Probabilidad

Probabilidad II

Probabilidad II Variables aleatorias y distribuciones con nombre propio VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es aquella cuyos valores dependen de alguno o algunos de los resultados de un experimento experimento o fenómeno aleatorio; se clasifica cl asifica en dos tipos: tipo s: 1. Variables Aleatorias discretas 2. Variables Aleatorias continuas Se pueden distinguir fácilmente con el siguiente criterio: Si los valores de la variable provienen de un conteo, se trata de una variable discreta, si dichos valores provienen de una medición entonces la variable es continua.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Para cada valor que puede tomar una variable discreta existe una probabilidad asociada que se denomina función de probabilidad A la presentación en forma tabular o grafica de todos los valores de una variable y sus funciones de probabilidad asociadas se le conoce como distribución de probabilidad. Dentro de las variables aleatorias discretas se encuentran las siguientes medidas:

Medida de tendencia central Media ( X ,  , ) Se conoce como media, valor esperado, promedio promedio o esperanza matemática, matemática, se obtiene mediante la fórmula:

E 

n

 X fx i

i

i 1

Medida de dispersión Básicamente es la desviación estándar y la varianza, se interpretan de la misma forma que en la estadística y esta dada por:

Apuntes realizados por Ing. Citlali Sofía Rincón Ruíz 2014

1

Probabilidad II

 n 2  2 Varianza     X i fxi   E  i 1  2

Desviación estándar



Por lo tanto





2

Intervalo de confianza Indica en términos de promedio hasta donde pueden llegar los sesgos más frecuentes del experimento o del fenómeno, está está delimitado por 2 valores valores que se conocen como como límites de incertidumbre. incertidumbre.

L s  E   y Li  E   Si “X” y “Y” son variables aleatorias, son del mismo espacio muestral S; son funciones de S definidas por:

(X+Y)(S)=X(S)+Y(S) (X+k)(S)=X(S)+k  donde k es un número real XY(S)=X(S)Y(S) Ejercicio 1 Supóngase que se tiene un examen de 5 preguntas con 5 opciones de repuesta cada una, cada pregunta bien contestada vale 2 puntos, para este caso X es la variable que representa la calificación obtenida, el examen se contestara de manera aleatoria, obtener obtener la distribución de probabilidad en forma tabular y gráfica. RESULTADO

X

m mmmm

0

m mmm b

2

m mm b b

4

m m b bb

6

m b bbb

8

b bbbb

10


fx

2

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Ejercicio 2 Se despachan cajas que contienen 15 artículos de los cuales se sabe que aproximadamente 3 tienen algún defecto, en el departamento de control de calidad; se eligen en cada caja 5 artículos, en forma aleatoria para su revisión; sea X la variable que denota el número de artículos defectuosos detectados. a) Obtener la distribución de probabilidad en forma tabular y gráfica b) El valor esperado, la desviación estándar y el intervalo de confianza. X

fx

0

1

2

3


3

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Ejercicio 3 Una moneda cargada tal que la probabilidad de águila es 2/3 y la probabilidad de sol es 1/3, se lanza tres veces. Sea X la variable que asigna a cada punto el mayor número de águilas sucesivas. Calcular la distribución de probabilidad, la esperanza matemática y la desviación estándar. S=AAA, AAS, ASA, SAA, SSA, SAS, ASS, SSS P(A) =2/3 P(S) =1/3 X

fx

0

1

2

3


4

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Ejercicio 4 Se lanza un par de dados equilibrados, sea X el máximo de los números y Y representa la suma de los números de las caras, encontrar: a) la distribución fx b) la distribución gy c) el valor esperado de X d) el valor esperado de Y e) la desviación estándar en X f) la desviación estándar en Y 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2

1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3

1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6


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Ejercicio 5 Se lanza un dado equilibrado. Si sale 2, 3 o 5, el jugador gana ese número de dólares, pero sí sale 1, 4 o 6, el jugador pierde ese número de dólares. Determinar si el juego es favorable para el jugador. (En un juego de dinero el valor esperado E del juego se considera como favorable sí E es positivo y desfavorable sí E es negativo)

