DISTRIBUCIÓN JI- CUADRADO (X2) Presentado por: Angélica María Poblador Edilson Poveda Páez
DEFINICIÓN !
En estadística" la distrib#ci$n de Pearson" lla%ada ta%bién &i c#adrada'o( o c)i c#adrado'a( '*+(" es #na distrib#ci$n de probabilidad contin#a con #n pará%etro n ,#e representa los grados de libertad de la variable aleatoria-
.a variable aleatoria contin#a X tiene #na distrib#ci$n &i c#adrada con n grados de libertad donde n es #n pará%etro positivo c#ando s# /#nci$n de densidad es de la sig#iente /or%a: f ( x )=
n
2
2
(
Γ
− x
n
1
∗ x
n 2
/'0( 1 2
2
−1
e
2
para x >0
)
para x ≤ 0
De 3a%a a ! 4na variable aleatoria tiene #na distrib#ci$n ga%a de pará%etros al/a 5 la%da a%bos positivos si s# correspondiente /#nci$n de densidad estaba dada por esta /#nci$n -
λ =
α =
1 2
n
2
For%a de la grá/ica de /#nci$n para #nos valores del pará%etro n o k 6e trata entonces de #na variable aleatoria contin#a con posibles valores la parte positiva en el e&e real- El pará%etro es n 5 se le lla%a grados de libertad 5 p#ede to%ar c#al,#ier valor real positivo.a grá/ica de esta distrib#ci$n se %#estra a contin#aci$n para #nos valores de n. 6e tiene en c#enta ,#e para n17 5 n1! la /#nci$n de Densidad para 0!12 6e )ace in/inito- Para El resto de los valores de N para 0!12" la F#nci$n vale 2
Integral de distrib#ci$n de &i c#adrado .a Distrib#ci$n de probabilidad de esta /#nci$n para valores %enores de #n 0 dado" ,#e representa%os por :
Esta integral no tiene #na sol#ci$n conocida" 5 solo se conocen %étodos n#%éricos para calc#lar s#s valores" )a5 distintos tipos de tablas 5 algorit%os para ordenador con los ,#e se p#eden calc#lar s#s sol#ciones" vea%os #na tabla distrib#ci$n &i8c#adrado 5 s# %odo de #tilizaci$n-
9abla distrib#ci$n 0! 'grados de libertad(
Pará%etros ●
n 2 grados de libertad-
●
Do%inio
●
F#nci$n de Densidad
●
F#nci$n de Distrib#ci$n
●
●
Media n1;
●
Mediana1 apro0i%ada%ente
●
Moda1
si
Pará%etros ●
●
Coe/iciente de si%etría 1
●
C#rtosis 1 7!=; 1 7!=n
●
Entropía 1
●
F#nci$n generadora de %o%entos 1
●
●
F#nci$n característica 1
Para
6esgo ●
Es #n esti%ador a la di/erencia entre la esperanza %ate%ática '%edia( 5 el valor n#%érico del pará%etro ,#e esti%a" la distrib#ci$n >i8 c#adrada presenta #n sesgo positivo al ser #n caso especial de la distrib#ci$n ga%a-
?es#ltados 7- 9ene%os ,#e si x es #na variable aleatoria con distrib#ci$n nor%al estandar entonces x c#adrada tiene distrib#ci$n &i c#adrada con #n grado de libertad!- tene%os ,#e si x tiene distrib#ci$n &i c#adrada con n grados de libertad 5 Y es otra variable aleatoria con distrib#ci$n &i c#adrada pero con m grados de libertad 5 estas variables aleatorias son independientes @ tiene ta%bién distrib#ci$n &i c#adrada con grados de libertad n+m. En partic#lar estos dos res#ltados dicen ,#e #na &i c#adrada con n grados de libertad p#de verse co%o #na s#%a de n variables aleatorias en donde cada #na de ellas es el c#adrado de #na nor%al estánda r
E&ercicio 9o%e%os co%o e&e%plo la distrib#ci$n esperada para los individ#os de #na poblaci$n ,#e son clasi/icados segBn gr#po sang#íneo- 6egBn est#dios realizados en poblaci$n" se espera ,#e dic)a distrib#ci$n" en porcenta&es" sea la sig#iente: ●
6ol#ci$n 1. Las h!"#$ss %$& !'&$ma sn* ●
2: los datos se a&#stan a la distrib#ci$n te$rica-
●
7: los datos no se a&#stan a la distrib#ci$n te$rica-
●
2. S,$n% $& $s,$ma $n$'a& %$ s&,"n !'!,$s# !a'a &as !',$as %$ h!"#$ss/ ah'a ''$s!n%$ $&$' ,n n0$& %$ sna"n* Elegi%os entonces al/a12"27- El estadístico de pr#eba será &i8 c#adrado" c#5a /$r%#la es:
●
Debe%os calc#lar las /rec#encias esperadas en n#estro gr#po- 6i aplica%os los porcenta&es esperados a la %#estra de 72 casos pode%os obtener las sig#ientes /rec#encias esperadas 'ei(:
.os grados de libertad de esta tabla se obtienen restando 7 al nB%ero de /ilas" en este caso: gl1871 ?ecorde%os ,#e la /ila del total no se considera para los grados de libertad-
●
. S$ a&,&a $& $s#a%3s# %$ !',$a n &s %a#s %$& $4$m!&
●
5. S$ m!a'a $s#$ 0a&' n $& 0a&' %$ 4-,a%'a% %$ &a #a&a El valor de &i8c#adrado lo b#scare%os con al/a12"27 5 grados de libertad- 6egBn tabla" ese valor es 77"Al co%parar el valor del estadístico de pr#eba '2"G( con el valor de tabla '77"(" ve%os ,#e 2"G se enc#entra a la iz,#ierda de 77" desplazado )acia el centro de la c#rva 5 ,#e" por lo tanto" la probabilidad de valores %a5ores a él es %#5 s#perior al nivel de signi/icaci$n al/a12"27-
●
- Concl#si$n Dado ,#e la probabilidad de es %a5or ,#e al/a" se acepta la )ip$tesis n#la- Esto signi/ica ,#e los datos observados se a&#stan a la distrib#ci$n te$rica" por lo tanto las di/erencias observadas no son estadística%ente signi/icativas-
●
H- 3rá/ico
E>E?CICI 6#ponga%os ,#e #n investigador está interesado en eval#ar la asociaci$n entre #so de cint#r$n de seg#ridad en ve)íc#los partic#lares 5 el nivel socio econ$%ico del cond#ctor del ve)íc#lo- Con este ob&eto se to%a #na %#estra de cond#ctores a ,#ienes se clasi/ica en #na tabla de asociaci$n" encontrando los sig#ientes res#ltados:
●
Per%iten estos datos a/ir%ar ,#e el #so del cint#r$n de seg#ridad depende del nivel socio econ$%icoJ 4sare%os #n nivel de signi/icaci$n al/a12"2-
