Veleučilište u Rijeci
PREGLED FORMULA za kolegije Vjerojatnost i statistika (Stručni studij informatike) Statistika za poduzetnike (Stručni ( Stručni studij poduzetništva) poduzetništva)
GRAFIČKO PRIKAZIVANJE •
Strukturni krug x =
cjelina
⋅ 360
x – isječak (sektor kruga) dio – parcijalna frekvencija pojave cjelina – ukupna frekvencija
0
r – polumjer kruga P – ukupna frekvencija koja se prikazuje grafički π – Ludolfov broj (3,14)
P
r =
•
0
dio
0
π
Strukturni polukrug x
0
=
0
dio cjelina
r =
⋅ 180
0
x – isječak (sektor kruga) dio – parcijalna frekvencija pojave cjelina – ukupna frekvencija r – polumjer kruga P – ukupna frekvencija koja se prikazuje grafički π – Ludolfov broj (3,14)
2P
π
RELATIVNI BROJEVI •
Postoci P
•
RBK =
=
dio cjelina
⋅ 100
P - postotak, relativna frekvencija dio - parcijalna frekvencija pojve cjelina - ukupna frekvencija
Relativni brojevi koordinacije (RBK) f 1 f 2
RBK =
f 2 f 1
f 1 f 2
- frekvencija jedne statističke pojave (mase) - frekvencija druge statističke pojave (mase) 1
•
Indeksi f 1
I =
⋅ 100
f B
I - indeks f 1 - jedna frekvencija statističke pojave f B - druga frekvencija iste statisti čke pojave (baza usporedbe)
NUMERIČKI NIZ Srednje vrijednosti •
Aritmetička sredina
Jednostavna (negrupirani podaci) N
∑x x
i
i =1
=
N Vagana (grupirani podaci)
x f i N xi
- aritmetička sredina - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n
H f i N xi
- harmonijska sredina - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n
n
∑x x=
f i
⋅
i
i =1 n
∑ f i
i =1
•
Harmonijska sredina
Jednostavna (negrupirani podaci) H =
N N
1
i =1
i
∑x
Vagana (grupirani podaci) n
∑ f i
H =
i =1 n
f i
∑x i =1
i
2
•
Geometrijska sredina
Jednostavna (negrupirani podaci) log G
N
1
=
⋅
N
∑ log x
i
i =1
ili G
=
N
x1 ⋅ x 2 ⋅ ... ⋅ x N
G f i N xi log
Vagana (grupirani podaci) log G
n
1
=
⋅
n
∑ f
∑ f ⋅ log x i
- geometrijska sredina - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n - logaritam
i
i =1
i
i =1
ili G
•
=
N
f
f
f
x1 1 ⋅ x 2 2 ⋅ ... ⋅ x k k
Mod
Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima)
Mo = L1
+
b−a
(b − a ) + (b − c )
f c
•
=
f i i
⋅i
Mo - mod L1 - donja granica modalnog razreda b - najveća frekvencija u nizu (najve ća korigirana frekvencija kod nejednakih razreda) a - frekvencija iznad b c - frekvencija ispod b i - veličina modalnog razreda f c - korigirana frekvencija f i - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n i - veličina razreda čija se frekvencija korigira
Medijan
Negrupirani podaci r = r 1
=
N + 1
2 N
2 r 2 = r 1 + 1 Me =
x r 1
+
2
x r 2
r - redni broj podatka, koji predočuje medijan u ureenom nizu s neparnim brojem članova (jedinica) r 1, r 2 - redni brojevi podataka u ure enom nizu s parnim brojem članova (jedinica) N - ukupan broj članova (jedinica) u nizu Me - medijan xr1, xr2 - podatak s rednim brojem r 1 tj. r2
3
Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima)
N Me = L1
−
2
+
L1 ∑ f 1 f med i
- donja granica medijalnog razreda - zbroj frekvencija do medijalnog razreda - frekvencija medijalnog razreda - veličina medijalnog razreda
∑ f
1
⋅i
f med
Grupirani podaci (distribucija frekvencija bez razreda) r - redni broj podatka kojim se pomo ću kumulativnog niza odre uje medijan N - zbroj frekvencija u nizu
