PROBABILIDAD
Dado un experimento y cualquier evento : La
expresión () denota la probabilidad de que
ocurra el evento .
() constituye la proporción de veces que se
pres presen enta ta el evento ento en el tiempo, si es que el experimento se realizara una y otra vez.
Dado un experimento y cualquier evento : La
expresión () denota la probabilidad de que
ocurra el evento .
() constituye la proporción de veces que se
pres presen enta ta el evento ento en el tiempo, si es que el experimento se realizara una y otra vez.
AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD Sea un espacio muestral. Entonces = 1. Para cualquier evento , 0 ≤ () ≤ 1. Si y son eventos mutuamente excluyentes, entonces ∪ = + (). De forma más eneral, si , , ! son eventos mutuamente excluyentes, entonces ∪ ∪ ⋯ = + + ⋯. Sea y cualesquiera cualesquiera eventos, eventos, entonces: ∪ = + − ( ∩ )
E"E#$%S '($()'E#$E E*+L(E#$ES
Los eventos y son mutuamente excluyentes
AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD Para cualquier evento , = 1 − ()
Esta ecuación establece que la probabilidad de que un evento no ocurra es iual a - menos la probabilidad de que ocurra. Por eemplo, si existe una probabilidad de /01 de que llueva, 2ay una probabilidad de 301 de que no llueva.
AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD Si ∅ denota el espacio vac4o, entonces ∅ =0
Esta ecuación establece que es imposible que un experimento no tena nin5n resultado.
PROBABILIDAD SIMPLE Si un espacio muestral contiene resultados iualmente
probables, la probabilidad de cada resultado es .
Si es un espacio muestral que contiene resultados iualmente probables y si es un evento que contiene resultados, entonces =
EJEMPLO 1 (n troquel de extrusión produce varillas de aluminio.. Para cada una de las varillas, la lonitud puede ser demasiado corta, demasiado lara o esta bien y el diámetro se clasifica en muy delado, muy rueso o esta bien. En una población de mil varillas, el n5mero de ellas en cada clase es: Diámetro
Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga
Muy delgado 10 38 2
Está bien 3 900 25
Muy grueso 5 4 13
EJEMPLO Si se toma una varilla al azar: a6 7+uál es la probabilidad de que sea demasiada corta8 b6 7+uál es la probabilidad de que sea muy ruesa8 c6 7+uál es la probabilidad de que sea demasiado corta y muy ruesa8 d6 7+uál es la probabilidad de que sea demasiado corta o muy ruesa8
EJEMPLO 1 Diámetro
Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga
Muy delgado 10 38 2
Está bien 3 900 25
Muy grueso 5 4 13
a6 El n5mero de varillas que tienen lonitud demasiado cortas es -099;<-= =
1! 1000
EJEMPLO 1 Diámetro
Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga
Muy delgado 10 38 2
Está bien 3 900 25
Muy grueso 5 4 13
b6 El n5mero de varillas de diámetro muy rueso es ;9/9-<>> "# $" =
%% 1000
EJEMPLO 1 Diámetro
Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga
Muy delgado 10 38 2
Está bien 3 900 25
Muy grueso 5 4 13
c6 El n5mero de varillas con lonitud demasiado corta y diámetro muy rueso son ;. # "# $" =
& 1000
EJEMPLO 1 Diámetro
Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga
Muy delgado 10 38 2
Está bien 3 900 25
Muy grueso 5 4 13
d6 El n5mero de varillas que son demasiado cortas o muy ruesas es -099;9/9-<;. "# $" =
'& 1000
EJEMPLO 1 d6 El n5mero de varillas con lonitud demasiado corta y diámetro muy rueso son ;. "# $"
=
"# + − $" # "# $"
1! %% & = + − "# $" 1000 1000 1000 '& = "# $" 1000
EJEMPLO 2 En un proceso de fabricación de latas de aluminio, la probabilidad de que una lata tena aluna fisura en su costado es de 0.0>, la de que otra la tena en la tapa es de 0.0 y de que una más presente una fisura en el costado y en la tapa es de 0.0-. Si se elie una lata al azar: a6 7+uál es la probabilidad de que al eleir una lata en forma aleatoria tena una fisura8 b6 7+uál es la probabilidad de que no la tena8
EJEMPLO 2 Solución: " * = 00% " * , = 00' " * # * , = 001
a6
La probabilidad de que una lata tena una fisura es:
" = (" * " * ,) " * " * ,
" " " * = + * − * # " , * ,
EJEMPLO 2
" * = 00% + 00' − 001 " * ,
" * " * , = 00-
b6 Para determinar la probabilidad de que una lata no tena ninuna fisura, se calcula $" " = 1 − (") $" " = 1 − 00 $" " = 0./
PROBABILIDAD CONDICIONAL La
probabilidad de que un evento ocurra cuando se
sabe que ya ocurrió al5n evento se llama probabilidad condicional y se denota por 2 .
