UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONA L DEL ALTIPLANO ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
EXPERIMENTO N° 04 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES I.
OBJETIVOS
•
Comprobar experimentalmente el principio de Arquímedes.
•
Determinar la densidad del líquido (agua y aceite) de manera experimental.
•
Determinar la densidad del cilindro.
II.
FUNDAMENTO TE TEORICO El principio de Arquímedes establece que el empuje que experimenta un objeto completa o parcialmente sumergido en un fluido es igual al peso del fluido desplazado por el objeto.
E= mf g = ρ f Vg
Donde
ρf
es la densidad del fluido fluido ! es el "olumen sumergido sumergido del objeto y g es la aceleraci#n aceleraci#n de la
gra"edad.
El "olumen sumergido es igual al $rea de la secci#n A multiplicado por la altura sumergida %. el empuje boyante puede describirse como&
E= ρf ( Ah Ah ) g 'i el objeto se "a sumergiendo en el fluido mientras se est$ midiendo el empuje la pendiente de E frente a % es proporcional a la densidad del fluido. a explicaci#n del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en las figuras& . El estudio estudio de las las fuerzas fuerzas sobre sobre una porci#n porci#n de de fluido fluido en equilibrio equilibrio con el resto resto del del fluido. fluido. *. a sustituci# sustituci#nn de dic%a dic%a porci#n porci#n de fluido fluido por un un cuerpo cuerpo s#lido de la misma misma forma forma y dimensione dimensiones. s.
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Porción d !"#ido n $#i"i%rio con " r&'o d" !"#ido. Consideremos en primer lugar las fuerzas sobre una porci#n de fluido en equilibrio con el resto de fluido. a fuerza que ejerce la presi#n del fluido sobre la superficie de separaci#n es igual a p·dS donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie. +uesto que la porci#n de fluido se encuentra en equilibrio la resultante de las fuerzas debidas a la presi#n se debe anular con el peso de dic%a porci#n de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicaci#n es el centro de masa de la porci#n de fluido denominado centro de empuje.
S &'i'#( ") *orción d !"#ido *or #n c#r*o &ó"ido d ") +i&+) !or+) ( di+n&ion&. 'i sustituimos la porci#n de fluido por un cuerpo s#lido de la misma forma y dimensiones. as fuerzas debidas a la presi#n no cambian por tanto su resultante que %emos denominado empuje es la misma y act,a en el mismo punto denominado centro de empuje. o que cambia es el peso del cuerpo s#lido y su punto de aplicaci#n que es el centro de masa que puede o no coincidir con el centro de empuje.
+or tanto sobre el cuerpo act,an dos fuerzas& el empuje y el peso del cuerpo que no tienen en principio el mismo "alor ni est$n aplicadas en el mismo punto. En los casos m$s simples supondremos que el s#lido y el fluido son %omog-neos y por tanto coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.
'upongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de densidad ρf . El $rea de la base del cuerpo es A y su altura h.
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a presi#n debida al fluido sobre la base superior es p1 ρf gx y la presi#n debida al fluido en la base inferior es p 2 ρf g( x+h). a presi#n sobre la superficie lateral es "ariable y depende de la altura est$ comprendida entre p1 y p 2. as fuerzas debidas a la presi#n del fluido sobre la superficie lateral se anulan. as otras fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes& •
+eso del cuerpo mg
•
/uerza debida a la presi#n sobre la base superior p1·A
•
/uerza debida a la presi#n sobre la base inferior p 2·A
En el equilibrio tendremos que
mg + p 1 · A = p 2 · A
mg + ρ f gx·A = ρ f g ( x + h ) · A
o bien
mg= ρ f h·Ag Como la presi#n en la cara inferior del cuerpo p 2 es mayor que la presi#n en la cara superior p1 la diferencia es ρ f gh . El resultado es una fuerza %acia arriba ρ f gh·A
sobre el cuerpo debida al fluido que le rodea.
