PROBLEMA Nº01: PROBLEMA DE DIETAS DEL HOSPITAL GENERAL MOUNTAIN VIEW El departamento de Nutrición del Hospital General Mountain View prepara 30 menús de cena, uno para cada día del mes. Una comida consiste en espagueti, pavo, papas en escalope, espinacas y pastel de manzana. Como director del Departamento de Nutrición, usted ha determinado que esta comida debe proporcionar 63 000 miligramos (mg) de proteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramos de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la tabla adjunta. Nutrientes proporcionados por las distintas comidas NUTRIENTE (mg / 100 g)
INGREDIENTES Espagueti Pavo Papas Espinacas Pastel de Manzana
PROTEINAS 5 000 29 300 5 300 3 000 4 000
HIERRO 1.1 1.8 0.5 2.2 1.2
TIACINA
TIAMINA
VITAMINA C
GRASA
1.4 5.4 0.9 0.5 0.6
0.18 0.06 0.06 0.07 0.15
0.0 0.0 10.0 28.0 3.0
5 0 00 5 0 00 7 9 00 300 14 300
Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de 300 gramos de espaguet espagueti, i, 300 gramos gramos de pavo, 200 gramos gramos de papas, papas, 100 gramos gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de nutrici nutrición, ón, usted desea desea determ determinar inar la composici composición ón de una comida comida que satisfac satisfacee los requerimientos nutricionales y proporciona la mínima cantidad de grasas.
SOLUCION DEL EJEMPLO DE MINIMIZACION 1. Determ Determina inació ciónn de de Variab Variables les Lo que nos interesa interesa es la cantidad (en g) de los alimentos que debemos utilizar para cumplir cumplir con las restricciones restricciones y la función objetivo. Debemos Debemos tener en cuenta que en la tabla de nutrientes, nutrientes, las concentraciones de cada nutriente estan dadas en función a 100 g de cada alimento, por lo cual, será mucho más cómodo definir a nuestras variables como la cantidad de 100 g de alimento que utilizaremos. espa = número de 100 gramos de espagueti a utilizar. pavo = número de 100 gramos de pavo a utilizar. papa = número de 100 gramos de papas a utilizar.
espi = número de 100 gramos de espinaca a utilizar. manz = número de 100 gramos de pastel de manzana a utilizar.
2. Determ Determina inació ción n de las Res Restri tricc ccion iones es Podemos distinguir distinguir en el problema 2 tipos de restricciones: las de concentración concentración de nutrientes y las de cantidad de alimento Restricciones de Concentración de Nutrientes •
Proteínas 5000*espa + 29300*pavo + 5300*papa + 3000*espi + 4000*manz >= 63000
•
Hierro 1.1*espa + 1.8*pavo + 0.5*papa + 2.2*espi + 1.2*manz >= 10
•
Niacina 1.4*espa + 5.4*pavo + 0.9*papa + 0.5*espi + 0.6*manz >= 15
•
Tiamina 0.18*espa + 0.06*pavo + 0.06*papa + 0.07*espi + 0.15*manz >= 1
•
Vitamina C 10*papa + 28*espi + 3*manz >= 50
Restricciones de Cantidad de Alimento espa <= 3, pavo <= 3, papa <= 2, espi <= 1, manz <= 1
3. Determ Determina inació ción n de la Funci Función ón Objet Objetivo ivo Debemos minimizar la cantidad de grasa presente en la comida. Minimizar: 5000*espa + 5000*pavo + 7900*papa + 300*espi + 14300*manz
4. Condi Condició ciónn de de No Negati Negativid vidad ad Como sabemos, el modelo de programación lineal no acepta variables de valores negativos, por cuanto: espa >= 0, pavo >= 0, papa >= 0,espi >= 0,manz >= 0
METODO SIMPLEX – DESARROLLO EN LINGO !(FUNCION OBJETIVO); min = 5000*espa + 5000*pavo + 7900*papa + 300*espi + 14300*manz;
!grasas;
!(RESTRICCIONES DE NUTRIENTES); 5000*espa + 29300*pavo + 5300*papa + 3000*espi + 4000*manz >= 63000;
!proteínas;
1.1*espa + 1.8*pavo + 0.5*papa + 2.2*espi + 1.2*manz >= 10;
!hierrro;
1.4*espa + 5.4*pavo + 0.9*papa + 0.5*espi + 0.6*manz >= 15;
!niacina;
0.18*espa + 0.06*pavo + 0.06*papa + 0.07*espi + 0.15*manz >= 1;
!tiamina;
10*papa + 28*espi + 3*manz >= 50;
!vitamina C;
!(RESTRICCIONES DE CANTIDAD DE ALIMENTO); espa <= 3; pavo <= 3; papa <= 2; espi <= 1; manz <= 1;
SOLUCION DEL MODELO Global optimal solution found at step: Objective value:
11
54800.00
Variable ESPA
Value
Reduced Cost
3.000000
0.0000000
PAVO
2.833333
0.0000000
PAPA
2.000000
0.0000000
ESPI MANZ
Row
1.000000
0.0000000
0.6666667
0.0000000
Slack or Surplus
Dual Price
1
54800.00
1.000000
2
51283.33
0.0000000
3
2.400000
0.0000000
4
7.200000
0.0000000
5
0.0000000
-83333.33
6
0.0000000
-600.0000
7
0.0000000
10000.00
8
0.1666667
0.0000000
9
0.0000000
3100.000
10
0.0000000
22333.33
11
0.3333333
0.0000000
Tenemos un surplus de 0 en la cuarta y quinta restricción, pero el dual price de la cuarta nos conlleva un mayor decremento en nuestra funciòn objetivo, por tanto tendremos en cuenta a esta restricción para modificarla.
