3.5 DISTRUBUCIONES DISCRETAS Distribución de Bernoulli Jacob Bernoulli (1654-1705), matemático suizo, realizo el Ars Conjectani o Arte Arte e la conjet conjetura ura,, trabaj trabajo o sobre sobre !roba !robabil bilia ia" " #ambi$n ambi$n,, se le ebe ebe la istribuci%n e Bernoulli" &a si'uiente enici%n se !uee a!licar a cualuier e*!erimento one +a os resultaos !osibles, !or ejem!lo á'uila o sol, e.ectuoso o no e.ectuoso, ue aun ao cai'a !ar o im!ar, !erer o 'anar, $*ito o .racaso" /e ice ue una ariable aleatoria tiene o si'ue una istribuci%n e Bernoulli e !arámetro 2, one 0 3 2 3 1, si !uee tomar solo los alores e 1 0, $*ito o .racaso, con !robabiliaes 2 1 2, es ecir 2( 1) 2
2( 0) 1 2
su .unci%n e ensia está aa !or 2
*
1-*
si *
0, 1 0
.(*) n otro caso"
/i si'ue una istribuci%n Bernoulli e !arámetro ! , entonces () 2
8ar() 2 (1 2) 2
Ejemlo 3.!5 /e lanza una monea una sola ez" 9eterminemos la .unci%n e ensia e !robabilia !robabilia el n:mero n: mero e soles obtenios"
Solución" l eento es una istribuci%n e Bernoulli, el $*ito es sol el .racaso es á'uila (o el sol es el .racaso el $*ito es á'uila), la !robabilia e $*ito es ; i'ual ue la !robabilia !robabilia e .racaso" &a ariable aleatoria meirá el n:mero e soles ue caen, este será nuestro $*itos (1) el .racasos á'uila (0)" <(* 1) ;
=(* 0) ;
&a .unci%n e ensia está aa !or
; 0, 1
si *
1 >semos la .%rmula e Bernoulli .(*) 2 * (1 2) 1-*
.(*) n otro caso
&a !robabilia !robabilia e $*ito está aa !or
.(1)
1
1
2
0
( )
(− )
1 1− 2
1 2
1
&a !robabi !robabilia lia e .racaso .racaso está aa !or !or
.(0)
2
0
1
1
1
2
1 2
Ejemlo 3.!# 9eterminemos la .unci%n e !robabilia !robabilia cuano cuano se lanza un ao ao el $*ito $*ito es obtener un n:mero n:me ro !rimo"
Solución" l es!aci es!acio o mues muestr tral al ue se tien tiene e al lanzar lanzar un ao ao es es!acio muestral los casos .aorables son
{ 1,2,3,4,5,6 }
, el
{ 2,3,5 } .
1
&a !robabilia e $*ito, 1, es
2
"
1
&a !robabilia e .racaso 0 es
2
"
&a .unci%n e ensia o !robabilia está aa !or
?(*) >tilicemos la .%rmula e Bernoulli .(*) 2 * (1 2) 1 - *
;
si * 0, 1
0
n otro caso
1
&a !robabilia e $*ito . (1)
1 1− 2
2
1
&a !robabilia e .racaso . (0)
0
( )
1
1
( )
0
1
2
−
1
2
1
1
2
2
Ejemlo 3.!$ >na .ábrica e teleisores !rouce @ e.ectuosos caa 100" 9eterminemos la .unci%n e !robabilia !ara este eento, la es!eranza, la arianza la esiaci%n estánar"
Solución" Al $*ito le asi'namos el alor e 1 lo enimos como un teleisor e.ectuoso 3
su !robabilia es
100
"
A la !robabilia e .racaso le asi'namos el alor e 0, su !robabilia es 97 100
, a esto lo enimos como un teleisor en buen estao"
&a !robabilia e $*ito .(1)
&a !robabilia e .racaso .(0)
(− )
1
3
1
100
3 100
0
0
3
100
( ) 97
100
3
1
100
97
100
3
/i * 1
100
97
.(*) 1
/i * 0
100
n otro caso"
3
l cálculo e la es!eranza está ao !or
la arianza es 8ar() 2(1 2)
E
() 2
100
( ) ( )=¿ ( 3
97
291
100
100
10 000
)
Ejemlo 3.!% /e tiene una istribuci%n binomial con !arámetros n 10 2 0"" Calcula la !robabilia e *, si la ariable aleatoria toma los alores 1, @"
Solución" ecoremos ue la .unci%n ue etermina la !robabilia 2( *) está enia !or *
B(n, 2) n C * (2) (1 2)
n*
n! ( n− x ) ! x ! 2* (1 2) n *
/ustituimos los alores en la .%rmula
10 !
