INTERNACIONALNI UNIVERZITET U TRAVNIKU FAKULTET POLITEHNIČKIH NAUKA Smjer: Mašinstvo/ motori i vozia Predmet: PRENO! TOPLOTE I MA!E "#$ %o&ina '()*/'()+
SEMINARSKI RAD NESTACIONARAN PRENOS TOPLOTE KONDUKCIJOM
Student: Haris Fišo Slavko Đurić
Pregledao: doc.dr.
Travni#, -.ni '()+$ %o&in0$
SADRŽAJ
10&no&im0nzioni 2r0nos to2ot0333333333) Pr0nos to2ot0 #roz ravan zi& 333333333$$$' Pr0nos to2ot0 . ra&i-anom 2rav4. #roz s50r.333$$6 7rani8ni .sovi333333333333333$$$* Viš0&im0nzioni 2r0nos to2ot0333333333$$+ Prim-0na mo&0a -0&no&im0nziono% 2r0nosa to2ot0 za 2ri9i:no r-0šavan-0 2ra#ti8ni; 2ro90ma3$$< T0m20rat.rni 2ro5i . ravnom zi&. vro v0i#0 2ovršin0333333333333333333$$= Pr0vo>0n-0 mat0mati8#o% mo&0a . 90z&im0nzioni o9i# 3333333333333333333$$$? @o9i-an-0 viš0&im0nzioni; t0m20rat.rni; 2ro5ia iz -0&no&im0nzioni; 33333333333333)(
NESTACIONARAN PRENOS TOPLOTE KONDUKCIJOM T0m20rat.ra n0sta4ionarno% sist0ma sa ras2o&0-0nim 2aram0trima -0 5.n#4i-a vr0m0na i -0&n0 ii viš0 #oor&inata r04imo, T B ztD$ Za 5.n#4i-. T B ztD s0 #orist0 t0rmini, t0m20rat.rno 2o-0 i t0m20rat.rni 2ro5i$ Mat0mati8#i mo&0i n0sta4ionarno% 2r0nosa to2ot0 . sist0m. sa ras2o&-0-nim 2aram0trima 8i-im s0 r-0šavan-0m &o9i-a t0m20rat.rno 2o-0 ima-. o9i# 2ar4i-ani; &i50r0n4i-ani; -0&na8ina$ Oni s0 mo%. izv0sti 5orm.isan-0m 9iansa 0n0r%i-0 8i-a -0 o2šta 5orma &ata -0&na8inom )$)D, za 00m0nt &ioD sist0ma 8i-0 s. &im0nzi-0 90s#na8no ma0 . . onim 2rav4ima &.: #o-i; s0 t0m20rat.ra m-0n-a a . ostaim 2rav4ima 00m0nt s0 2rostir0 &o %rani4a sist0ma$ To -0 za s.8a- sist0ma 2ravo.%aon0 %0om0tri-0 #va&arD &im0nzi-a LBLLz i.strovano na si4i *$)$
a) Temperatura se mjenja samo u x – pravcu, T (x,t) ; b) Temperatura se mjenja u x i y pravcu,T (x, y,t); c) Temperatura se mjenja u sva tri pravca, T (x, y,z,t)
