Estadística y Probabilidad Mat: Luis Alfonso León García
1. Estadística descriptiva Como inicio diremos que la estadística es el estudio de los fenómenos aleatorios. Aleatorio es lo mismo que al azar . La estadística descriptiva es aquella parte de la estadística que nos proporciona una serie de conceptos y de técnicas orientadas a la reducción de la información numérica. Se encarga de la descripción de ciertas características pertenecientes a la misma. En dónde se concentran los datos, con qué dispersión. El aspecto más importante de la estadística es la otención de conclusiones asadas en los datos e!perimentales. Este proceso se conoce como inferencia estadística. "ara comprender la naturale#a de la inferencia estadística, es necesario entender las nociones de población y muestra. "ero antes de $acer este estudio cono#camos algunas formas de graficar datos. 1.1 %epresentac %epresentación ión gráfica para datos agrupados agrupados y no agrupados Gráfica.
%epresentación por medio de líneas, rectángulos &arras', puntos, en los e(es coordenados. Como e(emplos considere los siguientes casos. La tala siguiente muestra las die# operaciones de cirugía plástica más comunes) Cirugía de *ano %eparación de desgarres %emoción de tumores umento de senos ccidentes industriales "árpados 0ari# Eliminación de quemaduras %econstrucciones 2aciales
Casos atendidos 1+, 1-, 1, /-, /, -/, --, -, -, ,
3aga una gráfica de arras con la información dada. 4na tala que recoge recoge información de una variale en función función del tiempo se llama serie de tiempo. E(emplo. La información de la siguiente tala es la que se reporta en la revista Notas, revista n5m. 1/, enero 6 mar#o, mar#o, 77 del 80E98, sore el producto interno ruto total nacional. de información y análisis,
:o =otal "8>
1;;1;;+ 1;;/ 1;;< 1;;; 7 1 +/<
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@tenga la grafica de la serie de tiempo. La figura se puede representar por rectángulos, llamados diagrama de barras, de una serie de tiempo, el anc$o de la arra no tiene importancia, las arras no deen tocar una con otra. =amién mién se le llama llama diagrama diagrama de Pareto. Los n5meros de las $ectáreas $aitadas se pueden colocar por encima de cada arra, no siempre deen de ir. Si las gráficas antes presentadas suelen ser comunes, se puede emplear otro gráfico llama llamado do pictograma, se emplea para representar datos en forma nítida para el p5lico lector. Encierra una dosis de originalidad y oficio del traa(o a presentar. E!isten otras formas de gráficas, en las cuales se involucran dos o más medidas, se pueden $acer comparaciones, entre tipos de cosec$as, el tiempo que se lleva efectuar una tarea, entre otras. La tala que a continuación se muestra, registra el tiempo en $oras y minutos que deieron traa(ar los conductores de cinco ciudades para comprar comida c$atarra, para una familia de cinco miemros. Las cifras corresponden a los a:os 7 y 7+. Ciudad Aistrito 2ederal Cuernavaca =oluca Buerétaro "uela
7 )-<
7+ 1)7
1)7; 1)-7 1)1 7)7
1)1; 7)1< 1)/ 7)7
Las gráficas pueden ser por tra#o comparativo, ya sea por puntos unidos por una línea continua o por arras. Aiferente tipo de grafico, puede ser por arras en forma de complemento, incluyendo el total producido por periodo o por medio de un porcenta(e, este 5ltimo solo presentará arras de tama:o igual, al 1. Se puede otener con la aplicación de la siguiente e!presión) Cprod 1
∏ ¿ = Cprod + Cprod
( 100 )
1
1
¿
2
∏¿ ∏ ¿ =100 −¿ 1 2
¿
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@tenga la grafica de la serie de tiempo. La figura se puede representar por rectángulos, llamados diagrama de barras, de una serie de tiempo, el anc$o de la arra no tiene importancia, las arras no deen tocar una con otra. =amién mién se le llama llama diagrama diagrama de Pareto. Los n5meros de las $ectáreas $aitadas se pueden colocar por encima de cada arra, no siempre deen de ir. Si las gráficas antes presentadas suelen ser comunes, se puede emplear otro gráfico llama llamado do pictograma, se emplea para representar datos en forma nítida para el p5lico lector. Encierra una dosis de originalidad y oficio del traa(o a presentar. E!isten otras formas de gráficas, en las cuales se involucran dos o más medidas, se pueden $acer comparaciones, entre tipos de cosec$as, el tiempo que se lleva efectuar una tarea, entre otras. La tala que a continuación se muestra, registra el tiempo en $oras y minutos que deieron traa(ar los conductores de cinco ciudades para comprar comida c$atarra, para una familia de cinco miemros. Las cifras corresponden a los a:os 7 y 7+. Ciudad Aistrito 2ederal Cuernavaca =oluca Buerétaro "uela
7 )-<
7+ 1)7
1)7; 1)-7 1)1 7)7
1)1; 7)1< 1)/ 7)7
Las gráficas pueden ser por tra#o comparativo, ya sea por puntos unidos por una línea continua o por arras. Aiferente tipo de grafico, puede ser por arras en forma de complemento, incluyendo el total producido por periodo o por medio de un porcenta(e, este 5ltimo solo presentará arras de tama:o igual, al 1. Se puede otener con la aplicación de la siguiente e!presión) Cprod 1
∏ ¿ = Cprod + Cprod
( 100 )
1
1
¿
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∏¿ ∏ ¿ =100 −¿ 1 2
¿
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@tro forma es usando arras $ori#ontales, en estas se comparan entre sí varios datos, como por e(emplo, el área ocupada por los continentes alrededor del mundo, los tipos de alimentos del cuadro ásico de nutrición. "or e(emplo) En un estudio de preferencias de equipos de 2utol, arro(o los siguientes datos1) Edad C$ivas mérica Cru# #ul "umas @tros 1< a 7; a:os 77 71 17 ? a ; a:os 77 77 77 1 7/ - y mas 7+ 1+ 1? / ?< Como se podrá dar cuenta, sólo $emos tratado gráficas en las que se incluyen puntos unidos por líneas, arrasD pero presentamos otro tipo de gráfico que es llamado diagrama de pastel queso, pie, pi##a, circularF. "ara construirlo, $acemos que el total de los encuestados por edad en este caso, equivale a 36!°
1!!!
?+G. ?+ G. sí, 1 1 enc encues uestado tadoss corres correspon ponde de a la ope operac ración ión de) equipo.
= !36° Hpreferencias de
E!isten más tipos de gráficos y cada usuario de la estadística descriptiva puede elegir el que más le agrade, siempre y cuando los datos que se presentan sean claros y le den uena información del estudio reali#ado. Muestreo. La teorí teoría a del muestreo muestreo estudia estudia la relaci relación ón entre entre una poblac población ión y los datos tomados de ella. omo dic!os datos muestreados u obtenidos se pueden estimar magnitudes tales como la media y la varianza "variancia#, llamados com$nmente parámetros de la población. %e estos parámetros y de su conocimiento de las magnitudes &tama'o( sobre la muestra se dice )ue tenemos un estadístico o estadística de la muestra.
1.7 *edidas de tendencia central. *edia, mediana, moda, media geométrica, media armónica y media ponderada Esta teoría es tamién 5til para determinar si las diferencias oservadas entre dos muestras son deidas a variaciones fortuitas &en ocasiones' o si son realmente significativas. Promedio o medidas de tendencia central. Es
un valor típico o representativo de un con(unto de datos. =ales valores suelen situarse al centro de las medidas. Los promedios se conocen como medidas de tendencia central . Las medidas de tendencia central. Son
central de los datosD media x´ , *, Percentiles o Percentiles "iF.
valores numéricos que representan la uicación +&(F, mediana *eF, moda *oF, cuartíles BiF, decíles AiF,
1 "E#$"%& de'orti(o& '' 2!& Paola )*+e,& #onsulta a -il -ayores& El ta-a+o de la -uestra 'ara elaborar el estudio de Mitofs.y fue de -il -e/icanos& -ayores de 10 a+os con credencial 'ara (otar& y fue elaborada entre el 1 y el 22 de enero de 2!!0& con entre(istas en (i(iendas 'articulares Página 3
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La media aritm-tica, o tamién conocida como media, es el valor esperado del con(unto de medidas oservadas en el estudio. Se define como) n
∑ x μ= E ( x )=´ x =
i
i=1
n
"or e(emplo) Se $an tomado die# medidas del largo de las puertas, para casa $aitación, producidas en una carpintería. Las medidas fueron las siguientes) 1.--
1.-?