2 (* 1)
1
10 1
10
@
10 @
C1 (0") (1 0")
10
1 10 1 ( 10 −1 ) ! 1 ! (0") (1 0") 0"64
10 !
2 (* 1)
C (0") (1 0")
10
10 ( 10 −2 ) ! 2 ! (0") (1 0") 0"@01D
10 !
2 (* 1)
C@ (0") (1 0")
10
( 10 −3 ) ! 3 ! (0")@ (1 0")10 @ 0"01@
&r'(c' de un' )unción de rob'bilid'd binomi'l =ara realizar la 'ráca e la .unci%n e !robabilia, tomamos ciertos alores !ara sus !arámetrosE !or ejem!lo, n 10, 2 0"@ calculamos los alores !ara * 1, , @F", 10" 2 (* 0) 0"0 2 (* 1) 0"11 2 (* ) 0"@@ 2 (* @) 0"67 2 (* 4) 0"00 2 (* 5) 0"10@ 2 (* 6) 0"0@7 2 (* 7) 0"00D 2 (* ) 1"45 * 10 - @ 2 (* D) 1"@ * 10 - 4 2 (* 10) 5"D * 10 6 &ocalizamos los !untos trazamos las barras !ara obtener la 'ráca
Ejemlo 3.!* 9aa la .unci%n e !robabilia binomial con !arámetros n 10 2 0"@" 9eterminaremos la !robabilia 2( 3 @)"
Solución" =ara calcular esta !robabilia es lo mismo ue si eterminaremos el alor e 2( G ), a ue solo toma alores enteros e la .unci%nE el alor entero e 3 @ es G , !or ello calculamos las !robabilia es menores ue @ la sumamos" 2 ( G ) 2( 1) H 2( ) 10 !
10 ! 0
( 10 −0 ) ! 0 ! (0"@) (1 0"@)
10
0
10 !
( 10 −2 ) ! 2 ! (0"@) (1 0"@)10 0"0 H 0"110 H 0"@@4 0"@6 Irácamente lo re!resentamos as
H
( 10 −1 ) ! 1 ! (0"@)1 (1 0"@) 10
1
H
Ejemlo 3.+, 9aa la .unci%n e !robabilia binomial con !arámetros n 10 ! 0"@" 9eterminemos la !robabilia !( K )"
Solución Como en el !roblema anterior ebemos calcular la !robabilia !( LD) =( LD) !( D) H !( 10) 10 !
10 ! D
( 10 −9 ) ! 9 ! (0"@) (1 0"@)
10-D
H
10 10-10 ( 10 −10 ) ! 10 ! (0"@) (1 0"@)
0"0001@7 H 5"D05 * 10 -5 0"00014D Irácamente se obtiene ue el cálculo e la !robabilia ue se !ie son * D * 10, alores mu !eueMos"
Ejemlo 3.+! 9aa la .unci%n e !robabilia binomial con !arámetros n 10 ! 0"@, eterminemos la !robabilia !( 3 36)
Solución =ara calcular esta !robabilia utilizaremos su euialente ao ue es una istribuci%n iscreta ue toma solo alores enteros" = (@ 3 35) !( @) H !( 4) H !(* 5) 10 !