ANALISIS DE SENSIBILIDAD Análisis de Rangos Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges Current
Allowable
Variable
Coefficient
ESPA
5000.000
Allowable
Increase
Decrease
10000.00
INFINITY
PAVO
5000.000
422.7273
3333.333
PAPA
7900.000
3100.000
INFINITY
ESPI MANZ
300.0000
22333.33
14300.00
INFINITY
INFINITY
930.0000
Righthand Side Ranges Row
Current RHS
Allowable Increase
Allowable Decrease
2
63000.00
51283.33
INFINITY
3
10.00000
2.400000
INFINITY
4
15.00000
7.200000
INFINITY
5
1.000000
0.1000000E-01
6
50.00000
1.000000
0.2000000
7
3.000000
0.4864865
0.5555556E-01
8
3.000000
INFINITY
9
2.000000
0.2272727E-01
0.1000000
10
1.000000
0.7518797E-02
0.3571429E-01
11
1.000000
INFINITY
0.8000000E-01
0.1666667
0.3333333
Del análisis de sensibilidad nos damos cuenta que podemos modificar nuestra cuarta restricción en 0.8. Entonces, tendriamos un nuevo modelo el cual a continuación resolvemos.
Solución del modelo decrementando la restricción cuarta en 0.08 Global optimal solution found at step: Objective value:
6
48133.33
Variable
Value
ESPA
Reduced Cost
3.000000
0.0000000
PAVO
1.500000
0.0000000
PAPA
2.000000
0.0000000
ESPI
1.000000
MANZ
Row
0.0000000
0.6666667
0.0000000
Slack or Surplus
Dual Price
1
48133.33
1.000000
2
12216.67
0.0000000
3
0.0000000
0.0000000
4
0.0000000
0.0000000
5
0.0000000
-83333.33
6
0.0000000
-600.0000
7
0.0000000
10000.00
8
1.500000
0.0000000
9
0.0000000
3100.000
10
0.0000000
22333.33
11
0.3333333
0.0000000
Tenemos un surplus de 0 en la cuarta y quinta restricción nuevamente, e inclusive el dual price nos lleva a razonar de la misma forma que en la coyuntura anterior, pero será mejor que antes observemos los nuevos rangos formados.
Análisis de Rangos Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges Current Variable
Coefficient
Allowable Increase
Allowable Decrease
ESPA
5000.000
10000.00
INFINITY
PAVO
5000.000
422.7273
3333.333
PAPA
7900.000
3100.000
INFINITY
ESPI
300.0000
MANZ
22333.33
14300.00
INFINITY
INFINITY
930.0000
Righthand Side Ranges Row
Current RHS
Allowable
Allowable
Increase
Decrease
2
63000.00
12216.67
INFINITY
3
10.00000
0.0
INFINITY
4
15.00000
0.0
INFINITY
5
0.9200000
0.9000000E-01
6
50.00000
0.0
1.800000
7
3.000000
0.0
0.5000000
8
3.000000
INFINITY
9
2.000000
0.2000000
10
1.000000
0.6766917E-01
11
1.000000
INFINITY
0.0
1.500000 0.0 0.0 0.3333333
El análisis de los rangos nos determina que debemos decrementar la restricción quinta en 1.8
Solución del modelo decrementando la restricción quinta en 1.8 Global optimal solution found at step: Objective value:
Variable ESPA
5
47053.33
Value 3.000000
Reduced Cost 0.0000000
PAVO
3.000000
0.0000000
PAPA
2.000000
0.0000000
ESPI MANZ
1.000000 0.6666667E-01
0.0000000 0.0000000
Row
Slack or Surplus
Dual Price
1
47053.33
1.000000
2
53766.67
0.0000000
3
1.980000
0.0000000
4
7.740000
0.0000000
5
0.0000000
-90378.79
6
0.0000000
-247.7273
7
0.0000000
11268.18
8
0.0000000
422.7273
9
0.0000000
0.0000000
10
0.0000000
12962.88
11
0.9333333
0.0000000
La restricción cuarta y la quinta nuevamente presentan un dual price que nos permite minimizar la cantidad de grasas de la comida. Es necesario observar los rangos de este nuevo modlo para observar las variaciones que podriamos hacer.