4.1 Jednodimenioni !reno" to!#ote Na--0&nostavni-i s.8a- n0sta4ionarno% 2r0nosa -0 &a s0 t0m20rat.ra m-0n-a samo . -0&nom o& 2rava4a #oor&inatno% sist0ma i on s0 naziva -0&no&im0nzioni 2r0nos$ U s.8a-. 2ravo.%aon0 %0om0tri-0 #ao i 4iin&ri8n0 %0om0tri-0 2ri 80m. s0 t0m20rat.ra m-0n-a samo . a#si-anom 2rav4. 2o&.:noD . 2itan-. -0 5.n#4i-a T BtD $ U 2ra#si s0 sr0. i Uaz G Izaz 70n0risan-0 A#.m.a4i-a . sist0m. . sist0m. += -0&no&im0nzioni 2r0nos . ra&i-anom 2rav4. &.: ra&i-an0 #oor&inat0D r #roz t0o 4iin&ri8no% o9i#a i #roz t0o s50rno% o9i#a o&nosno t0m20rat.rni 2ro5i T rtD$ Pr0nos to2ot0 #roz ravan zi& !#i4a ti-0a 2ravo.%aono% o9i#a ravan zi& ii so-D 2o 8i-o- &09-ini B J 2rava4D s0 m-0n-a t0m20rat.rno 2o-0 t0 . tom 2rav4. 2osto-i 5.#s to2ot0 &ata -0 na !$ *$'aD$ Ra&i izvo>0n-a -0&na8in0 2r0nosa 2osmatra s0 #ao 00m0nt t0a so- 90s#ona8no ma0 &09-in0 &B normaan na 2rava4 2r0nosa to2ot0 !$ *$'9D
Pr0t2ostavimo &a 2osto-i i %0n0risan-0 to2ot0 . sist0m.$ Pra#ti8ni 2rim-0ri %0n0risan-a s., stvaran-0 to2ot0 2ri 2roti4an-. 00#tri8n0 str.-0 #roz sist0m oso9a>an-0 ii troš0n-0 to2ot0 z9o% n0#0 0%zot0rmn0 ii 0n&ot0rmn0 r0a#4i-0 . sist0m. oso9a>an-0 ii troš0n-0 at0ntn0 to2ot0 2ri 5aznim trans5orma4i-ama r04imo oso9a>an-0 at0ntn0 to2ot0 zamrzavan-a vo&0 2ri zamrzavan-. ;ran0D$ Ozna8imo 9rzin. %0n0risan-a to2ot0 2o -0&ini4i za2r0min0 sist0ma sa D 6 %T m $ Ra&i 2o-0&nostav-0n-a mo&0a 2r0t2ostavimo &a s. 5izi8#a svo-stva m0&i-.ma, %.stina s204i5i8na to2ota v 4 i #o05i4i-0nt 2rovo&-ivosti to2ot #onstantna zan0mar.-0mo .ti4a- 2rom-0n0 t0m20rat.r0D$ Uz to .svo-i0mo .o9i8a-0n. a2ro#sima4i-. za 8vrst0 s.2stan40, !a nav0&0nim 2r0t2ostav#ama 8anovi . 0n0r%0ts#om 9ians. #o-i svi ima-. &im0nzi-. 1/s D 2osmatrano% 00m0nta 8i-a -0 za2r0mina, &V A&B s.,
Pr0nos to2ot0 . ra&i-anom 2rav4. #roz 4iin&ar E0m0nt 4iin&ra za #o%a 5ormiramo 0n0r%0ts#i 9ians &a 9i izv0i &i50r0n4i-an. -0&na8in. -0 4iin&ri8na -.s#a 90s#ona8no ma0 &09-in0 &r !$ *$6D
Za2r0mina 2osmatrano% 00m0nta -0 -0&na#a 2roizvo&. 2ovršin0 n-0%ov0 osnov0 i n-0%ov0 visin0 t-$ 2ovršin0 #r.:no% 2rst0na širin0 &r i &.:in0 4iin&ra L$ Površina 2osmatrano% #r.:no% 2rst0na 90s#ona8no ma0 širin0 -0,
0s#ona8no ma. v0i8in. &r #o-a 5i%.riš0 . z9ir. . za%ra&i mo:0mo &a zan0marimo . o&nos. na r 2a -0 2ovršina osnov0 -0&na#a 'r&r a za2r0mina 00m0nta,
