FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS A O: 2017 - 2018 MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES
PERIODO: SEGU SEGUND NDO O T RMIN RMINO O PROFESORES: Wilfredo Angulo, Jennifer Avilés, E.
EVA EVALUA LUACI N: PRIMERA
FECHA: 27 NOVIEMBRE 2017
Johni Bustamante, Antonio Chong, Liliana Pérez, Pedro Ramos, Eduardo Rivadeneira, Janet Valdiviezo.
RESOLUCION Y CRITERIOS DE CALIFICACION Tema 1 (16 Puntos) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA, justificando correctamente correctamente sus respuestas. respuestas. Literal a (4 Puntos) Si es la n-ésima suma parcial de la serie
− +5 ∑= +
serie
3
es igual a .
∑=
, entonces el valor de suma de la
Desarrollo: Aplicando propiedad Aplicando propiedad de linealidad:
∑= + ∑= ∑= + ∑= → lim → lim +5− → lim −+ 2. → 0 1 → 1 + + + + → 1 .
La primera serie tiene valor de suma:
Para la segunda serie se utiliza descomposición en fracciones parciales como sigue: ; . Así, De este modo, la segunda serie tiene valor de suma:
.
1 1 1 = 1 ( = ( 1 (1 12) (12 13) (13 14)⋯(1 1 lim (1 (1 1 1) (1 1 1) ⋯ → 1 1) 1
Por lo tanto,
∑= + 3
. La proposición es VERDADERA.
CRITERIO DE CALIFICACION
El estudiante: Aplica propiedad de linealidad. Obtiene el valor de suma de la serie . Obtiene el valor de suma de la serie . Determina el valor de suma de la serie por la que se pregunta. Concluye que la proposición es VERDADERA. TOTAL
∑∑= = +
Elaborado por: Antonio Chong Escobar, Ph.D., coordinador coordinador de la materia.
PUNTAJE 0.5 P 1.0 P 1.0 P 0.5 P 1.0 P 4.0 P
___________________________________________________________________________ Literal b (4 Puntos) es absolutamente convergente. La serie
∑= −√ +
Desarrollo: Se analiza la serie Una forma posible: Desarrollando la serie
∑= −√ + ∑= √ + ∑= √ + √ ∑= √ + ≤ 1
una serie p con valor
.
, se compara
∑= √ +
y por lo tanto divergente. Se calcula
∑= √ + ∑=
∑= /
en el límite con
, la cual es
l→im √ / → lim + 1 L Dado que L es .
finito y positivo, ambas series / son divergentes. Por lo tanto, absolutamente convergente. La proposición es FALSA. CRITERIO DE CALIFICACION El estudiante: Aplica valor absoluto al n-ésimo término de la serie dada. Determina que la serie de términos positivos obtenida es divergente. Concluye que la serie dada no es absolutamente convergente. Concluye que la proposición es FALSA. TOTAL
∑= −√ +
NO es
PUNTAJE 0.5 P 2.0 P 0.5 P 1.0 P 4.0 P
Literal c (4 Puntos) La ecuación diferencial ordinaria donde puede ser transformada en una ecuación lineal que tiene como factor integrante a la función .
′
, ∈ ℝ− −
Desarrollo: La EDO es una ecuación de Bernoulli, que multiplicada por “ ” da como resultado : Usando el cambio de variable:
, se obtiene
Sustituyendo en la EDO se obtiene la ecuación:
′ 2 ∫ ∫ . , con lo cual
.
.
, la cual es lineal y cuya forma canónica está dada
por: . De aquí, su factor integrante es: La proposición es FALSA. CRITERIO DE CALIFICACION El estudiante: Indica el cambio de variable para que la ecuación de Bernoulli se transforme en una EDO lineal. Aplicando el cambio de variable obtiene una EDO lineal. Determina el factor integrante de la EDO lineal. Concluye que la proposición es FALSA. TOTAL
PUNTAJE 1.0 P 1.0 P 1.0 P 1.0 P 4.0 P
Literal d (4 Puntos) La ecuación diferencial ordinaria no es exacta pero existe un factor integrante que depende sólo de la variable que la convierte en exacta.
2 2
Desarrollo: Agrupando términos se obtiene , y se define dos funciones: y . Para determinar si la EDO es exacta se obtienen las derivadas parciales: ,y . Dado que éstas derivadas no son iguales, la EDO no es exacta. Ahora, se usa la expresión para buscar un factor
2 2 0
, 2 , 2 2 2 ∫ − integrante que sólo dependa de la variable , como sigue. ∫ ∫ . Multiplicando la EDO por , las derivadas parciales y son iguales. Por lo tanto, existe un factor integrante que depende sólo de la variable t. La proposición es VERDADERA. CRITERIO DE CALIFICACION El estudiante: Identifica las funciones que son coeficientes de los diferenciales y . A partir del criterio de exactitud verifica que la EDO no es exacta. Obtiene una función que depende sólo de la variable y verifica que es un factor integrante. Concluye que la proposición es VERDADERA. TOTAL
Elaborado por: Antonio Chong Escobar, Ph.D., coordinador de la materia.