Análisis de Rangos Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges Current Variable
Coefficient
ESPA
5000.000
Allowable
Allowable
Increase 11268.18
Decrease INFINITY
PAVO
5000.000
422.7273
INFINITY
PAPA
7900.000
3100.000
2180.000
ESPI MANZ
300.0000 14300.00
12962.88 5450.000
Righthand Side Ranges
INFINITY 930.0000
Row
Current RHS
Allowable
Allowable
Increase
Decrease
2
63000.00
53766.67
INFINITY
3
10.00000
1.980000
INFINITY
4
15.00000
7.740000
INFINITY
5
0.9200000
0.1232000
0.0
6
48.20000
0.0
17.60000
7
3.000000
0.0
0.6844444
8
3.000000
0.0
1.474286
9
2.000000
INFINITY
0.0
10
1.000000
0.6616541
0.0
11
1.000000
INFINITY
0.9333333
Podemos observar que podemos decrementar en 17.6 la quinta restricción. Veamos los nuevos resultados del modelo.
Solución del modelo decrementando la restricción quinta en 1.8 Global optimal solution found at step: Objective value:
4
42693.33
Variable ESPA
Value
Reduced Cost
3.000000
0.0000000
PAVO
3.000000
0.0000000
PAPA
0.0000000
2180.000
ESPI
1.000000
MANZ
Row
0.8666667
Slack or Surplus
0.0000000 0.0000000
Dual Price
1
42693.33
1.000000
2
46366.67
0.0000000
3
1.940000
0.0000000
4
6.420000
0.0000000
5
0.0000000
-95333.33
6
0.0000000
0.0000000
7
0.0000000
12160.00
8
0.0000000
720.0000
9
2.000000
0.0000000
10
0.0000000
6373.333
11
0.1333333
0.0000000
Pues ahora, solo la cuarta restricción tiene un dual price que nos indica una reduccion de grasas en nuestra funcion objetivo. Veamos si los rangos apoyan el decremento en esta restricción.
Análisis de Rangos Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges Current Variable
Coefficient
ESPA
5000.000
Allowable
Allowable
Increase
Decrease
12160.00
INFINITY
PAVO
5000.000
720.0000
INFINITY
PAPA
7900.000
INFINITY
2180.000
ESPI MANZ
300.0000
6373.333
14300.00
INFINITY
5450.000
1800.000
Righthand Side Ranges Row
Current RHS
Allowable Increase
Allowable Decrease
2
63000.00
46366.67
INFINITY
3
10.00000
1.940000
INFINITY
4
15.00000
6.420000
INFINITY
5
0.9200000
0.2000000E-01
0.0
6
30.60000
0.0
INFINITY
7
3.000000
0.0
0.1111111
8
3.000000
0.0
0.3333333
9
2.000000
INFINITY
10
1.000000
1.857143
11
1.000000
INFINITY
2.000000 0.0 0.1333333
El decremento determinado por el análisis de rangos es cero para la cuarta restricción, por lo que concluímos en que nuestro análisis de sensibilidad ha terminado.
Luego, la cantidad mínima de grasas que podemos tener sería 42693.33 Para esto, deberemos de combinar: 300 gramos de espagueti, 300 gramos de pavo, 100 gramos de espinaca y 86.7 gramos de pastel de manzana. Observemos que no utilizaremos papas en escalope.