Ejercicio 6 Se lanza una moneda equilibrada 4 veces. Sea X el número de águilas que ocurren, encontrar: a) la distribución de probabilidad b) el valor esperado c) la varianza d) la desviación estándar


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Probabilidad II

Ejercicio 7 Se lanza un dado corriente, designemos X como el doble del número que aparezca y denotemos Y como 1 ó 3 según que el número sea impar ó par. Hallar la distribución de probabilidad, el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de:

a) X b) Y c) X + Y d) X Y


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Probabilidad II VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Este tipo de variables a diferencias de las anteriores pueden tomar cualquier valor real comprendido en un determinado intervalo de variación, para estas no existe una función de probabilidad, se tiene en cambio otra función fx que se denomina función de densidad (función de distribución o probabilidad continua), con las siguientes propiedades: *El área total bajo su grafica en el intervalo definido es igual a 1 y representa geométricamente la probabilidad total en una distribución continua. b



P a  X  b   fx dx  1 a

*La probabilidad de que la variable continua tome algún valor determinado es igual con cero, ya que en este caso, la probabilidad está representada por porciones de área bajo la función de densidad, en otras palabras, la probabilidad se evalúa por intervalos y no por valores.

Valor esperado



  X fx dx Desviación estándar



 2  ( x 2 fx dx)   2

   2


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Ejercicio 1 Una variable aleatoria tiene la siguiente función de densidad:

 kx si 0  x  2  fx    0 en otras partes  a) determinar el valor de la constante k b) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable tome valores entre ½ y 1? c) ¿Cuál es el valor esperado? d) ¿Cuál es su desviación estándar?


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Ejercicio 2 Una variable aleatoria tiene la siguiente función de densidad:

 ke x si 0  x  1  fx    0 en otras partes  a) determinar el valor de la constante k b) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable tome valores entre ½ y 1? c) ¿Cuál es el valor esperado? d) ¿Cuál es su desviación estándar?


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Probabilidad II DISTRIBUCIONES CON NOMBRE PROPIO

Distribución Binomial Es útil para experimentos aleatorios en los que solo hay dos resultados mutuamente excluyentes en cada ensayo y sirve para calcular la probabilidad de que un evento A suceda un número de x veces al efectuar n veces el experimento: es necesario que cada evento sea independiente.

 n  x n x P n, x   P  x     p  q   x  Donde: n= número total de ensayos x= número de éxitos p= probabilidad de éxito q= probabilidad de fracaso binomial: son experimentos aleatorios con 2 resultados mutuamente excluyentes en cada ensayo.

Media de la distribución binomial





np

La varianza de la distribución binomial

 2  npq La desviación estándar

 

npq

Ejercicio 1 Una medicina resulta efectiva en el 10% de los casos, considerando que se le suministra a 50 pacientes, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) resulte efectiva en por lo menos 4 de ellos? b) resulte efectiva entre 3 y 7 pacientes inclusive? c) resulte efectiva entre 5 y 10 pacientes?


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Ejercicio 2 Se lanza una moneda corriente 6 veces, llamemos águila éxito, calcular. a) la probabilidad de que sucedan 2 águilas exactamente b) la probabilidad de conseguir por lo menos 4 águilas

Ejercicio 3 La probabilidad de que Juan logre un objetivo en cualquier momento es 1/3. Suponer que el dispara al objetivo 7 veces, encontrar la probabilidad de que alcance el objetivo a) exactamente 3 veces b) al menos una vez


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Ejercicio 4 Se lanza una moneda equilibrada 8 veces; sea el resultado águila éxito. Encontrar la probabilidad de que ocurran: a) exactamente 3 águilas b) al menos 5 águilas c) al menos 2 águilas

Ejercicio 5 La probabilidad de que Juan de en el blanco es ¼. El dispara 100 veces, encontrar el numero esperado de veces que el de en el blanco y la desviación estándar.


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Probabilidad II

Ejercicio 6 El 20% de los artículos producidos por una fábrica, están defectuosos. Suponer que se seleccionan 15 artículos al azar. Encontrar la probabilidad de que: a) 2 estén defectuosos b) al menos 5 estén defectuosos c) entre 2 y 7 defectuosos d) entre 8 y 12 defectuosos inclusive e) a lo más 4 defectuosos

Ejercicio 7 El equipo A tienen probabilidad 2/3 de ganar, siempre que este juegue. Suponer que A juega 4 veces. Encontrar la probabilidad de que A gane más de la mitad de los juegos.