( 10 −3 ) ! 3 ! (0"@)
10 ! 7
(0"7)
H
10 ! 4
6
( 10 −4 ) ! 4 ! (0"@) (0"7) H
( 10 −5 ) ! 5 ! (0"@)
(0"7) 0"66 H 0"0001 H 0"10D 0"56D Irácamente se tiene ue
Ejemlo 3.++ 9aa la .unci%n e ensia enia !or B(10, 0"@), encontremos la es!eranza, arianza esiaci%n estánar"
Solución &os alores e n 10, ! 0"@ 0"7 los utilizaremos !ara eterminar lo si'uiente s!eranza () n ! 10(0"@) @ 8arianza 8ar () n! 10 (0"@) (0"7) "1 9esiaci%n estánar
σ
√ 2.1 1"45
Distribución de -oisson Simeon Denis -oisson (171 140) .ue un .sico matemático e ori'en .ranc$s ue se eic% al estuio e la electricia, la astronoma e incursiono en la 'eometra i.erencial en el cálculo e !robabiliaes" n esta :ltima, lo'ro el moelo e la istribuci%n iscreta ue llea su nombre, sieno este consierao como el trabajo más im!ortante ue realizo" >na ariable aleatoria se ice ue tiene una istribuci%n =oisson e !arámetro lama (=(, λ)) si tiene una .unci%n e ensia aa !or =( , N) =( *)
λ e x !
0, 1, , F"
9%ne e Base e los lo'aritmos naturales Oumero e $*itos ue se esea obtener N 8alor es!erao, meia o !romeio e las ocurrencias urante un interalo e tiem!o"
= (, N) mie la ocurrencia e * $*itos ue suceen en una unia e tiem!oE el n:mero !romeio e ocurrencias es N, toos los alores son ine!enientes e lo ue ocurre en otro interalo e tiem!o"
Ejemlo 3.3, /e tiene una istribuci%n e =oisson con !arámetro N 5" Calcula la !robabilia e *, si la ariable aleatoria toma los alores e 1, @"
Solución
&a !robabilia e ue la ariable aleatoria sea i'ual ue * es
λ e x !
>tilicemos esta relaci%n !ara calcular las !robabiliaes anteriores" 1
=( 1)
1! 2
=( )
−5
5 e
−5
5 e
2!
5
=( @)
3
0"0@@7
0"04
−5
e 3!
0"1404
Ejemlo 3.3! ealizaremos la 'rá.ica e la .unci%n e !robabilia e =oisson, si N 1 los alores e son * 1, , @,F"" 10" /abemos ue la .unci%n e !robabilia es x
− x
x e =(*, N) = ( *) x !
,
* 0, 1, F
Calculemos !ara los alores e * las si'uientes !robabiliaes 0
= ( 0)
0! 1
= ( 1)
2
= ( @)
,
,
3!
0
0"@67D
e
1
0"@67D
−1
,
−1
1 e
e
−1
−1
e 2!
3
−1
−1
1 e 1!
1
= ( )
−1
1 e
e
2
0"1@D
−1
,
e
6
0"061@ −1
#oos los emás alores e la .unci%n e !robabilia son e la .orma
e x !
−1
=( 4)
e
4!
−1
0"015@
e
=( 5)
0"00@
5!
=( 10)
−1
e
10 !
1 * 10 -7 −1
=( 6)
e
6!
−1
0"0005
e
=( 7)
−1
=( )
e
8!
0"00007
7! −1
D * 10 -6
e
=( D)
1 * 10 -6
9!
=ara los alores e * 5 en aelante, los alores ue toma la .unci%n son mu !eueMos, e manera ue en la 'ráca a!arecen como si .uera cero, sieno esta una caracterstica e la istribuci%n e =oisson"
Ejemlo 3.3+ 9aa la .uncion e !robabilia e =oisson con !arámetros N " 9eterminemos la !robabilia =(* 3@)
Solución =ara calcular esta !robabilia es lo mismo si eterminamos el alor e =(* 3), a ue solo toma alores enteros la .unci%n, el alor entero e 3 @ es 3 3 , !or ello +allamos las !robabilia menores ue @ las sumamos" 2
=( G ) =( 0) H =( 1) H =( )
∑ − i
0
2
1
−2
e i!
2
0
−2
e 0!
1
H
−2
2 e 1!
2
H
2
−2
e 2!