Uz ist0 2r0t2ostav#0 #ao i . s.8a-. ravno% zi&a 2o-0&ini 8anovi 9iansa s.,
Preno" to!#ote $ r%dij%#nom !r%&'$ (ro ")er$ E0m0nt s50r0 -0 s50rna -.s#a 90s#ona8no ma0 &09-in0 &r &ata . 2ro-0#4i-i na !$*$*$ Za2r0mina 00m0nta -0,
4.* +r%ni,ni $"#o&i Za &o9i-an-0 t0m20rat.rno% 2o-a t-$ 2arti#.arno% r0š0n-a &i5$ -0&na8in0 2r0nosa to2ot0D n0o2;o&ni s. i %rani8ni .sovi$ Pošto . -0&na8inama *$)D *$*D i *$
No-manov .sov &a-0 vri-0&nost izvo&a 5.n#4i-0 ov&0 t0m20rat.r0D na %rani4i$ Pr0nos to2ot0 #roz ti-0o 4iin&ri8no% ii s50rno% o9i#a 0mo imati #a&a s0 ono ;a&i ii <' za%ri-ava 2o& .ti4a-0m o#oin0$ A#o -0 . 2itan-. ;a>0n-0 t0m20rat.ra o#oin0 -0 ni:a o& 2o80tn0 t0m20rat.r0 t0aD to#om vr0m0na 0 t0m20rat.ra na %rani4i r ( osa 4in&ra ii 40ntar s50r0D &a o2a&a ai 0 . 9io #om mom0nt. 9iti na-v0a . 4i-0om ra&i-anom 2r0s-0#. ti-0a$ U s.8a-. za%ri-avan-a 2a# . osi 4iin&ra 40ntr. s50r0D r ( t0m20rat.ra 0 imati minim.m$ 1asno -0 on&a &a 0 %rani8ni .sov na %rani4i r ( 9iti mat0mati8#i .sov 0#str0m.ma,
4.-.
i/edimenioni !reno" to!#ote
A#o s0 t0m20rat.ra . sist0m. n0#om t0.D m-0n-a &.: &va ii tri #oor&inatna 2rav4a #a:0mo &a s0 ra&i o &vo J ii tro&im0nzionom t0m20rat.rnom 2o-. o&nosno o &vo J ii tro&im0nzionom 2r0nos. to2ot0$ Ra&i izvo>0n-a -0&na8in0 2r0nosa 5ormira s0 0n0r%0ts#i 9ians za 00m0nt 8i-0 s. &im0nzi-0 90s#ona8no ma0 . &va ii sva tri 2rav4a Vi&i !$ *$)D$ Anao%nim 2ost.2#om onom za ravan zi& za tro&im0nzioni 2r0nos to2ot0 . 2ravo.%im #oor&inatama izvo&i s0 ,
O& 2ra#ti8no% int0r0sa za mo&0ovan-0 to2otni; o20ra4i-a . 2r0;ram90no- in&.sti-i -0 i &vo&im0nzioni 2r0nos to2ot0 . a#si-anom zD i ra&i-anom rD 2rav4. #roz 4iin&ar$ 10&na8ina 2r0nosa %asi,
a n-0nim r-0šavan-0m .z o&%ovara-.0 %rani8n0 .sov0 &o9i-a s0 &vo&im0nziono n0sta4ionarno t0m20rat.rno 2o-0 4iin&ra, T rztD
