Probabilidad de un evento
La probabilidad de la ocurrencia de un evento que resulta de tal experimento estadístico se evalúa por medio de un conjunto de números reales denominados pesos o probabilidades que van de 0 a 1. Para todo punto en el espacio muestral asignamos una probabilidad tal que la suma de todas las probabilidades es 1. Si tenemos razón para creer que es bastante probable que ocurra cierto punto muestral cuando se lleva a cabo el experimento, experimento, la probabilidad probabilidad que se le asigne debe ser cer cana a 1.
Por otro lado, una probabilidad cercana a cero se asigna a un punto muestral que no es probable que ocurra. En muchos experimentos, como lanzar una moneda o un dado, todos los puntos maestrales tienen la misma oportunidad oportunidad de ocurrencia ocurrencia y se le s asignan probabilidades probabilidades iguales. Para puntos fuera del espacio muestral, es decir, para eventos simples que no es posible que ocurran, asignamos una propiedad de cero. Para encontrar la probabilidad de un evento A, sumamos todas las probabilidades que se asignan a los puntos maestrales en A. Esta suma se denomina probabilidad de A y se denota con P(A).
La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A. Por lo tanto, 0<=P(A) <=1, P ()=0, P(S)=1 Ejemplo1 Se lanza dos veces una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos una cara?
Solución: El espacio muestral para este experimento es
S= {HH, HT, TH, TT}
Si la moneda moneda esta balanceada, cada cada uno de estos resultados tendrá tendrá la misma probabilidad de ocurrencia. Por tanto, asignamos una probabilidad de w a
cada uno de los puntos muestrales. Entonces 4w=1 o w=1/4. Si A representa el evento que ocurra al menos una cara. Entonces
A= {HH, HT, TH} y P(A)= ¼ +¼+¼ = ¾ Ejemplo2 Se carga un dado de forma que sea dos veces más probable que salga un número par que uno non. Si E es el evento de que ocurra un numero numero menos que que 4 en un solo solo lanzamiento lanzamiento del dado, dado, encuentre P (E).
Solución: El espacio muestral es S= {1, 2, 3, 4, 5,6}. Asignamos una probabilidad de w a cada número non y una probabilidad de 2w a cada número par. Como la suma de las probabilidades debe ser 1, tenemos 9w=1 o w=1/9. Por ello se asignan probabilidades de 1/9 y 2/9 a cada número non y par, respectivamente. Por lo tanto,
E= {1, 2,3} y P (E)=1/9+2/9+1/9=4/9
Ejemplo3 En el ejemplo2 sea A el evento de que salga un numero para y sea B el evento de que salga un numero divisible entre 3. Encuentre P (PUA) y P (AB). Solución: Para los eventos A= {2, 4,6} y B {3,6} tenemos
AUB= {2, 3, 4,6} Y AB= {6}
Al asignar una probabilidad de 1/9 a cada numero non y 2/9 a cada numero par, tenemos P (AUB)=2/9+1/9+2/9+2/9=7/9 (AUB)=2/9+1/9 +2/9+2/9=7/9 y P (AB)=2/9
R eglas eglas
Aditivas
A menudo es más fácil calcular la probabilidad de algún evento a partir del conocimiento de las probabilidades de otros eventos. Esto puede ser cierto si el evento en cuestión se puede representar como la unión de otros dos eventos o como el complemento de algún evento. A continuación se presentan varias leyes importantes que con frecuencia simplifican el cálculo de probabilidades. La primera, que se denomina regla aditiva, se aplica a uniones de eventos.
Si A y B son s on cualesquiera dos eventos, entonces P (AUB) =P (A) +P (B)-P (AB)
Considere el diagrama de Venn de la figura P (AUB) es la suma de las probabilidades de los puntos muestrales en AUB. Ahora bien P(A) + P (B) es la suma de las probabilidades en A mas la suma de todas las probabilidades en B. Por tanto, súmanos dos veces las probabilidades en (AUB). Como estas probabilidades se suman a P (AB), debemos restar esta probabilidad una vez para tener la suma de las probabilidades en AUB, que es P (AUB).
Figura: Regla aditiva de probabilidad
Cololario1: Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P (AUB)= P(A) + P (B) Corolario2: Si A1, A2, A3,«An son mutuamente excluyentes, entonces P (A1UA2U«UAn)=P (A1)+P (A2)+«+P (An) Cololario3: Si A1, A2, A3,«Anes una partición de un espacio muestral S, entones P (A1UA2U«UAn)=P (A1)+P (A2)+«+P (An) = P(S) =1 Ejemplo1 La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es 2/3, y la probabilidad de que apruebe ingles es 4/9. Si la probabilidad de aprobar ambos cursos es ¼, ¿Cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de estos cursos?
