Dr. César E. Torres Ledesma GEOMETRIA ANALITICA Ing. Mecánica
Practic Practica a 7
1. Considere Considere los puntos puntos A A = = (1, (1, 1, 2), 2), B = (3, (3, 2, 2) y 2) y C = (4, (4 , 5, 3) y 3) y la recta L :
x
− 1 = y − 2 = z − 1 3
4
a )
Determine Determine la ecuación cartesiana cartesiana del plano P plano P que que contiene los puntos A,B, A,B, C .
b)
Demostrar que la recta L es paralela al plano P plano P ..
c )
Calcular d Calcular d((L, P ) P ).
2. Considere Considere los puntos puntos A = (2, (2, 3, 1), 1), B = (1, (1, 4, 2) y C = (3, (3, 1, 2) y 2) y la recta L paralela al vector vector v = (1, (1, 1, 3) que 3) que pasa por el punto P = (1, (1, 3, 0). 0).
−
a )
Determinar Determinar la ecuación ecuación paramétrica paramétrica y la ecuación cartesiana cartesiana del plano P que contiene los puntos A puntos A,, B,C .
b)
Determine Determine los vértices vértices R,S,T R,S,T de un triángulo tal que R = P L, L, S 4 = √ y ST P . T P , P , ST P . 14
∈ ∈
{ }
⊥ ⊥
∈ ∈ L,
∩ ∩
3. Dados lo vértices vértices de un triángulo triángulo A = (2, (2, 1, 3), 3), B = (5, (5, 2, 7) y 7) y C = ( 7, 11 11,, 6), 6), hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo externo del vértice A. A .
− −
−
−
4. Hallar la ecuación ecuación del plano que pasa por el origen origen de coordenadas y es perpendicular perpendicular a los planos 2 planos 2x x y + 3z 3 z = 1 y x + x + 2y 2 y + z + z = = 0.
−
5. Hallar las ecuaciones ecuaciones de los planos paralelos paralelos al plano 2 plano 2x x a la distancia de 5 de 5 unidades de él.
− 2y − z − 3 = 0,0 , que están
6. Si la base de un tetraedro tetraedro es un triángulo de vértices vértices R R = = (1, (1, 2, 1), 1), S = S = ( 4, 2, 1) y T = ( 5, 5, 3), 3), hallar la longitud de la altura del tetraedro trazada desde el vértice D = (4, (4, 2, 3) a 3) a la base.
−
−
−
−
−
7. Determinar la ecuación paramétrica de la recta que se genera genera al intersectar los planos + y 2z = 1 y 2 = 2x + 3y 3y 4z = 5. 1 : x + y
P
−
P
−
P 1 : mx
− ny + ny + z z = = 2
8. Considere Considere los planos planos
donde m, donde m, n a )
y P 2 : nx
− my + my + nz nz = = 4
∈ R.
Determine Determine m, m, n
∈ R , de modo que los planos P //P b ) Determine Determine m, m, n ∈ R, de modo que P que P ∩ P sea una recta perpendicular al vector v = (2, (2, 1, −1) que 1) que pasa por el punto A = A = (0, (0, 0, 2). 2). 1
1
1
2
2
R de modo quet la recta L que se origina al 9. Determ Determine ine,, caso caso que exista exista,, m intersectar los planos P planos P 1 : mx + y + 2z = 1 y P y P 2 : x + my + z = 2 sea perpendicular al plano P : x z = 0. Caso afirmativo, determine el punto de intersección de la recta L recta L con el plano P . P .
∈
−
10. Determinar Determinar el conjunto conjunto M = P
{ ∈ ∈ R
3
: d(P, A) = d( d (P, B )
}
que consiste de puntos equidistantes a dos puntos distintos A y B del espacio. 11. Dos caras caras de un cubo están están en los planos 2 planos 2x x Hallar el volumen de este cubo.
− 2y + z − 1 = 0 y 2x 2 x − 2y + z + 5 = 0.
12. Hallar el volumen volumen del tetraedro formado formado por los planos coordenados coordenados y el plano 6 plano 6x x+ 7y + 14z 14 z 42 = 0. 0.