N
r =
2
Mjere disperzije •
Raspon varijacije
R
•
x max
=
−
R - raspon varijacije xmax - najveća vrijednost numeričkog obilježja xmin - najmanja vrijednost numeri čkog obilježja
x min
Kvartili
Donji kvartil Negrupirani podaci r 1
=
N
Q1
=
x r 1
+
xr 2
2
Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima) N Q1
=
L1
+
- redni brojevi podataka u ure enom nizu kojima se odreuje donji kvartil N - ukupan broj članova (jedinica) u nizu Q1 - donji kvartil xr1, xr2 - podatak s rednim brojem r 1 tj. r2 L1 - donja granica kvartilnog razreda ∑ f 1 - zbroj frekvencija do kvartilnog razreda f Q1 - frekvencija kvartilnog razreda i - veličina kvartilnog razreda r 1, r 2
4 r 2 = r 1 + 1
4
−
∑ f
f Q1
1
⋅i
Grupirani podaci (distribucija frekvencija bez razreda) N r = 4
r - redni broj podatka kojim se pomo ću kumulativnog niza odre uje kvartil Q1 N - zbroj frekvencija u nizu
4
Gornji kvartil Negrupirani podaci r 1
=
Q3
=
3N
x r 1
+
x r 2
2
Grupirani podaci (distribucija frekvencija s razredima) 3N Q3
=
L1
−
4
+
∑ f
f Q3
1
⋅i
Grupirani podaci (distribucija frekvencija bez razreda) 3 ⋅ N r = 4
•
=
Q3
− Q1
I Q Q1 Q3
- interkvartil - donji kvartil - gornji kvartil
V Q Q1 Q3
- koeficijent kvartilne devijacije - donji kvartil - gornji kvartil
Koeficijent kvartilne devijacije
V Q
•
r - redni broj podatka kojim se pomo ću kumulativnog niza odre uje kvartil Q3 N - zbroj frekvencija u nizu
Interkvartil
I Q
•
- redni brojevi podataka u ure enom nizu kojima se odreuje gornji kvartil N - ukupan broj članova (jedinica) u nizu Q3 - gornji kvartil xr1, xr2 - podatak s rednim brojem r 1 tj. r2 L1 - donja granica kvartilnog razreda ∑ f 1 - zbroj frekvencija do kvartilnog razreda f Q3 - frekvencija kvartilnog razreda i - veličina kvartilnog razreda r 1, r 2
4 r 2 = r 1 + 1
=
Q3
− Q1
Q3
+ Q1
Standardna devijacija σ = µ 2
σ - standardna devijacija µ2 - varijanca ili drugi moment oko sredine
5
•
Koeficijent varijacije V =
σ x
V - koeficijent varijacije σ - standardna devijacija x - aritmetička sredina
⋅ 100
Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti •
Momenti oko nule
Negrupirani podaci N
∑x m k
=
k i
i =1
,
N N
∑x m1
=
∑x
i
i =1
,
N
m2
=
∑x =
2 i
i =1
,
N
N
m3
mk xi N f i
N
- k-ti moment oko nule, k=0,1,... - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n
N
∑x
3 i
i =1
m4
,
N
=
4 i
i =1
N
Grupirani podaci n
∑ f x i
m k
=
k i
i =1 n
,
∑ f i
i =1
n
∑ f x i
m1
=
n
∑ f x
i
i =1 n
i
,
∑ f
m2
i =1
=
n
∑ f
i
i =1
n
∑ f x i
=
i =1 n
∑ f
i
i =1
,
i
i =1
m3
2 k i
n
∑ f x
3 i
i
,
m4
=
4 i
i =1 n
∑ f
i
i =1
6
•
Momenti oko sredine
Negrupirani podaci k
N
∑ (x µ k =
i
−
x
=
∑ (x , µ 2
N
∑ (x µ 3
)
i =1
=
i
−
x
i
x
−
i =1
, 4
N
)
∑ (x
i =1
, µ 4
N
)
N
3
N
2
N
=
i
x
−
)
µk mk xi N
- k-ti moment oko sredine, k=0,1,... - k-ti moment oko nule, k=0,1,... - vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n - ukupan broj jedinica u nizu x - aritmetička sredina f i - frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n
i =1
N
Grupirani podaci k
n
∑ f (x i
µ k =
i
−
x
)
i =1
∑ f (x i
, µ 2
n
∑ f
=
=
)
,
∑ f
i
3
i
−
x
∑ f (x i
, µ 4
n
∑ f
4
n
)
i =1
=
i
−
x
)
i =1 n
∑ f i
i
i =1
µ 0
x
i =1
n
µ 3
−
n
i =1
i
i
i =1
i
∑ f (x
2
n
i =1
µ 1
= 1,
=
0
Pomoću momenata oko nule µ 2 = m2 − m12 2m13