0"1@5@ H 0"707 H 0"707 0"6767 Irácamente se tiene
Ejemlo 3.33 9aa la !robabilia e =oisson con !arámetros N " 9eterminemos la !robabilia =( K @)"
Solución Calcular esta !robabilia el alor e !( K 4) es lo mismo, a ue solo toma alores enteros e la .unci%n, la cual !oemos eterminar utilizano el com!lemento e la .unci%n" =(* K 4) 1 !( 3 @)
3
1-
∑ −
1-
(
i
1
2
0
0
−2
2 e 0!
−2
e i!
1
−2
2 + e 1!
2
−2
2 + e 2!
3
−2
2 + e 3!
)
1 (0"1@5@ H 0"707 H 0"707 H 0"104) 0"14D Irácamente se tiene
Ejemlo 3.3 9aa la soluci%n e !robabilia e =oisson con !arámetros 9eterminemos la !robabilia ! ( 3 36)"
Solución" =ara calcular esta !robabilia, eterminemos el alor e ! (@ 3 35)"
N "
3
= (@ G G 5)
(
3
−2
2 e 3!
4
−2
2 + e 4!
∑ − i
1
2
0
5
−2
e i!
−2
2 + e 5!
)
0"104 H 0"0D0 H 0"0@61 0"0@067 Irácamente se tiene
/i es una ariable aleatoria ue se istribue como =oisson con !arámetros N entonces () N
8ar() N
σ
√ Var ( X ) √ λ
Ejemlo 3.35 9aa la .unci%n e !robabilia e =oisson con N " 9eterminemos la es!eranza la esiaci%n estánar"
Solución Como N , solo basta con sustituir en las .%rmulas ue se tienen" () N
Ejemlo 3.3$
8ar () N
σ
√ Var ( X ) √ 2
>na cajera recibe en !romeio 5 billetes .alsos !or a" PCuál es la !robabilia e ue reciba cuatro billetes .alsos en un a cualuieraQ PRu$ reciba cuarenta billetes .alsos en la semana (6 as)Q /oluci%n /ea i'ual ue la ariable aleatoria ue nos ene el n:mero e billetes .alsos ue recibe en un a, * 0, 1, ,F &a unia e tiem!o es un a, !or lo ue N 5, a ue son los billetes .alsos ue recibe en la unia e tiem!o" 4
=( 4)
−5
5 e
0"1755
4!
=ara la se'una !re'unta el alor e N cambia, !ues el n:mero e as es 6 el n:mero e billetes !or a son 5E entonces, !or semana se obtiene ue N 5 * 6 @0" =( 40)
40
−35
e 40 !
30
0"01@D
Ejemlo 3.3% /u!on'amos ue en la caseta e cobro e Cuernaaca, obseramos los tiem!os e lle'aa e los autom%iles a ic+a caseta" /i la raz%n meia e lle'aas e autom%iles es N 1"5 autom%iles !or minuto el interalo e tiem!o es e un se'uno a) PCuál es la !robabilia e ue lle'ue e*actamente un autom%ilQ b) PCuál es la !robabilia e ue no lle'ue nin':n autom%ilQ
/oluci%n 1
n un !erioo e lon'itu + 1 se'uno
( ) 1
!robabilia N S + (1"5) S
60
60
e minuto, +a una
1
40
0"05 e ue lle'ue
e*actamente un autom%ilE mientras ue la !robabilia e ue no lle'ue nin':n autom%il en este tiem!o es el com!lemento e la !robabilia e ue lle'ue un autom%il e*actamente, es ecir
( ) 1
1 N+ 1 (1"5) S
1
1-
40
1 - 0"05 39
40
0"D75
60
Ejemlo 3.3* l irus e la inTuenza a!arece en la salia a raz%n e os !or centmetro cubico e salia" /u!on'amos ue este .en%meno se istribue como una ariable aleatoria e =oisson" Uallemos a) PCuál es la !robabilia e ue en una muestra e os centmetros c:bicos e salia no +aa nin':n irusQ b) PCuál es la !robabilia e ue en una muestra e os centmetros c:bicos e salia !or lo menos +aan os irusQ