El s4mbolo 2
por lo eneral se lee ?la
probabilidad de que ocurra dado que ocurrió ? o simplemente ?la probabilidad de , dado ?.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sea
y
eventos con () 3 0 . La
probabilidad condicional de , dado se define mediante la ecuación: =
4 5∩6 4 6
si 7 0
EJEMPLO 1 En un proceso de fabricación de latas de aluminio, la probabilidad de que una lata tena aluna fisura en su costado es de 0.0>, la de que otra la tena en la tapa es de 0.0 y de que una más presente una fisura en el costado y en la tapa es de 0.0-. Si se elie una lata al azar: a6 7+uál es la probabilidad de que una lata tena una fisura en el costado, dado que tiene una fisura en la tapa8 b6 7+uál es la probabilidad de que una lata tena una fisura en la tapa, dado que tiene una fisura en el costado8
EJEMPLO 1 a) Solución: Se tiene que
" * , = 00' y " * # " * , = 001
que utilizando la ecuación de probabilidad condicional se tiene que:
" * " * , =
89:;< > >? @:AB@ 4 C 89:;< > ? AD 4 89:;< > ? AD
" * " * , =
001 00'
" * " * , = 0''
EJEMPLO 1 b) Solución: Se tiene que
" * = 00% y " * # " * , = 001
que utilizando la ecuación de probabilidad condicional se tiene que:
" * , " * =
89:;< > ? AD 4 C 89:;< > >? @:AB@ 4 89:;< > >? @:AB@
" * , " * =
001 00%
" * , " * = 0&
EJEMPLO 2 La
probabilidad
de
que
un
vuelo
proramado
normalmente sala a tiempo es = 0!' , la probabilidad de que lleue a tiempo es = 0!%, y la probabilidad de que sala y lleue a tiempo es ∩ = 0E!.
a6 7+uál es la probabilidad de que un avión lleue a tiempo, dado que salió a tiempo8 b6 7+uál es la probabilidad de que un avión sala a tiempo, dado que lleó a tiempo8
EJEMPLO 2 a6 La probabilidad de que un avión lleue a tiempo, dado que salió a tiempo es: =
∩
∩ = 0E! = 0!'
=
0E! 0!'
= 0.'.E
EJEMPLO 2 b6 La probabilidad de que un avión sala a tiempo, dado que lleo a tiempo es: =
∩
∩ = 0E! = 0!%
=
0E! 0!%
= 0.&1%
EVENOS INDEPENDIENES
Dos eventos
y
son independientes si la
probabilidad de cada uno es la misma si ocurren o no los demás eventos. =
F
=
De otra forma, y son dependientes.
EJEMPLO 1 (n troquel de extrusión produce varillas de aluminio.. Para cada una de las varillas, la lonitud puede ser demasiado corta, demasiado lara o esta bien y el diámetro se clasifica en muy delado, muy rueso o esta bien. En una población de mil varillas, el n5mero de ellas en cada clase es: Diámetro
Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga
Muy delgado 10 38 2
Está bien 3 900 25
Muy grueso 5 4 13
EJEMPLO 1 Determinar
y
( *$) *$ "# *$ .
*$ =
-0 1000
= 00-
Diámetro
Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga
Muy delgado 10 38 2
Está bien 3 900 25
Muy grueso 5 4 13
EJEMPLO 1 *$ # "# *$ *$ "# *$ = ("# *$) *$ "# *$ =
%G1000 &0G1000
= 00-0
Diámetro
Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga
Muy delgado 10 38 2
Está bien 3 900 25
Muy grueso 5 4 13
EJEMPLO 1
La probabilidad condicional y la probabilidad incondicional son las mismas. La información de que la varilla es muy anosta no cambia la probabilidad de que la varilla es demasiado lara.
El
evento de que una varilla es demasiada lara y el
evento de que una varilla es muy anosta son
in!"#"n!i"n$"s.
RE%LA DE LA M&LIPLICACI'N
)lunas veces se conoce
y se desea
encontrar ∩ .
Si y son dos eventos con () 3 0, entonces ∩ =
Si y son dos eventos con () 3 0, entonces ∩ =
RE%LA DE LA M&LIPLICACI'N
Si y son eventos independientes, entonces ∩ = ()
Si , , ! son eventos independientes, entonces ∩ ∩ ⋯ ∩ = H( )
Por
lo tanto, para obtener la probabilidad de que
ocurran dos eventos independientes, simplemente calculamos el producto de individuales.
sus probabilidades
EJEMPLO 1 (n sistema contiene dos componentes, y . )mbos componentes deben funcionar para que el sistema trabae. La probabilidad de que el componente falle es de 0.0= y de que el lo 2aa es de 0.0;. Supona que los dos componentes funcionan de manera independiente. 7+uál es la probabilidad de que el sistema funcione8
EJEMPLO 1 Solución: La probabilidad de que el sistema funcione es la probabilidad de que ambos componentes funcionen. " * = (" # " )
Puesto que los componentes funcionan de manera independiente, " # " = " " " # " = 1 − ( **) 1 − ( **)
" # " = (1 − 00!)(1 − 00&) " # " = (0.%)(0.&) " # " = 0!E-