Como "emos la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presi#n entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido. Con esta explicaci#n surge un problema interesante y debatido. 'upongamos que un cuerpo de base plana (cilíndrico o en forma de paralepípedo) cuya densidad es mayor que la del fluido descansa en el fondo del recipiente. 'i no %ay fluido entre el cuerpo y el fondo del recipiente 0desaparece la fuerza de empuje1 tal como se muestra en la figura
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'i se llena un recipiente con agua y se coloca un cuerpo en el fondo el cuerpo quedaría en reposo sujeto por su propio peso mg y la fuerza p1 A que ejerce la columna de fluido situada por encima del cuerpo incluso si la densidad del cuerpo fuese menor que la del fluido. a experiencia demuestra que el cuerpo flota y llega a la superficie. El principio de Arquímedes sigue siendo aplicable en todos los casos y se enuncia en muc%os textos de /ísica del siguiente modo& Cuando un cuerpo est$ parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le rodea una fuerza de empuje act,a sobre el cuerpo. Dic%a fuerza tiene direcci#n %acia arriba y su magnitud es igual al peso del fluido que %a sido desalojado por el cuerpo.
Enr,-) *o'nci)" +-ni+). En este apartado se estudia el principio de Arquímedes como un ejemplo de c#mo la 3aturaleza busca minimizar la energía.
'upongamos un cuerpo en forma de paralepípedo de altura h secci#n A y de densidad ρs. El fluido est$ contenido en un recipiente de secci#n S %asta una altura b. a densidad del fluido es ρf 4 ρs. 'e libera el cuerpo oscila %acia arriba y %acia abajo %asta que alcanza el equilibrio flotando sobre el líquido sumergido una longitud x . El líquido del recipiente asciende %asta una altura d . Como la cantidad de líquido no %a "ariado
S·b = S·d − A·x
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6ay que calcular x de modo que la energía potencial del sistema formado por el cuerpo y el fluido sea mínima. 7omamos el fondo del recipiente como ni"el de referencia de la energía potencial. El centro de masa del cuerpo se encuentra a una altura
d − x + h / 2 . 'u energía potencial
es E s =( ρ s · A·h) g ( d − x + h / 2 )
+ara calcular el centro de masas del fluido consideramos el fluido como una figura s#lida de secci#n S y altura d a la que le falta una porci#n de secci#n A y altura x .
S·d es d / 2
•
El centro de masas de la figura completa de "olumen
•
El centro de masas del %ueco de "olumen A·x, est$ a una altura
(d − x / 2 )
a energía potencial del fluido es E f = ρ f ( Sb ) g · y f
= + a energía potencial total es E p E s E f
El "alor de la constante aditi"a cte depende de la elecci#n del ni"el de referencia de la energía potencial.
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En la figura se representa la energía potencial E p ( x )
para un cuerpo de altura
h =1.0
densidad ρ s =0.4, parcialmente sumergido en un líquido de densidad ρ f =1.0 .
a funci#n presenta un mínimo que se calcula deri"ando la energía potencial con respecto de x e igualando a cero
En la posici#n de equilibrio el cuerpo se encuentra sumergido
Enr,-) *o'nci)" d #n c#r*o $# & +# n " &no d #n !"#ido
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Cuando un globo de %elio asciende en el aire act,an sobre el globo las siguientes fuerzas& •
El peso del globo F g= – mg j .
•
El empuje F e =r f Vg j , siendo r f la densidad del fluido (aire).
•
a fuerza de rozamiento F r debida a la resistencia del aire
Dada la fuerza conser"ati"a podemos determinar la f#rmula de la energía potencial asociada integrando
•
= = a fuerza conser"ati"a peso F g – mg j est$ asociada con la energía potencial E g mg·y .