Solución" Como el n:mero e irus si'ue una istribuci%n e =oisson, entonces ebemos calcular su !arámetro" n este caso está ao !or Nt () 4, !orue N es la raz%n en el cual +allamos el irus !or centmetro cubico t es el olumen e la muestra ue estamos consierano" 9enimos los eentos A no +a irus en la muestra" B +a os o más irus en la muestra" ntonces = (A) e e -4 0"01@ = (B) 1 5e -4 0"D04
Ejemlo 3., >n ju'aor e .utbol tiene un !romeio !or !artio e 1"@ 'oles" 9eterminemos la !robabilia e ue anote a) >n 'ol b) #res 'oles c) =or lo menos un 'ol
Solución" a) =ara 1, μ 1"@ 1.3
[¿ ]
¿ ¿1 ¿
=(* 1)
−1.3
e
¿
−1.3
1"@ e
0"@54@
¿
b) =ara @, μ 1"@ 1.3
[¿ ]
¿ ¿3 ¿
=(* @)
−1.3
e
¿
−1.3
1"@ e
¿
c) =ara L 1, μ 1"@
0"0DD
1.3
[¿]
¿ ¿0 ¿
=(* L 1) 1 =( 0) 1 -
−1.3
e
¿
− 1.3
1"@ e
0"775
¿
3.# DISTRIBUCIONES CONTINUAS Distribución norm'l o de &'uss n 1D7@ 9e Voire .ue el !rimero en utilizar esta istribuci%n, en 10D Iauss realizo un am!lio trabajo sobre esta .unci%n !or ello se le conoce como c'm'n' de &'uss" s una .unci%n continua ue escribe un 'ran n:mero e e*!erimentos a eso se ebe su 'ran a!licaci%n" /ean μ y σ n:meros reales cualesuiera, con tiene istribuci%n normal e !arámetros ensia está aa !or
μ > 0. >na ariable aleatoria
μ y σ (O ( μ σ ¿ ¿ si la .unci%n e
?(*E μ , σ ¿
1
- ∞ < X < ∞
σ √ 2 π e
−∞< μ < ∞; σ > 0.
/us !arámetros son μ , σ arian
&a istribuci%n norma es e 'ran im!ortancia en la estastica, a ue muc+os .en%menos continuos si'uen esta istribuci%n o !ueen a!ro*imarse !or ella" /e !uee utilizar !ara a!ro*imar arias istribuciones iscretas es !arte e la teora !ara la in.erencia estastica !or su relaci%n con el teorema central el lmite" &a distribución norm'l es una cura tiene un !unto central e má*ima .recuencia ue recibe el nombre e meia e la istribuci%n"
s una .unci%n ue cum!le con las !ro!ieaes e ser maor o i'ual ue cero el área bajo la cura e esta .unci%n es uno" s simetra con res!ecto a la meia" &a meia, meia moa toman el mismo alor" &a cura es asint%tica al eje e las abscisas" =ara calcular la !robabilia e una .unci%n continua, utilizaremos la .unci%n e istribuci%n acumulatia ?(*E μ , σ ) !( G *), la ue está enia !or 1
?(*E
μ , σ ) !( G *)
e ∫ −
2
( 1−t ) 2
2 σ
t
∞
n ella su recorrio e inte'raci%n es e menos innito +asta el alor e *"
>tilizano las !ro!ieaes e la inte'ral sacamos el .actor constante e la inte'ral
1
1
σ
∫e 2 σ
√
( 1−t )2
−∞
2
2 σ
t