1.-<
1.-
1.+
1.+7
1.+1
1.-7
1.-
1.-1
Encuentre el valor promedio o media aritmética de los datos y grafique los datos encontrando el valor de la media en la gráfica. Considera a$ora que se tienen más lecturas de una oservación y que en ocasiones $ay datos que se repiten, esto deido a la casualidadD para ello se emplea la siguiente e!presión) n
∑ ( f x ) i
μ= E ( x )=´ x =
i
i=1
n
E(emplo. En un semáforo, de un crucero de poco transito, se anotó el n5mero de ocupantes por automóvil) ? 7 7 1 1 ? ? 7 7 1 1 7 7 1 1 1 1 ? ? 7 7 Encuentre la esperan#a del tama:o de ocupantes cuando se reali#ó la oservación y grafique los datos encontrando el valor de la media en la gráfica. Cuando los datos son de más de - oservaciones, se deen formar grupos o familias, en la mayoría de las veces a estas se les denomina clases de datos. "ara este proceso se toma el valor más peque:o y el valor más grande de las oservaciones, se restan y se dividen entre el n5mero de clases que se eli(a. Ic =
Ls− Li Nc
c/intervalo de clase0 Ls/límite superior o dato mayor0 Li/límite inferior o dato menor0 N/n$mero de clases, un valor entre 1 y 23.
E(emplo. Los datos siguientes representan el n5mero de ciclos transcurridos $asta que se presenta una falla en una pruea de pie#as de aluminio su(etas a un esfuer#o alternamente repetido de 71, psi, a 1< ciclos por segundo) 111-
1-+/
177?
1/<7
1--
/;<
11+ Página
71
;1
1-1
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1?1 1- 1-7 17-< 1?11<-
1<
?/77+1;1 11< 1-7 1<;
1-77 1/;7 1 1<7 1; 117
1/+ 1?? 1+< 1-?1/<1 1/-
17 <+71? 171 11; 1<1
117 1+/+ 771/<<<-
1-; 77? 1?117+; 17+ 1<<<
1/? 117 1-/< /-< 11+ 1-+
177< ;; 1+< 1-17 1/- 1+7
@tenga la media aritmética, un $istograma de frecuencias y un polígono de frecuencias. "ara ordenar los datos se requiere de los intervalos de clase, una ve# otenido el tama:o del intervalo se otiene el n5mero de frecuencias en cada clase. "ara la parte de gráficas se necesita otener un punto medio o marca de claseF el cual será el representante de cada clase y los datos de oservaciones pasan a segundo término. Lsc + Lic PM = 2
P4/punto medio, Lsc/límite superior de la clase, Lic/límite inferior de la clase.
La forma de otener el dato de la esperan#a o media aritmética para datos grandes, se emplea la siguiente e!presión) n
PM f ∑ = i
x´ =
i
i 1
n La mediana.
La mediana de un con(unto de oservaciones es el valor para el cual, cuando todas las oservaciones se ordenan de manera creciente, la mitad de éstas es menor que este valor y la otra mitad es mayor 7. 4ediana o punto central en el cual la muestra se divide en dos mitades iguales?.
*odelo matemático)
(+
N
Me= Li
2
− ∑ f f med
)
Ic
4e/mediana, Li/límite inferior donde está la mediana, N/n$mero de datos, f med /frecuencia de la mediana, c/intervalo de clase, 5f/suma de las frecuencias antes de la mediana .
E(ercicio. @tenga la mediana de los datos de las prueas de falla.
2 #ana(os& Probabilidad y Estadística& '' 12 3 ines 4 Montgo-ery& Probabilidad y Estadística& '' 11 Página 5
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La moda. La moda de un con(unto de oservaciones es el valor de la oservación que ocurre con mayor frecuencia.
La moda de un con(unto de n5meros es el valor que ocurre con mayor frecuenciaD es decir, el valor más frecuente. La moda no podrá e!istir, e incluso no ser 5nica en el caso de e!istir -. La moda es la oservación que se presenta con mayor frecuencia en la muestra+. *odelo matemático) Mo= Li+
(+ ) d1
d1 d2
Ic
4o/moda, Li/límite inferior de la moda, d 6 /eceso de la frecuencia modal sobre la clase inferior, d 2 /eceso de la frecuencia modal sobre la clase superior, c/intervalo de clase.
E(ercicio) $ora otenga la moda de los datos de las prueas de falla. uartíles, decíles y percentiles
Cuando los datos se dividen en cuatro partes iguales, los puntos de división se conocen como cuartíles. El primer cuartíl inferior, q1, es el valor que tiene apro!imadamente el 7- &ó I' de los datos u oservaciones por dea(o de élD el segundo cuartíl se empata con el valor de la mediana, pues en este se $alla el - &7H ó J' de los datos. El /- &ó K' de los datos se encuentran en el tercer cuartíl, q?, tamién nomrado cuartíl superior. l igual que en el caso de la mediana, es posile que los cuartíles no sean 5nicos/. uartíles para datos no agrupados.
Aivida el n5mero de datos entre cuatro, tome los valores, inferior y superior de cada parte, y otenga los cuartíles correspondientes con la función) Li + Ls qi = 2
E(emplo. Se tomaron oservaciones de orden de tiempo de falla, en $oras, de un material aislante eléctrico &adaptación del traa(o de 0elson, Applied Life %ata Análisis, 6782 ' 7 77< 7-7 ? ?7 +7 /7 <1+ ;17 11/+ 17;+ 1?;7 1<< 1-17 7-7 7<-+ ?1;7 ?-7< ?/1 @tenga los cuartíles correspondientes. uartíles para datos agrupados.
#ana(os& Probabilidad y Estadística& '' 12 5 'iegel& Estadística& '' 63 6 Montgo-ery 4 "unger& Probabilidad y Estadística& '' 17 Montgo-ery 4 "unger& Probabilidad y estadística& ''21 Página 6
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Se otienen aplicando las siguientes e!presiones)
q1 = Li
( +
N 4
− ∑ f f q
)
∙ I c ; q2= Li
1
( +
2 N 4
−∑ f
)
f q
∙ I c ;
2
q3= Li
( +
3 N 4
)
−∑ f f q
∙ I c .
3
plique estas e!presiones al prolema de los datos de las prueas de falla. Los valores que dividen en die# partes iguales al con(unto de oservaciones de denominan decíles, y se pueden otener de la misma manera que los cuartíles. ¿ − f ∑ ) ( d = L + ∙ I 10
i
i
f d
c
i
Los valores que se otienen de dividir en cien partes iguales a la colección de datos se denominan percentiles.
( p = L + i
i
¿ − f ∑
100
f p
) ∙ I
c
i
plique estas e!presiones al prolema de los datos de las prueas de falla. 1.? *edidas de dispersión. mplitud, rango, desviación media, desviación estándar, varian#a, coeficiente de variación 4edidas de dispersión. alores numéricos que indican que tan separados del centro están mis datosD varianza o variancia s7 para peque:as muestras, σ7 para grandes muestrasFD 9ango %FD desviación estándar s, σF, desviación media *AF.
Las medidas de dispersión o variación de datos nos da una idea de cuan tan espaciados se encuentran éstos. Entre estas medidas se encuentra la llamada 9ango &traducción) intervalo', desviación media, varianza o variancia y la desviación estándar . 9ango. Es el largo que ocupa el conteo de datos u oservaciones. El modelo matemático es)
R=V M −V m=V s −V i
9/intervalo, :s/valor más grande, :i/valor inferior.
Ae los e(ercicios que a continuación se muestran otenga el rango de cada uno de ellos. %esviación media o desviación promedio, es la cantidad ale(ada de la media, $acia la derec$a y $acia la i#quierda de ésta. *odelo matemático)
Página
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n
∑ | x − x´ | = i
MD=
i 1
n x
/dato i;-simo de la tabla, i
/el valor de la media, n/n$mero de datos.
E(ercicio. Se $an tomado las medidas de die# cales eléctricos, para uso telefónico, para ser instalado en cada aparato faricado por la compa:ía C*E electrónicos, los cuales están en metros) 1?.; 1?.- 17.; 17.< 1?.7 1?./ 17.< 17./ 17.; 17.+ &a' Encuentre la media de los datosD &' encuentre la desviación media. :arianza o variancia.
