UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA XIX CURSO DE ACTUALIZACION DE INGENIERIA ELECTRONICA
Curso: Ingeniería de Control Solucionario y problemas propuestos # 01 Profesor: Ing. CRUZ RAMIREZ, Armando Pedro
2011
Problema Nº01 Determinar una ecuación diferencial para modelar el sistema figura
que se muestra en la
Resolución: De la figura, se obtiene lo siguiente:
Hacemos uso de las Transformadas de Laplace para hallar la Función de Transferencia
Problema Nº02 Determinar una ecuación integro-diferencial para modelar el sistema que se muestra en la figura.
Resolución: Ecuación Integro Diferencial
Aplicando Transformada de Laplace:
Problema Nº03 Determinar una ecuación integro-diferencial para modelar el sistema de la figura, utilizando v (t) como la variable dependiente. Suponer que el rozamiento por deslizamiento es viscoso (usar también x (t)).
Resolución: De la figura, se obtiene la siguiente ecuación integro diferencial:
Aplicando Transformada de Laplace:
La función de transferencia es:
Problema Nº04 Suponer que el sistema de la figura, esta flotando en el espacio (no hay rozamiento ni gravedad) y determinar un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales para modelar el sistema.
Resolución: Para el bloque de masa
Transformada de Laplace:
:
Para el bloque de masa
:
Transformada de Laplace:
Para el bloque de masa
:
Transformada de Laplace:
Problema Nº05 Escribir un conjunto de ecuaciones para describir el sistema de la figura. Suponer que la posiciones de referencia para , , , e se establecen en el equilibrio con .
Resolución: Graficando las fuerzas aplicadas al sistema:
Para el bloque de masa
:
Aplicando Transformada de Laplace:
Para el bloque de masa
:
Aplicando Transformada de Laplace:
Para el bloque de masa
:
Aplicando Transformada de Laplace:
Para el punto de aplicación de la posición de referencia
:
Aplicando Transformada de Laplace:
Nota:
Formula de ganancia de Mason para diagramas de flujo de señales. La regla de Mason para reducir una grafica de flujo de señales a una sola función de transferencia requiere la aplicación de una formula. La formula de Mason tiene varios componentes que deben evaluarse, para lo cual se estudian algunas definiciones básicas y después de esto, se expresa la formula de Mason y algunos ejemplos.
Definición 1.- Trayecto directo.- Trayecto que va de un nodo de entrad a un nodo de salida sin pasar por ningún otro nodo mas de una vez y siguiendo la misma dirección del flujo de señales. Definición 2.- Ganancia de trayecto directo.- Es el producto de ganancias de las ramas encontradas al recorrer el trayecto directo. Definición 3.- Malla o Lazo.- Trayecto que inicia en un nodo y termina en el mismo nodo sin pasar por ningún otro nodo más de una vez y siguiendo la dirección del flujo de señales.
Definición 4.- Ganancia de malla.- Es el producto de ganancia de las ramas encontradas al recorrer la malla o lazo. Definición 5.- Mallas o lazos que no se tocan.- Son lazos que no tienen nodos en común. Definición 6 .- Determine el numero de trayectos directos, la ganancia del trayecto directo, los lazos, los lazos disjuntos de dos en dos, lazos disjuntos de tres en tres, etc., así como las ganancias correspondientes. Para determinar la función de transferencia del diagrama de flujos debemos de aplicar la siguiente fórmula que es denominada de Mason:
Donde:
En resumen el numerador es la suma de las ganancias de los caminos directos menos los lazos que tocan dicho camino directo. Nótese los signos alternados de ∆ Obsérvese que las sumas se toman sobre todos los posibles caminos desde la entrada a la salida.
Problema Nº06 Representar un grafo de flujo de señal equivalente al modelo del diagrama de bloque que se muestra en la figura y utilizar la fórmula de ganancia de Mason para determinar y(s)/r(s) y e(s)/r(s).