•
= +or la misma raz#n la fuerza conser"ati"a empuje F e rVg j
est$ asociada a la energía
=−r f Vg·y . potencial E e Dada la energía potencial podemos obtener la fuerza conser"ati"a deri"ando
a energía potencial asociada con las dos fuerzas conser"ati"as es
E p =( mg−r f Vg ) y
A medida que el globo asciende en el aire con "elocidad constante experimenta una fuerza de rozamiento F r debida a la resistencia del aire. a resultante de las fuerzas que act,an sobre el globo debe ser cero.
r f Vg − mg − F r =0 Como r fV g> mg a medida que el globo asciende su energía potencial E p disminuye. Empleando el balance de energía obtenemos la misma conclusi#n
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El trabajo de las fuerzas no conser"ati"as Fnc modifica la energía total (cin-tica m$s potencial) de la partícula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negati"o y la energía cin-tica E ; no cambia ("elocidad constante) concluimos que la energía potencial final E p< es menor que la energía potencia inicial E pA. En la p$gina titulada =mo"imiento de un cuerpo en el seno de un fluido ideal= estudiaremos la din$mica del cuerpo y aplicaremos el principio de conser"aci#n de la energía.
Enr,-) *o'nci)" d #n c#r*o *)rci)"+n' +r,ido En el apartado anterior estudiamos la energía potencial de un cuerpo totalmente sumergido en un fluido (un globo de %elio en la atm#sfera). A%ora "amos a suponer un bloque cilíndrico que se sit,a sobre la superficie de un fluido (por ejemplo agua). +ueden ocurrir dos casos& •
•
>ue el bloque se sumerja parcialmente si la densidad del cuerpo s#lido es menor que la densidad del fluido r s? r f. >ue el cuerpo se sumerja totalmente si r s@ r f.
Cuando el cuerpo est$ parcialmente sumergido sobre el cuerpo act,an dos fuerzas el peso mgr sSh·g que es constante y el empuje r fS x·g que no es constante. 'u resultante es
F =(− rsShg + r f Sxg ) j .
Donde S el $rea de la base del bloque h la altura del bloque y x la parte del bloque que est$ sumergida en el fluido. 7enemos una situaci#n an$loga a la de un cuerpo que se coloca sobre un muelle el$stico en posici#n "ertical. a energía potencial gra"itatoria mgy del cuerpo disminuye la energía potencial el$stica del muelle kx 2 /2 aumenta la suma de ambas alcanza un mínimo en la posici#n de equilibrio cuando se cumple mg+kx B cuando el peso se iguala a la fuerza que ejerce el muelle.
El mínimo de E p se obtiene cuando la deri"ada de E p respecto de y es cero es decir en la posici#n de equilibrio.
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a energía potencial del cuerpo parcialmente sumergido ser$ de forma an$loga
El mínimo de E p se obtiene cuando la deri"ada de E p respecto de y es cero es decir en la posici#n de equilibrio
+ = cuando el peso se iguale al empuje. - rsShg r f Sxg 0
El bloque permanece sumergido una longitud x . En esta f#rmula se %a designado r como la densidad relati"a del s#lido (respecto del fluido) es decir la densidad del s#lido tomando la densidad del fluido como la unidad.
F#r/)& &o%r " %"o$# .
Cuando r < o bien r s? r f el cuerpo permanece parcialmente sumergido en la situaci#n de equilibrio.
*.
Cuando r > o bien r s4 r f el peso es siempre mayor que el empuje la fuerza neta que act,a sobre el bloque es
F y =−rsShg + r f Shg < 0 . 3o existe por tanto posici#n de equilibrio el bloque cae %asta que llega al fondo del recipiente que supondremos muy grande. 3.
Cuando r = o bien r s r f El peso es mayor que el empuje mientras el bloque est$ parcialmente sumergido ( x
F y =−r Shg + r Sxg < 0 .
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a fuerza neta que act,a sobre el bloque cuando est$ completamente sumergido ( x³ h) es cero y cualquier posici#n del bloque completamente sumergido en el seno del fluido es de equilibrio.
C#r)& d nr,-) *o'nci)" .
a energía potencial correspondiente a la fuerza conser"ati"a peso es
E g =r sShgy *.
a energía potencial correspondiente a la fuerza de empuje tiene dos partes
•
ientras el cuerpo est$ parcialmente sumergido ( x
>ue corresponde al $rea del tri$ngulo de la figura de la izquierda. •
Cuando el cuerpo est$ totalmente sumergido ( x³ h)
>ue corresponde a la suma del $rea de un tri$ngulo de base h y la de un rect$ngulo de base x-h. 2. a energía potencial total es la suma de las dos contribuciones
E p = E g + E f Cuando la densidad del s#lido es igual a la del fluido r s r f la energía potencial total E p es constante e independiente de x (o de y ) para x³ h como puede comprobarse f$cilmente. FFF.