4.4. Primjen% mode#% jednodimeniono0 !reno"% to!#ote % !ri#i2no rje/%&%nje !r%(ti,ni3 !ro#em% Pri 2ri9i:nom mo&0ovan-. 2ro40sa t0rmi8#0 st0riiza4i-0 ras;a>ivan-a i zamrzavan-a namirni4a . 2r0;ram90no- in&.stri-i #oristi s0 -0&no&im0nzioni mo&0 2r0nosa 90z %0n0risan-a to2ot0 #roz t0o 2ravino% %0om0tri-s#o% o9i#a #va&ar 4iin&ar ii o2taD -0r za ta- mo&0 2osto-i r0ativno -0&nostavno anaiti8#o r-0š0n-0$ Pri tom s0 2rim-0n-.-. s-0&00 %avn0D a2ro#sima4i-0 .2roš0n-aD, i&0aiza4i-a %0om0tri-s#o% o9i#a sist0maQ a2ro#sima4i-a viš0&im0nziono% 2r0nosa to2ot0 -0&no&im0nzionimQ zan0marivan-0 8ana %0n0risan-a to2ot0 . -0&na8ini 2r0nosa . s.8a-0vima #a&a 2osto-0 5azn0 trans5orma4i-0Q zan0marivan-0 .ti4a-a t0m20rat.r0 na t0rmo5izi8#a svo-stva sist0ma, C2 i n-i;ovo .2roš0no 2ro4-0n-ivan-0 za ;ran. #ao so:0ni m0&i-.m Za 2rim-0n. r-0š0n-a mo&0a -0&noG ii viš0&im0ziono% 2r0nosa to2ot0 n0o2;o&na -0 i&0aiza4i-a stvarno% o9i#a ti-0a$ Ta#o s0 -a-a &in-0 -a9.#0 it&$ a2ro#simira-. o2tama n0#0 #onz0rv0 i 204iva #va&rima a n0#a 204iva virš0 i 9anan0 4iin&rima$ U stvarnosti -0 na-80š0 . 2itan-. &vo ii tro&im0nzioni 2r0nos to2ot0$ On s0 . n0#im s.8a-0vima mo:0 a2ro#simirati -0&no&im0nzionim$ Ta#o a#o -0 4iin&ri8no ti-0o &.%a8#o . o&nos. na 2r08ni# 2ra#ti8an #rit0ri-.m za to -0, L
5azn0 trans5orma4i-0 na 2rim-0r zamrzavan-0 vo&0 i ota2an-0 0&a 2ri zamrzavan-. ;ran0 i ota2an-. zamrzn.t0 ;ran0 -0&na8ina 2r0nosa 9i moraa &a sa&r:i 8an %0n0risan-a to2ot0$ Ko& 2ri9i:no% mo&0ovan-a on s0 zan0mar.-0 a %r0š#a mo:0 &a s0 sman-i o&%ovara-.im #ori%ovan-0m s204i5i8n0 to2ot0 m0&i-.ma sman-0n-0 #o& zamrzavan-a i 2ov0an-0 #o& ota2an-aD Pos09an 2ro90m 2r0&stav-a 2ro4-0n-ivan-0 n0o2;o∋ 5izi8#i; 2aram0tara C2 s o9zirom &a -0 ;rana vro so:0n m0&i-.m i &a s0 to#om t0rmi8#0 o9ra&0 80sto m0n-a #onzist0n4i-a i sastav$ U it0rat.ri To0&o '((=D 2osto-0 -0&na8in0 za 2ro4-0n-ivan-0 2otr09ni; svo-stava sa za&ovo-ava-.om ta8noš. za 2otr090 2ro-0#tovan-a i in:0n-0rs#0 anaiz0 t0rmi8#i; 2ro40sa . 2r0;ram90no- in&.stri-i$
4.. Tem!er%t$rni !ro)i# $ r%&nom id$ &r#o &e#i(e !o&r/ine Posmatra-mo 2r0nos to2ot0 #roz zi& &09-in0 'L i vro v0i#0 2ovršin0 2a s0 2r0nos to2ot0 mo:0 a2ro#simirati -0&no&im0nzionimD #o-i -0 na 2o80t#. imao t0m20rat.r. T2 i o& -0&no% mom0nta t ( D -0 sa o9-0 stran0 izo:0n .ti4a-. o#oin0 t0m20rat.r0 T( !