Solución: Si M es el evento ³Aprobar matemáticas´, y E el evento ³Aprobar ingles´, entonces por la regla de adición tenemos P (MUE)=P (M)+P (E)-P (ME)= 2/3+4/9-1/4=31/36
Ejemplo2 Si las probabilidades de que un mecánico automotriz de servicio a tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho o mas autos en un día de trabajo dado son 0.12, 0.19, 0.28, 0.24, 0.10, 0.07, respectivamente, ¿Cuál es la probabilidad de que de servicio al menos a cinco autos el siguiente día de trabajo? Solución: Sea E el evento de que al menos cinto autos reciban servicio. Ahora bien, P (E)=1-P (E¶). Donde E¶ es el evento de que menos d cinco autos reciban servicio. Como
P (E¶)=0.12+0.19=0.31
Se sigue
P (E)= 1- 0.31 = 0.69
Probabilidad Condicional
La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que ya ocurrió algún evento A se llama probabilidad condiciona y se denota por P (B|A). El símbolo P (B|A) por lo general se lee ³La probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A´ o simplemente ³La probabilidad de B, dado A´
Considere el evento B de obtener un cuadro perfecto cuando se lanza un dado. El dado se construye construye de modo que los números pares ten gan el doble de probabilidad de ocurrencia que los números nones. Con base en el espacio muestral S= {1, 2, 3, 4, 5,6}, con probabilidades asignadas de 1/9 y 2/9 respectivamente, respectivamente, a los l os números impares y paras, la probabilidad probabilidad de que ocurra B es 2/3. Suponga ahora que se sabe que el lanzamiento del dado tiene como resultado un número mayor que 3. Tenemos ahora un espacio muestral reducido A= {4, 5,6}, que es un subconjunto de S. Para encontrar la probabilidad probabilidad de que que ocurra B, en relación con con el espacio S, S, de bemos asignar primero nuevas probabilidades a los elementos de A proporcionales a sus probabilidades originales de modos que su suma sea 1. Al asignar una probabilidad de w al numero non en A y una probabilidad de 2w a los dos números pares, tenemos 5w=1 0 w=1/5. En relación con el espacio A, encontramos que B contiene solo el elemento 4. Si denotamos este evento con el símbolo B|A, escribimos B|A= {4}, y de aquí
P (B|A)=2/5
Ejemplo 2.31 La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P (D)=0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es P(A)=0.82; y la probabilidad de que salga y llegué a tiempo es P (DA)=0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión a) Llegue a tiempo, tiempo, dado que salido a tiempo y b) salio a tiempo, tiempo, dado que llego a tiempo.
Solución: a) La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salio a tiempo es:
P (A|D)= P(DA)/P(D)=0.78/0.83=0.94
b) La probabilidad de que un avión saliera a tiempo, dado que llego a tiempo es P (D|A)= P (DA)/P(A)= 0.78/0.82=0.95
eglas Multiplicativas R eglas
Al multiplicar P (D|A)= P (DA)/P(A) por P(A), obtenemos la siguiente regla multiplicativa importante, que nos permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos.
Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces P (AB)= P(A) P (A|B)
Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurran A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurre A. Como los eventos AB y BA son equivalentes, se sigue del teorema anterior que también podemos escribir P (AB)= P (BA)= P (B) P (A|B) En otras palabras no importa cual evento se considera como A y cual como B.
Suponga que tenemos una caja de fusibles fusibles que con tiene 20 Ejemplo1 Suponga unidades, de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se separan de la caja uno después de otro sin reemplazar el primero, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?
Solución: Sean A el evento de que el primer fusible este defectuoso y B el evento de que el segundo este defectuoso; entonces interpretamos A B como el evento de que ocurra A, y entonces B ocurre después de que ocurre A. La probabilidad de separar separar primero un fisible defectu oso es ¼; entonces la probabilidad de separar un segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es 4/19. Por ello P (AB)= (1/4) (4/19)=1/19
Ejemplo2 Una pequeña ciudad tiene un carro de bomberos y una ambulancia disponibles para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos este disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia ambulancia este disponible cuando cuando se le requiere es 0.92. En el caso de que resulte un herido de un edificio en llamas, encuentre la probabilidad de que la ambulancia y el carro de bomberos estén disponibles.
Solución: Sean A y B los respectivos eventos de que estén disponibles el carro de bomberos y la ambulancia. Entonces P (AB)= P (A) P (B)= (0.98) (0.92)= 0.9016
Luis Abelardo Roncancio Mahecha Contaduría Publica Código: 21200913777
