 + 0.5 L ) ε t o
( 1 + 0.6 L) W t =( 1+ 0.5 L ) ε t l 1=−1.66667 fuera del circulo unitario
La serie transor"aa es estacionaria en "eia 2. Dao el proceso a) enti@!ue el proceso / escria el co"porta"iento esperao para la serie generaa por este proceso (proporcione su "eia% *arian&a).
o"o poe"os notar% la serie
Y t
es estacionaria (es ecir% cu"ple
con las coniciones e in*ertiilia / e estacionariea)% /a !ue esta tiene un co"porta"iento !ue *a a lo largo e su "eia.
Y t =4 −0.8 Y t −1+ ε t − 0.5 ε t −12 on
2
ε = 9
( 1 + 0.8 L) Y t =4 +(1 −0.5 L12 ) ε t
Y t =δ + ϕ 1 Y t −1 + ε t −θ 1 ε t −12
E
δ 1 −ϕ 1
E ( Y t ) =
4 1 −0.8
=20
E
n es*iaciones e "eia% tene"os:
~
~
Y t =ϕ 1 Y t −1+ ε t −θ1 ε t −12
~
ultiplica"os por
Y t
ϕ ~ (¿ ¿ 1 Y +ε −θ ε t − 1
t
1
~
t − 12
)∗Y t
~
2
Y t =¿
alcula"os: 2
12
2
2
2
! 0= ϕ1 ! 1+ ε −θ1 ϕ 1 ε + θ1 ε
# su *e&% tene"os: 11
2
10
2
! 1=ϕ 1 ! 0−θ1 ϕ 1 ε
! 2=ϕ 1 ! 1−θ1 ϕ 1 ε 9
2
! 3= ϕ1 ! 2−θ1 ϕ 1 ε
>asta llegar a: 2
! 12=ϕ 1 ! 11−θ1 ε
DespeBano la *arian&a tene"os:
2
! 0=
12
2
ε (1− 2 θ1 ϕ 1 + θ 1 )
( 1− ϕ 12)
ϕ 1=−0.8
! 0=29.5320
Ca"in tene"os las co*arian&as:
θ1=0.5
ϕ 1 ε ( 1 −θ1 ϕ 1 2
! 1=
12
+ θ12−θ1 ϕ 110 ) 2
1− ϕ 1
! 1=−23.2391 ! 2=18.1081 ! 3=−13.8825
! 12=−2.3575
) 8tenga / gra@!ue la unci'n e autocorrelaci'n el "oelo. *aluano la unci'n e autocorrelaci'n:
Y t =4 −0.8 Y t −1+ ε t − 0.5 ε t −12
enti@cano:
ϕ 1=−0.8
"1=
ϕ 1 ( 1−θ1 ϕ 1
+ θ 12 −θ1 ϕ110 ) 2 12 1 + θ 1−2 θ 1 ϕ1
"1=−0.7869
12
θ1=0.5
"2=
"3=
! 2 ! 0
! 3 ! 0
=0.6132
=−0.4701
"12 =
! 12 ! 0
=−0.0798
Cene"os entonces el siguiente correlogra"a:
1
-0.7;A
2
0.A132
3
-0.4701
4
0.3505
5
-0.24;4
A
0.2307
7
-0.2245
;
0.1172
-0.0157
10
-0.0;4
11
0.1;;
12
-0.3043
36 Se t#ene la s#gu#ente #n5$ra!#,n ara una 2; ?
B
ρ B
1
0.750
2
0.A50
3
0.540
4
0.454
5
0.3;0
@
2
a; O=tenga l$s aretr$s +el $+el$6
l "oelo #$(2) en su or"a general: Y t =δ + ∅1 Y t −1 + ∅2 Y t − 2 + ε t
ue tiene a su uncion e autocorrelaci'n representaa "eiante las ecuaciones e Yule EalFer:
{ " # =
" #−1+ ∅ 2 " #− 2+ ∅3 " #−3 + … + ∅ # " # − $
∅1
on los atos:
{
" 1=∅1+ ∅2 "1= 0.75 " 2=∅1 " 1 + ∅2= 0.65 " 3=∅1 " 2+ ∅2 " 1 " 4=∅1 "3+ ∅2 " 2 "5 =∅1 "4 + ∅2 " 3
De los cuales otene"os: % ∅1= 0.2 & ∅2=0.6
=; O=tenga la e+#a ( la
δ 1 −∅1− ∅2
=
10 1 −0.2−0.6
=50
La *arian&a: 2
' ( Y t ) = ! 0=
ε ( 1−∅2 ) 2
[ ( 1−∅2 ) −∅1 ]( 1 + ∅2 ) 2
=8.33
4. Dao el siguiente proceso: (1+0.5 L - 0.24 L2 ) Yt = εt 0.7εt-1
G
=4
a) 8tenga la "eia / la *arian&a el proceso:
/EDIA
Ya !ue el "oelo% no presenta constanteG entonces la "eia e es cero% esto es: E(Y ) = 0 t
.ARIANBA:
De:
Y t
Y t =0.24 Y t −2 −0.5 Y t −1 + ε t + ε t −1
2
2
! 0=0.24 ! 2 −0.5 ! 1 + e + 0.49 e
C$
2
! 1=0.24 ! 1− 0.5 ! 0 −0.7 e ! 2=0.24 ! 0 −0.5 ! 1 ! 3=0.24 ! 1− 0.5 ! 2
! #= 0.24 ! #− 2− 0.5 ! #− 1 ( ) # * 2
$ee"pla&ano la
! 1 & ! 2
en la
! 0 % se otiene !ue:
2
! 0=2.81 e
! 0= 44.96
) alcule las correlaciones el proceso estacionario 9asta el oren A.
C$rrela!#$nes:
"+ =
! + ! 0
"1=−0.99
"2=0.73
"3=−0.6
"4 =0.48
"5=−0.38
"6= 0.31
2. Dao el proceso
(1-0.AL4) (1-0.7L)Yt = εt G
=3
a) otenga / gra@!ue la unci'n e autocorrelaci'n el "oelo (sugerencia: $=tenga la 5un!#,n +e aut$!$rrela!#,n te,r#!a (
lueg$ rela!e l$s
siguientes coe@cientes e correlaci'n). Solución:
( 1−0.7 L ) ( 1−0.6 L4 ) Y t = εt
( 1− ϕ L ) (1− ϕ L ) Y t =εt 4
1
4
Y t = ϕ 1 Y t − 1+ ϕ 4 Y t − 4 −ϕ 1 ϕ 4 Y t −5 + ε t
Done:
ϕ 1=0.7 ϕ 4 = 0.6
−ϕ 1 ϕ4 =−0.42
Huncion e autocorrelacion si"ple:
#
" # =ϕ 1 si #, 2 -
" # =ϕ 4 si # =4 -
Hunci'n e autocorrelaci'n parcial:
) u6l es el co"porta"iento esperao para la serie generaa por este proceso (ini!ue "eia% *arian&a / patr'n e co"porta"iento aproIi"ao).
o"o poe"os apreciar en el 9istogra"a la "eia e Y es -0.3;10A / la *arian&a e Y es 41.;;3752
l patr'n e co"porta"iento al parecer es estacionario en "eia pero con estacionalia caa 4 "eses% es ecir tri"estral"ente.
Loa atos e"pricos est6n e acore a los atos te'ricos