Está definido como el promedio del cuadrado de las distancias entre cada oservación y la media del con(unto de oservaciones. Se denota como el modelo matemático siguiente) n
∑ ( x − x´ ) =
2
i
2
2
Var ( x )= s =σ =
i 1
( n− 1 )
E(emplo. Calcule la media y la varian#a de las siguientes millas recorridas por galón de comustile, otenidas en 7 recorridos, en perímetro citadino con un automóvil de tama:o intermedio. 1;./ 71.- 77.- 77.7 77.+ 71.; 7.- 1;.? 1;.; 71./ 77.< 7?.7 71. 7.< 71. 7.< 1;. 77.1 7?. 71.+ 71.? 7.; "ara cuando se tienen los datos agrupados se considera el punto medio &"*' o marca de clase, de cada intervalo en lugar de considerar las i. n
∑ ( PM −´ x ) ∙ f = 2
i
2
s=
i
i
1
( n −1 ) E(ercicio. @tenga la varian#a de los datos de las prueas de falla. 4edidas de tendencia central. La media se puede considerar tanto para muestras como para
polaciones, del mismo modo, pero se puede denotar de forma diferenteD la media muestral se x
denota por
y la media polacional µ 8 .
0 8ei-er& Estadística& '' 3 Página 0
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La varian#a de una polación se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de los valores y se denota por σ7. La varian#a de una muestra se denota por s7. ; 4edidas de dispersión o variabilidad.
La desviación estándar se define como la raí# cuadrada positiva de la varian#a. 2 2 σ =√ σ ; s =√ s
7 8ei-er& Estadística& ''76 Página 7
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7. "roailidad La proailidad es un mecanismo por medio del cual pueden estudiar sucesos aleatorios, cuando éstos se comparan con fenómenos determinísticos. La proailidad tiene un papel importante en la aplicación de la inferencia estadística porque una decisión, cuyo fundamento se encuentra en la información contenida en una muestra aleatoria, puede estar equivocada. "ara la mayoría de nosotros, probabilidad es un término com5n empleado en el lengua(e cotidiano para indicar la posiilidad de la ocurrencia de un evento futuro. 7.1 Elementos de cálculo cominatorio "ara lograr un desarrollo ordenado de la teoría de proailidad, se requiere conocer los conceptos ásicos de la teoría de con(untos. Elementos de un con(unto
A M Na6, a2 ,..., anO
Sea < el con(unto de todos los con(untos consideradosD es decir, < es el con(unto universal. "ara cualquier par de con(untos A y =, se dice que A es un sucon(unto de = o ien que A ⊂ =. A ⊂ = M N | ∈ A y ∈ =, A ⊆ =O La unión de A y =, denotada por A ∪ =, es el con(unto de todos los puntos A, en = o ien, en amos. A ∪ = M N ∈ A ó ∈=O La intersección de A y =, denotada por A ∩ =, o ien, por A= es el con(unto de todos los puntos que están tanto en A como en =. A ∩ = M N ∈ A
y
∈=O
Si A es un con(unto de >, entonces el complemento de A, denotado por Ac , es el con(unto de puntos locali#ados en > pero no se encuentran en A. A M Ac M A? M N ∉ AO
Se dice que dos con(untos, A y =, son dis(untos o mutuamente e!cluyentes sí A ∩ = M φ . 0o tienen elementos en com5n. A ⊕ = M N & ∈ A y ∉=' ó & ∉ A y ∈='O
E(ercicios) 1. 3alla todos los sucon(untos que se pueden formar del con(unto @ M N-, d, <, 7, a, v, ?, PO. 7. Enlista los elementos de los siguientes con(untos) 7.a 0aciones de mérica Central que no limitan con *é!ico. 7. 05meros impares menores a 1;. Página 1!
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?. Aados los siguientes con(untos, otén las operaciones que se indican. A M N, c, e, f, 6-, #, Q, P, m, nO = M Na, d, m, n, #, 11, 6-, PO M Ns, 11, 6-, e, a, fO 4 M N, c, f, e, m, n, 7, a, 11, 6-, QO @peraciones. A R =
= ∪ R A
4 ∪ R =
&4 R A' ∪ & R ='
. Suponga que en una familia $ay dos ni:os de diferente edad y que nos interesa el género de éstos ni:os. Se utili#a para designar una ni:a y una 4 para indicar un ni:o y un par 4 para denotar que el ni:o con más edad es del género femenino y el más peque:o del género masculino. E!isten entonces puntos en el con(unto > de las oservaciones posiles > M N, 4, 4, 44 O.
Sea A el con(unto de todas las posiilidades que no incluyen varonesD =, el sucon(unto que contiene dos varones, y el sucon(unto que contiene al menos un varón. Liste los elementos de A, =, , A ∩ =, A ∩ , A ∪ , = ∪ , = ∩ , ∩ =. -. Ae una encuesta aplicada a + estudiantes que asisten a la universidad, ; $aitan fuera del recinto universitario, ?+ son estudiantes de licenciatura y ? son estudiantes de licenciatura que $aitan fuera del recinto. a' Encuentre el n5mero de estudiantes, de licenciatura, que $aitan fuera del recinto o que satisfacen amas característicasD ' Encuentre el n5mero de estudiantes de licenciatura y que $aitan en el recintoD c' Encuentre el n5mero de estudiantes que ya tienen licenciatura y que $aitan en el recinto. +. Ae 7- microcomputadoras disponiles en un almacén, 1 de ellas tienen tar(etas adaptadoras ara impresora, - tienen tar(etas adaptadoras para módem, y 1? no tienen ninguna de ellas. 4tili#ar " para representar a aquellas que tengan tar(etas de impresora, * para las que tienen tar(etas de módem y, luego, representar simólicamente los siguientes con(untos, así como mencionar el n5mero de microcomputadoras que $ay en cada uno. a' Las que tengan amas tar(etasD ' Las que no tengan tar(eta algunaD c' Las que sólo tengan tar(etas para impresoraD d' Las que tengan e!actamente una de las tar(etas. %efinición. 4n e!perimento es el proceso por medio del cual se otiene una oservación.
Entre los e(emplos de e!perimentos incluye el lan#amiento de monedas y de dados, la medición del B &ntelectual Bueficient ' de un individuo, o la cuantificación del n5mero de acterias por centímetro c5ico de una porción de comida preparada. Cuando se efect5a un e!perimento, podemos tener uno o más resultados que se denominan eventos. %efinición. 4n evento simple es un evento que no se puede descomponer. cada evento simple corresponde uno y sólo un punto muestral. La letra + con un suíndice se utili#ará para denotar un evento simple o el punto muestral correspondiente. Página 11
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7.7 Espacio muestral y eventos +ventos de inter-s. >eguro, aquel que incluye todos los resultados posilesD mposible, que no tiene ning5n resultado posile, se denota como φ D omplementario, = es complemento de A, 4utuamente ecluyente o disCunto,
intersección formal el con(unto es vacío.
sí = M Ny y ∈ >, y ∉ AOD si sus resultados no tienen nada en com5n, con una
Espacio de resultados o espacio muestral. +s el conCunto de todos los resultados posibles de un eperimento. %enotado como > "de >pace, en ingl-s#, el conCunto de todos los posibles resultados puede ser finito, infinito numerable o infinito no numerable.
"odemos ver que el espacio muestral >, asociado con el e!perimento del lan#amiento de un dado, consta de seis puntos muestrales que corresponden a los eventos simples, + 6, + 2, + D, + E, + 1, + F. "ara el e(emplo de microiología en el que se encuentra el n5mero de acterias en una porción de comida, + 3 corresponde al $ec$o de oservar cero acterias, + 6 al oservar una acteria y así sucesivamente. Entonces el espacio muestral es > M N+ 3, + 6, + 2, + D,...O ya que no se puede descartar a ning5n entero como posile resultado del conteo de acterias. +spacio muestral discreto. %efinición.
4n espacio muestral discreto es un espacio muestral que contiene un n5mero finito o numeralemente infinito de puntos muestrales. Cuando se reali#a un e!perimento una sola ve#, se puede oservar uno y sólo un evento simple. Los eventos compuestos se pueden considerar como agrupaciones de puntos muestrales como uniones de los con(untos con puntos muestrales correspondientes a los eventos simples apropiados. "or e(emplo, el evento A del e!perimento del lan#amiento de un dado, la oservación de un n5mero impar, ocurrirá si y sólo si, ocurre uno de los eventos simples, + 6, + D, + 1. Entonces A M N+ 6, + D, + 1O
o ien
%efinición.
A M + 6 ∪ + D ∪ + 1.