−
13. Si a,b Si a,b,, c, d son todos diferentes de cero. Demostrar que el tetraedro formado por los planos coordenados y el plano ax plano ax + + by by + + cz cz + + d d = = 0 tiene un volumen igual a
1 d3 6 abc 14. Sean los planos P 1 : 2x y z = 8 y P 2 : L1 = P = P 1 P 2 y L 2 : x = y = y 1 = z 2
− − − −
∩
+ y = −4. Considere las rectas −x + y
a )
Demostrar que L que L11//L2
b)
Determine Determine la ecuación cartesiana cartesiana del plano que contiene contiene a las rectas L rectas L 1 y L 2
c )
Calcular d Calcular d((L1 , L2 ).
15. La recta L recta L pasa pasa por el punto A punto A = = (0, (0, 4, 1) y 1) y es paralela al vector (2, (2 , b, 1) e 1) e intersecta a la recta L recta L 1 = (6, (6, 5, 4) + t + t(4 (4,, 3, 1)
{ −
−
−
}
a )
Hallar el valor de b y el punto de intersección de L y L 1
b)
Hallarr la ecua Halla ecuaci ción ón del del plan planoo que que pasa pasa por A y es perpendi perpendicul cular ar al vecto vectorr (2, (2, b, 1). 1).
c )
−
Hallar el punto de intersecc intersección ión de la recta L recta L 1 y el plano anterior.
16. Sea L Sea L la recta de intersección de los planos x + y + y + + z z = = 0 x
− y + z + z = = 0
a )
Hallar la ecuación ecuación vectorial vectorial de L de L..
b)
Hallar la ecuación ecuación vectorial vectorial de otra recta L recta L 1 que esta en el plano x + y + z = 0 y pasa por el origen y forma un ángulo θ = π3 con L con L..
17. Dado el punto A = (2, (2, 0, 3) y 3) y la recta L = (0, (0, 3, 1) + t + t(1 (1,, 1, 1) . Determinar un punto B punto B L tal que AB que AB L y L y hallar la ecuación del plano que contiene a A y L. L .
∈
{
⊥
2
− − }
p p p 18. Sean la recta L recta L : : x− = y− = z− y el plano P : Ax : Ax + By + C z + D = 0. Mostrar a a a que L que L P si y solo si Aa 1 + Ba + Ba 2 + C + Ca a3 = 0 y Ap 1 + Bp + Bp 2 + C + Cp p3 + D + D = = 0 1
2
1
3
2
3
⊂
19. Dadas Dadas dos rectas rectas L 1 = t(3, (3, 1, 1) y L 2 = s(0, (0, 1, 2) .
{
}
{
−
}
a )
Hallar la ecuación del plano que contiene a L 1 y L 2 .
b)
Hallar la ecuación de la recta que esta en el plano (anterior) que pasa por el origen y que es perpendicular a L 1 .
20. Sea p Sea p la distancia del origen al plano xa +
y b
+
z c
= 1 (abc ( abc = 0). Mostrar que
1 1 1 1 = 2 + 2 + 2. 2 p a b c 21. Hallar la ecuación ecuación del plano que pasa por el punto punto A = A = (2, (2, 3, 1) y 1) y la recta intersección de los planos x y + z + z = = 1 y x + y + y z = 1
−
−
−
22. Dado el plano P : Ax Ax + + B Byy + C + Czz + D + D = 0 y dos puntos M 1 = (x1 , y1 , z1 ) y M 2 = (x2 , y2 , z2 ). Si la recta que une los puntos M 1 y M 2 intercepta al plano P en el punto M tal M tal que M que M 1 M = kM M 2 . Mostrar que k =
+ By + By + C + Czz + D + D . −Ax Ax + By + By + C + Czz + D + D 1
1
1
2
2
2
23. Encuentre Encuentre la ecuación del plano que contenga el punto (3 punto (3,, 1, 4) y 4) y que sea ortogonal a los planos 2 planos 2x x 3y + 4z 4 z = 0 y x y + 5z 5 z = 2.
−
−
−
24. Considere el plano P : x 2y 2 y + 4z = 12 y el punto Q = (2, (2, 1, 1). 1). Calcular la distancia entre el punto Q y el plano P. Hallar la ecuación general para el plano P1 tal que P1 y P son paralelos no coincidentes y el punto Q es equidistante de estos planos.
−
−
25. Hallar la ecuación ecuación general del plano que es perpendicular perpendicular a la recta L recta L : : y y = = 2z, x = 0 y dista 5 unidades del punto Q = (4, (4, 3, 2) (dos 2) (dos soluciones).
√
3