sta inte'ral se !uee ealuar con al'una calculaora cientca o al':n !ro'rama !ara calcular inte'rales, e los cuales e*isten muc+os en el mercao" /e ebe tener en cuenta ue los alores e más o menos innito corres!onen a n:meros mu 'ranes o mu !eueMos, en los cuales el área tiene a cero" s !osible +acer los cálculos como se realizaban anti'uamente, usano tablas, se tenran ue +acer n:meros mu 'ranes !ara encontrar toos los alores ue tomaran las ariables μ σ , lo cual es te%ricamente im!osible" &o anterior nos llea a e.ectuar una estanarizaci%n e la .unci%n e ensia e !robabilia e la ariables aleatoria normal, ue nos !ermite tener un solo ti!o e tablas" &a estanarizaci%n e la .unci%n normal se reere a ue cualuier .unci%n e ensia normal o con !arámetros μ y σ se conierta en una .uncion e !robabilia con !arámetros
μ= 0 y σ = 1 , con lo ue se
obtiene una normal ue se conoce como la normal estanarizaa o como un anormal cero, uno, .(*E 0, 1)" =ara estanarizar una normal enimos una .unci%n ue llamaremos
( x − μ ) 1
W
σ
−´ x
1
/i se trata e la !oblaci%n, en el caso e tener una W
x ¿
¿ ¿ ¿
, one *, es un
ato, * es la meia muestral s es la esiaci%n estánar, a W la llamamos /'lor est'nd'ri0'do" Como se tiene una .racci%n one el enominaor es siem!re !ositio, entonces el numeraor es el ue ará el si'no a la .racci%n esta será ne'atia cuano el ato sea menor ue la meiaE será !ositio cuano el ato sea maor ue la meia, cero cuano el ato la meia sean i'uales"
Ejemlo 3.5 ealiza la estanarizaci%n e las si'uientes calicaciones e un alumno , 4, 5, 6 "
Solución" Xbtenemos la meia la esiaci%n estánar
μ=5 y σ =2 , estos !arámetros
nos inican una ariable aleatoria con .unci%n e ensia normal O(5,) !oemos estanarizarla como una ariable aleatoria con .unci%n e ensia O(*E 0, 1) con las mismas !ro!ieaes"
1i
2i 4 μ
6 7 21i 8 μ 9
+ D
( 2−5 ) W
4
( 4 −5 )
1 W
5
0
2
2
(8 −5)
D W
/uma 5
=−0.5
( 6 −5 )
1 W
2
=−1.5
( 5− 5 )
0 W
6
2
2
σ
=0
= 0.5 =1.5
:'lor est'nd'ri0'do -1"5
-0"5
0
0"5
1"5
Ejemlo 3.# /e tiene una cura normal con meia i'ual ue 500 una esiaci%n estánar i'ual ue 5" 9eterminemos las si'uientes !robabiliaes !( G 5@5) !( L 5@5)"
Solución" Con los atos si'uientes * 5@5,
μ 500
σ 5, !roceemos a
encontrar el alor estánar x 1− μ W
σ
535 −500
25
1"4
n la 'ráca si'uiente se muestra estanarizaas
caa una e
las
!robabiliaes
=ara calcular esta !robabilia usamos las tablas O (0, 1)" n la !rimera columna e la tabla se encuentra el alor e W si este es !ositio, ese 0 +asta 4, con incrementos e un $cimo, en el !rimer ren'l%n se encuentran los alores e z incrementaos en un cent$simo, as !ara buscar el alor W 1"4 ue se .orma !or el 1"4 cero cent$simos, se localiza en la se'una columna el ren'l%n ue se reere a 1"4" W 1"4
0 0"D1 0
0"01 0"D 07
0"0 0"D
0"0@ 0"D @6
0"04 0"D 5
0"05 0"D 65
0"06 0"D 7D
0"07 0"D D
0"0 0"D@ 06
0"0D 0"D@ 1D
As la !robabilia e !( G 5@5) ! (W G 1"4) 0"D1D, ue corres!one a la !arte sombreaa e la 'ráca" =ara calcular el alor e !( G 5@5) ! (W G 1"4), se sabe ue el área bajo la cura e la .unci%n e ensia es i'ual ue 1, !or lo ue escribimos !( G 5@5) H !( L 5@5) !(W G 1"4) H !(W L 1"4) 1 ntonces !(W L 1"4) 1 !(W G 1"4) 1 0"D1D 0"00