4n evento definido en un espacio muestral discreto > es una colección de puntos muestrales, es decir, un sucon(unto de >.
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7.? Aefinición de proailidad Se puede construir un modelo proailístico para un e!perimento con un espacio muestral discreto, asignando una proailidad a cada evento simple del espacio muestral >. al $acerlo, ése n5mero, representa una media de la posibilidad de la ocurrencia en una sola reali#ación del e!perimento, de tal manera que sea consistente con el concepto de frecuencia relativa de la probabilidad . %efinición &de frecuencia relativa(.
Si un e!perimento se repite n veces a(o las mismas
condiciones y n= de los resultados son favorales a un atriuto =, el límite de
nB n
conforme n se
vuelve grande, se define como la proailidad del atriuto =. l anali#ar el concepto de frecuencia de la proailidad, se oserva que se dee cumplir tres condiciones. %efinición. Supóngase que un espacio muestral > está asociado con un e!perimento. cada evento + definido en >, se le asigna un n5mero, P&+(, denominado proailidad de + D de tal manera que se cumplen los a!iomas siguientes) P&+( ≥ D La proailidad del evento siempre es mayor o igual a cero. i' P&>( ≡1D La proailidad del espacio es siempre equivalente a uno. ii' iii' Si + 6, + 2, + D,... forman una sucesión de eventos de > que se e!cluyen mutuamente, ∞
∑ P E 9 i
i =1
por pare(as, entonces P&+ 6 ∪ + 2 ∪ + D...' M
.
@sérvese que la definición solamente e!presa cuáles son las propiedades que tiene que cumplir una proailidad, pero no e!presa como asignar las proailidades específicas a los eventos. Considérese, los siguientes casos. &a' En un (uego de pelota, eisol, solamente se permite que $aya un ganador, la posiilidad de ganar para cada equipo es de J. &' En un (uego de futol, $ay tres posiles resultados, gana el de casa o el de visita y el otro es un empate al final. &c' En una competencia de clavados, se eligen a los 1 me(ores para la 5ltima ronda de la competencia, la posiilidad de tener un uen resultado es 1H1. La asignación de probabilidades específicas se debe !acer de tal manera )ue sea congruente con la realidad si se desea )ue el modelo probabilístico sea $til .
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E(emplo. 4n faricante tiene cinco terminales de computadora aparentemente idénticas listas para ser enviadas a su destino. El no sae que dos de las cinco son defectuosas. %ecie un pedido especial de dos terminales y lo surte seleccionando al a#ar dos de las cinco disponiles. a' @tenga el espacio muestral para este e!perimentoD ' Sea A, el evento en el que el pedido se surte con dos terminales no defectuosasD c' Construya un diagrama de :enn para el e!perimento, y represente el evento AD d' signe las proailidades a los eventos simples de tal manera que la información en el prolema se utilice y se satisfagan los a!iomas antes listados en la definiciónD e' Encuentre la proailidad del evento A. E(ercicio. En toda el área metropolitana los autos que circulan se encuentra que sus placas de circulación tienen tres letras y tres dígitos. a' Cuál es el n5mero total, si ninguna letra de placas posile, puede usarse más de una ocasiónT ' Cuál es el n5mero total sin esta restricciónT c' Cuál es la proailidad de que adquiera un auto con las placas 77=34T E(ercicio. Considere que un auto llega a la intersección del camino, puede dar vuelta a la derec$a a la i#quierda o seguir de frente. 4n e!perimento consiste en oservar a dos ve$ículos al pasar por dic$a intersección. &a' Cuántos puntos muestrales $ay en el espacio >T @tenga una lista de ellosD &' Cuál es la proailidad de que un auto dé la vuelta a la i#quierdaT Suponiendo que todos los puntos muestrales son equiproales1D &c' Cuál es la proailidad de que a lo más un ve$ículo dé la vueltaT Suponiendo que los puntos muestrales son equiproales. E(ercicio. Se selecciona una familia que posee dos automóviles, y para el más nuevo y el más vie(o oservamos si fue faricado en los Estados 4nidos, Europa o sia. &a' Cuáles son los posiles resultados de este e!perimentoT &' Cuáles resultados están contenidos en el evento de que un automóvil sea Europeo y otro mericanoT &c' Cuáles resultados están contenidos en el evento de que por lo menos uno de los dos automóviles sea e!tran(eroT El método de los puntos muestrales para resolver un prolema de la proailidad es simple y efectivo, y es, en ciertos aspectos un enfoque muy 5til. Se puede aplicar para encontrar la proailidad de cualquier evento definido en un espacio muestral que contiene un con(unto finito o numeralemente infinito de puntos muestrales, pero no es infalile. 4na complicación se presenta porque muc$os espacios muestrales contienen un gran n5mero de puntos muestrales y la especificación detallada de cada punto es al mismo tiempo tediosa y tardada.
7. %eglas de proailidad 1! De misma probabilidad de ocurrencia Página 1
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@-cnicas para la enumeración de puntos muestrales. %efinición. El arreglo ordenado de r o(etos o elementos distintos se denomina permutación. El n5mero de maneras en que se pueden ordenar n o(etos distintos tomando r a la ve# se denota por el símolo r
Pn=
n! ( n− r ) !
E(emplo. "ara arir una cerradura de cominación se requiere de la selección correcta de un con(unto de cuatro dígitos en sucesión. Los dígitos se fi(an girando el tamor en el sentido de las manecillas del relo( o al contrario. Supóngase que no se utili#a un mismo dígito dos veces. Encuentre el n5mero total de las posiles cominaciones. Solución) n M 1 dígitosD r M tomados a la ve#D r
Pn=
10 ! 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ! = =( 10 ) ( 9 ) ( 8 ) ( 7 )=5040 6! 6!
que es el n5mero total de cominaciones para arir la ca(a fuerte. La siguiente regla de análisis cominatorio se puede utili#ar para determinar el n5mero de sucon(untos de tama:os diferentes que se pueden formar al $acer una partición de un con(unto de n o(etos distintos. @eorema.
El n5mero de formas en que se pueden asignar n o(etos distintos de grupos diferentes que contienen n6, n2 ,..., n o(etos respectivamente, es n! N = ; en donde n1 ! n2 ! n !
n
∑ n =n i =1
i
E(emplo. En una constructora se tienen 7 traa(adores, y se quieren distriuir en cuatro diferentes actividades. La primera actividad necesariamente dee contar con + elementos, la segunda con y la tercera y cuarta con - elementos, respectivamente. "ara la actividad uno se cuenta que $ay cuatro traa(adores e!perimentados. Aetermine el n5mero de formas en las que se pueden separar los 7 traa(adores en los grupos necesarios para desarrollar la actividad. Encuentre la proailidad del evento oservado suponiendo que se asignaron los traa(adores aleatoriamente. Solución) 0 M 7D n1 M +D n7 M D n? M -D n M -.
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N =
20 ! 6 ! 4 ! 5! 5 !
=
2.4329 " 10
18
24883200
=9777287520
Sea el evento de asignación de traa(adoresD na el n5mero de puntos muestrales en , na es el n5mero de formas de asignar los traa(adores a los cuatro traa(os, se sae que de ellos tienen una mayor e!periencia para el traa(o uno, entonces 7 6 M 1+ 13
16 ! 2.092278989 " 10 = N = 2! 4 ! 5 ! 5 ! 691200
=30270240
Ae aquí que p ( # )=
30270240 =0.00309 9777287520
.? de la asignación de los traa(adores para desarrollar la actividad n5mero uno. En muc$as situaciones los puntos muestrales se identifican por un arreglo de símolos en los cuales el orden de los símolos no es importante. %efinición.
El n5mero de combinaciones de n o(etos tomados en r a la ve# es el n5mero de sucon(untos, cada uno de tama:o r , que se puede formar a partir de los n o(etos. Este n5mero se denotará por n
( )= ( − )
C r =
n r
n! n r !r !