Resolución: Diagrama de flujos
Donde:
Luego: Caminos directos = 1
Cálculo de Δ:
Cálculo de
:
Luego, la ganancia de Mason es:
Calculo de Y(s)/R(s): Reemplazando el valor de
y
en (*):
Cálculo de E(s)/R(s): Del resultado anterior:
Según del diagrama de flujo, el valor del nodo “E” es:
Problema Nº07 Para el grafo de señal de la figura, determinar Y(s)/R(s), (con D=0) y Y(s)/D(s) (con R(s)=0)
Resolución: Calcularemos el valor de Y(s)/R(s), considerando D = 0, luego el diagrama de flujo quedaría de la siguiente manera:
Numero de caminos = 2
Cálculo de Δ:
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Luego la ganancia sería:
Ahora, para calcular Y/D, de la ecuación anterior tenemos:
Y luego, un razonamiento permite que, como la perturbación “D” se aplica al final de diagrama de flujo, entonces conlleva a plantear lo siguiente:
Despejando Y(s), se obtiene “Y” e función de “R” y “D”:
Comparando como:
Haciendo que
es Y (s) para el caso de Y/D:
Finalmente tenemos:
Problema Nº09 En la figura se muestra un modelo para un pequeño generador de imán permanente con entrada de potencia manual. Determinar para el generador. Presente sus resultados como una razón de polinomios.
Resolución: En la potencia manual, tenemos:
Aplicando Transformada de Laplace:
De acuerdo con esto, su diagrama de bloques es:
En el circuito generador de imán:
Aplicando Transformada de Laplace:
Obtenemos el siguiente diagrama de bloques:
De esta manera, la función de transferencia es:
Problema Nº10 Aplique la fórmula de ganancia de Mason a los grafos de flujo de señal mostrada en la figura, para encontrar la siguiente función de transferencia:
Resolución: Número de caminos directos = 2
Cálculo de :
Cálculo de
:
Cálculo de
(similar al anterior, todos los lazos tocan el segundo camino):
Luego, la ganancia de Mason es:
Problema Nº11 El diagrama de bloques de un sistema de control se muestra en la figura. Dibuje una sfg (grafo de flujo de señal) equivalente para el sistema. Encuentre la función de transferencia Y(s)/R(s) y E(s)/R(s) mediante la aplicación de la fórmula de ganancia de Mason. G1(s)
+ R(s)
E(s)
++
G2(s)
-
G3(s)
-
Y(s)
H1(s)
Resolución: De diagrama de bloques, pasamos a diagrama de flujos, que quedaría de la siguiente manera: G1
G3 R(s)
Y(s) G2
H1
1
Número de caminos = 2
Cálculo de
Cálculo de
Cálculo de
:
:
(similar al anterior, todos los lazos tocan el segundo camino):
Luego, la ganancia de Mason es:
Además:
Problema Nº12 Calcule la función transferencia del diagrama de bloques mostrado en la Figura mediante la regla de Mason.
Problema Nº13 Encuentre las funciones de transferencia de los diagramas de bloques de la Figura por reducción de bloques y por la regla de Mason.
Problema Nº14 Obtener el modelo del sistema de suspensión para un autobús. Para simplificar el sistema utilizaremos solo una rueda ya que así el problema se reduce a un sistema unidimensional de resorte y amortiguador. La Figura muestra un diagrama en bloques del sistema.
Problema Nº15 Escriba las ecuaciones diferenciales para el Sistema mecánico con una entrada y dos salidas de la Figura. Obtenga la función transferencia desde y a x 1 y x2 para dicho sistema.
Problema Nº16 Obtener las ecuaciones dinámicas que describen el comportamiento del sistema (circuito eléctrico) de la Figura. Calcular la función transferencia tomando la salida .
Problema Nº17 El circuito electromecánico de la Figura representa un control de posición en lazo abierto de una masa a partir de la tensión de alimentación . La fuerza generada por el solenoide es proporcional a la intensidad que circula por la bobina.
Siendo: R=10; C=10e-6; L=0.1; m=50; k=10; b=10 y alfa=10 en unidades S.I. Se pide: a. Representar el sistema mediante sus ecuaciones integro-diferenciales b. A partir de la parte (a), hacer el diagrama de bloques del sistema electromecánico y determine su Función de Transferencia
