RELACIONES ENTRE FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS TRABAJO EXTERNO Y ENERGIA DE DEFORMACION
GENERALIDADES: El cálculo de deformaciones elásticas es de gran importancia en el análisis, proyecto y construcción de estructuras. Por ejemplo: para escoger los tamaños de vigas en edificios tomamos en consideración para su diseño las deformaciones permisibles establecidas en las Normas de cada país. Estas deformaciones pueden ser desplazamientos lineales y desplazamientos angulares respecto a sus posiciones iniciales. Se han desarrollado varios métodos para el calculo de deformaciones elásticas. Entre ellos podemos citar, para estructuras Isostáticas: los métodos geométricos como área-momento y viga conjugada; métodos de energía como Trabajo virtual y primer Teorema de Castigliano. Para estructuras indeterminadas tenemos: Analogía de la columna, Método de las Fuerzas o Flexibilidades, Método de los Desplazamientos o de las Rigideces, Método de Cross, Método de Kani, Método del Portal, Método del Voladizo, entre otros. Esta unidad estudia los métodos de energía, específicamente el Principio de los Desplazamientos Virtuales en cuerpos rígidos para el calculo de las reacciones; y el Método de Trabajo Virtual (Carga Unitaria) en cuerpos deformables para cerchas, vigas y pórticos. Definiremos unos conceptos básicos importantes para las bases teóricas de este método. Definición de Conceptos: Principio de la conservación de energía: energía : Establece que el trabajo hecho por todas las fuerzas externas que actúan sobre una estructura (W e), se transforma en trabajo interno de energía de deformación (U i) que se desarrolla cuando la estructura se deforma. Si no se excede el limite elástico del material, la energía de deformación elástica llevara la estructura a su estado no deformado cuando las cargas se retiren. Trabajo externo: externo: Por una fuerza; fuerza; se produce cuando la fuerza F sufre un desplazamiento dx en la misma dirección que la fuerza, se 1
x
expresa como: W e
=
∫ F dx 0
=
2
F Δ
Debido a un momento; momento; se define como el producto de la magnitud del momento M y el ángulo 1
x
como: W e
=
∫ M d θ θ 0
=
, expresamos
M θ θ
2
Energía de deformación: deformación: Fuerza axial ; cuando una fuerza axial N se aplica gradualmente a la barra como se muestra en la figura 2, el material se deformara en forma tal que el trabajo externo hecho por N se convertirá en energía de deformación que se almacena en la barra. Si el material es elástico lineal, entonces la deflexión final es: Δ
NL =
AE
como We = U i
2
entonces U i
N L =
2 AE
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Flexión; Flexión; considere la viga mostrada en la figura 3, que es deformada por la carga gradualmente aplicada P. Esta fuerza genera un momento interno M en la viga en una sección localizada a una distancia x distancia x del apoyo izquierdo. θ La rotación resultante del elemento diferencial dx, es d θ L
U i
=
∫ 0
M =
EI
, entonces la energía de deformación de la viga es:
2
M dx 2 EI
Desplazamiento virtual : Es un desplazamiento hipotético, ya sea finito o infinitesimal, de punto o sistema de puntos sobre un cuerpo rígido en equilibrio tal que las ecuaciones de equilibrio del cuerpo no se violan. Cuerpo rígido: rígido: Un cuerpo se supone rígido cuando los movimientos relativos entre sus partes son despreciables. La Estática estudia los cuerpos en reposo considerándolos perfectamente rígidos. Cuerpos deformables: deformables: Un cuerpo donde se consideran las posibles deformaciones causadas por las cargas externas, estas deformaciones son muy pequeñas y no afectan apreciablemente las condiciones de equilibrio, pero son importantes cuando se tiene en cuenta la resistencia de la estructura a las fallas. La Resistencia de Materiales estudia los cuerpos deformables. PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES Este principio, originado y usado por Johann Bernoulli en 1717, es la base del Método del Trabajo Virtual. Se introduce un pequeño desplazamiento virtual compatible con sus ligaduras en un sistema ideal en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas; el trabajo realizado por todas las fuerzas activas es igual a cero. Por sistema ideal, se entiende un sistema de cuerpos rígidos unidos y soportados rígidamente y sin fricción, en tal forma que no se almacene ni se disipe energía durante un pequeño desplazamiento. Si el sistema esta en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas, no se puede tener lugar realmente a ningún desplazamiento, y ningún trabajo puede ser realizado por las fuerzas. Sin embargo, puede suponerse que se produce un desplazamiento virtual, este desplazamiento no tiene ninguna relación con el desplazamiento real del cuerpo; solamente sirve como una técnica para la solución de problemas de equilibrio. Este desplazamiento virtual no tiene valor finito, pues de lo contrario podría causar algún desplazamiento en las líneas de acción de las fuerzas, haciendo que el sistema dejara de estar en equilibrio; por lo tanto se considera de valor despreciable y se acostumbra a llamarlos δ s y δθ para diferenciarlos de los θ . desplazamientos reales infinitesimales ds y d θ Los desplazamientos virtuales deben escogerse de forma tal que sean compatibles con las ligaduras o apoyos del sistema, para que estos desplazamientos ocurran la estructura debe estar en una forma inestable. Ver figura 4
Una fuerza activa produce trabajo, es decir si ocurre un desplazamiento en la dirección de la fuerza se produce trabajo; y es positivo si es la misma dirección, de lo contrario el trabajo será negativo. El trabajo realizado por una fuerza F fuerza F se se expresa como: W Fs cosθ donde s donde s se refiere al desplazamiento, F desplazamiento, F la la fuerza activa y θ el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Mientras que el trabajo realizado por un momento o par M se define como el producto de la magnitud del momento por la magnitud del desplazamiento angular Φ. =
W
=
M φ φ
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El trabajo de una fuerza es positivo cuando el desplazamiento tiene el mismo sentido que la fuerza; al igual ocurre con el trabajo de un momento, es positivo cuando el desplazamiento angular tiene el mismo sentido que el momento. Si el cuerpo rígido con fuerzas F aplicadas gira un pequeño Angulo α, la componente de desplazamiento de cualquier punto paralelo al eje x eje x será y será yα y de un punto paralelo al eje y eje y será x será xα. Por lo tanto el trabajo total hecho por las fuerzas F fuerzas F y y los momentos M será: M será:
M ⋅ α + ∑ P ⋅ yα + ∑ P ⋅ xα = 0 ∑ M ⋅ x
y
Es importante que esta ecuación sea expresada en función del desplazamiento lineal o del desplazamiento angular para que de esta forma se pueda despejar la reacción incógnita. El Principio de los Desplazamientos Virtuales puede enunciarse como sigue: “Dado un cuerpo rígido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas y/o pares, el trabajo virtual total efectuado por este sistema de fuerzas y/o pares durante un desplazamiento es cero”
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