E(ercicios. 7. Sea A y = dos eventos cualquiera de >. Empléese un diagrama de enn para demostrar que P&A ∩ =( M P&A( 6 P&A ∩ =(. 7.- 4na familia tiene tres $i(os. Aeterminar todas las posiles permutaciones, con respecto al género de los $i(os. >a(o suposiciones adecuadas, cuál es la proailidad de que, e!actamente, dos de los $i(os sean del mismo géneroT, Cuál es la proailidad de tener un varón y dos mu(eresT, Cuál es la proailidad de tener $i(os del mismo géneroT 7.< 4na agencia automotri# recie un emarque de 7 automóviles nuevos. Entre éstos, dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar, aleatoriamente, dos automóviles de entre los 7 y aceptar el emarque sí ninguno de los dos ve$ículos seleccionados tiene defectos. Cuál es la proailidad de aceptar el emarqueT 7.1 Ae entre 7 tanques de comustile faricados para el trasordador espacial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro tanques) a' Cuál es la proailidad de que ninguno de los tanques se encuentre defectuosoT Página 16
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' Cuál es la proailidad de que uno de los tanques tenga defectosT 7.11 La proailidad de que cierto componente eléctrico funcione es de .;. 4n aparato contiene dos de éstos componentes. El aparato funcionará mientras lo $aga, por lo menos, uno de los componentes. a' Sin importar cuál de los componentes funcione o no, cuáles son los posiles resultados y sus respectivas proailidadesT &"uede suponerse independencia en la operación entre los componentes.' ' Cuál es la proailidad de que el aparato funcioneT 7.17 4n sistema contiene tres componentes A, = y . Estos pueden conectarse en una, cualquiera, de las cuatro configuraciones mostradas a continuación. Si los tres componentes operan de manera independiente y si la proailidad de que uno, cualquiera de ellos, esté funcionando es de .;-, determinar la proailidad de que el sistema funcione para cada una de las cuatro configuraciones.
7.1? Supóngase que se va a seleccionar una muestra aleatoria de tama:o dos de un lote de 1, y que se sae ;< de los 1 artículos se encuentran en uen estado. La muestra se toma de manera tal que el primer artículo se oserva y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo. Cuál es la proailidad de seleccionar, &a' Aos pie#as sin defecto. %) .;+ ó ;+ &' lo más una con defecto. %) .;< ó ;< &c' Aos con defecto. %) .1 U 1V?. 7.1< 4na aerolínea tiene seis vuelos diarios de 0ueva WorP a California y siete vuelos de California a 3aQái. Si los vuelos se $acen en días separados, cuántos diferentes arreglos de vuelos puede ofrecer la aerolínea de 0ueva WorP a 3aQáiT 7.1; 4na operación de monta(e en una empresa manufacturera requiere tres pasos que se pueden reali#ar en cualquier orden. Ae cuántas maneras se puede $acer el monta(eT 7.71 Cierta marca de automóviles tiene cinco modelos diferentes, con cuatro tipos de motores, con dos tipos de transmisiones, y en oc$o colores. a' Cuántos coc$es tendría que adquirir un distriuidor si quiere un automóvil por cada cominación modeloVmotorVtransmisiónT ' Cuántos coc$es tendría que tener en e!istencia un centro de distriución si almacenara los coc$es de todos los colores disponiles para cada cominación de &a'T 7.7/ 4n investigador quiere determinar el efecto de tres variales, presión, temperatura y el tipo de catali#ador, en la producción de un proceso de refinación. Si el investigador tiene la intención de utili#ar tres temperaturas, tres presiones y dos tipos de catali#ador, cuántos Página 1
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e!perimentos $aría que $acer si quisiera incluir todas las posiles cominaciones de presión, temperatura y tipos de catali#adorT 7.7< Cinco empresas + 6, + 2, + D, + E, + 1, $acen propuestas con respecto a tres contratos separados, 6, 2 y D. 4na empresa sólo puede otener a lo más un contrato. Los contratos son completamente diferentes, de tal forma que la asignación de 1 a + 1 se dee diferenciar de la asignación de 2 a + 6. a' Cuántos puntos muestrales $ay en total en este e!perimento que trata de la asignación de los contratos a las empresasT ' Encuentre la proailidad de que se le conceda un contrato a la empresa + D, a(o el supuesto de que los puntos muestrales son equiproales. 7.?7 En 1;/+ la Xunta de sesores para las 9elaciones Humanas de Gainsville, 2lorida, formada por oc$o personas, consideró la denuncia de una mu(er que se que(ó de discriminación por parte de una compa:ía local, por el $ec$o de ser mu(er. La Xunta, compuesta por cinco mu(eres y tres $omres, votó - a ? en favor de la demandante, las cinco mu(eres votaron a favor y los tres $omres en contra. El aogado representante de la compa:ía apeló la decisión de la Xunta alegando parcialidad de los miemros de ésta de acuerdo con sus se!os. Si no $uiera parcialidad por parte de la Xunta, sería ra#onale concluir que cualquier grupo de cinco miemros de la Xunta votara a favor de la demandante con la misma proailidad. Si esto fuera cierto, cuál sería la proailidad de que el voto se dividiera dé acuerdo con los se!os &las cinco mu(eres a favor, los tres $omres en contra'T
7.- "roailidad condicional La proailidad de un evento variará dependiendo de la ocurrencia o la noVocurrencia de uno o más eventos relacionados. "or e(emplo, los pescadores se interesan en gran manera en la proailidad de que llueva. La proailidad que llueva en un día dado, cuando se desconocen las condiciones atmosféricas cotidianas o cualquier otro evento. Esto se llamaría la proailidad incondicional del evento lluvia en un día dado. La proailidad incondicional de otener un uno en un solo lan#amiento de un dado perfecto es 1H+. La proailidad condicional de un uno, de que se otuvo un n5mero impar es 1H?. Es decir, 1, ? y - ocurren con una frecuencia igual. Entonces la proailidad condicional de un evento es la proailidad &frecuencia relativa de ocurrencia' del evento, dado el $ec$o de que ya ocurrieron uno o más eventos. 4n e!amen cuidadoso del e(emplo anterior indicará la concordancia de la definición siguiente con el concepto de frecuencia relativa de la proailidad. %efinición. La proailidad condicional de un evento A, ya que ocurrió un evento =, es igual a
p ( #|B )=
p ( # $ B ) p ( B )
siempre que P&=( Y . El símolo P&A=( se lee la probabilidad de A dado =. Supóngase que un e!perimento se repite una cantidad de veces, N , y que se otienen como resultados amos eventos, A y =, A ∩ =, n66 vecesD A y no =, A ∩ =? , n26 vecesD = y no A, A? ∩ =, n62 veces, y ni A ni =, A? ∩ =? , n26 veces. Estos resultados se representan en la siguiente tala)
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= =?
A n 66 n26
A? n62 n22
0ote que n66 I n62 I n26 I n22 J N , entonces se tiene que p ( # )=
n1,1 + n2,1 ; N
p ( B )=
n1,1 + n1,2 ; N
p ( #B )=
n 1,1 ; n1,1 + n1,2
p ( # $B )=
n1,1 . N
Con estas proailidades podemos ver fácilmente que p ( B| # )=
p ( # $ B ) ; p ( # )
p ( #|B )=
p ( # $ B ) . p ( B )
"or lo tanto, la definición anterior es congruente con el concepto de frecuencia relativa de la proailidad. Supóngase que la ocurrencia de un evento A no se afecta por la ocurrencia o noVocurrencia de un evento =. Cuando esto sucede, se podría afirmar que el evento A es independiente del evento =. Esta relación entre dos eventos se presenta por la siguiente definición. %efinición. Aos eventos A y = son independientes sí P&A ∩ =( M P&A( K P&=( . Si esta ocurrencia
no se satisface, los eventos son dependientes. 0ótese que la definición es equivalente a e!presar que los eventos A y = son independientes sí P&A=( M P&A( ó P&= A( M P&=(. La noción de independencia como un concepto proailístico es congruente con el uso cotidiano de esta palara si se consideran cuidadosamente los eventos en cuestión. E(emplo) En una encuesta a 1-; personas, se $a encontrado sus características con respecto a su $áito de fumador y su se!o. Sea el espacio muestral, la polación de adultos de la encuesta, que se divide en los siguientes eventos) fumador A6, noVfumador A2 , $omre =6, mu(er =2 . Los eventos en > pueden representarse como sigue) =6
A6 A2
=2
7 1;
// ?;
0ótese que 7 de los 1-; adultos son $omres que fuman, por lo que son poseedores de los atriutos A6 y =6. Supóngase que se desea determinar la proailidad de ocurrencia simultánea de los eventos A6 y =2 . *ediante el empleo de la interpretación de frecuencia relativa puede argumentarse que, dado que e!actamente // de los 1-; adultos poseen amos, fumador y mu(er, la proailidad es 157
= !03 .