PROBLEMA 02: FMR Company tiene una máquina capaz de fabricar tubos de diámetros grandes y pequeños para contratistas de plomería. Los tubos grandes se producen a una velocidad de 200 pies por hora y los pequeños a 300 pies por hora. Cada hora que la maquina es usada para producir tubos grandes generalmente ocasiona 1.5 atascamientos y cuando se producen tubos pequeños resultan 3 atascamientos por hora. Cada atascamiento requiere aproximadamente 5 minutos de restablecimiento, durante los cuales la maquina no puede producir tubos. La gerencia desea un número igual de pies de ambos tamaños de tubos y la mayor cantidad total de tubos posible. Formule un modelo para determinar cuánto tiempo de un día de 8 horas debe asignarse a la producción de tubos grandes y cuanto a la de pequeños. Para las variables de decisión use el número de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos pequeños y grandes.
Solución: 1. Determinación de Variables: Lo que nos interesa es saber cuántas horas, de un día de 8 horas, debemos dedicarnos a la producción de tubos grandes y cuantas horas a la de pequeños, de tal manera que generemos la mayor cantidad posible de tubos, y además el numero de pies de ambos tamaños sea el mismo, el problema nos pide que usemos como variable “el número de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos pequeños y grandes”, pero también se podría usar el numero de fracción de 8 horas.
TG = Numero de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos grandes.
TP = Numero de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos pequeños.
2. Determinación de las restricciones. Podemos distinguir en el problema 2 tipos de restricciones: la de la demanda de producción de pies de tubos, y la de horas de tiempo de maquina por día de 8 horas. Restricción de la demanda de producción de pies de tubos. Numero de pies de tubos grandes = Numero de pies de tubos pequeños.
Calculando la demanda de producción de pies de tubos grandes (DG): Datos: Velocidad de producción tubos grandes = 200 pies/hora. Atascamientos por hora = 1.5 Tiempo de restablecimiento = 5min = 5/60 horas = 1/12 horas Deducimos que la demanda de producción de pies de tubos grandes debe ser igual a lo que se debería producir si no hubiera atascamientos menos lo que no se produce en el tiempo muerto que las maquinas no están trabajando. DG= 200*(TG) – 1.5*(1/12)*TG*200;
DG= 175*TG
Calculando la demanda de producción de pies de tubos pequeños (DP): Datos: Velocidad de producción tubos pequeños = 300 pies/hora. Atascamientos por hora = 3 Tiempo de restablecimiento = 5min = 5/60 horas = 1/12 horas Análogo a la situación anterior: DP=300*(TP)-3*(1/12)*TG*300;
DP = 225TP
Para esta parte nuestra restricción quedaría de esta manera: DG=DP 175*TG = 225*TP; Entonces la restricción queda:
175*TG – 225*TP = 0; Restricción del tiempo de horas de tiempo de maquina por día de 8 horas.
TG + TP <= 8; 3. Determinación de la Función Objetivo. Debemos maximizar la producción de pies de tubos.
MAX = 175*TG + 225*TP; 4. Condiciones de no negatividad:
TG>=0; TP>=0;
5. Formulación Completa y solución del problema.
DESARROLLO EN LINGO – METODO SIMPLEX.
SOLUCION DEL MODELO:
Como observamos en el row 3, existe un Slack de 0 y un Dual Price de aumento de 196.8750 por lo que tendremos en cuenta a la hora de analizar la sensibilidad y asi ver la posibilidad de poder variar la restricción del row 3 de tal manera de tener la máxima producción de pies de tubos.
ANALISIS DE SENSIBILIDAD Análisis de rangos:
Como observamos el “Allowable Increase” es 0, por lo nos indica que que ya se ha obtenido nuestro objetivo de maximizar la producción de pies de tubos, de tal manera que nuestro problema queda resuelto.
En conclusión: Nuestra máxima producción de pies de tubos es de 1575 pies, para lo cual se debe asignar 4.5 horas de tiempo de maquina dedicados a la fabricación de tubos grandes, y 3.5 horas a la fabricación de tubos pequeños; en un día de 8 horas.
PROBLEMA 03: Cajun World mezcla seis especias para fabricar un producto para atezar pescados. La siguiente tabla proporciona el costo por cada especie y los porcentajes mínimos y máximos por unidad de peso que pueden usarse en producto final.
ESPECIA Cayena Pimienta Negra Semillas de binojo Polvo de cebolla Ajo Orégano
COSTO ($/gm)
MÍNIMO (%)
MÁXIMO (%)
0.020 0.025 0.082 0.025 0.028 0.075
18 15 12 16 12 14
20 18 14 20 15 18
Formule un programa lineal para determinar la cantidad de cada especia utilizada para producir cada kilogramo de producto que minimice el coto total.