µ 3
=
m3
− 3m1 m 2 +
µ 4
=
m4
− 4m1 m3 + 6 m1 m 2 − 3m1
•
2
Koeficijent asimetrije α 3
•
4
=
µ 3 σ 3
α3 - koeficijent asimetrije µ3 - treći moment oko sredine σ - standardna devijacija
Pearsonove mjere asimetrije S k 1
=
x − Mo
σ
Sk - Pearsonova mjera asimetrije x - aritmetička sredina Mo - mod
7
S k 2
•
σ
Me - medijan σ - standardna devijacija
Bowleyjeva mjera asimetrije
S kQ
•
3 ⋅ ( x − Me)
=
=
Q1
+ Q3 −
Q3
2Me
− Q1
SkQ Q1 Q3 Me
- Bowleyjeva mjera asimetrije - donji kvartil - gornji kvartil - medijan
Koeficijent zaobljenosti
α 4
=
α4 - koeficijent zaobljenosti µ4 - četvrti moment oko sredine σ - standardna devijacija
µ 4 σ 4
KOMBINATORIKA •
Permutacije
Bez ponavljanja P
P
n!
=
S ponavljanjem P
•
n!
=
- permutacije bez ponavljanja - permutacije s ponavljanjem
P n - broj elemenata r - razred
r 1! r 2 !...r k !
Varijacije
Bez ponavljanja V =
n!
(n − r )!
S ponavljanjem V = n
r
V - varijacije bez ponavljanja V - varijacije s ponavljanjem n - broj elemenata r - razred
8
•
Kombinacije
Bez ponavljanja n n! K = = r r !⋅( n − r )!
S ponavljanjem n + r − 1 r
K - kombinacije bez ponavljanja - kombinacije s ponavljanjem K n - broj elemenata r - razred
K =
VJEROJATNOST •
Matematička vjerojatnost ili vjerojatnost a priori P ( A)
•
P(A) m n
m n
=
f ( A) n
P(A) - vjerojatnost dogaaja A f(A) - frekvencija dogaaja A n - broj izvršenih pokusa
Suprotna vjerojatnost
Q ( A)
= 1−
P ( A)
Q(A) - suprotna vjerojatnost P(A)
P ( A) + Q ( A)
•
- vjerojatnost dogaaja A
=1
Zbrajanje vjerojatnosti – vjerojatnost „ili-ili“ u ekskluzivnom smislu
P( A ∪ B)
•
- vjerojatnost dogaaja A - broj povoljnih mogućnosti - broj svih mogućnosti
Statistička vjerojatnost ili vjerojatnost a posteriori P ( A)
•
=
=
P ( A) + P ( B )
P(A) P(B)
- vjerojatnost dogaaja A - vjerojatnost dogaaja B
Množenje vjerojatnosti – vjerojatnost „i-i“
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
P(A) P(B)
- vjerojatnost dogaaja A - vjerojatnost dogaaja B 9
•
Vjerojatnost barem jedan – vjerojatnost „ili“ u inkluzivnom smislu
P
= 1 − Q ( A) ⋅ Q ( B )
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A) ⋅ P ( B )
•
=
P ( A) ⋅ Q ( B ) + Q ( A) ⋅ P ( B )
Q P2
=
=
p
n
(1 − p ) n
= 1 − (1 −
- vjerojatnost dogaaja A - vjerojatnost dogaaja B - suprotna vjerojatnost dogaaja A - suprotna vjerojatnost dogaaja B
p) n
P1 Q P2 p n
- vjerojatnost da dogaaj nastupi n-puta - vjerojatnost da dogaaj n-puta ne nastupi - vjerojatnost da dogaaj u n pokusa nastupi barem jedanput - vjerojatnost da će se dogoditi neki dogaaj - broj ponavljanja (pokusa)
Uvjetna vjerojatnost P ( A / B ) =
P ( B / A) =
•
P(A) P(B) Q(A) Q(B)
Vjerojatnost dogaaja koji se ponavljaju
P1
•
- vjerojatnost dogaaja A - vjerojatnost dogaaja B - suprotna vjerojatnost dogaaja A - suprotna vjerojatnost dogaaja B
Vjerojatnost samo jedan
P
•
P(A) P(B) Q(A) Q(B)
P( A ∩ B ) P( B) P ( A ∩ B) P ( A)
- vjerojatnost dogaaja A uz uvjet dogaaja B P(B/A) - vjerojatnost dogaaja B uz uvjet dogaaja A P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(B) - vjerojatnost dogaaja B P(A/B)
Totalna vjerojatnost P(A)
P ( A)
=
P ( B1 ) ⋅ P ( A / B1 ) + P ( B2 ) ⋅ P ( A / B2 ) + ... + P ( Bi ) ⋅ P ( A / Bi )
- vjerojatnost dogaaja A P(Bi) - vjerojatnost dogaaja Bi, i=1, 2,..