Esta 5ltima recie el nomre de probabilidad conCunta, puesto que se insiste en la proailidad de resultados comunes a amos eventos A6 y =2 . Página 17
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Supóngase que a$ora el interés recae en determinar la proailidad Ai , sin considerar cualquier otro evento = C del espacio muestral >. "ara especificar, supóngase que se necesita la proailidad del evento A2 . 3aciendo uso de nuevo de la interpretación de frecuencia relativa, el n5mero de personas no fumadoras A2 , es 1; Z ?;D de esta manera se tiene P A2 9 =
(17 + 37) 157
= !360
Este tipo de proailidad se conoce como probabilidad marginal porque para determinarla se ignoran una o más características del espacio muestral. "or 5ltimo, supóngase que el interés a$ora es el de determinar la proailidad de un evento dado que $a ocurrido el evento = C . "ara ello se $a elegido una mu(er adulta =2 . Cuál es la proailidad de que fumeT
Ai ,
El argumento descansa sore la interpretación de frecuencia relativa. Sin emargo, una ve# el evento [mu(er\ $a ocurrido, éste reempla#a a > como espacio muestral de interés. "or lo tanto, la proailidad de tener fumador, A6, es el n5mero de mu(eres que fuman //, entre el n5mero total de estas &// Z ?;' p ( # 1|B 2) =
77 =0.6638 77 + 39
donde la arra vertical se lee dado que, y separa al evento A6, cuya proailidad está condicionada a la previa ocurrencia del evento =2 . Esta recie el nomre de probabilidad condicional de A6 dada la ocurrencia =2 . E(emplo) En cierta ciudad, de los votantes son repulicanos y + son demócratasD / de los repulicanos y < de los demócratas están a favor de una emisión particular de onos. l seleccionar al a#ar un votante de la ciudad, Cuál es la proailidad de que esté a favor de la emisión de los onosT E(ercicio) 4na gran tienda de departamentos vende camisas deportivas en tres tallas &peque:a, mediana y grande' y tres modelos &a cuadros, estampadas y de fran(as' y dos largos de manga &corta y larga'. Las siguientes talas dan las proporciones de camisas vendidas que caen en varias cominaciones de categorías. *anga corta =alla "eque:a *ediana 9rande
Cuadros . .< .? *anga larga
=alla "eque:a *ediana
Cuadros .? .1 Página 2!
*odelo Estampada .7 ./ ./
2ran(as ..17 .<
*odelo Estampada .7 .-
2ran(as .? ./
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9rande
.
.7
.<
&a' Cuál es la proailidad de que la siguiente venta sea de una camisa mediana, de manga larga y estampadaT &' Cuál es la proailidad de que la siguiente venta sea de una camisa mediana y estampadaT &c' Cuál es la proailidad de que la siguiente camisa vendida sea de manga cortaT W de manga largaT E(ercicio) 4n cierto taller repara componentes de audio y video. Aenotemos por A el evento de que el siguiente componente llevado a reparación sea un componente de audio, y = el evento que el siguiente componente sea un reproductor de discos compactos &por ello = está contenido en A'. Supongamos que P&A( M .+ y P&=( M .-. Cuál es la proailidad P&=] A(. E(ercicio) 4n ingeniero de una fárica de microcircuitos inspeccionará un lote de oleas de silicio para tratar de encontrarles defectos. Suponer que cuatro circuitos integrados están defectuosos en un recipiente que contiene veinte oleas. Si seleccionan dos oleas al a#ar para esa inspección. Calcular la proailidad de que &a' ninguna de ellas tenga defectos. &' por lo menos una de las dos no tenga defectos. &c' amas no tengan defectos, dado que por lo menos una no tiene defectos.
7.+ =eorema &o %egla' de >ayes El procedimiento de la composición de los eventos para resolver los prolemas de la proailidad se facilita algunas veces al considerar el espacio muestral S como una unión de sucon(untos que son mutuamente e!cluyentes, y al emplear la ley de la proailidad total. @eorema. Suponga que > J = 6 ∪ =2 ∪...∪ = con P&= (i Y Entonces para cualquier evento A
, i M 1, 7..., y =i ≤ = C M φ , para i ≠ C .
p ( # )=
p ( B ) ∙ p ( #|B ) ∑ = i
i
i 1
La demostración de este teorema se puede consultar en cualquier liro de proailidad. Con la demostración se llega al siguiente teorema.
Supóngase =2 ∪...∪ = , en donde P&= (i Y , i M 1, 7, ..., , y =i ∩ = C M φ para i ≠ C . Entonces Página 21
@eorema. que > J =6 ∪
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p ( B %| # ) =
p ( B % ) p ( #|B % )
p ( B ) ∙ p ( #|B ) ∑ = i
i
i
1
E(ercicio) 4na persona posee dos automóviles, un modelo compacto y uno estándar. pro!imadamente utili#a el ve$ículo compacto para trasladarse a su traa(o las tres curtas partes del tiempo y el restante usa el carro más grande. Cuando emplea el carro compacto llega a su casa a las -)? el /- de las vecesD si utili#a el carro de tama:o estándar llega a la misma $ora el + de las veces &pero disfruta del aire acondicionado del auto más grande'. Si llega a su casa después de las -)?, Cuál es la proailidad de que $aya usado el auto compactoT E(ercicio) 4na compa:ía compra neumáticos de dos proveedores, "roV1 y "roV7, El proveedor uno tiene un antecedente de suministrar llantas con 1 de defectuosos, en tanto que el proveedor 7 tiene una tasa de sólo el - de defectos. Supóngase que el de las e!istencias actuales vinieron del proveedor uno. Si se toma un neumático de esa e!istencia y se ve que está defectuoso, calcule la proailidad de que $aya suministrado el proveedor uno. %) H/ E(ercicio) Entre cinco aspirantes a puestos de ingeniero químico en una empresa, a dos se les considera e!celentes, y a los demás se les considera uenos. 4n gerente escoge al a#ar dos de los cinco para la entrevista. Calcula la proailidad de que el gerente esco(a &a' a los dos e!celentes &' por lo menos a uno de los e!celentes &c' a los dos e!celentes, dado que ya se sae que uno de los dos seleccionados es e!celente. E(ercicio) 4na empresa produce resistencias y las vende como resistencias de 1 ^F. Sin emargo, los @$ms reales de los resistores pueden variar. Se oserva que - de los valores son menores que ;.- ^F y 1 son mayores que 1.- ^F. Si en determinado sistema se usan dos de esas resistencias, seleccionadas al a#ar, calcular la proailidad de que &a' amas tengan valores reales entre ;.- y 1.- ^F. &' al menos una tenga un valor real mayor que 1.- ^F. E(emplo) Se $an nominado a tres miemros de un clu privado nacional para ocupar la presidencia del mismo. La proailidad de que se eli(a al se:or Ael *a#o es de .?D la de que se $aga lo propio con el se:or Cárdenas, de .- y la de que gane el se:or Castillo, de .7. En caso de que se eli(a al se:or Ael *a#o la proailidad de que la cuota de ingreso se incremente es de .
Aadas n alternativas para un resultado en un e!perimento, y luego de $aer formado un (uicio su(etivo del posile resultado de las proailidades de ocurrencia de n alternativas. Aado que Página 22
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estas proailidades refle(an el (uicio o grado de creencia del investigador con respecto a la priori . ocurrencia, antes que estos se presenten se conocen como probabilidades a priori Probabilidad a posteriori.
Las proailidad proailidades es condicionales condicionales P&= C A(, C M M 1, 7,..., n, se conocen como probabilidades a . posteriori
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?. ariales aleatorias :ariable aleatoria
El conce concepto pto de variale variale aleatoria proporciona proporciona un medio para relacionar cualquier cualquier resultado con una medida cuantitativa. %efinición.
Sea > un espacio muestral sore el cual se encuentra definida una función de proailidad proailidad.. Sea una función función de valor valor real definida definida sore >, de manera que transforme los resultados de > en puntos sore la recta de los reales. Se dice entonces que es es una variale aleatoria. Se dice que es es aleatoria porque involucra la proailidad de los resultados del espacio muestral, y es es una función definida sore el espacio muestral, de manera que transforma todos los posiles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas. %efinición. Se dice que una variale aleatoria es discreta si el n5mero de valores se puede tomar es contale &ya sea finito o infinito ', y éstos pueden arreglarse en una secuencia que corresponde con los n5meros enteros positivos.
aleatoria es continua si sus valores valores consisten en uno o %efinición. Se dice que una variale aleatoria más intervalos de la recta de los reales. E(emplo. La producción de tar(etas de circuitos de dos líneas de faricación a(ustadas para producir tar(etas idénticas, se me#cla en una ande(a de recolección. Cuando los inspectores e!aminan las tar(etas, es difícil determinar si una de ellas proviene de la línea A. En ocasiones puede ser 5til una determinación proailística de esta pregunta. Supóngase que la ande(a de recolección recolección contiene contiene die# tar(etas tar(etas de circuitos, circuitos, de las cuales seis provienen provienen de la línea A y cuatro de la l a línea línea =. 4n supervisor selecciona dos de estas tar(etas, que parecen idénticas, para revisarlas. Se interesa en , el n5mero de tar(etas inspeccionadas que provienen de la línea A. Calcular la distriución de proailidad de .