SOLUCIÓN DEL EJEMPLO
1. Determinación de variables
Nos debemos dar cuenta que lo que nos interesa es poder expresar las cantidades de cada especia en porcentaje al producto final, ya que esto nos ayudara a facilitar el entendimiento que proporción utilizada de cada especia utilizada respecto al producto final. Pi = (Porcentaje utilizado de especia i, donde i=1…6, i=1 -> Cayena, i=2-> Pimienta negra, i=3->Semillas de binojo, i=4-> Polvo de cebolla, i=5-> Ajo, i=5-> Orégano)
2. Determinación de las restricciones Las restricciones se distinguen de acuerdo a las condiciones indicadas en la tabla, recordemos que las unidades están indicadas en porcentaje al producto final: P1>=0.18; P1<=0.20; P2>=0.15; P2<=0.18; P3>=0.12; P3<=0.14; P4>=0.16; P4<=0.20; P5>=0.12; P5<=0.15; P6>=0.14; P6<=0.18; Otra restricción sería que la suma de todas establece la unidad total. P1+P2+P3+P4+P5+P6=1
3. Determinar la función objetivo Debemos minimizar el costo total por cada kilogramo (1000gm) de producto. Min= 0.020($/gm)*1000gm*P1 + 0.025($/gm)*1000gm*P2 + 0.082($/gm)*1000gm*P3 + 0.025($/gm)*1000gm*P4 + 0.028($/gm)*1000gm*P5 + 0.075($/gm)*1000gm*P6 Min= 20P1($) + 25P2($) + 82P3($) + 25P4($) + 28P5($) + 75P6($)
DESARROLLO EN LINGO !FUNCION OBJETIVO; MIN= 20*P1 + 25*P2 + 82*P3 + 25*P4 + 28*P5 + 75*P6 ; !COSTOS; !RESTRICCIONES DE CANTIDAD; P1>=0.18; P1<=0.20; P2>=0.15; P2<=0.18; P3>=0.12; P3<=0.14; P4>=0.16; P4<=0.20; P5>=0.12; P5<=0.15; P6>=0.14; P6<=0.18; !RESTRICCION DE TOTALIDAD; P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1;
SOLUCIÓN DEL MODELO Global optimal solution found at step: 5 Objective value: 38.79000 Variable
Value
Reduced Cost
P1 P2 P3 P4 P5 P6 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0.2000000 0.1800000 0.1200000 0.2000000 0.1500000 0.1500000
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
Slack or Surplus Dual Price 38.79000 1.000000 0.2000000E-01 0.0000000 0.0000000 55.00000 0.3000000E-01 0.0000000 0.0000000 50.00000 0.0000000 -7.000000 0.2000000E-01 0.0000000 0.4000000E-01 0.0000000 0.0000000 50.00000 0.3000000E-01 0.0000000 0.0000000 47.00000 0.1000000E-01 0.0000000 0.3000000E-01 0.0000000 0.0000000 -75.00000
Podemos observar que en el row 14 se presenta un surplus de 0, y nos indica un decremento mayor en nuestra función objetivo, entonces debemos tomarla en cuenta para modificarla.