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Probabilidad II

Ejercicio 8 Una familia tiene 6 hijos. Encontrar la probabilidad de que hallar: a) 3 niños y 3 niñas b) menos niños que niñas

Ejercicio 9 El departamento de matemáticas tiene 8 asistentes graduados que están asignados a la misma oficina. La posibilidad de que cada asistente estudie en casa o en oficina es igual. Encontrar el número mínimo de escritorios que deben colocarse en la oficina, de manera que cada asistente tenga un escritorio por lo menos el 90% del tiempo.


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Probabilidad II Distribución de Poisson Debe su nombre a Simone Poisson (1781 - 1840), un francés que desarrollo la distribución a través de estudiar en la última parte de su vida. Se considera a la distribución de Poisson como una forma límite de la binomial, cuando n , pero también es posible en sí misma como un proceso de Poisson

Se aplica en la industria en el control de calidad, en biología para determinar el número de bacterias, en física para calcular las partículas emitidas por una sustancia, las erratas de los libros, etc. Es otra distribución de probabilidades para variables aleatorias discretas y se define por la siguiente expresión:

P  x 

 x 



e x!

Donde: e=constante= 2.7182…. x= número de éxitos =media o valor central La media de la distribución de Poisson

    np La varianza de la distribución de Poisson

 2





La desviación estándar







Se considera un evento raro si el número de ensayos es mayor a 50 y además la media se menor o igual a 5. Ejercicio 1 Suponiendo que los registros e ventas indican que las ventas para cierto tipo de transformador son de 5 unidades promedio, la demanda de este promedio se distribuye de acuerdo a una distribución de Poisson y la gerencia desea calcular la probabilidad de la demanda: a) sea a lo más 2 b) sea más de 3


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Probabilidad II

Ejercicio 2 Suponer que hay 300 errores de impresión distribuidos aleatoriamente a lo largo de un libro de 500 páginas. Encontrar la probabilidad de que una página dada contenga: a) exactamente 2 errores de impresión b) 2 ó más errores de impresión

Ejercicio 3 Suponer que el 2% de los artículos producidos por una fábrica, están defectuosos. Encontrar la probabilidad de que en 100 artículos se tenga: a) 3 artículos defectuosos b) menos de dos artículos defectuosos c) de 2 a 4 artículos defectuosos


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Probabilidad II Distribución normal

En las distribuciones continuas de probabilidad, una de las más importantes y de mayor uso es la normal. Entre los matemáticos que estudiaron y publicaron destacan Laplace y Gauss, en cuyo honor se llama a veces distribución de Gauss, o campana de Gauss. La ecuación que la define es:

P  x  

1  x   

1

 2

2

   2    e

La grafica característica de esta curva normal es la siguiente:

La distribución normal se emplea cuando la variable aleatoria x se expresa en términos de unidades estándar (z). Esta unidad estándar se denomina “puntaje z” o “puntaje estándar” y se calcula de forma siguiente:

z 

x  



Para el cálculo de probabilidades se emplean las propiedades de la distribución que se anotan enseguida y la tabla de la normal estándar Propiedades La distribución es simétrica con respecto al eje de las ordenadas La distribución tienen una media de 0 y una desviación estándar de 1 El área total bajo la curva normal es igual a 1 La media divide al área a la mitad; es decir, 50 % a cada lado. La curva tiene forma de campana Apuntes realizados por Ing. Citlali Sofía Rincón Ruíz 2014

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Ejercicio 1 Obtener la probabilidad de que z< -2.38 De tablas 2.38= 0.4913 Z=0.5 - 0.4913 Z=0.0087

Ejercicio 2 Obtener la probabilidad de que X < 20, si =10 y =8 Z

20 



8

10 

1.25

De tablas 1.25= 0.3944 Z=0.5 + 0.3944 Z=0.8944

Ejercicio 3 Obtener la probabilidad de que Z > 1.5

Ejercicio 4 Determinar la probabilidad de que Z > -0.69

De tablas 1.5= 0.4332 Z=0.5 - 0.4332 Z=0.0668

De tablas 0.69= 0.2549 Z=0.5 + 0.2549 Z=0.7549

Ejercicio 5 Determinar la probabilidad entre Z=-3.11 y Z=-0.16 De tablas 3.11=0.4991 y 0.16=0.0636 Z=0.4991 - 0.0636 Z=0.4355