?.1 Aefinición de variale aleatoria Los e!perimentos se concien de manera que los resultados del espacio muestral son o cuantitativos. "uede ser 5til la cuantificación de los resultados cualitativos de un espacio muestral y, mediante el empleo de medidas numéricas, estudiar su comportamiento aleator aleatorio. io. El con concep cepto to de varial varialee aleato aleatoria ria propor proporcio ciona na un medio medio para para relaci relaciona onarr cua cualqu lquier ier resultado con una medida cuantitativa.
cualitativos
%efinición. Las variales aleatorias & 6, 2 , M, n' constituyen una muestra aleatoria de 2,M, tama:o n, sí a' las i i son son variales aleatorias independientesD ' todas la las i i tienen tienen la misma distriución de proailidad.
4na variale aleatoria discreta representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P& J ( se entenderá entenderá la proailidad proailidad de que tome tome el valor de . Esta función recie el nomre de función de proailidad de la variale aleatoria . Página 2
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%efinición. Sea Sea una una variale aleatoria discreta. Se llamará a P&( J P& J ( , función de proailidad de la variale aleatoria , si satisface las siguientes propiedades 1. p&( ≥ para todos los valores de de D 7. Σ! p&( M 1
es la proailidad %efinición. La función de distriución acumulativa de la variale aleatoria es de que sea sea menor o igual a un valor específico de y y está dada por) &( J P& J ( J Σ p& p& (i i E(emplo. Se tiene una parte de un circuito eléctrico con dos relevadores numerados, 1 y 7, que traa(an en paralelo. La corriente pasa cuando el cerrar un interruptor, cierra cualquiera de los dos relevadores o los dos. La proailidad de que cierre un relevador en forma correcta es .<, y es la misma para amos. Sea + i i , el evento en el que el relevador i cierra cierra en forma correcta el interruptor. $ora ien, puede puede tener sólo tres posiles valores, ya que el n5mero de relevadores que cierran puede ser , 1 y 7. Calcular las proailidades de estos valores de . es continua si puede tomar el n5mero infinito %efinición. Se dice que una variale aleatoria es de valores posiles asociados con intervalos de n5meros reales, y $ay una función f&(, llamada función de densidad de proailidad, tal que La función de proailidad f&( es mayor o igual a cero. La integral de la función de proailidad siempre es igual a uno.
f&( 3 &
∫ f ( ( x ) dx =1 −& )
∫
p ( a ' ( ' ) ) = f ( x ) dx
La proailidad de un intervalo conocido es el resultado de esa integral en el intervalo.
a
E(emplo. Supóngase que $emos llevado a cao un e!perimento con el o(eto de medir la vida 5til de - acterias de un determinado determinado tipo, seleccionadas seleccionadas de entre una mayor polación. polación. El comportamiento de su vida 5til sigue la función de densidad de proailidad de la forma f ( ( x )=
{
1 2
− ( ) c*an e c*ando do x > 0 x
2
0 eno+rocaso
a' Calcular Calcular la proailid proailidad ad de que la vida vida 5til de una acteri acteriaa determinada determinada de éste éste tipo sea sea menor de 7 o mayor de $oras. ' $ora querem queremos os saer la proai proailidad lidad de que una una acteria acteria de este tipo dure dure más de ? $oras $oras dado que ya $a estado en uso durante más de 7 $oras.
J (.
%efinición.
La función de distriución de una variale aleatoria se define como &b( J P&
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Si
es continua y tiene la función de densidad de proailidad
f&(,
entonces
&
, ( ) )=
∫ f ( x) dx
−&
0ote que ?&( J f&(. Continuando con el e(emplo, tiene una función de densidad de proailidad f ( x )=
{
1 2
− ( ) c*ando x >0 e x
2
0 eno+rocaso
Sí, &b( J 3 D pues porque solo tiene valor cuando Y D )
∫
, ( ) )= P ( ( - ) )=
0
− x
e
− x
2
2
dx =−e
2
Cuandob Y D E(ercicio. 4n vendedor de petróleo diáfano tiene un tanque de 7 galones lleno al principio de cada semana. Sus demandas semanales tienen un comportamiento de frecuencia relativa que aumenta constantemente $asta llegar a 1 galones, y a continuación permanece igual entre 1 y 7 galones. Si representa la demanda semanal en cientos de galones, suponer que las frecuencias relativas de la demanda se modelan en forma adecuada mediante) ! / f : x 9 = 1 2 !
/
! ≤ / ≤1 1< / ≤ 2 />2
Calcular &b( para esta variale aleatoria. 4sar &b( para calcular la proailidad de que la demanda sea mayor a 1- galones en determinada semana. La distriución acumulativa &(, es una función lisa no decreciente de los valores de la variale aleatoria con las siguientes propiedades) 1. &;∞ ( M D cuando el valor de no $a sido evaluado en los intervalos de acción de la funciónD 7. & ∞ ( M 1D cuando la función alcan#a el má!imo valor de la evaluaciónD ?. P&a O O b( J &b( &a(D dF x9 dx
.
= f x9 . Página 26
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E(emplo. La variale aleatoria representa el intervalo de tiempo entre dos llegadas consecutivas a una tienda y su función de densidad de proailidad está dada por) ke− x ; 2 cuando / > ! f : x9 = en otro caso ! a' ' c'
determinar el valor de &el tiempo de llegadas', la función de distriución acumulativaD la proailidad de que 2 O O F D la proailidad de que ≤ 8 .
?.7 Aistriuciones de proailidad La distribución de probabilidad o distriución de una variale aleatoria es una descripción del con(unto de valores posiles de , (unto con la proailidad asociada con cada uno de estos valores. menudo la distriución de proailidad de una variale aleatoria es el resumen más $til de un eperimento aleatorio. La distriución de proailidad de una variale aleatoria puede darse de varias maneras. "ara una variale aleatoria que puede tomar un n5mero peque:o de valores, es conveniente enlistar los valores posiles (unto con las proailidades, ya visto en claseD En otros casos, es conveniente e!presar en términos de una fórmula la proailidad de que la variale aleatoria tome un valor i. ?.? Esperan#a matemática por)
%efinición. Sea una variale aleatoria. El n;-simo momento de alrededor de cero se define
μ n= E ( x )= n
∑ x p ( x) si x es /aria)0ediscre+a n
x &
¿ μ n= E ( x n ) =∫ x n f ( x ) dx si x es /aria)0e con+in*a −&
Este valor, µ ?n , alrededor de cero es conocida como la media o valor esperado de la variale aleatoria. La media de una variale aleatoria se considera como una cantidad numérica alrededor de la cual los valores de la variale aleatoria tienden a agruparse. "or lo tanto, la media es una medida de tendencia central. ?. *omentos. 2unción generatri# de momentos %efinición.
se define por
El n;-simo momento central de o el n;-simo momento alrededor de la media de
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∑ ( x − μ ) p ( x ) ¿ μ = E ( x − μ ) =∫ ( x − μ ) f ( x ) dx n
n
μ n= E ( x − μ ) =
x
n
n
n
El momento central , cero, de cualquier variale aleatoria es la unidad, dado que µ 3 J + & µ (3 J + &6( J 6 Ae manera similar, para el primer momento) µ 6 J +& µ (6 J + &( µ J
"ues el valor de la esperan#a menos el valor de la media, que es la esperan#a, es igual a cero.
"ara el segundo momento será)
µ 2 J +& µ (2
El cual recie el nomre de varianza o variancia de la variale aleatoria. "uesto que) µ 2 J +& µ (2 J + & 2 2 µ I µ 2 ( J µ ? 2 µ 2 J σ 2 . El tercer momento) µ D J +& µ (D, esta relacionado con la asimetría de proailidad de . Ae
$ec$o cualquier momento de una variale aleatoria puede e!presarse en términos de los momentos de ésta, alrededor de cero.