ANALISIS DE SENSIBILIDAD Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease P1 20.00000 55.00000 INFINITY P2 25.00000 50.00000 INFINITY P3 82.00000 INFINITY 7.000000 P4 25.00000 50.00000 INFINITY P5 28.00000 47.00000 INFINITY P6 75.00000 7.000000 47.00000
Row 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 0.1800000 0.2000000E-01 INFINITY 0.2000000 0.1000000E-01 0.2000000E-01 0.1500000 0.3000000E-01 INFINITY 0.1800000 0.1000000E-01 0.3000000E-01 0.1200000 0.1000000E-01 0.3000000E-01 0.1400000 INFINITY 0.2000000E-01 0.1600000 0.4000000E-01 INFINITY 0.2000000 0.1000000E-01 0.3000000E-01 0.1200000 0.3000000E-01 INFINITY 0.1500000 0.1000000E-01 0.3000000E-01 0.1400000 0.1000000E-01 INFINITY 0.1800000 INFINITY 0.3000000E-01 1.000000 0.3000000E-01 0.1000000E-01
El análisis de sensibilidad nos indica que podemos disminuir la restricción del row 14 en 0.01. Para obtener un nuevo modelo: Global optimal solution found at step: 5 Objective value: 38.04000 Variable P1 P2 P3 P4 P5 P6 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Value 0.2000000 0.1800000 0.1200000 0.2000000 0.1500000 0.1400000
Reduced Cost 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
Slack or Surplus Dual Price 38.04000 1.000000 0.2000000E-01 0.0000000 0.0000000 55.00000 0.3000000E-01 0.0000000 0.0000000 50.00000 0.0000000 -7.000000 0.2000000E-01 0.0000000 0.4000000E-01 0.0000000 0.0000000 50.00000 0.3000000E-01 0.0000000 0.0000000 47.00000 0.0000000 0.0000000 0.4000000E-01 0.0000000 0.0000000 -75.00000
Análisis de Rangos con el nuevo modelo: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease P1 20.00000 55.00000 INFINITY P2 25.00000 50.00000 INFINITY P3 82.00000 INFINITY 7.000000 P4 25.00000 50.00000 INFINITY P5 28.00000 47.00000 INFINITY P6 75.00000 7.000000 47.00000
Row 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 0.1800000 0.2000000E-01 INFINITY 0.2000000 0.0 0.2000000E-01 0.1500000 0.3000000E-01 INFINITY 0.1800000 0.0 0.3000000E-01 0.1200000 0.0 0.4000000E-01 0.1400000 INFINITY 0.2000000E-01 0.1600000 0.4000000E-01 INFINITY 0.2000000 0.0 0.4000000E-01 0.1200000 0.3000000E-01 INFINITY 0.1500000 0.0 0.3000000E-01
12 13 14
0.1400000 0.1800000 0.9900000
0.0 INFINITY INFINITY 0.4000000E-01 0.4000000E-01 0.0
PROBELMA 04: EL PROBLEMA DE MEZCLADO DE GASOLINA DE HEXXON OIL COMPANY Hexxon Oil Company obtiene tres tipos de petróleo crudo de sus pozos de Mississippi, Nuevo México y Texas. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla junto con dos aditivos para obtener el producto final. Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre, plomo y fosforo. Como se muestra en la tabla. El costo de cada componente también se presenta. Debido a los residuos e impurezas, cada galon de petróleo crudo de Mississippi resulta solo en 0.35 de galon del producto final, que contiene 0.07% de azufre. De manera similar, cada galon de crudo de nuevo México produce 0.40 de galon de petróleo final que contiene 0.08% de sulfuro y cada galon de crudo de Texas resulta en 0.30 de galon de producto final que contiene 0.10% de azufre. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones para controlar las cantidades de azufre, plomo y fosforo: 1. Cada galón debe tener a lo más 0.07% de azufre. 2. Cada galon debe tener entre 1.25 y 2.5 gramos de plomo. 3. Cada galón debe tener entre 0.0025 y 0.0045 gramos de fosforo. 4. La cantidad total de los aditivos no puede exceder de 19% de la mezcla.
Azufre (%) Plomo(g/gal) Fosforo(g/gal) Costo($/gal)
PETROLEO CRUDOS MISSISSIPPI NUEVO MEXICO 0.07 0.08 --------0.55 0.47
ADITIVOS TEXAS 1 2 0.10 ------7 6 --0.025 0.02 0.33 0.08 0.12
Como gerente de producción, determine un plan de mezclado que produzca una gasolina aceptable al mismo costo.
SOLUCION: 1.-IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN. Usted puede controlar la cantidad de cada tipo de crudo y cada aditivo por mezclar al producir un galón de gasolina.
XM =Numero de galones de petróleo crudo de Mississippi usados para hacer un galón de gasolina. X N = Numero de galones de petróleo crudo de Nuevo México usados para hacer un galón de gasolina. XT = Numero de galones de petróleo crudo de Texas usados para hacer un galón de gasolina. A1 =Numero de galones del aditivo 1 usados para hacer un galón de gasolina. A2= Numero de galones del aditivo 2 usados para hacer un galón de gasolina.