MATERIAES +$gina B
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• • • • • • • • •
IV.
PROCEDIMIENTOS PARTE I1 CONFI2URACI3N DE ORDENADOR •
Conecte el interfaz de S!"#"$%rksh%p al ordenador encienda el interfaz y el ordenador.
•
Conecte la cla"ija Din del 'ensor de fuerza al Canal anal#gica JAK del interfaz.
PARTE II1 CAIBRADO DE SENSOR MONTAJE DE EQUIPO onte el 'ensor de fuerza en un soporte %orizontal con el enganc%e %acia abajo. Empleando el calibre mida el di$metro del cilindro met$lico. A partir de di$metro calcule el radio y el $rea de la base. Anote el $rea en la tabla de datos de la secci#n Fnforme de aboratorio. Gecuerde&
A = πR
Cuelgue el cilindro met$lico en el enganc%e del 'ensor de fuerza con un %ilo. El fondo del cilindro debe tocar el agua. 'it,e la regla graduada al lado del gato. Lbser"e la altura inicial del dispositi"o ele"ador.
IV.5.ESQUEMA DE PROCEDIMIENTO El esquema del experimento es como se muestra en la figura () se muestra el diagrama de fuerzas que act,an sobre el bloque sumergido en el líquido (agua y aceite).
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IV.6.DATOS EXPERIMENTAES os datos a considerar en el experimento son los siguientes&
CIINDRO 7CONTENIDO DE A2UA81 T)%") 75.)8 VAOR P&o d" ci"indro 7N8
B.8 3
Di9+'ro 7+8
B.B2 m
A"'#r) 7+8
B.B: m
R)dio 7+8
B.B m
:r) d ") %)& 7+68
B.BB25
m
2
CIINDRO 7CONTENIDO DE ACEITE81 T)%") 76.%8 VAOR P&o d" ci"indro 7N8
.B* 3
Di9+'ro 7+8
B.B2 m
+$gina *
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A"'#r) 7+8
B.B: m
R)dio 7+8
B.B m
:r) d ") %)& 7+68
B.BB25
m
2
+ara poder calcular la densidad del líquido calcularemos la tensi#n en la cuerda y la profundidad a la que es sumergido el cilindro estos datos las registraremos en la tabla *.
T)%") 6.) A2UA 3M
7ensi#n (7)
+rofundidad (%)
Empuje (JEK)
B.: 3
B.BB89 m
B.BBB 3
*
B.B 3
B.B:* m
B.BB8 3
2
B.:2 3
B.B:8 m
B.BB** 3
5
B.:B 3
B.B*255 m
B.BB*8 3
8
B.95 3
B.B*2 m
B.BB2 3
9
B.9 3
B.B289 m
B.BB25 3
:
B.89 3
B.B5B* m
B.BB2 3
B.8B 3
B.B59 m
B.BB58 3
B.59 3
B.B8*:5 m
B.BB5 3
B
B.52 3
B.B89 m
B.BB8* 3
T)%") 6.% ACEITE 3M
7ensi#n (7)
+rofundidad (%)
Empuje (JEK)
B.8 3
B.BB m
B.BBB: 3
*
B.* 3
B.Bm
B.BB 3
2
B.5 3
B.B9 m
B.BB 3
+$gina 2
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5
B.: 3
B.B* m
B.BB*2 3
8
B.:5 3
B.B*5 m
B.BB* 3
9
B.99 3
B.B* m
B.BB29 3
:
B.8 3
B.B2* m
B.BB55 3
B.88 3
B.B29 m
B.BB5: 3
B.5 3
B.B5 m
B.BB85 3
B
B.58 3
B.B55 m
B.BB8: 3
+$gina 5