"or definición µ n J + & µ (n, pero +& µ (n puede e!presarse como)
()
( x − μ )n=∑ (−1 )i r μ i x n−i i
Wa que la esperan#a de una suma es igual a la suma de las esperan#as. "ara el tercer momento) µ D J µ ?D D µµ ?2 I 2 µ D
Estandari#ando el tercer momento queda)
1 3=
μ3 3
( μ )
2
2
El cuarto momento central es) µ E J + & µ (E J µ ? E E µ µ ?D I F µ 2 µ ?2 D µ E.
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Es una medida de qué tan puntiaguda es la distriución de proailidad y recie el nomre de curtosis. Es posile estandari#arlo y queda como) 1 4=
μ4 2
μ2
Como vimos, el valor esperado, esperan#a o media µ , de una variale aleatoria discreta que tiene una función p&( de proailidad está dada por) x p ( x )= μ = μ ∑ =
E ( x )=
i
i
1
i 0
La varian#a o variancia, de una variale aleatoria cuyo valor esperado µ , es 2
2
Var ( x )= E ( x − μ ) =σ
"ara la desviación estándar de la variale aleatoria es la raí# cuadrada de la varian#a, y está definida mediante) σ =√ σ =√ E ( x − μ ) 2
[
2
]
E(ercicios. ?.7.11 4n taller de servicio para automóviles que se especiali#a en afinaciones sae que el - de éstas se efect5a en ve$ículos de cuatro cilindros, el en autos de seis cilindros y el 1- en coc$es de oc$o cilindros. Sea el n5mero de cilindros del siguiente automóvil que llega a servicio de afinación. &a' Cuál es la distriución de proailidad de la variale T &' =race una gráfica de la distriución de proailidades de . ?.7.1? 4n negocio de computadoras que atiende pedidos por correo tiene seis líneas telefónicas. signamos a Q el n5mero de líneas en uso a las 17 $oras, oteniendo una distriución de proailidad como sigue 1 7 ? + Q p&Q( .1 .1- .7 .7- .7 .+ . Calcule la proailidad de que) &a' lo mas tres líneas están en usoD &' *enos de tres de ellas se ocupanD Página 27
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&c' "or lo menos tres líneas están en usoD &d' Entre dos y cinco líneas, inclusive, están en uso. ?.7.1 4n contratista es requerido por un departamento de planeación de una localidad, para que emita de un a cinco formas &dependiendo de la naturale#a del proyecto' para solicitar permiso de construcción. Sea R el n5mero de formas requeridas del solicitante. Se sae que la proailidad de que z formas se requieren es proporcional a z , esto es, p&z ' M z para z M 1, 7,_, -. 5
a' Bué valor toma la constante T sugerencia)
∑ p ( 2 )=1
2 = 1
F
' Cuál es la proailidad de que por lo menos se necesitan tres formasT c' Cuál es la proailidad de que se necesiten entre dos y cuatro formas &inclusive'T ?.7.1- *uc$os faricantes tienen programas de control de calidad que incluyen la inspección de materiales reciidos para corroorar que no $ay defectos. Suponga que el faricante de computadoras recie tar(etas de computadora en lotes de cinco, se seleccionan dos tar(etas de cada lote para inspeccionarlas. "odemos representar posiles resultados del proceso de selección por pares. Como e(emplo, el par &7, ?' representa la selección de las tar(etas 7 y ? para inspeccionarse. a' 3aga una lista de los die# posiles resultados ' Suponga que las tar(etas 1 y 7 son las 5nicas defectuosas de un lote de cinco. Se van a escoger dos tar(etas al a#ar. Aefina a como el n5mero de tar(etas defectuosas oservando entre las inspeccionadas. Encuentre la distriución de proailidad de c' Aenote a &( como la función aculada de la distriución de proailidad, determina &3( M P& J 3( , &6( y &2( y por 5ltimo a &( en forma general. ?.7.1/ El volta(e de una atería nueva puede ser aceptale &' o no aceptale &0'. Cierta linterna de mano necesita dos aterías, así que éstas $an de seleccionarse y proarse independientemente $asta encontrar dos aceptales. Supongamos que el < de todas las aterías tiene volta(e aceptale y denotemos por W el n5mero de aterías que deen ser proadas. a' Cuál es la proailidad de que $aya dos aceptales en la primera selecciónT ' Cuál es la proailidad de encontrar solo tres aterías 5tilesT
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. Aistriuciones discretas especiales continuación trataremos algunas distriuciones, las más comunes, que se presentan al reali#ar estudios de comportamiento de prueas y análisis. =ipos de distriución de proailidad :ariable Aleatoria %iscreta
:ariable Aleatoria ontinua
4niforme discreta >inomial 9eométrica >inomial 0egativa "oisson 3ipergeométrica *ultinomial
4niforme 0ormal tVStudent XiVCuadrado E!ponencial Erlang 9amma `eiull 2V2is$er
.1 Aistriución uniforme discreta La variale aleatoria más sencilla es aquella que toma sólo un n5mero finito de valores posiles, cada uno con la misma proailidad. Con frecuencia, el interés recae en una variale 1
aleatoria que toma los valores numéricos 1, 7,…, nD con la misma proailidad de los
%efinición. 4na variale aleatoria es n valores que están en el intervalo
p : x 9 =
n
una variale aleatoria discreta uniforme si cada uno de ésta, 1, 7,…, nD tiene la misma proailidad.
1 n
Entonces Supóngase que es una variale aleatoria discreta uniforme sore los enteros consecutivos con a ≤ b.
a, a Z 1, a Z 7,…, bD
E x 9 = µ =
( b + a) 2
La media de la distriución uniforme discreta es) Var x 9 = σ
2
=
( b − a + 1) 2 − 1 12
La varian#a de la distriución uniforme discreta es) E(emplo. La proailidad de que el primer dígito del n5mero de serie de una pie#a sea uno de los n5meros desde cero $asta nueve, es la misma. Si se toma una pie#a al a#ar de un lote muy grande, y es el primer dígito del n5mero de serie, entonces tiene una distriución discreta uniforme con una proailidad de .1, para cada valor de % M N, 1, 7,…, ;O. Página 31
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Esto es, p&!' M .1D para cada valor de %. E(emplo. El sistema de comunicación por vo# de una empresa tiene < líneas e!ternas. En un determinado momento, se oserva el sistema y algunas líneas están ocupadas. Sea la variale aleatoria que denota el n5mero de líneas en uso. Entonces puede tomar cualquier valor entero de cero a <. Supóngase que el n5mero de líneas de vo# que están ocupadas en un determinado momento, es una variale aleatoria discreta uniforme . E ( ( )=
Entonces la esperan#a es
Var ( x )=
y la varian#a es
( 0 + 48 ) 2
( 48−0 +1 )2 12
=24
=200 .
.7 Aistriución inomial +l modelo =inomial. "ara
otener la función de proailidad de la distriución inomial, primero se determina la proailidad de tener, en n ensayos, é!itos consecutivos seguidos en n fracasos consecutivos. Aado que, por $ipótesis, los n ensayos son independientes se tiene) p ⋅p⋅... ⋅p⋅&6;p( &6;p(... &6;p( J p &6;p(n;
La proailidad de otener e!actamente é!itos y n fracasos en cualquier otro orden es la misma puesto que los factores p y &6 p( se reordenan de acuerdo con el orden particular. %efinición.
Sea una variale aleatoria que representa el n5mero de é!itos en n ensayos y p la proailidad de é!ito con cualquiera de éstos. Se dice entonces que tiene una distriución inomial son función de proailidad. P ( x 3 n 3 p )=
n! x n− x p ( 1 − p ) ( n− x ) ! x ! M
, 1, 7,..., n.
La proailidad p&0 n, p( M , cuando ≤ p ≤ 1, para n entero. El nomre de distriución inomial proviene del $ec$o de que los valores de p&0 n, p( para M , 1, 7,..., nD son los términos sucesivos de la e!pansión inomial de &1 6 p' Z pFn. Condiciones para su uso) 1. En una oservación $ay e!actamente dos resultados posiles, uno de ellos se llama é!ito y el otro fracaso. 7. 3ay n oservaciones, donde n es un mismo entero positivo estalecido de antemano, por lo tanto se consideran polaciones infinitas. ?. Las oservaciones son independientes entre sí. . La proailidad de é!ito se denomina o denota con la letra p, y el fracaso con una ) ) M 1 6 pF, para todas las e(ecuciones o mediciones es la misma. La media de una variale aleatoria inomial es) +&( J µ J np.
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