2.- IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO. El objetivo global es minimizar el costo de los componentes usados en la fabricación de cada galón de gasolina. Entonces tenemos:
Costo total= (costo del petróleo crudo de Mississippi) + (Costo del petróleo crudo de nuevo México) + (Costo del petróleo crudo de Texas) + (Costo del aditivo 1) + (costo del aditivo 2)
Usando las variables y los costos asociados de la tabla obtenemos la siguiente función objetiva:
Minimizar (0.55 XM + 0.47 X N + 0.33 XT + 0.08 A1 + 0.12 A2) 3.- IDENTIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES Restricción de Producción Esta restricción asegura que se produzca precisamente un galón de gasolina: Cantidad de gasolina producida = 1 galón Si aplicamos la descomposición llegamos a: Cantidad de gasolina = (cantidad producida del petróleo crudo de Mississippi) + (Cantidad producida de petróleo crudo de nuevo México) + (Cantidad producida del petróleo crudo de Texas) + (Cantidad del aditivo 1) + (Cantidad del aditivo 2)
Recuerde que cada galón de crudo de Mississippi produce solo 0.35 de galón de gasolina. Por tanto, XM galones de este crudo producen 0.35 XM galones de gasolina. De
manera similar, como cada galón de petróleo crudo de nuevo México produce 0.40 de galón de gasolina y cada galón de petróleo crudo de Texas resulta en 0.30 de galón de gasolina, esta restricción es.
0.35 XM + 0.40 X N + 0.30 XT + A1 + A2 =1.0 (producción)
Restricciones De Composición De Mezclado Este grupo consiste en tres conjuntos de restricciones, uno por cada una de las limitaciones de azufre, plomo y fosforo en la mezcla final.
Calculamos la cantidad de azufre en la mezcla: Cantidad de azufre en la mezcla = (cantidad de azufre del petróleo crudo de Mississippi) + (Cantidad de azufre del petróleo crudo de nuevo México) + (Cantidad de azufre del petróleo crudo de Texas) + (Cantidad de azufre de aditivo 1) + (Cantidad de azufre de aditivo 1)
Cada galón de petróleo crudo de Mississippi produce 0.35 de galón de gasolina que contiene 0.07% de azufre. Por tanto, XM galones de este petróleo crudo produce 0.35 XM galones que contiene 0.07% de azufre. Así
Cantidad de azufre del petróleo crudo de Mississippi = 0.0007*0.35 XM =0.000245 XM
Observando que los aditivos no aportan azufre, y aplicando una lógica similar a los otros resultados de petróleos crudos en la siguiente restricción de azufre.
0.000245 XM +0.00032 X N +0.0003 XT <=0.0007 (azufre)
Aplicando el mismo razonamiento usado en el desarrollo de la restricción de azufre, se obtiene lo siguiente. 7A1 + 6A2<=2.50 7A1 + 6A2>=1.25
0.025A1 +0.02A2<=0.0045 0.025A1 + 0.02A2>=0.0025
Finalmente el total de A1 y A2 debe ser a lo más 19% de galón, resultando la siguiente restricción. A1 + A2 <=0.19
Por lo tanto la formulación completa es la siguiente:
Minimizar (0.55 XM + 0.47 X N + 0.33 XT + 0.08 A1 + 0.12 A2) 0.35 XM + 0.40 X N + 0.30 XT + A1 + A2 =1.0 (producción) 0.000245 XM +0.00032 X N +0.0003 XT <=0.0007 (azufre) 7A1 + 6A2<=2.50 7A1 + 6A2>=1.25 0.025A1 +0.02A2<=0.0045 0.025A1 + 0.02A2>=0.0025 Utilizando el programa lingo7 obtenemos el resultado de la función objetivo Global optimal solution found at step: 3 Objective value: 0.9494500 Variable XM XN XT A1 A2 Row 1 2 3 4 5 6 7
Value 0.0000000 1.375000 0.8667 0.1400000 0.5000000
Reduced Cost 0.1256250 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
Slack or Surplus Dual Price 0.9494500 1.000000 0.0000000 -1.475000 0.0000000 375.0000 1.2200000 0.000000 0.3000000 0.000000 0.0000000 8.000000 0.2000000 0.000000
8
0.0000000
Como vemos la solución óptima es: XM X N XT A1 A2
0.000 1.375 0.866 0.140 0.500
1.195000
Con una solución objetivo de 0.94945. en otras palabras cada galon de producto fimal se fabrica mezclando y procesando 1.375 galones de petroleo crudo de nuevo mexico y 0.8667 de galon de petróleo crudo de texas con 0.14 de galon de aditivo 1 y 0.05 de galon de aditivo 2. Consultando con el reporte de rangos de la función encontramos los siguientes valores: Ranges in which the basis is unchanged: Current Variable XM XN XT A1 A2
Row 2 3 4 5 6 7 8
Objective Coefficient Ranges Allowable Allowable Coefficient Increase Decrease 0.5500000 INFINITY 0.1256250 0.4700000 0.9571429 0.3000000 0.3300000 0.2250000 0.2153571 0.8000000 0.4000000 0.2987500 0.1200000 0.2390000 0.4000000 Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 1.000000 0.6500000 0.1100000 0.700000 0.1100000 0.5200000 2.500000 INFINITY 1.220000 1.250000 0.3000000 INFINITY 0.450000 0.2500000 0.1500000 0.2500000 0.2000000 INFINITY 0.1900000 0.3500000 0.1000000
Analizando resultados con respecto a los coeficientes de la función objetivo para la variable Xm vemos que existe un incremento permisible infinito pero un decremento de 0.1256, así el rango para de valores que puede tomar esta variable es infinito<=Xm<=0.1265. El mismo razonamiento se realiza para las otras variables. Para el caso de las restricciones por aumento de una unidad vemos que nos encontramos con la misma lógica.