10
Bayesova formula
•
P ( Bi / A) =
P ( Bi ) ⋅ P ( A / Bi )
∑ P( B ) ⋅ P( A / B ) i
P(A) - vjerojatnost dogaaja A P(Bi) - vjerojatnost dogaaja Bi, i=1, 2,..
i
TEORIJSKE DISTRIBUCIJE Binomna distribucija
•
n − P ( x ) = ⋅ p x ⋅ q n x x
P(x) - vjerojatnost da slučajna varijabla ima vrijednost x
E ( x) = X = n ⋅ p V ( x ) = n ⋅ p ⋅ q
q
V = 100 ⋅
n⋅ p
σ = n ⋅ p ⋅ q α 3
=
α 4
=
q− p n⋅ p⋅q
3+
1− 6 ⋅ p ⋅ q n⋅ p⋅q
E(x) x n p q V(x) V σ α3 α4 Mo
- matematičko očekivanje - broj nastupanja doga aja A u n pokusa - broj elemenata u uzorku ili broj pokusa - vjerojatnost ostvarenja dogaaja A - vjerojatnost nenastupanja doga aja A - varijanca - koeficijent varijacije - standardna devijacija - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti - mod
n ⋅ p − q ≤ Mo ≤ n ⋅ p + p q
=1−
•
P( x) =
p
Poissonova distribucija λ x x!
⋅e
− λ
P (0) = e − λ
P(x) - vjerojatnost da slučajna varijabla ima vrijednost x e - baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...
E ( x) = X = λ V ( x) = λ V =
100 ⋅ λ
λ
E(x) - matematičko očekivanje λ - lamda 11
V(x) V σ α3 α4 Mo
σ = λ α 3
=
α 4
=
1
λ 3+
1
- varijanca - koeficijent varijacije - standardna devijacija - koeficijent asimetrije - koeficijent zaobljenosti - mod
λ
λ − 1 ≤ Mo ≤ λ
Normalna ili Gaussova distribucija
•
1
f ( x) =
σ ⋅ 2π
1
f ( z ) =
z
=
−
2π
−
( x− x)
⋅e
2σ
2
2
z2
⋅e 2
;
x−x
σ
α 3
=
0
α 4
=
3
f(x)
- funkcija vjerojatnosti tj. gustoća razdiobe
x - tekuća vrijednost slu čajne varijable x - aritmetička sredina osnovnog skupa σ - standardna devijacija e - baza prirodnog logaritma, e= 2,7182... π - Ludolfov broj (3,14) α3 - koeficijent asimetrije α4 - koeficijent zaobljenosti
METODA UZORAKA •
Frakcija izbora f =
n N
f - frakcija izbora n - uzorak N - populacija, osnovni skup
Metode procjene •
Procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa
Interval: x − t ⋅ s x
<
X < x + t ⋅ s x
X x t sx
- aritmetička sredina osnovnog skupa - aritmetička sredina uzorka - koeficijent pouzdanosti - standardna greška procjene aritmeti čke sredine 12
f>0,05
f<0,05 sx
n>30
n
sx
n<30
s
=
n>30
sx
n<30
sx
=
s
⋅
N − n N − 1
n
s
=
n −1
n>50
s
= σ
n<50
s
= σ ⋅
=
s
N − n
⋅
N − 1
n −1
s - procijenjena standardna devijacija osnovnog skupa σ - standardna devijacija uzorka
n n −1
Procjena totala osnovnog skupa
•
Interval:
∑ x'−t ⋅ s∑
x'
<
∑ X < ∑ x'+t ⋅ s∑
x'
∑X - total osnovnog skupa ∑x' - procijenjeni total t - koeficijent pouzdanosti s x ' - standardna greška procjene totala
∑
∑ s
•
x ' = N ⋅ x
∑ x'
=
x sx
- aritmetička sredina uzorka - standardna greška procjene aritmeti čke sredine
P p t sp
- proporcija osnovnog skupa - proporcija uzorka - koeficijent pouzdanosti - standardna greška procjene proporcije