PUNTAJE 1.0 P 1.0 P 1.0 P 1.0 P 4.0 P
___________________________________________________________________________ Tema 2 (10 Puntos) a) Deduzca la serie de potencias de y luego obtenga la serie de potencias de . b) Halle el intervalo de convergencia de la serie de potencias de . c) Integrando la función y su serie de potencias determine, de ser posible, el valor de . suma de la serie numérica
arctan
− ∑= ++
Desarrollo: a) Se considera la serie de potencias geométrica
= − " ∑ " + =1 ∫ + ∑=1 ∑ ∫ ∑= −+ arctan arctan ∑=1 + , la cual evaluada en
da como resultado
. Al aplicar la integral, esto es,
, se obtiene
. Finalmente, multiplicando por la variable , la función
por:
está dada
.
CRITERIO DE CALIFICACION El estudiante: Deduce la serie para . Obtiene la serie para . TOTAL
PUNTAJE
arctan
2.0 P 2.0 P 4.0 P
b) Considerando que en la variable se va a sustituir una constante, se aplica el criterio del cociente absoluto
para hallar el intervalo de convergencia de
→
lim
1
→ ++
22 como ∑∞0 ⏟121
sigue:
→ lim + + lim < 1 ≡ || < 1 1 − ∑= + + lim → lim + 0 → 1 ≤ ≤ 1
l→im
. Así, el radio de convergencia es
igual a . Analizando los extremos del intervalo, se tiene que tanto para numérica resultante es: . Esta es una serie alternada con de decreciente y positiva. Además, puesto que convergente. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es:
1
como para , la serie , la cual satisface las condiciones
, entonces la serie alternada es
.
CRITERIO DE CALIFICACION El estudiante: Obtiene el radio de convergencia. Analiza la convergencia de los extremos del intervalo obtenido y determina el intervalo de convergencia. TOTAL
PUNTAJE 1.5 P 1.5 P
3.0 P
= −+ ∑ , se realiza y su serie de potencias, esto es, ∫ arctan ∫ − . integración por partes para la integral de la izquierda: arctan arctan ∑ = ++ Contrastando la serie de éste resultado, con la serie numérica para la cual se pide su valor de suma, se observa − ∑= ++ que para hallar dicho valor de suma se debe sustituir 1 debido a que el intervalo de convergencia para 1 1 1 − arctan1 − arctan1 ∑= −− → ∑= − ++ ++
c) Al integrar la función
en la serie
la serie que se obtiene de la integral de
incluye a también incluye a
CRITERIO DE CALIFICACION El estudiante: Integra la función y su serie de potencias. Determina el valor a sustituir en la integral de la función potencias a fin de hallar el valor de suma que se pide. Obtiene el valor de suma que se pide. TOTAL
Elaborado por: Antonio Chong Escobar, Ph.D., coordinador de la materia.
. Tal reemplazo es válido
, y por ello el intervalo de convergencia para . Sustituyendo se obtiene: .
PUNTAJE
y la integral de su serie de
1.5 P 0.5 P 1.0 P 3.0 P
___________________________________________________________________________ Tema 3 (8 Puntos) Determine la solución del problema de valor inicial:
ln ; 1 1
Desarrollo: Se re-escribe la EDO para obtener:
ln ln 1 ln → → ln1 ln1 ln ln ln ln , ∈ ℝ ln ln , ∈ ℝ ln1 1 1 1 1ln1 ln ln 1
Esta EDO es homogénea y se realiza el cambio de variable: Sustituyendo en la ecuación se obtiene:
.
Sustituyendo para expresar la solución en términos de las variables originales, se obtiene la familia mono paramétrica de soluciones: Para hallar el valor de la constante , se sustituye
:
Finalmente, la solución del problema de valor inicial está dada por:
CRITERIO DE CALIFICACION El estudiante: Resuelve la EDO indicando claramente los cambios de variable utilizados y la familia mono paramétrica de soluciones obtenida en términos de las variables originales. Determina la constante de integración. Indica la solución del problema de valor inicial. TOTAL
Elaborado por: Antonio Chong Escobar, Ph.D., coordinador de la materia.
PUNTAJE 5.0 P 2.0 P 1.0 P 8.0 P
___________________________________________________________________________ Tema 4 (8 Puntos) Considere que la tasa a la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del ambiente, donde esta última se considera constante. Si una barra metálica, con temperatura inicial de 20 , cae en un recipiente de agua hirviendo, y se conoce que la temperatura de la barra aumenta 2 en un segundo, obtenga una expresión para la temperatura de la barra para cualquier instante t, y además determine cuánto tiempo debe transcurrir desde que la barra cae en el recipiente a fin de que alcance una temperatura de 97 .