PROBLEMA 05: Incredible Indelible Ink Company mezcla 3 aditivos A1, A2, A3 a una base en diferentes proporciones para obtener distintos colores de tinta. La tinta roja se obtiene mezclando A1, A2, A3 en la proporción de 3:1:2, la tinta azul en la proporción 2:3:4 y la tinta verde en la proporción de 1:2:3.Despues de mezclar estos aditivos, se añade una cantidad igual de base para cada color. La compañía actualmente tiene 1000 galones de A1, 1500 de A2, 2000 de A3 y 4000 de base. Dado que el precio de venta por galón de cada tipo de tinta es el mismo, desarrolle un modelo para determinar cómo deberían usarse estos recursos para obtener los máximos ingresos. •
Identificación de variables de decisión: R: cantidad de tintas rojas A: cantidad de tintas azules
V: cantidad de tintas verdes Ahora, considerando cada tipo de tinta, está compuesto por tres aditivos A1,A2,A3 y una base. •
Identificación de la función objetivo:
Para maximizar los ingresos, tenemos que considerar el precio de venta de cada tinta, pues como es el mismo para cada uno, no lo consideramos en la maximización por ser iguales para cada uno. Pero cada tinta está compuesta por aditivos A1, A2, A3 y una base en proporciones dadas en el enunciado. Para la tinta roja “R” la relación entre los aditivos A1, A2, A3 es de 3:1:2 todos con una constante X1 siendo así: R=3*x1+1*x1+2*x1 Y del mismo modo para los siguientes casos: A=2*x2+3*x2+4*x2 V=1*x3+2*x3+3*x3 Y la base B que está dividida en 3 partes iguales según el enunciado: b1, b2 y b3. Siendo b1=b2=b3 B=b1+b2+b3 Entonces la función objetivo se podría representar de este modo: Max (R+A+V+B). Max 6*x1+9*x2+6*x3+b1+b2+b3.
•
Identificación de las restricciones: Comenzaremos por los aditivos, pues cada uno contiene como máximo una determinada cantidad. A1<=1000 gl => 3*x1+2*x2+x3<=1000
A2<=1500 gl => x1+3*x2+2*x3<=1500 A3<=2000 gl => 2*x1+4*x2+3*x3<=2000 Ahora con las bases tenemos que como se dividen en partes iguales a todas las tintas: B<=4000 gl => b1+b2+b3<=4000 b1-b2=0; b1-b3=0; b2-b1=0; b2-b3=0; b3-b1=0; b3-b2=0; La cantidad de cada base en las tintas tiene que ser positiva: b1>=0, b2>=0 y b3>=0
Programa en el Lingo: De acuerdo con todo lo señalado el modelo quedaría así: MAX=6*x1+9*x2+6*x3+b1+b2+b3; 3*x1+2*x2+x3<=1000; x1+3*x2+2*x3<=1500; 2*x1+4*x2+3*x3<=2000; b1+b2+b3<=4000; b1-b2=0; b1-b3=0; b2-b1=0; b2-b3=0; b3-b1=0; b3-b2=0; b1>=0; b2>=0; b3>=0;
Según esto, tenemos que los valores de las variables x1 y x3 resultan ser cero y que la variable x2 cuyo valor es 500 lo cual funciona como constante para la tinta azul. Entonces significa que A=9*x2=9*500=4500 sumados a las bases de 4000, entonces 4500+4000=8500 dólares que viene a ser el ingreso máximo invirtiendo solo en la tinta azul. Por otro lado, los aditivos A1, A3 y B muestran un precio dual que es lo que varia según lo que se coloque en las restricciones
Según el cuadro anterior indicado tenemos que el aditivo A1 presenta un incremente máximo de 2000, ya superior a ese valor este aditivo no provoca ningún efecto en la maximización pero con respecto a las bases su incremento no tiene límites.