$ *$+D$ N0#a -0 #o05i4i-0nt 2r0aza to2ot0 sa zi&a na o#oni 5.i& -0&na# S$ Na !$*$+ s. s#i4irani t0m20rat.rni 2ro5ii . zi&. . mom0ntima, t ( ( t i t $ Uo8-iva -0 n-i;ova sim0tri8nost što navo&i na i&0-. &a s0 2osmatra samo &0sna 2oovina zi&a t-$ &a s0 2o80ta# os0 B 2ostavi . 40ntran. ravan zi&a$ Na osnov. is#.stva st080no% #roz 2r0t;o&n0 2rim-0r0 ni-0 t0š#o 5orm.isati mat0mati8#i mo&0 &i50r0n4i-an. -0&na8in. i %rani8n0 .sov0D #o-i o2is.-0 t0m20rat.rno 2o-0 T BtD zi&a,
Pre&o5enje m%tem%ti,(o0 mode#% $ edimenioni o#i( Pri-0 no što s0 2rist.2a r-0šavan-. mat0mati8#o% mo&0a #orisno -0 &a s0 on 2r0v0&0 . 90z&im0nzioni o9i# sm-0nom 2rom-0n-ivi;$ Uv0š0mo 90z&im0nzion. t0m20rat.r. i 90z&im0nzion. 2rostorn. #oor&inat. z #ao,
@a 9i .v0i sm-0n. 2rom-0n-ivi; . -0&na8in. *$')D 2otr09no -0 izvo& ori%inan0 zavisno 2rom-0n-iv0 T 2o vr0m0n. izraziti 2r0#o izvo&a nov0 zavisno 2rom-0n-iv0 2o vr0m0n.$ Ta#o>0 tr09a &r.%i izvo& ' ' W T WB izraziti 2r0#o izvo&a ' ' W Wz $ To ni-0 t0š#o izv0sti
2rim0n-.-.i 2ravio &i50r0n4iran-a so:0n0 5.n#4i-0 G 2o&s-0timo s0 &a a#o -0 5.n#4i-a 2rom-0n-iv0 . a . 5.n#4i-a o& B si-0&i &a -0 so:0naD 5.n#4i-a o& B,
5ormano 2osmatra-.i Wv %&-0 -0 v 9io #o-a 2rom-0n-iva #ao n-0n 2rirašta- i ima-.i . vi&. &a -0 #oi8ni# 2rirašta-a &v0 2rom-0n-iv0 -0&na# izvo&. 2rv0 2o &r.%o-$ Ta#o s0 2rirašta- -0&n0 o& &v0 2rom-0n-iv0 &o9i-a #ao 2roizvo& izvo&a 2o &r.%o- 2rom-0n-ivo- i 2rirašta-a t0 &r.%0 2rom-0n-iv0$ Ta#o a#o . izvo&. WT Wt 9ro-ia4 WT 2osmatramo #ao 2rirašta- t0m20rat.r0 on -0 2r0ma *$'6aD -0&na# T2 X T( DW -0r -0 &T & T2 X T( D i sm-0nom . WT Wt &o9i-amo,
@a 9i smo naši ' ' W T WB moramo 2rvo &a na>0mo 2rvi izvo& WT WB $ N-0%a a#o &o9i-amo ta#o što 2rirašta- WT zam-0n-.-0mo sa T2 X T( DW a 2rirašta- WB sa LWz 2r0ma *$'69D$ @a#0
@a 9i smo naši &r.%i izvo& 2o B 2rim-0ni0mo 2ravio &i50r0n4iran-a so:0n0 5.n#4i-0,
Pr0ostao -0 &a .v0&0mo izraz0 *$'*aD i *$'*4D . &i50r0n4i-an. -0&na8in. i . %rani8n0 .sov0$ Ta#o &i5$ -0&na8ina &o9i-a o9i#,