Ejemlo 3.$ /e tiene una cura normal con meia i'ual ue 50 una esiaci%n estánar i'ual ue 7" 9eterminemos las si'uientes !osibiliaes !( G @D) !( L @D)"
Solución" Con los atos si'uientes, * @D, , encontrar el alor estánar W
x − μ σ
39
−50 7
- 1"57
μ
50
σ 7, !roceemos a
n la
'ráca
si'uiente se muestra
caa una e las estanarizaas"
!robabiliaes
=ara calcular esta !robabilia utilizamos las tablas e O (0, 1), en las ue ebemos obserar ue la !robabilia está enia !ara alores !ositios e W, !or lo ue em!learemos la simetra e la cura obseremos ue es lo ue sucee al usar el eje e simetra"
Xbseremos ue las áreas son i'uales, !or lo ue el cálculo e la !robabilia es = (W G - 1"57) ! (W L 1"57) =ara calcular esta !robabilia tenemos ue restar a uno el área e ! (W L 1"57), !or lo ue escribimos = (W G - 1"57) !(W L 1"57) 1 !(W L 1"57) >tilicemos la tabla !ara realizar este cálculo" n la !rimera columna se encuentra el alor e W, localizamos 1"5 el alor 0"07, !ara .ormar el 1"57, one encontramos el alor 0"D41, este es el alor e ! (W L 1"57)" W 1"5
0 0"01 0"0 0"0@ 0"04 0"05 0"06 0"D@ 0"D@ 0"D@ 0"D@ 0"D@ 0"D@ 0"D4 @ 45 57 70 D4 06 = (W G - 1"57) ! (W G 1"57) 1 0"D41 0"05 Rue corres!one a la !arte sombreaa e la 'ráca"
0"07 0"D4 1
0"0 0"D4 D
0"0D 0"D4 41
=ara calcular el alor e !( L - @7) !(W L - 1"57), buscamos el alor 1"57 en la 'ráca eterminemos el área ue eseamos calcular"
>sano la simetra la soluci%n anterior, tenemos 'rácamente ue esta área corres!one a calcular el área si'uiente
=ara el cálculo e esta !robabilia =( L - @D) ! (W L - 1"57) !(W G 1"57) >tilicemos la tabla !ara encontrar este alor" n la !rimera columna e la tabla se encuentra el alor e W, localizamos 1"5 sobre el ren'l%n encontramos el alor e 0"07 !ara .ormar 1"57, one encontramos el alor 0"D41, este es el alor e ! (W G 1"57)" W 1"5
0 0"D@ @
0"01 0"D@ 45
0"0 0"D@ 57
0"0@ 0"D@ 70
0"04 0"D@
0"05 0"D@ D4
0"06 0"D4 06
0"07 0"D4 1
0"0 0"D4 D
0"0D 0"D4 41
Ejemlo 3.% /e tiene una cura normal con meia i'ual ue @0 una esiaci%n estánar i'ual ue 7" 9eterminemos las si'uientes !robabiliaes =(5 G G @D)"
Solución"
Con los atos si'uientes -5 G G @D,
μ @0
σ 7, !roceemos a
encontrar el alor estánar W
x − μ σ
n la
'ráca
25
−3 0 - 0"714@ G W G W
7
si'uiente se muestra
x − μ σ
39 −3 0 7
caa una e las estanarizaas"
1"57 !robabiliaes
Irácamente realizamos los si'uientes cálculos
Calculamos la !rimera e ellas = (W G 1"57) 0"DD7 W 1"
0 0" 4D
0"01 0" 6D
0"0 0"
0"0@ 0"D 07
0"04 0"D 5
0"05 0"D 44
0"06 0"D 6
0"07 0"D 0
0"0 0"D D7
0"0D 0"D0 15
&a se'una se obtiene e la si'uiente .orma ecoremos ! (W G - 0"714@) !(W L 0"714@) 1 !(W 3 0"714@) 1 0"7611 0"@D W 0"7
0 0"75 0
0"01 0"76 11
0"0 0"76 4
0"0@ 0"76 7@
0"04 0"77 04
0"05 0"77 @4
0"06 0"77 64
0"07 0"77 D4
0"0 0"7 @
0"0D 0"7 5