N ⋅ s x
Procjena proporcije osnovnog skupa
Interval: p − t ⋅ s p
<
P
<
p + t ⋅ s p
f>0,05
f<0,05 p⋅q
sp
=
p
=
q
= 1−
sp
n −1
=
p⋅q n −1
⋅
N − n N − 1
m
- broj elemenata u uzorku s traženim obilježjem n - uzorak
m n
p
13
KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA Linearna korelacija Jednadžbe pravaca regresije
•
Jednadžba prvog pravca regresije Yc = a + b ⋅ x
∑ XY − X ∑ Y ∑ X − X ∑ X
b= a
Yc a, b Xi Yi
2
= Y − b ⋅
∑ X X =
i
X
- aritmetička sredina (prosječna vrijednost) prve pojave Y - aritmetička sredina (prosje čna vrijednost) druge pojave N - broj frekvencija u pojavi X ili Y
∑ Y Y =
X
i
,
N
- vrijednost prvog pravca regresije - parametri prvog pravca regresije - frekvencije jedne pojave, i=1,...,n - frekvencije druge pojave, i=1,...,n
N
Jednadžba drugog pravca regresije Xc = a ' b
'
a'
'
+b ⋅
y Xc - vrijednost drugog pravca regresije ' a , b - parametri drugog pravca regresije
∑ XY − Y ∑ X = ∑ Y − Y ∑ Y
'
2
X − b ' Y
=
•
Pearsonov koeficijent korelacije
r =
∑ ( X − X ) ⋅ (Y − Y ) ∑ ( X − X ) ⋅ ∑ (Y − Y ) i
i
2
i
r = b ⋅ b
i
'
2
r - koeficijent korelacije Xi - frekvencije jedne pojave, i=1,...,n Yi - frekvencije druge pojave, i=1,...,n
b - parametar u prvom pravcu regresije ' b - parametar u drugom pravcu regresije
14
Analiza varijance
•
Jednadžba analize varijance
∑ (Y − Y )
2
i
∑ (Y − Y ) =
N
σ
σ p2
∑ (Y − Y ) =
σ
2
c
N
2
2
= σ p + σ np
2
i
N =
a
∑
Y + b
∑
∑
XY − Y
Y
N
∑ Y =
2
2 np
i
N
σ 2 2
∑ (Y − Y ) +
2
c
−a
∑ Y − b∑ XY
σ 2 - ukupna varijanca σ p2 - protumačena varijanca 2 σ np - neprotumačena varijanca
N
Korelacija ranga •
Spearmanov koeficijent korelacije ranga
n
6⋅ =1−
r s
d i
=
r x
n
∑ d
2 i
i =1 3
−n
r s - koeficijent korelacije ranga d i - razlika rangova n - broj frekvencija u pojavi X ili Y
r x - rang od pojave X r y - rang od pojave Y
− r y
VREMENSKI NIZ •
Individualni indeksi
Verižni indeksi V t
=
Y t Y t −1
⋅ 100
V t - verižni indeks Y t - vrijednost pojave (frekvencija) u tekućem Y t-1 razdoblju, t=2,3,...,n - vrijednost pojave (frekvencija) u prethodnom razdoblju
15
Bazni indeksi
I t
•
=
Y t Y b
I t - bazni indeks Y t - vrijednost pojave (frekvencija) u tekućem razdoblju, t=1,2,...,n Y b - vrijednost pojave (frekvencija) u baznom razdoblju
⋅ 100
Linearni trend
Ishodište na po četku razdoblja Yc = a + b ⋅ x
∑ XY − X ∑ Y b= ∑ X − X ∑ X
Yc - vrijednost trenda a,b - parametri trenda
2
a
= Y − b ⋅
X =
X
∑ X
i
N
Y =
,
∑ Y i
N - broj vremenskih jedinica
N
Ishodište u sredini razdoblja Yc = a + b ⋅ x
∑ XY ∑ X ∑ Y a=
b=
2
Yc - vrijednost trenda a,b - parametri trenda
N
Pripremile: Dr.sc. Suzana Marković, docent Sanja Raspor, asistent 16