℃℃
℃
Desarrollo: Se define la función incógnita del problema: Temperatura de la barra metálica a los t segundos . Modelo matemático a ser usado: , donde es la temperatura del ambiente. Dado que la proceso de transferencia de calor se considera desde el instante en el que la barra metálica ingresa al agua hirviendo, lo cual se va a considerar que ocurre a los , el agua hirviendo es el medio en el que se desarrolla el proceso. Por lo tanto, . Además, de acuerdo a las condiciones dadas se tiene el siguiente problema: . Resolviendo la ecuación diferencial:
T:
[℃]
100℃ 100℃ 100 , 0 20℃ ,1 22℃ , ? 97℃ T 100 T 100 T 100 ln 100 , ∈ ℝ + 100 100 100, ∈ ℝ 100 20 → 80 0 20℃ 10080, ∈ ℝ 1 22℃ [℃] 10080 22→ 10080 97℃ ? 97℃ → 100 80 97 → Sustituyendo la condición inicial: , con lo cual Sustituyendo la condición:
:
:
. Así, la solución del problema está dada por: Finalmente, se halla el tiempo para que la temperatura de la barra alcance los
:
[s].
CRITERIO DE CALIFICACION PUNTAJE El estudiante: Define la función incógnita del problema. 1.0 P Plantea el modelo matemático a ser usado, indicando la temperatura del ambiente, la 2.0 P condición inicial, la condición adicional. Resuelve la ecuación diferencial, obteniendo una solución en términos de la constante de 2.0 P integración y de la constante de proporcionalidad. Halla la constante de integración. 0.5 P Halla la constante de proporcionalidad. 0.5 P 1.0 P Indica la función de temperatura buscada y la unidad en la que está dada, esto es, . 1.0 P Obtiene el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura de la barra alcance los . TOTAL 8.0 P
℃ 97℃
Elaborado por: Antonio Chong Escobar, Ph.D., coordinador de la materia.
___________________________________________________________________________ Tema 5 (8 Puntos) Encuentre la solución del siguiente problema de valor inicial, usando el cambio de variable , con lo cual el problema puede ser resuelto primero para .
2 2 20 1, 20 0 0, ∈ [0,∞,
Desarrollo: Para aplicar el cambio de variable
, el cual implica que
Sustituyendo el cambio de variable
, y las expresiones para
y como sigue:
1 2 2 2 0
, se deben deducir las expresiones para
y
, la EDO se transforma en la siguiente
ecuación de Cauchy-Euler: Se conoce que estas ecuaciones se transforman en ecuaciones de coeficientes constantes al realizar el cambio de variable: , con lo que cual .
ln → −
Además, se debe deducir las expresiones que van a sustituir a
y como sigue:
− () () () (− ) − − − − −
Sustituyendo las expresiones para ,
,
se obtiene:
− − 2 0 → 2 0 → 2 0
Para resolver una ecuación lineal homogénea de coeficientes constantes se plantea la solución es una constante que debe ser hallada. Además, y . Sustituyendo la solución planteada y sus derivadas en la ecuación se obtiene:
donde r
2 0 → 2 0 → √ 2 √ 2 Así,para 2el caso 0 →de soluciones reales diferentes para se puede verificar que las dos soluciones obtenidas son −√ linealmente independientes, es decir, las soluciones: √ , La solución general está dada por la combinación lineal: −√ , ∈ ℝ √ √ −√ ,, ∈ ℝ Expresando esta solución en términos de se obtiene: , , ∈ ℝ Por lo tanto, regresando a la variable se obtiene: 2√ 2−√ ,, ∈ ℝ. Para calcular las constantes y se sustituye las condiciones iniciales en y en su derivada como sigue: √ 2 2√ − √ 2 2−√ − ′00 10 2√ 2√ 2 √ −2 −√ √ 221 −√ − 0 Multiplicando la segunda ecuación por y sumando el resultado con la primera ecuación se obtiene: 2−√ − √ luego sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene: 2√ − . Finalmente, la solución del problema de valor inicial está dado por: 2−√ − 2√ 2√ − 2−√ Ecuación Auxiliar:
y
.
y
.
.
: :
,
.
CRITERIO DE CALIFICACION El estudiante: Aplica el cambio de variable , deduciendo las sustituciones para y . Realiza un segundo cambio de variable para transformar la ecuación de Cauchy-Euler en una ecuación de coeficientes constantes, deduciendo las sustituciones para y . Plantea la solución de la ecuación de coeficientes constantes obtenida y halla las soluciones de la ecuación auxiliar. Obtiene la solución de la ecuación de coeficientes constantes en términos de la variable . Indica la solución en términos de la variable y luego en términos de la variable . Halla las constantes y de la solución general. Indica la solución del problema de valor inicial. TOTAL
2
′
Elaborado por: Antonio Chong Escobar, Ph.D., coordinador de la materia.
PUNTAJE 1.0 P 2.0 P 1.0 P 1.0 P 1.0 P 1.0 P 1.0 P 8.0 P