Ejercicio 6 La media y la desviación estándar en un examen son estándar de los estudiantes que recibieron notas: a) 65 b) 74 c) 86 d) 92

=74


y =12. Encontrar los puntajes en unidades

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Probabilidad II

Ejercicio 7 La media y la desviación estándar en un examen son correspondan a los puntajes estándar: a) -1 b) 0.5 c) 1.25 d) 1.75

=74

y =12. Encontrar las notas o calificaciones que

Ejercicio 8 Sea Z con una distribución normal. Hallar: a) P(0  Z  1.35) b) P(-1.21  Z  0) c) P(Z =1. 5) d) P(-1.37  Z  2.01) e) P(0.65  Z  1.26) f) P(-1.79  Z  -0.54) g) P(Z  -0.22) h) P(Z  0.33) i) P(Z  0.44) j) P(Z  -0.55)


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Probabilidad II

Ejercicio 9 La estatura promedio de los empleados de una empresa es de 1.65m con una desviación estándar de 0.062m. Suponer una distribución normal y determinar qué porcentaje de los empleados mide: a) más de 1.57m b) menos de 1.70m c) entre 1.57m y 1.70m

Ejercicio 10 Suponer que lo puntajes IQ de estudiantes forman una distribución normal con una media de 100 y una desviación estándar de 20. Encontrar el porcentaje de estudiantes cuyos puntajes caen entre: a) 80 y 120 b) 60 y 140 c) 40 y 160 d) 100 y 120 e) por encima de 160 f) por debajo de 80


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Probabilidad II Aproximación de la distribución Binomial a la Normal

La distribución normal proporciona una buena aproximación de la distribución binomial cuando n es grande, siempre y cuando los valores de np y n(1-p) sean mayores o iguales que 5. Por trabajarse con variables aleatorias continuas, se usa, para una mejor aproximación, el valor 0.5, llamado parámetro de corrección. (por trabajarse con variables discretas y continuas) Para ver como resulta este procedimiento en los ajustes por continuidad se dan los casos comunes correspondientes: - al menos 120, por lo tanto X= 119.5

- más de 120, por lo tanto X= 120.5

- a lo sumo 120, por lo tanto X= 120.5

- menos de 120, por lo tanto X= 119.5

- exactamente 120, por lo tanto X entre 119.5 y 120.5

Ejercicio 1 Una fábrica produce alfileres con 2.5% de defectuosos. Si se toma una muestra de 200 alfileres, ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 3 o más defectuosos? Ejercicio 2 Un dado equilibrado es lanzado 180 veces. Determinar la probabilidad de que aparezca la cara 6: a) entre 29 y 32 veces inclusive b) entre 31 y 35 veces inclusive c) menos de 22 veces Ejercicio 3 Se tiene un avión con 200 pasajeros, se desea calcular la probabilidad de que haya al menos 120 hombres


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Probabilidad II

Ejercicio 4 Estimar la probabilidad de que resulten más de 55 niñas en 100 nacimientos. Suponer que los niños y las niñas son igualmente probables. ¿Es poco común que resulten al menos 55 niñas en 100 nacimientos?

Ejercicio 5 Una moneda equilibrada es lanzada 12 veces. Determinar la probabilidad de que el número de águilas que ocurren estén entre 4 y 7 inclusive utilizando: a) la distribución binomial b) la aproximación Ejercicio 6 Entre 10000 dígitos aleatorios, número 3: a) entre 975 y 1025 veces inclusive b) máximo 950 veces

encontrar

la

probabilidad

de

que

aparezca

el

Ejercicio 7 Suponiendo que el 4% de la población mayor de 65 años tiene la enfermedad de Alzheimer, suponer que se tomó una muestra aleatoria de 3500 personas mayores a 65. Encontrar la probabilidad de que menos de 150 de ellas tenga la enfermedad.


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