O8i%0&no -0 &a nismo -0&na8in. 2r0v0i . 90z&im0nzion. i za to -0 n0o2;o&no izvšiti sm-0n. i &r.%0 n0zavisno 2rom-0n-iv0 J vr0m0na t n0#om 90z&im0nzionom 2rom-0n-ivom Y G 90z&im0nzionim vr0m0nom$ !m-0na #o-a 2o-0&nostav-.-0 -0&na8in. *$'+D -0 , U it0rat.ri s0 90z&im0nziona %r.2a *$'
Doij%nje &i/edimenioni3 jednodimenioni3
tem!er%t$rni3
!ro)i#%
i
U 2r0t;o&nim iza%an-ima smo o9-asnii #a#o s0 izra8.nava-. -0&no&im0nzioni n0sta4ionarni t0m20rat.rni 2ro5ii T BtD #o-i s. r0z.tat n0sta4ionarno% 2r0nosa to2ot0 90z %0n0risan-a . #oor&inatnom 2rav4. B #roz, zi& so-D v0i#0 2ovršin0 2o.90s#ona8an m0&i-.m &.%i 4iin&ar s50r. i i.strovai 2ra#ti8n. 2rim-0n. . n0#im 2ro90mima za%ri-avan-a i ;a>0n-a . 2r0;ram90not0;noo%i-i$ U 2ra#si s0 s.o8avamo sa 2ro90mom &05inisan-a &voG i troG &im0nzioni; t0m20rat.rni; 2ro5ia na2rim-0r ., #rat#om 4iin&r. T BrtD ti-0. o9i#a #va&ra T B ztD U t0ori-i -0 izv0&0n 2rin4i2 s.20r2ozi4i-0 -0&no&im0nzioni; 2ro5ia 2r0ma #om0 s0 viš0&im0nzioni 2ro5i . o&s.stv. %0n0risan-a to2ot0 &o9i-a #ao 2roizvo& r-0š0n-a -0&no&im0nzioni; 2ro90ma 2r0nosa to2ot0 t-$ -0&no&im0nzioni; t0m20rat.rni; 2ro5iaD za ti-0a 8i-im 2r0s-0#om s0 &o9i-a 2osmatrano ti-0o a #o-a s. izo:0na &0-stv. ist0 o#oin0 t0m20rat.r0 T( $ Tr09a na%asiti &a s0 o2isani 2rin4i2 2rim-0n-.-0 na 2ro5i0 . 90z&im0nzionom o9i#. #o-0 smo ozna8avai sovom $ Posmatra-mo na 2rim-0r #rat#i 4iin&ar visin0 H i 2o.2r08ni#a R t0m20rat.r0 T2 #o-i s0 . mom0nt. t ( izo:i &0-stv. o#oin0 t0m20rat.r0 T( $ Kao r0z.tat &0-stva o#oin0 t0m20rat.ra . 4iin&r. 0 s0 m-0n-ati i . a#si-anom BD i . ra&i-anom rD 2rav4. &a#0 .s2ostav-a s0 &vo&im0nziono t0m20rat.rno 2o-0 T BrtD $ Posmatrani 4iin&ar s0 &o9i-a #ao 2r0s-0# ravno% so-a vro v0i#0 2ovršin0 &09-in0 H i &.%o% 4iin&ra 2o.2r08ni#a R vi&i !$*$?D 2a . s#a&. sa o2isanim 2rin4i2om s.20r2ozi4i-0 va:i,
%&-0 -0 . s.8a-. Y '$( 5.n#4i-a D so- B t &05inisana -0&na8inom *$'D 2ri 80m. -0 L H ' a 5.n#4i-a D 4i r t -0&na8inom *$6D$Kao &r.%i 2rim-0r .zmimo vro &.% šta2 ?' 2ravo.%aono% 2r0s-0#a &im0nzi-a a 9 $ On s0 &o9i-a . 2r0s-0#. &va ravna so-a -0&no% &09-in0 a i &r.%o% &09-in0 9 !$ *$D 2a n-0%ov t0m20rat.rni 2ro5i T B tD &o9i-amo #ao