El principio de Arquímedes es un principio físico que arma que: «Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un uido uido en en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso peso del del volumen del uido que desaloja» Esta " fuer!a recibe el nombre de empuje hidrostático o de#rquímedes de#rquímedes,, $ se mide en ne%tons ne%tons &en &en el '(U '(U) ) El principio de #rquímedes se formula así:
*onde E es el empuje empuje , , ρf es es la densidad densidad del del uido, V el el «volumen de uido despla!ado» por alg+n cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo, g la aceleracin de la gravedad $ m la masa masa,, de este modo, el empuje depende de la densidad del uido, del volumen del cuerpo $ de la gravedad e-istente en ese lugar lugar El empuje & en condiciones normales . y descrito de modo simplifcado / ) act+a verticalmente hacia arriba $ est0 aplicado en el centro de gravedad del gravedad del uido desalojado por el cuerpo1 este punto recibe el nombre de centro de carena carena 2istoria 3a an4cdota an4cdota m0s m0s conocida sobre #rquímedes #rquímedes,, matem0tico griego, griego , cuenta cmo invent un m4todo para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular *e acuerdo a 5itruvio 5itruvio,, arquitecto arquitecto de de la antigua 6oma, 6oma, una nueva corona con forma de corona triunfal había triunfal había sido fabricada para2iern para 2iern ((,, tirano (( tirano gobernador gobernador de 'iracusa 'iracusa,, el cual le pidi a #rquímedes determinar si la corona estaba hecha de oro oro slido slido o si un orfebre orfebredeshonesto deshonesto le había agregado plata plata7 #rquímedes tenía que resolver el problema sin da8ar la corona, así que no podía fundirla $ convertirla en un cuerpo regular para calcular su densidad densidad 9ientras tomaba un ba8o, not que el nivel de agua subía en la tina tina cuando cuando entraba, $ así se dio cuenta de que ese efecto podría usarse para determinar el volumen volumen de de la corona *ebido a que la compresin del agua sería despreciable, la corona, al ser sumergida, despla!aría una cantidad de agua igual a su propio volumen #l dividir la masa de la corona por el volumen de agua despla!ada, se podría obtener la densidad de la corona 3a densidad de la corona sería menor si otros metales m0s baratos $ menos densos le hubieran sido a8adidos Entonces, #rquímedes sali corriendo desnudo desnudo por por las calles, tan emocionado estaba por su descubrimiento para recordar vestirse, gritando ; ;; &en griego antiguo: antiguo : ;?@ABCD; que significa ;<3o he encontrado>); 3a historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidos de #rquímedes, pero en su tratado Sobre los cuerpos otantes 4l da el principio de hidrost0tica hidrost0tica conocido conocido como el principio de #rquímedes Este plantea que todo cuerpo sumergido en un uido e-perimenta un empuje vertical $ hacia arriba igual al peso del volumen de uido desalojado es decir dos cuerpos que se sumergen en una supercie &ej:agua), $ el m0s denso o el que tenga
compuestos m0s pesados se sumerge m0s r0pido, es decir, tarda menos tiempo, aunque es igual la distancia por la cantidad de volumen que tenga cada cuerpo sumergido F
Demostración #unque el principio de #rquímedes fue introducido como principio, de hecho puede considerarse un teorema demostrable a partir de las ecuaciones de GavierH'to=es para un uido en reposo, mediante el teorema de 'to=es &igualmente el principio de #rquímedes puede deducirse matem0ticamente de las ecuaciones de Euler para un uido en reposo que a su ve! pueden deducirse generali!ando las le$es de Ge%ton a un medio continuo) Iartiendo de las ecuaciones de GavierH'to=es para un uido:
&") 3a condicin de que el uido incompresible que est4 en reposo implica tomar en la ecuacin anterior , lo que permite llegar a la relacin fundamental entre presin del uido, densidad del uido $ aceleracin de la gravedad: &.) # partir de esa relacin podemos reescribir f0cilmente las fuer!as sobre un cuerpo sumergido en t4rminos del peso del uido desalojado por el cuerpo Juando se sumerge un slido K en un uido, en cada punto de su supercie aparece una fuer!a por unidad de superce perpendicular a la supercie en ese punto $ proporcional a la presin del uido p en ese punto 'i llamamos al vector normal a la supercie del cuerpo podemos escribir la resultante de las fuer!as sencillamente mediante el teorema de 'to=es de la divergencia:
&/)
*onde la +ltima igualdad se da slo si el u ido es incompresible
Prisma recto Iara un prisma recto de base Ab $ altura H, sumergido en posicin totalmente vertical, la demostracin anterior es realmente elemental Ior la conguracin del prisma dentro del uido las presiones sobre el 0rea lateral slo producen empujes hori!ontales que adem0s se anulan entre sí $ no contribu$en a sustentarlo Iara las caras superior e inferior, puesto que todos sus puntos est0n sumergidos a la misma profundidad, la presin es constante $ podemos usar la relacin Fuerza K presión - Área $ teniendo en cuenta la resultante sobre la cara superior e inferior, tenemos: &7) *onde es la presin aplicada sobre la cara inferior del cuerpo, es la presin aplicada sobre la cara superior $ # es el 0rea pro$ectada del cuerpo Leniendo en cuenta la ecuacin general de la hidrost0tica, que establece que la presin en un uido en reposo aumenta proporcionalmente con la profundidad: &) (ntroduciendo en el +ltimo t4rmino el volumen del cuerpo $ multiplicando por la densidad del fluido A vemos que la fuer!a vertical ascendente F V es precisamente el peso del uido desalojado &) El empuje o fuer!a que ejerce el líquido sobre un cuerpo, en forma vertical $ ascendente, cuando 4ste se halla sumergido, resulta ser tambi4n la diferencia entre el peso que tiene el cuerpo suspendido en el aire $ el ;peso; que tiene el mismo cuando se lo introduce en un líquido # 4ste +ltimo se lo conoce como peso ;aparente; del cuerpo, pues su peso en el líquido disminu$e ;aparentemente;1 la fuer!a que ejerce la Lierra sobre el cuerpo permanece constante, pero el cuerpo, a su ve!, recibe una fuer!a hacia arriba que disminu$e la resultante vertical